1、1 1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.) (1)【答案】2 【解析】对原式进行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子3nnnn. 3(3) (3) lim()lim 1 3 nn nnnnnnnnnnnn nnnn 3 lim 3 n nnnn nnnn , 再分子分母同时除以n,有 原式 4 lim 31 11 n nn . 因为lim0 n a n ,其中a为常数,所以原式 4 2. 1 1 (2)【答案】ba 【解析】由于
2、( )F x在0 x 处连续,故 0 (0)lim( ) x AFF x . 0 lim( ) x F x 为“ 0 0 ”型的极限未定式,又( )f x在点0处导数存在,所以 00 ( )sin( )cos limlim 1 xx f xaxfxax Aba x . 【相关知识点】函数( )yf x在点 0 x连续：设函数( )yf x在点 0 x的某一邻域内有定义, 如果 0 0 lim( )(), xx f xf x 则称函数( )f x在点 0 x连续. (3)【答案】 1 4 2 【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令 2 2xx, 解得1x 和2x ,故所围成的平面图形如右图所示
3、: 所求面积为 2 2 1 2Sxxdx 2 23 1 111 24. 232 xxx (4)【答案】 1234 0aaaa x y O21 2 【解析】由于方程组有解( )( )r Ar A,对A作初等行变换, 第一行乘以1加到第四行上,有 11 22 33 414 11001 100 01100 110 00110 011 10010101 aa aa aa aaa , 第二行加到第四行上,再第三行乘以1加到第四行上,有 11 22 33 1234124 11001100 0110110 001111 00110 aa aa aa aaaaaaa . 为使( )( )r Ar A,常数 1
4、234 ,a a a a应满足条件: 1234 0aaaa. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理： 设A是m n矩阵,线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广 矩阵AA b的秩,即是( )( )r Ar A(或者说,b可由A的列向量 12 , n 线表出, 亦等同于 12 , n 与 12 , n b 是等价向量组). 设A是m n矩阵,线性方程组Axb,则 （1）有唯一解( )( ).r Ar An （2）有无穷多解( )( ).r Ar An （3）无解( ) 1( ).r Ar A b不能由A的列向量 12 , n 线表出. (5)【答案】 2 3 【解析】这是
5、一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为p,则进行 四次独立的射击, 设事件Y为“射手命中目标的次数”,Y服从参数 80 4, 81 np的二项分 布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为 4 (1)p,它是至少命中一次的对 立事件.依题意 4 8012 (1)11 8133 ppp . 本题的另一种分析方法是用随机变量X表示独立地进行射击中命中目标的次数,p表 示一次射击的命中率,则(4, )XBp,依题意 3 4 1 1 01, 81 k P XP Xk 即 4 12 (1). 813 pp 【相关知识点】二项分布的概率公式： 若( , )YB n p,则(1
6、) kkn k n P YkC pp ,0,1,kn. 二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.) (1)【答案】(B) 【解析】由于 sin 2 lim 2 x x x ee ,而 2 limtan x x ,所以, sin 2 limtan x x xx e ,故( )f x无界. 或考察( )f x在2(1,2,) 4 n xnn 的函数值,有 2 2 lim()lim nn nn f xx e ,可见 ( )f x是无界函数.应选(B). 以下证明其他结论均不正确. 由 4 4 4444 sin sin fefe ,知(A)不正
7、确； 由00 44 f, f ,而 00f,知(D)不正确. 证明(C)不正确可用反证法. 设 sinx g xtanx e,于是 g x的定义域为01 2 2 Dx|xk,k, 且 g x的全部零点为01 2 n xn ,n,. 若 f xxg x以T0T 为周期,则 有 xT g xTxg x , xD. 令0 x,有 0Tg T,即 0g T .从而Tk,其中k为某一正数.于是2k也是 xg x的周期.代入即得,对xD 有 222xkg xkxkg xxg x . 这表明 20k g x在xD上成立,于是 0g x 在xD上成立,导致了矛盾. 故 4 f xxg x不可能是周期函数. 【
