1、讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第十二讲教师版Page 1 of 8 第十二讲第十二讲牛吃草问题牛吃草问题（一）（一） 知识说明知识说明 英国伟大的科学家牛顿，曾经写过一本数学书。书中有一道非常有名的、关于牛在牧场上吃草的题英国伟大的科学家牛顿，曾经写过一本数学书。书中有一道非常有名的、关于牛在牧场上吃草的题 目目，后来人们就把这类题目称为后来人们就把这类题目称为“牛顿问题牛顿问题” ，也就是我们今天要学的牛吃草问题也就是我们今天要学的牛吃草问题。牛吃草问题实际上是牛吃草问题实际上是 在教我们一种分
2、析题的思想，这种题的类型和解题思想是小升初的考试热点，所以我们安排了两讲来讲在教我们一种分析题的思想，这种题的类型和解题思想是小升初的考试热点，所以我们安排了两讲来讲 解解“牛吃草牛吃草”为的是让大家能把这块知识学透。为的是让大家能把这块知识学透。 “牛顿问题牛顿问题”是这样的是这样的： “有一牧场，已知养牛有一牧场，已知养牛 27 头，头，6 天把草吃尽；养牛天把草吃尽；养牛 23 头，头，9 天把草吃尽。天把草吃尽。 如果养牛如果养牛 21 头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。 ”分析本题就给了牛分析本题
3、就给了牛 的头数的头数，和吃草的时间和吃草的时间。设想如果题目给我们操场原有的草量和草的生长速度那么题目就变得简单多了设想如果题目给我们操场原有的草量和草的生长速度那么题目就变得简单多了， 所以需要我们通过设每头牛每天的吃草速度为所以需要我们通过设每头牛每天的吃草速度为“1”来求这两个量。来求这两个量。 同一片牧场中的牛吃草问题同一片牧场中的牛吃草问题，一般的解法一般的解法可总结为可总结为： 1、草的生长速度草的生长速度（对应牛的头数对应牛的头数较多天数较多天数对应牛的头数对应牛的头数较少天数较少天数）（较多天数较多天数较少天数较少天数） 2、原来的草量原来的草量对应牛的头数对应牛的头数吃的天
4、数草的生长速度吃的天数草的生长速度吃的天数吃的天数 3、吃的吃的时间时间原来的草量原来的草量（牛的头数草的生长速度）（牛的头数草的生长速度） 4、牛的头数原来的草量牛的头数原来的草量吃的天吃的天数数的生长速度的生长速度 关于关于牛吃草牛吃草这样的题有很多的变例，像抽水问题，超市开口人等待问题，扶梯行走这样的题有很多的变例，像抽水问题，超市开口人等待问题，扶梯行走，行程中的追及，行程中的追及 问题问题等等等等，所以，所以不提倡大家生搬这个公来做题，要理解解题的思路和解题的目的，用画图或列表法来解不提倡大家生搬这个公来做题，要理解解题的思路和解题的目的，用画图或列表法来解 题。才能做到举一反三。题
5、。才能做到举一反三。 分析分析：设头牛天的吃草量为设头牛天的吃草量为“” ，摘录条件将它们转化为如下形式方便分析摘录条件将它们转化为如下形式方便分析（这种方法叫列表分析这种方法叫列表分析） 2727 头牛头牛6 6 天天27276 6162162 ：原有草量：原有草量6 6 天生长的草量天生长的草量 2323 头牛头牛9 9 天天23239 9207207 ：原有草量：原有草量9 9 天生长的草量天生长的草量 从上易发现：从上易发现：9 96 63 3 天生长的草量天生长的草量2072071621624545，即，即 1 1 天生长的草量天生长的草量45453 31515； 那么原有草量：那么
6、原有草量：16216215156 67272 或或 20720715159 97272。 2121 头牛里头牛里，若有若有 1515 头牛去吃每天生长的草头牛去吃每天生长的草，剩下剩下 6 6 头牛需要头牛需要 72726 61212（天天）可将原有草吃完可将原有草吃完，即即它可它可 供供 2121 头头牛吃牛吃 1212 天。天。 想挑战吗？ 有一牧场有一牧场，已知养牛已知养牛 27 头头，6 天把草吃尽天把草吃尽；养牛养牛 23 头头，9 天把草吃尽天把草吃尽。如如 果养果养牛牛 21 头头， 那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上
7、的草是不断生长的。 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第十二讲教师版Page 2 of 8 【考考你【考考你】 （实验中学阶段测试）迅速的做下面的题看看谁会的方法最好？（实验中学阶段测试）迅速的做下面的题看看谁会的方法最好？ （1）有一堆割下来的青草可供有一堆割下来的青草可供 4545 头牛吃头牛吃 2020 天，那么可供天，那么可供 3636 头牛吃多少天头牛吃多少天? ? （2）有一堆割下来的青草可供有一堆割下来的青草可供 2020 头牛吃头牛吃 l l 5 5 天，若天，若一一头牛每天的吃草量相
