1、高二数学（理科）试题第 1 页 共 11 页 雅安市 20202021 学年下期期末检测高中二年级 数数 学（理科）学（理科） 试试 题题 （本试卷满分（本试卷满分 150150 分，答题时间分，答题时间 120120 分钟）分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上, 并检查条形码粘贴是否正确. 2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用 0.5 毫米黑色墨 水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答 题无效. 3.考试结束后，将答题卡收回. 一一、选择题选择题（本
2、大题共本大题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分）. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有 一个是符合题目要求的一个是符合题目要求的. . 1.已知复数 3 1 2 i z ，则在复平面内 z 对应的点的坐标为 A.) 1 , 1 (B.) 1, 1 ( C.) 1 , 1(D.) 1, 1( 2. 命题“ 2 00 0,0 xx”的否定是 A. 2 00 0,0 xxB.0, 0 2 xxC. 2 00 0,0 xxD. 2 0,0 xx 3.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中周髀算经 九章算术 孙子算经 海 岛算经 缉古算经有着
3、丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这 5 部专著中 有 3 部产生于汉.魏.晋.南北朝时期.现拟从这 5 部专著中选择 2 部作为学生课外兴趣拓展参考 书目，则所选 2 部专著中至少有一部是汉.魏.晋.南北朝时期专著的概率为 A. 5 3 B. 5 4 C. 10 9 D. 10 7 4.若命题, 3:bap命题1:aq且2b，则q是p的 A.充分不必要条件B.必要不充分C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 高二数学（理科）试题第 2 页 共 11 页 5.若随机变量 X 的分布列为 则 X 的数学期望 E(X) A.2a2bB.2abC. 2 5 D. 3 6. 6 2) 2
4、( x x的展开式中的常数项是 A.240B.60C.240D.60 7.在某项测量中，测得变量），（ 2 2N)0（.若在)3 ,（内取值的概率为0.8，则 在），（ 32内的取值的概率为 A.1 . 0B.2 . 0C.3 . 0D.4 . 0 8.设某项试验的成功率是失败率的 3 倍，用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数，则 D(X) 等于 A. 4 1 B. 3 1 C. 4 3 D. 16 3 9. 已知平面的一个法向量) 1, 2 , 2(n ，点)3, 1 , 0(A在平面内，则点)2, 3, 2(p到平面 的距离为 A.3B.17C. 3 5 D.21 10.若xmxx
5、fln)( 2 在），（2是增函数，则实数m的取值范围为 A. , 4B. , 4C.4,D.4, 11.甲乙两人独立地从五门选修课中各自选两门进行学习，记两人所选选修课程相同的门数为 ，则)(E为 A. 2 3 B. 1C. 5 6 D . 5 4 X234 paba 高二数学（理科）试题第 3 页 共 11 页 12. 已知函数 ln ( ) x f xa x ， 3(ln) ( ) ln xax g x x ，若方程( )( )f xg x仅有 1 个实数解， 则实数 a 的取值范围是 A.(,e)B. 1 ,0( e C.(,0)(e,)D. e 1 0 , 二、填空题二、填空题( (
6、本大题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分).).将答案填在答题卡相应的横线上将答案填在答题卡相应的横线上. . 13.曲线xxxfcos)(在点)0(, 0(f处的切线方程为. 14.A 家庭有一对夫妻和两个女儿，B 家庭有一对夫妻和两个儿子，共 8 人，一起去游乐场游 玩，坐在共有 8 个座位的一排座位上，A 家庭的两个女儿要相邻，B 家庭的两个儿子要相邻， 并且为了安全起见，两位爸爸要坐在两端.那么这 8 人的排座方法种数为. 15.为了调查高中学生参加课外兴趣活动选篮球和舞蹈是否与性别有关， 现随机调查了 30 名学 生，得到如下22列联表