8、相关知识点】极限的四则运算法则: 若 0 lim( ) xx f xA , 0 lim( ) xx g xB ,则有 0 lim( )( ) xx f xg xAB . (2)【答案】(D) 【解析】 通过变量代换1tx或按定义由关系式(1)( )fxaf x将( )f x在1x 的可 导性与( )f x在0 x 的可导性联系起来. 令1tx,则( )(1)f taf t.由复合函数可导性及求导法则,知( )f t在1t 可导,且 11 ( )(1)(1)(0) tt f taf ttafab , 因此,应选(D). 【相关知识点】复合函数求导法则:如果( )ug x在点x可导,而( )yf
9、x在点( )ug x可 导,则复合函数( )yf g x在点x可导,且其导数为 ( )( ) dy f ug x dx 或 dydy du dxdu dx . (3)【答案】(C) 【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念. (A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组 12 , s 线性无关,可以 推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组 12 , s 线性无关. 例如:(1,0),(0,1),(1,1)显然有(1,0)(0,1)(1,1)(0,0),该向量组线性相关.但 (A)(B)(D)均成立. 根据“
10、 12 , s 线性相关的充分必要条件是存在某(1,2, ) i is可以由 111 , iis 线性表出.” 或由 “ 12 , s 线性无关的充分必要条件是任意一个 (1,2, ) i is均不能由 111 , iis 线性表出.”故选(C). (4)【答案】A 【解析】由于BA,所以ABA,于是有 P ABP A.故本题选 A. 对于 B 选项,因为BA,所以事件B发生,则事件A必然发生,所以 P ABP B, 而不是 P ABP A,故 B 错. 5 对于 C 选项,因为BA,由条件概率公式 () ( ) P AB P B A P A ,当,B A是相互独立的事 件时,才会有 P B
11、AP B；所以 C 错. 对于 D 选项,因为BA,所以事件B发生事件A不发生是个不可能事件,故 0P BA,所以(D)错. (5)【答案】(C) 【解析】由离散型随机变量概率的定义,有 1,11,1P XYP XYP XY 1111P XP YP XP Y 11111 22222 . 故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的. 对于(A)选项,题目中只说了随机变量X和Y相互独立,且他们的概率分布相同,但是二 者是不同的事件,并不能说事件X与事件Y是同一事件.故(A)错. 三、计算题(本题满分 20 分,每小题 5 分.)三、计算题(本题满分 20 分,每小题 5 分.) (1)【解析】在
12、 2 ,xe e上, 22 lnln ( )0 21 1 xx I x xx x ,故函数( )I x在 2 ,e e上单 调增加,最大值为 2 ()I e. 由 22 (1)1 (1)(1)(1) dxdx d xxx ,有 22 2 2 ln1 ()ln 1 1 ee ee t I edttd t t 22 22 lnln11 () 1111 ee ee ee ee tdtt dt tt tttt 2 2 21 ln(1)2ln(1) 1 11 ee ee 11 ln 1 e ee . 【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式： 若 ( ) ( ) ( )( ) t t F tf x
13、dx ,( ) t,( ) t均一阶可导,则 ( )( )( )( )( )F ttfttft . 6 2.假定( )uu x与( )vv x均具有连续的导函数,则 ,uv dxuvu vdx 或者.udvuvvdu (2)【解析】区域D是无界函数,设 0,0, 32 b yy DDybx yybx, 不难发现,当b 时有 b DD,从而 222 2 0 3 limlim b y b yyy y bb DD xedxdyxedxdyedyxdx 2 0 111 lim() 249 b y b yy edy 2 2 2 00 55 lim lim 72144 bb yt bb yedytye d
14、t 255 lim(1). 144144 b b e (3)【解析】因系数 2 1 (1,2,) n an n ,故 2 2 1 2 2 1 1 limlimlim1 1 1 n nnn n nan a n n , 这样,幂级数的收敛半径 1 1R .因此当131,x ,即24x时级数绝对收敛. 当2x 时,得交错级数 2 1 1 ( 1)n n n ； 当4x 时,得正项级数 2 1 1 n n ,二者都收敛,于是原级 数的收敛域为2,4. 【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果 1 n lim n n a a ,其中 1 , nn a a 是幂级数 0 n n n a x 的 相邻两项的
