1、1 1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】ln3 【解析】 利用被积函数的奇偶性,当积分区间关于原点对称,被积函数为奇函数时,积分为 0；被积函数为偶函数时,可以化为二倍的半区间上的积分.所以知 原式 222 222 220 2 222 xxx dxdxdx xxx 2 2 2 0 1 2 dx x 2 2 0 ln(2)ln6ln2ln3.x (2)【答案】1 【解析】根据导数的定义
2、,有 00 0 0 ()() ()lim x f xxf x fx x . 所以由此题极限的形式可构造导数定义的形式,从而求得极限值.由于 00 0 (2 )() lim x f xxf xx x 0000 0 (2 )()()() lim x f xxf xf xxf x x 0000 00 00 (2 )()()() ( 2)limlim2()()1. 2 xx f xxf xf xxf x fxfx xx 所以原式 0 00 1 lim1 (2 )()1 x x f xxf xx . (3)【答案】 sin 2 xy xy yex y xey 【解析】将方程 2 cos xy eyx看成
3、关于x的恒等式,即y看作x的函数. 方程两边对x求导,得 sin ()2sin 2 xy xy xy yex eyxyyyxy xey . 【相关知识点】两函数乘积的求导公式：( )( )( )( )( )( )f xg xfxg xf xg x . 2 (4)【答案】 1 2 1 1 000 1 000 1 000 1 000 n n a a a a 【解析】由分块矩阵求逆的运算性质,有公式 1 1 1 00 00 AB BA , 且 1 1 1 2 2 1 1 1 n n a a a a a a 所以,本题对A分块后可得 1 1 2 1 1 000 1 000 1 000 1 000 n
4、n a a A a a . (5)【答案】 9 64 【解析】已知随机变量X的概率密度,所以概率 1 2 0 11 2 24 P Xxdx ,求得二项分 布的概率参数后,故 1 (3, ) 4 YB. 由二项分布的概率计算公式,所求概率为 2 2 3 139 2 4464 P YC . 【相关知识点】二项分布的概率计算公式： 3 若( , )YB n p,则(1) kkn k n P YkC pp ,0,1,kn, 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(B) 【解析】本题是关于求渐近线的
5、问题. 由于 2 1 2 1 limarctan (1)(2)4 x x xx e xx , 故 4 y 为该曲线的一条水平渐近线. 又 2 1 2 0 1 limarctan (1)(2) x x xx e xx . 故0 x 为该曲线的一条垂直渐近线,所以该曲线的渐近线有两条. 故本题应选(B). 【相关知识点】水平渐近线：若有lim( ) x f xa ,则ya为水平渐近线； 铅直渐近线：若有lim( ) xa f x ,则xa为铅直渐近线； 斜渐近线：若有 ( ) lim,lim ( ) xx f x abf xax x 存在且不为,则yaxb为斜渐 近线. (2)【答案】(C) 【解
6、析】考查取绝对值后的级数.因 22 22 2 ( 1) |11111 2222 n n nn a aa nn n , (第一个不等式是由 22 1 0,0,() 2 ababab得到的.) 又 2 1 n n a 收敛, 2 1 1 2 n n 收敛,(此为p级数： 1 1 p n n 当1p 时收敛；当1p 时发散.) 所以 2 2 1 11 22 n n a n 收敛,由比较判别法,得 2 1 ( 1) | n n n a n 收敛. 故原级数绝对收敛,因此选(C). (3)【答案】(C) 【解析】由公式()min( ( ), ( )r ABr A r B,若A可逆,则 1 ()( )()
7、()()r ABr Br EBr AABr AB . 从而()( )r ABr B,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩,所以选(C). 4 (4)【答案】(D) 【解析】事实上,当0( )1P B时,(|)(|)P A BP A B是事件A与B独立的充分必要 条件,证明如下： 若(|)(|)P A BP A B, ,则 ()() ( )1( ) P ABP AB P BP B ,()( ) ()( ) ()P ABP B P ABP B P AB, ()( ) ()()( ) ( )P ABP BP ABP ABP B P A, 由独立的定义,即得A与B相互独立. 若A与B相互独立,直接应用乘
8、法公式可以证明(|)(|)P A BP A B. (|)1(|)(|)P A BP A BP A B . 由于事件B的发生与否不影响事件A发生的概率,直观上可以判断A和B相互独立. 所以本题选(D). (5)【答案】(B) 【解析】 由于 12 , n XXX均服从正态分布 2 ( ,)N ,根据抽样分布知识与t分布的应 用模式可知 (0,1) X N n ,其中 1 1 n i i XX n , 2 2 1 2 () (1) n i i XX n , 2 1 (1). 1 () 1 n i i Xn t n XX n 即 2 2 1 (1) 1 () 1(1) n i i XX t n S