7、： 根据表中的数据，及观测值 2 K（其中 )()()( )( 2 2 dbcadcba bcadn K ），参考数据： 则在犯错误的概率不超过前提 下，认为选择舞蹈与性别有关. 16.已知函数)(xf是定义在 R 上的奇函数， 其导函数为)( xf， 当0 x时，0)()(xf xxf， 若0) 1(f则不等式 0 2 )( x xf 的解集为. 三、解答题三、解答题( (本大题共本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分) )解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 篮球舞蹈合计 男13720 女2810 合计151530 )( 0 2 kKP0
8、.050.0250.010 0 k3.8415.0246.635 高二数学（理科）试题第 4 页 共 11 页 17（10 分）已知函数44 3 1 )( 3 xxxf （1）求函数)(xf的极值； （2）求函数)(xf在)3 , 0(上的值域. 18.（12 分）某校数学教研组，为更好地提高该校高三学生圆锥曲线的选填题的得分率， 对学生圆锥曲线的选填题的训练运用最新的教育技术做了更好的创新，其学校教务处为 了检测其质量指标，从中抽取了 100 名学生的训练成绩（总分 50 分），经统计质量指标得到 如图所示的频率分布直方图. （1）求所抽取的样本的众数、中位数、平均数; （2）将频率视为概率
9、，从该校高三学生中任意抽 取 3 名学生，记这 3 个学生圆锥曲线的选填题的 训练的质量指标值位于5030，内的人数为， 求 的分布列和数学期望. 19.（12 分）如图，面 BCC1B1是某圆柱的轴截面(过上、下底面圆心连线的截面)，线段 AA1 是该圆柱的一条母线，BC2AB，点 D 为 AA1的中点. (1)当点 E 为棱 BC 的中点时，求证：AE/平面 BC1D； (2)当轴截面 BCC1B1是边长为 2 的正方形时，求平面 BDB1 与平面 BC1D 所成角的正弦值. 20.（12 分）某 5G 科技公司对某款 5G 产品在 2021 年 1 月至 4 月的月销售量及月销售单价进
10、高二数学（理科）试题第 5 页 共 11 页 行了调查，月销售单价 x 和月销售量 y 之间的一组数据如下表所示： 月份1234 月销售单价（百元）98.88.68.4 月销售量（万件)73798385 (1)由散点图可知变量 y 与 x 具有线性相关关系， 根据 1 月至 4 月的数据， 求出 y 关于 x 的回归 直线方程 axby ； (2)预计在今后的销售中，月销售量与月销售单价仍然服从(1)中的关系，若该种产品的成本是 350 元/件，则该产品的月销售单价应定为多少元才能获得最大月利润?(注：利润销售收入 成本) 附参考公式和数据： 1 2 1 ()() , () n ii i n
11、i i xxyy baybx xx . 21.（12 分）已知命题 p：关于x的不等式1 32 2 xx a的解集为13xxx或 ，命题 q：函 数)22lg()( 22 xxaxf的定义域为 R，若qp 为假命题，qp为真命题，求实数a的 取值范围. 22.（12 分）设函数xaxxf)2(ln)()(Ra （1）讨论函数 f x的单调性； （2）令2)2ln()()( max axfah， a emaaag) 1ln()(，对于任意 , 0 1 a， , 2 2 a，总有)()( 21 ahag成立，求实数m的取值范围. 高二数学（理科）试题第 6 页 共 11 页 雅安市 2020202
12、1 学年下期期末检测高中二年级 数学（理科）参考答案及评分标准数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 3 分，共分，共 6060 分）分） 123456789101112 BDCADBCDCBDD 二、填空题二、填空题（每题（每题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13.xy 14. 192 种15.0.02516.1102xxxx或或 三、解答题三、解答题 17.（10 分）解：（1）4)( 2 xxf，.1 分 令0)( xf22xx或.2 分 所以函数)(xf在2-，和，2上单调递增，.3 分 在22- ，上单调递减。.4 分 极大值 )(xf= 3
13、 28 )2(f， 3 4 )2()( fxf 极小值 .5 分 （2）由（1）知)(xf在20，上单调递减，在32，上单调递增，.7 分 又因为1)3(, 4)0(ff，.9 分 )(xf在上的值域为：4 , 3 4 (.10 分 高二数学（理科）试题第 7 页 共 11 页 18.（12 分）解：（1）从样本数据的频率分布直方图可以估计样本的 众数：25；.1 分 平均数： )45015. 035025. 02503. 01502. 0501. 0(10 x27.25；.3 分 设中位数为a，则：)20(03. 01002. 01001. 05 . 0a 所以 3 80 a，因此中位数为