8、当于头牛每天的吃草量相当于 4 4 头羊的吃草量，那么头羊的吃草量，那么 这堆青草可供这堆青草可供 120120 头羊吃多少天头羊吃多少天? ? 分析：设头牛天的吃草量为分析：设头牛天的吃草量为“” ； （1 1）那么这堆青草的总量为：）那么这堆青草的总量为：；可供头牛吃：；可供头牛吃：（天（天） 。 （2）那么可供那么可供 2020 头牛吃头牛吃 l l 5 5 天天的草量是：的草量是：；这堆青草可供这堆青草可供 120120 头羊头羊，也就是，也就是 （头）牛吃的天数是：（头）牛吃的天数是：（天（天） 。 专题精讲专题精讲 I.有牛的牛吃草问题有牛的牛吃草问题 思路思路：牛吃草关键是要求两
9、个量牛吃草关键是要求两个量： （1）草的生长速度（）草的生长速度（2）原有草量）原有草量 【例【例 1】 牧场上长满牧草牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长每天牧草都匀速生长。这片牧场可供这片牧场可供 10 头牛吃头牛吃 20 天天，可供可供 15 头牛吃头牛吃 10 天天。 供供 25 头牛可吃几天？头牛可吃几天？ 分析分析： （方法一）（方法一）设头牛天的吃草量为设头牛天的吃草量为“” ，摘录条件将它们转化为如下形式方便分析（这种方法，摘录条件将它们转化为如下形式方便分析（这种方法 叫列表分析）叫列表分析） 1010 头牛头牛2020 天天10102020200200 ：原有草量：原有草量2
10、020 天生长的草量天生长的草量 1515 头牛头牛1010 天天15151010150150 ：原有草量：原有草量1010 天生长的草量天生长的草量 从上易发现：从上易发现：202010101010 天生长的草量天生长的草量2002001501505050，即，即 1 1 天生长的草量天生长的草量505010105 5； 那么原有草量：那么原有草量：2002005 52020100100 或或 1501505 51010100100。 2525 头牛里，若有头牛里，若有 5 5 头牛去吃每天生长的草，剩下头牛去吃每天生长的草，剩下 2020 头牛需要头牛需要 10010020205 5（天）
11、可将原有草吃完，即（天）可将原有草吃完，即它它 可供可供 2525 头头牛吃牛吃 5 5 天。天。 （方法二）画图法：（方法二）画图法：从从右面右面的图可以看出：的图可以看出：10 头牛头牛 20 天吃的总草量比天吃的总草量比 15 头牛头牛 10 天吃的总草量多天吃的总草量多，多出部分多出部分 相当于相当于 10 天新生长出的草量天新生长出的草量。设设 1 头牛头牛 1 天吃天吃 1 份草份草， 则则10头 牛头 牛20天 比天 比15头 牛头 牛10天 多 吃天 多 吃 5010152010（份份） ，则这块牧场每天新长，则这块牧场每天新长 51050（份份）牧草牧草。在第一种情况中在第一
12、种情况中，20 天一共新天一共新 长 了长 了100205（ 份份 ） 牧 草 ， 而 牛 一 共 吃 了牧 草 ， 而 牛 一 共 吃 了 2002010（份份） ，说明原来有牧草说明原来有牧草100100200（份份） 。25 头牛每天消耗头牛每天消耗 25 份牧草份牧草，不仅将新长不仅将新长 的的 5 份吃完，还将从原有的牧草中消耗掉份吃完，还将从原有的牧草中消耗掉20525（份份） ，那么原有牧草可维持，那么原有牧草可维持520100（天天） ， 即可供即可供 25 头牛吃头牛吃 5 天。天。 【巩固】老师可以安排讲“你想挑战么？” 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇
13、乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第十二讲教师版Page 3 of 8 【例【例 2 2】 （三帆中学阶段测试（三帆中学阶段测试）有一块匀速生长的草场有一块匀速生长的草场，可供可供 1212 头牛吃头牛吃 2525 天天，或可供或可供 2424 头牛吃头牛吃 1010 天天. . 那么它可供那么它可供几几头头牛吃牛吃 2020 天天? ? 分析：设头牛天的吃草量为分析：设头牛天的吃草量为“” ，摘录条件将它们转化为如下形式方便分析，摘录条件将它们转化为如下形式方便分析 1212 头牛头牛2525 天天12122525300300 ：原有草量：原有草量2