9、XX nn n . 因为t分布的典型模式是:设(0,1)XN, 2( ) Yn,且,X Y相互独立,则随机变量 / X T Y n 服从自由度为n的t分布,记作( )Tt n. 因此应选(B). 三、(本题满分 6 分)三、(本题满分 6 分) 【解析】方法 1：方法 1：由 22 1xyxy,配完全方得 22 113 222 xy . 5 令 11 cos ,sin 22 xryr,引入极坐标系( , )r,则区域为 3 ( , ) 02 ,0 2 Drr . 故 3 2 2 00 ()(1cossin ) D xy dxdydrrrdr 22 00 313 (cossin ) 422 dd
10、 2 2 0 0 3133 sincos 4222 d . 方法 2：方法 2：由 22 1xyxy,配完全方得 22 113 222 xy . 引入坐标轴平移变换： 11 , 22 uxvy则在新的直角坐标系中区域D变为圆域 22 1 3 ( , )| 2 Du vuv . 而1xyuv ,则有dxdydudv,代入即得 1111 ()(1) DDDDD xy dxdyuvdudvududvvdudvdudv . 由于区域 1 D关于v轴对称,被积函数u是奇函数,从而 1 0 D ududv . 同理可得 1 0 D vdudv , 又 1 1 3 2 D dudvD , 故 3 () 2
11、D xy dxdy . 四、(本题满分 5 分)四、(本题满分 5 分) 【解析】先解出( )y x,此方程为常系数二阶线性齐次方程,用特征方程法求解. 方程440yyy的特征方程为 2 440,解得 12 2 . 故原方程的通解为 2 12 () x yCC x e. 由初始条件(0)2,(0)4y y 得 12 2,0,CC 6 因此,微分方程的特解为 2 2 x ye. 再求积分即得 2 00 ( )2 x y x dxedx 22 00 lim2lim1 bb xx bb edxe . 【相关知识点】用特征方程法求解常系数二阶线性齐次方程0ypyqy： 首先写出方程0ypyqy的特征方
12、程： 2 0rprq,在复数域内解出两个特 征根 12 ,r r； 分三种情况： (1)两个不相等的实数根 12 ,r r,则通解为 12 12 ; rxr x yC eC e (2)两个相等的实数根 12 rr,则通解为 1 12 ; rx yCC x e (3)一对共轭复根 1,2 ri,则通解为 12 cossin. x yeCxCx 其中 12 ,C C为常数. 五、(本题满分 5 分)五、(本题满分 5 分) 【解析】由复合函数求导法,首先求 f x ,由题设可得 22 222 1 2 arctan 1 1 fyxyy x xxxy y x x y 23 2222 2 arctan2
13、 arctan yx yyy xxy xxyxyx . 再对y求偏导数即得 2222 22222 212 11 1 fxxxy x yxxyxy y x . 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数( , ),( , )ux y vx y都在点( , )x y具 有对x及对y的偏导数,函数( , )zf u v在对应点( , )u v具有连续偏导数,则复合函数 ( ( , ),( , )zfx yx y在点( , )x y的两个偏导数存在,且有 7 12 zzuzvuv ff xuxv xxx ； 12 zzuzvuv ff yuyv yyy . 六、(本题满分 5 分)六、(本题满分 5
14、 分) 【解析】运用换元法,令 nn xtu,则 11 00 1 ( )()( )( )(). n xx nnnnn F xtf xtdtf u duF xxf x n 由于 2 0 ( ) lim n x F x x 为“ 0 0 ”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,运用洛必达 法则,可得 1 22121 000 ( )( )() limlimlim 22 nn nnn xxx F xF xxf x xnxnx 00 1()1()(0) limlim 220 nn nn xx f xf xf nxnx , 由导数的定义,有原式 1 (0) 2 f n . 【相关知识点】对积分上限
15、的函数的求导公式： 若 ( ) ( ) ( )( ) t t F tf x dx ,( ) t,( ) t均一阶可导,则 ( )( )( )( )( )F ttfttft . 七、(本题满分 8 分)七、(本题满分 8 分) 【解析】利用 00 (,)xy在两条曲线上及两曲线在 00 (,)xy处切线斜率相等列出三个方程,由此, 可求出 00 ,a xy,然后利用旋转体体积公式 2( ) b a fx dx求出 x V. (1) 过曲线上已知点 00 (,)xy的切线方程为 00 ()yyk xx,其中,当 0 ()y x存在时, 0 ()ky x. 由ya x知 2 a y x .由lnyx
16、知 1 2 y x . 由于两曲线在 00 (,)xy处有公共切线,可见 0 0 1 22 a xx ,得 0 2 1 x a . 8 将 0 2 1 x a 分别代入两曲线方程,有 00 222 111 ln1lnyay aaa . 于是 2 0 2 11 ,axe ea , 从而切点为 2 (,1)e. (2) 将曲线表成y是x的函数,V是两个旋转体的体积之差,套用旋转体体积公式,可得 旋转体体积为 222 2222 011 1 ()(ln)ln 24 eee x Vxdxxdxexdx e 2 22 222 11 1 ln2ln 24222 e ee exxxdxex . 【相关知识点】