15、系数,则这幂级数的收敛半径 1 , 0, , 0, 0, . R 2 9yx 2 4yx O x y 7 2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数 1 1 ( 1)n n n u 满足： (1) 1, 1,2,; nn uun (2)lim0. n n u 则 1 1 ( 1)n n n u 收敛,且其和满足 1 1 1 0( 1), n n n uu 余项 1.nn ru 3p级数： 1 1 p n n 当1p 时收敛；当1p 时发散. (4)【解析】方法 1:方法 1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解. coscos sin ln xdxxdx x yeexedxC si
16、nsin ln ln xx exdxCexxxC . 方法 2:方法 2: 用函数 ( )cos sin P x dxxdx x eee 同乘方程两端,构造成全微分方程. 方程两端同乘 sinx e,得 sinsinsinsin cos()()ln xxxx eyyexyeyex,再积分一次得 sin lnln x yeCxdxCxxx . 最后,再用 sin x e同乘上式两端即得通解 sin ln x yexxxC . 【相关知识点】一阶线性非齐次方程( )( )yP x yQ x 的通解为 ( )( ) ( ) P x dxP x dx yeQ x edxC ,其中C为任意常数. 四、(
17、本题满分 9 分)四、(本题满分 9 分) 【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为 22 12121212 15 14328210()xxx xxxxx 22 121212 15 13318210.xxx xxx 由多元函数极值点的必要条件,有 12 1 12 12 2 48130, 0.75,1.25. 820310, xx x xx xx x 因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用 0.75 万元,报纸广告费用 1.25 万 8 元可获最大利润. (2)若广告费用为 1.5 万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同) 22 121212 15 1331821
18、0,xxx xxx 在 12 1.5xx时的条件最大值.拉格朗日函数为 22 1212121212 ( , )15 13318210(1.5),L x xxxx xxxxx 由 12 1 12 2 12 48130, 820310, 1.50 L xx x L xx x L xx 12 0,1.5.xx 因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费 1.5 万元全部用于报纸广告,可使利润最 大. 【相关知识点】拉格朗日乘数法: 要找函数( , )zf x y在附加条件( , )0 x y下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数 ( , )( , )( , ),L x yf x yx y 其中为参
19、数.求其对x与y的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来： ( , )( , )0, ( , )( , )0, ( , )0. xx yy fx yx y fx yx y x y 由这方程组解出, x y及,这样得到的( , )x y就是函数( , )f x y在附加条件( , )0 x y下的 可能极值点. 五、(本题满分 6 分)五、(本题满分 6 分) 【解析】方法 1:方法 1:当0a 时,()( )( )( )f abf bf af b,即不等式成立； 若0a ,因为 2121 ()( )( )(0) ()( ) ( )(0) ()( )()( ), f abf af bf
20、f abf bf af fafaa ff 其中 12 0abab.又( )fx单调减少,故 21 ()( )ff.从而有 9 ()( )( )(0)0f abf af bf,即()( )( )f abf af b. 方法 2:方法 2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将b视为变量x,得辅助函数 令( )( )( )(),0, F xf xf af ax xb,由于(0)0f,所以(0)0F,又因为 ( )( )(),F xfxfax且0a ,( )fx在(0, )b单调减少,所以( )0F x,于是( )F x在 0, b上单调递增,故( )(0)0F bF,即 ()( )( )f ab