14、3 80 。.5 分 （2）选填题的训练的质量指标值位于5030，内的概率为： 4 . 0)015. 0025. 0(10；.6 分 又因为X的可能取值为：0，1，2，3 所以 125 27 ) 5 3 ()0( 3 xp； 21 3 ) 5 3 )( 5 2 () 1(Cxp 125 54 ； 125 36 ) 5 3 () 5 2 ()2( 22 3 Cxp； 3 ) 5 2 ()3(xp 125 8 ； .8 分 所以X的分别列为： X0123 )(XP 125 27 125 54 125 36 125 8 .10 分 所以 125 8 3 125 36 2 125 54 1 125 2
15、7 0)(XE 5 6 .12 分 高二数学（理科）试题第 8 页 共 11 页 19.（12 分）（1）证明：取 1 BC中点F，连接DFEF, 1 2 1 /CCEF,又因为D为 1 AA中点， 1 2 1 /CCAD.2 分 ADEF/,所以四边形AEDF为平行四边形，DFAE/,.4 分 又因为DBCAE 1 平面,DBCDF 1 平面,DBCAE 1 /平面.5 分 （2）解： 由题意知 1 ,AAACAB两两垂直， 以A为原点， 以AC,AB, 1 AA,为轴轴，轴，zyx, 建立空间直角坐标系； 又因为2 1 BBBC,且ABBC2,所以3, 1ACAB,. 所以) 1, 1,
16、0 (BD, ) 2 , 1, 3( 1 BC ,.7 分 设平面 DBC1 的一个法向量m ),zyx（ ，则： 0 0 1 BDm BCm , 所以 0 023 zy zyx ) 3, 3, 1(m ，.9 分 又因为 ），（003AC 是平面DBB1的一个法向量， 所以 3331 )0 , 0 , 3()3, 3, 1( ,cos ACm 7 7 ，.11 分 所以平面DBB1与平面DBC1所成角的正弦值为 7 42 .12 分 20.（12 分）解：)4 . 86 . 88 . 89( 4 1 x8.7， .1 分 高二数学（理科）试题第 9 页 共 11 页 )58389773( 4
17、 1 y80.2 分 4 1 2 4 1 )( )( i i i ii xx yyxx b= 2222 )3 . 0() 1 . 0(1 . 03 . 0 5)3 . 0(3)0.1() 1(1 . 0)70.3 （ 0.2 4- -20 .4 分 xbya 7 . 8)02(80254.6 分 所以y关于x的线性回归直线方程为：54202xy.8 分 （2）设利润为 Z， 则：)54202)(5 . 3(xxz88924302 2 xx.10 分 所 以 当8.1x时 ， 即 月 销 售 单 价 应 定 为 810 元 时 ， 才 能 获 得 最 大 月 利 润。.12 分 21.（12 分
18、）解：由 P 命题知：10 a，. 由q命题知：当0a时，不符合题意，所以0a；.2 分 当0a时，084 2 a， 2 2 2 2 aa或.4 分 所以综上所述： 2 2 2 2 aa或.6 分 又qp为假命题，qp为真命题，所以 高二数学（理科）试题第 10 页 共 11 页 当p假q真时，1 2 2 aa或；.8 分 当p真q假时， 2 2 0 a；.10 分 所以，综上所述a的取值范围为： ) 2 2 ,( 2 2 , 0(，1.12 分 22.（12 分）解：（1）定义域：，0，.1 分 因为)2( 1 )( a x xf x x)2a (-1 ，所以.2 分 当02a时，即2a时，
19、0)( xf恒成立，所有)(xf在（0，+）上单调递增; .3 分 当02 a时，即2a时，令0)( xf，则 2 1 a x，所以)(xf在) 2 1 , 0( a 上单调 递增，在), 2 1 ( a 上单调递减.4 分 （2）由（1）可知 当2a时， ) 2 1 ()( max a fxf) 2 1 ()2( 2 1 ln a a a 1 2 1 ln a ，.5 分 12)2ln()()( max axfah，.6 分 对于任意 , 0 1 a，, 2 2 a，总有)()( 21 ahag成立， 等价于, 01)(在xg恒成立.7 分 高二数学（理科）试题第 11 页 共 11 页 因
20、为 x emxxxg) 1ln()(，所以. 1 1 )( m x exg x .8 分 若2m时，易证, 1 xex所以. 1 1 )( m x exg x mm x x 2 1 1 10， 即)(xg在，0上单调递增，1)0()( gxg恒成立，符合题意.9 分 若2m时，设, 1 1 )( )(m x exgxk x 0 ) 1( 1) 1( ) 1( 1 )( 2 2 2 x ex x exk x x ， 所以)( xg在，0上单 调递增 ，且02)0( mg，则 存在), 0( 0 x，使 得 0)( 0 xg，所以)(xg在), 0( 0 x上单调递减，在),( 0 x上单调递增，又1)0()( 0 gxg， 所以1)(xg不恒成立，不符合题意.11 分 综上所述，所求实数m的取值范围是2-，.12 分