14、525 天生长的草量天生长的草量 2424 头牛头牛1010 天天24241010240240 ：原有草量：原有草量1010 天生长的草量天生长的草量 从上易发现：从上易发现： 252510101515 天生长的草量天生长的草量3003002402406060，即，即 1 1 天生长的草量天生长的草量606015154 4； 那么原有草量：那么原有草量：2402404 41010200200； 2020 天里，共草场共提供草天里，共草场共提供草 2002004 42020280280，可以让，可以让 28028020201414（头）牛吃（头）牛吃 2020 天。天。 【例【例 3 3】 （三
15、帆中学阶段测试）（三帆中学阶段测试）由于天气逐渐冷起来，牧场上的草由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生不仅不生长，反而以固定的速度在减长，反而以固定的速度在减 少少. .已知某块草地上的已知某块草地上的草草可可供供 2020 头头牛牛吃吃 5 5 天天， 或或可供可供 1515 头牛吃头牛吃 6 6 天天. .照此计照此计算算， 可以供多少头牛吃可以供多少头牛吃 1010 天天? ? 分析：设头牛天的吃草量为分析：设头牛天的吃草量为“” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 2020 头牛头牛5 5 天天20205 5100100 ：原有草量：原有
16、草量5 5 天自然减少的草量天自然减少的草量 1515 头牛头牛6 6 天天15156 69090：原有草量：原有草量6 6 天自然减少的草量天自然减少的草量 从上容易发现：从上容易发现：1 1 天自然减少的草量天自然减少的草量1010； 那么原有草量：那么原有草量：1001005 51010150150；1010 天吃完需要牛的头数是：天吃完需要牛的头数是：150150101010105 5（头（头） 。 说明：本题草每天在减少，通过两组条件的比较，求出每天牧草的减少量，然后把牛看作两部分，一部 分是看得见的牛，一部分是看不见的牛“寒冷的化身” ，分别计算，最后求差。 【前铺】由于天气逐渐变
17、冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少.经计算，牧场上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 16 头牛吃 6 天.那么，可供 11 头牛吃几天? 分析：设头牛天的吃草量为“” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 20 头牛5 天205100 ：原有草量5 天自然减少的草量 16 头牛6 天16696：原有草量6 天自然减少的草量 从上易发现：1 天自然减少的草量100964 ； 那么原有草量：10054120； 若有 11 头牛来吃草，1 天草减少 11415；所以可供 11 头牛吃 120158（天） 。 【例【例 4 4】 （实验中学、三帆中学阶段测试）（实验中学、三帆中学阶段测试）一
18、片草地，可供一片草地，可供 5 5 头牛吃头牛吃 3030 天，或者可供天，或者可供 4 4 头牛吃头牛吃 4040 天，天， 如果如果 4 4 头牛吃头牛吃 3030 天，又增加了天，又增加了 2 2 头牛一起吃，还可以再吃几天头牛一起吃，还可以再吃几天? ? 分析：设头牛天的吃草量为分析：设头牛天的吃草量为“” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 5 5 头牛头牛3030 天天5 53030150150原有草量原有草量3030 天生长草量天生长草量 4 4 头牛头牛4040 天天4 44040160160原有草量原有草量4040 天生长草量天生
19、长草量 从上易发现：从上易发现：1 1 天生长的草量天生长的草量1 1；那么原有草量：；那么原有草量：1501503030120120； 如果如果 4 4 头牛吃头牛吃 3030 天天，那么将会吃去，那么将会吃去 1201203030 新生长草量新生长草量9090 原有草量；原有草量； 而后变成而后变成 6 6 头牛，原有还有头牛，原有还有 120-90120-903030 未吃掉，现在就相当于未吃掉，现在就相当于： “原有草量，每天生长草量，那原有草量，每天生长草量，那 么头牛吃几天可将它吃完？么头牛吃几天可将它吃完？”易得答案是：易得答案是：（）（）（天（天） 。 讲义是乐谱，学生是听众，