21、f af b,其中0ababc. 【相关知识点】拉格朗日中值定理： 如果函数( )f x满足在闭区间 , a b上连续；在开区间, a b内可导,那么在, a b内至 少有一点()ab,使等式( )( )( )()f bf afba成立. 六、(本题满分 8 分)六、(本题满分 8 分) 【解析】本题中,方程组有解( )( )r Ar A.(相关定理见第一题(4) 对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以3、5分别加到第二、四行上,有 1111111111 321130012263 0122601226 5433120122625 aa a bb a , 第二行乘以1、1分别加到第三、四行上,第二行
22、再自乘1,有 11111 12263 . 3 22 a a ba a (1) 当30ba且220a,即1,3ab时方程组有解. (2) 当1,3ab时,方程组的同解方程组是 12345 2345 1, 2263, xxxxx xxxx 由( )523nr A,即解空间的维数为 3.取自变量为 345 ,x x x,则导出组的基础解系为 123 (1, 2,1,0,0) ,(1, 2,0,1,0) ,(5, 6,0,0,1) TTT . 10 (3) 令 345 0 xxx,得方程组的特解为( 2,3,0,0,0)T .因此,方程组的所有解是 1 12233 kkk,其中 123 ,k k k为
23、任意常数. 【相关知识点】若 1 、 2 是对应齐次线性方程组0Ax 的基础解系,则Axb的通解形式 为 1 122 ,kk其中 12 , 是0Ax 的基础解系,是Axb的一个特解. 七、(本题满分 5 分)七、(本题满分 5 分) 【解析】若A、B是n阶矩阵,且,ABE则必有.BAE于是按可逆的定义知 1 AB . 如果对特征值熟悉,由0 k A 可知矩阵A的特征值全是 0,从而EA的特征值全是 1, 也就能证明EA可逆. 由于0 k A ,故 21 () kkk EAEAAAEAE . 所以EA可逆,且 1 21k EAEAAA . 八、(本题满分 6 分)八、(本题满分 6 分) 【解析
24、】(反证法)若 12 XX是A的特征向量,它所对应的特征值为,则由定义有： 1212 ()()A XXXX. 由已知又有 12121122 ()A XXAXAXXX. 两式相减得 1122 ()()0XX. 由 12 ,知 12 , 不全为 0,于是 12 ,XX线性相关,这与不同特征值的特征向量线 性无关相矛盾.所以, 12 XX不是A的特征向量. 【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维 列向量X使得AXX成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征 向量. 九、(本题满分 4 分)九、(本题满分 4 分) 【解析】样本空间含样本点总数为 3
25、 10 C；即十个数字任意选三个有多少种选择方案. 有利于事件 1 A的样本点数为 3 8 C；十个数字除去 0 和 5 任意选三个有多少种选择方案. 11 有利于事件 2 A的样本点数为 33 98 2CC；十个数字除去 0 任意选三个的选择方案和十个数字 除去 5 任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件 1 A被加了两次,所 以应该减去 3 8 C. 由古典型概率公式, 3 8 1 3 10 7 (); 15 C P A C 33 98 2 3 10 214 () 15 CC P A C . 【相关知识点】古典型概率公式：() i i A P A 有利于事件 的样本点数
26、 样本空间的总数 . 十、(本题满分 5 分)十、(本题满分 5 分) 【解析】(1) 由连续型随机变量边缘分布的定义,且lim0, ax x e (a为常数)有 X和Y的边缘分布函数分别为 0.5 1,0, ( )( ,)lim( , ) 0,0; x X y ex FxF xF x y x 若 若 0.5 1,0, ( )(, )lim( , ) 0,0. y Y x ey FyFyF x y y 若 若 由于对任意实数, x y都满足( , )( )( ) XY F x yFx Fx.因此X和Y相互独立. (2) 因为X和Y相互独立,所以有 0.1,0.10.10.1P XYP XP Y
27、 0.050.050.1 1(0.1)1(0.1) XY FFeee . 十一、(本题满分 7 分)十一、(本题满分 7 分) 【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有 关概率,通过( ) x表计算.但是正态分布的参数与 2 未知时,则应先根据题设条件求出 与 2 的值,再去计算有关事件的概率. 设X为考生的外语成绩,依题意有 2 ( ,)XN ,且72,但 2 未知.所以可标准 化得 72 (0,1) X N .由标准正态分布函数概率的计算公式,有 967224 96196110.023,P XP X 12 24 1 0.0230.977. 查表可得 24 2,12 ,即 2 (72,12 )XN, 72 608412 (1) 10.682 12 X PXP .