17、由连续曲线( )yf x、直线,xa xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋 转一周所得的旋转体体积为： 2( ) b a Vfx dx . 八、(本题满分 6 分)八、(本题满分 6 分) 【解析】方法 1:方法 1: 22 ( )()( )( )1 ( )( )()( )( ) fx xaf xf a F xfx xaf xf a xaxa , 令( )( )()( )( )(),xfx xaf xf a xa 由( )( )()( )( )()( )0(),xfx xafxfxxa fxxa 知( )x在, a 上单调上升,于是( )( )0 xa. 故 2 ( ) ( )0 x F x x
18、a . 所以( )F x在, a 内单调增加. 方法 2:方法 2: 2 ( )()( )( )1( )( ) ( )( ) fx xaf xf af xf a F xfx xaxa xa . 由拉格朗日中值定理知 ( )( ) ( ) f xf a f xa ,()ax. 于是有 1 ( )( )( )F xfxf xa . 由( )0fx知( )fx在, a 上单调增,从而( )( )fxf,故( )0F x. 9 于是( )F x在, a 内单调增加. 【相关知识点】1.分式求导数公式： 2 uu vuv vv 2.拉格朗日中值定理：如果函数( )f x满足在闭区间 , a b上连续；在
19、开区间, a b内可导, 那么在, a b内至少有一点()ab,使等式( )( )( )()f bf afba成立. 九、(本题满分 11 分)九、(本题满分 11 分) 【解析】(1)因为增广矩阵A的行列式是范德蒙行列式, 1234 ,a a a a两两不相等, 则有 213141324243 ()()()()()()0Aaaaaaaaaaaaa, 故( )4r A .而系数矩阵A的秩( )3r A ,所以方程组无解. (2)当 1324 ,(0)aak aak k 时,方程组同解于 23 123 23 123 , . xkxk xk xkxk xk 因为 1 20 1 k k k ,知(
20、)( )2r Ar A. 由( )321nr A,知导出组0Ax 的基础解系含有 1 个解向量,即解空间的维数 为 1. 由解的结构和解的性质, 12 112 110 112 是0Ax 的基础解系. 于是方程组的通解为 1 12 10 12 kk ,其中k为任意常数. 【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理： 设A是m n矩阵,线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广 矩阵AA b的秩,即( )( )r Ar A.(或者说,b可由A的列向量 12 , n 线表出,亦 等同于 12 , n 与 12 , n b 是等价向量组) 设A是m n矩阵,线性方程组Axb,则 1
21、0 （1）有唯一解( )( ).r Ar An （2）有无穷多解( )( ).r Ar An （3）无解( ) 1( ).r Ar A b不能由A的列向量 12 , n 线表出. 2.解的结构：若 1 、 2 是对应齐次线性方程组0Ax 的基础解系,知Axb的通解形 式为 1 122 ,kk其中 12 , 是0Ax 的基础解系,是Axb的一个特解. 3.解的性质：如果 12 , 是0Ax 的两个解,则其线性组合 1 122 kk仍是0Ax 的 解；如果是Axb的一个解,是0Ax 的一个解,则仍是Axb的解. 十、(本题满分 8 分)十、(本题满分 8 分) 【解析】由A的特征方程,按照第二列展
22、开,有 2 01 1 1(1)(1) (1)0 1 10 EAxy , 得到A的特征值为 123 1,1 . 由题设有三个线性无关的特征向量,因此,1必有两个线性无关的特征向量, 从而()1r EA.这样才能保证方程组()0EA X解空间的维数是 2, 即有两个线性无关的解向量. 由初等行变换,将EA第一行加到第三行上,第一行乘以x后加到第二行上有 101101 000 101000 EAxyxy , 由()1r EA,得x和y必须满足条件0 xy. 十一、(本题满分 8 分)十一、(本题满分 8 分) 【解析】记 114223 ,YX XYX X则 12, XYY随机变量 1 Y和 2 Y相
23、互独立且同分布, 由A与B独立可得出()( ) ( )P ABP A P B,故 1141414 111,1110.16,P YP X XP XXP XP X 11 11 0110.84P YP Y . 由行列式的计算公式,随机变量 12, XYY有三个可能取值：1,0,1. 1212 10,1010.84 0.160.1344,P XP YYP YP Y 1212 11,0100.1344,P XP YYP YP Y 01110.7312.P XP XP X 所求的行列式的概率分布列于下表: X101 P Xx 0.13440.73120.1344 十二、(本题满分 8 分)十二、(本题满分
24、 8 分) 【解析】依据数学期望的计算公式及一般正态分布的标准化方法,有 ( )10201012512E TP XPXP X (10)20(12)(10)51(12) 25 (12)21 (10)5. 此时数学期望依赖于参数,为使其达到最大值,令其一阶导数为 0,有 22 (10)(12) 22 ( )1 25 (12)21 (10)2125, 2 dE T ee d 令 ( ) 0 dE T d ,得 22 (10)(12) 22 2125 0 22 ee , 即 22 (10)(12) 22 2125 22 ee . 解上面的方程得 0 125 11ln10.9. 221 得到唯一驻点 0 10.9,因为此问题是实际问题,所以平均利润函数必然有最大值,而 且这个最大值是唯一的. 由题意知,当 0 10.9毫米时,平均利润最大.