20、老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第十二讲教师版Page 4 of 8 【例【例 5 5】 （实验中学阶段测试（实验中学阶段测试）有一牧场有一牧场，1717 头牛头牛 3030 天可将草吃完天可将草吃完1919 头牛则头牛则 2424 天可以吃完天可以吃完现有若现有若 干头干头牛吃了牛吃了 6 6 天后天后， 卖掉了卖掉了 4 4 头牛头牛， 余下余下牛牛再吃两天便将草吃完再吃两天便将草吃完 问问： 原来有多原来有多少少头牛头牛吃草吃草( (草草均匀均匀生生长长)?)? 分析：设头牛天的吃草量为分析：设头牛天的吃草量为“”
21、，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 1717 头牛头牛3030 天天17173030510510原有草量原有草量3030 天生长草量天生长草量 1919 头牛头牛2424 天天19192424456456原有草量原有草量2424 天生长草量天生长草量 从上易发现：天生长草量，原有草量为：从上易发现：天生长草量，原有草量为：； 设设原来有原来有头牛头牛吃草，根据题意可得：（）吃草，根据题意可得：（）（）（）； 解得：（头解得：（头） 。所以。所以原来有原来有头牛头牛吃草。吃草。 【例【例 6 6】 （三帆中学阶段测试）（三帆中学阶段测试）一块匀速生长
22、的草地，可供一块匀速生长的草地，可供 1616 头牛吃头牛吃 2020 天或天或者者供供 100100 只羊吃只羊吃 1212 天天. .如如 果一头牛一天吃草量等于果一头牛一天吃草量等于 5 5 只羊一天的吃草只羊一天的吃草量量，那那么这块草地可供么这块草地可供 lOlO 头牛和头牛和 7575 只羊只羊一一起起吃多吃多少天少天? ? 分析：设头牛天的吃草量为分析：设头牛天的吃草量为“” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 1616 头牛头牛2020 天天16162020320320：原有草量：原有草量2020 天生长的草量天生长的草量 1001
23、00 只羊（只羊（2020 头牛）头牛）1212 天天20201212240240：原有草量：原有草量1212 天生长的草量天生长的草量 从上易发现：从上易发现：8 8（20201212）天生长的草量）天生长的草量3203202402408080，即，即 1 1 天生长的草量天生长的草量1010； 那么原有草量：那么原有草量：32032020201010120120； lOlO 头牛和头牛和 7575 只羊只羊 1 1 天一天一起起吃的草量，相当于吃的草量，相当于 2525 头牛一天吃的草量；头牛一天吃的草量； 2525 头牛中，若有头牛中，若有 1010 头牛去吃每天生长的草，那么剩下的头牛
24、去吃每天生长的草，那么剩下的 1515 头牛需要头牛需要 12012015158 8 天可以把原有草量吃天可以把原有草量吃 完，即完，即这块草地可供这块草地可供 lOlO 头牛和头牛和 7575 只羊只羊一一起起吃吃 8 8 天天。 【巩固】 （实验中学阶段测试）一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草 16 头牛可吃 15 天， 或者可供 100 只羊吃 6 天，而 4 只羊的吃草量相当于 l 头牛的吃草量，那么 8 头牛与 48 只羊一起吃，可 以吃多少天? 分析：设头牛天的吃草量为“” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 16 头牛15 天1615240：原有草量15 天生
25、长的草量 100 只羊（25 头牛）6 天256150： 原有草量6 天生长的草量 从上易发现：1 天生长的草量10；那么原有草量：15010690； 8 头牛与 48 只羊相当于 20 头牛的吃草量，其中 10 头牛去吃新生草，那么剩下的 10 头牛吃原有草 90 只 需 9 天，所以 8 头牛与 48 只羊一起吃，可以吃 9 天。 II. 牛吃草的变例牛吃草的变例 思路思路：关键是找到题中关键是找到题中“牛牛”和和“草草”分别是什么？分别是什么？ 【例【例 7】 画展画展 9 点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如点开门，但早有人来排队入场，从第一个观
26、众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如 果开果开 3 个入场口个入场口，9 点点 9 分就不再有人排队分就不再有人排队；如果开如果开 5 个入场口个入场口，9 点点 5 分就没有人排队分就没有人排队。求第一个观众求第一个观众 到达的时间。到达的时间。 分析分析：入场口为入场口为“牛牛” ， 开门前原有的观众为原有开门前原有的观众为原有“原有草量原有草量” ，每分钟来的观众为每分钟来的观众为“草草 的增长速度的增长速度” 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第十二讲教师版Page 5 of 8 设设每一个
27、入场口每分钟通过每一个入场口每分钟通过“1 1”份人，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析份人，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 3 3 个入场口个入场口9 9 分钟分钟3 39 92727 ：原有人：原有人9 9 分钟来的人分钟来的人 5 5 个入场口个入场口5 5 分钟分钟5 55 52525 ：原有人：原有人5 5 分钟来的人分钟来的人 从上易发现：从上易发现：4 4 分钟来的人分钟来的人272725252 2，即，即 1 1 分钟来的人分钟来的人0.50.5；那么原有的人：；那么原有的人：27279 90.50.522.522.5； 这些人来到画展，用时间这些人来到画展，用时间
28、 22.50.5=45（分（分） 。第一个观众到达的时间为。第一个观众到达的时间为 9 点点45 分分=8 点点 15 分。分。 说明：从表面是看这个问题与牛吃草问题相离很远，可谓风马牛不相及，但仔细体会，题目中每分钟来说明：从表面是看这个问题与牛吃草问题相离很远，可谓风马牛不相及，但仔细体会，题目中每分钟来 的观众一样多，类似的观众一样多，类似“草长的速度草长的速度” ；入场口类似；入场口类似“牛牛” ，问题就变成牛顿问题了。解决一个问题的方法，问题就变成牛顿问题了。解决一个问题的方法 往往能解决一类问题，关键在于是否掌握了方法的实质。往往能解决一类问题，关键在于是否掌握了方法的实质。 【前
29、铺】有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派 17 人去割草，30 天才能把草割完，如果派 19 人 去割草，则 24 天就能割完。如果需要 6 天割完，需要派多少人去割草？ 分析：设人天的割的草量为“” ，摘录条件将它们转化为如下形式方便分析 17 人30 天1730510 ：原有草量30 天生长的草量 19 人24 天1924456 ：原有草量24 天生长的草量 从上易发现：30246 天生长的草量51045654，即 1 天生长的草量5469； 那么原有草量：510930240 或 456924240。 6 天里，共草场共提供草 24096294，可以让 294649（个）人割 6 天。
30、 【例【例 8】 有一池水有一池水，池底有泉水不断涌出池底有泉水不断涌出，想要把水池水抽干想要把水池水抽干，10 台抽水机需要台抽水机需要 8 小时小时，8 台抽水机需台抽水机需 要要 12 小时，如果要用小时，如果要用 6 台抽水机，那么需抽多少小时？台抽水机，那么需抽多少小时？ 分析：设分析：设 1 1 根抽水管根抽水管 1 1 小时抽水的量为小时抽水的量为“1 1” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 1010 台抽水机台抽水机8 8 小时小时10108 880:80:原有水量原有水量 8 8 小时进水量小时进水量 8 8 台抽水机台抽水机1
31、212 小时小时8 8121296:96:原有水量原有水量1212 小时进水量小时进水量 从上易发现：从上易发现：4 4 小时进水量小时进水量969680801616，即，即 1 1 小时进水量小时进水量4 4；那么原有水量：；那么原有水量：80804 48 84848； 用用 6 6 台抽水机，若其中台抽水机，若其中 4 4 台抽水机去抽每小时进来的水，那么剩下的台抽水机去抽每小时进来的水，那么剩下的 2 2 台抽水机需要台抽水机需要 48482=242=24（小时（小时） 可将原有水抽完，即可将原有水抽完，即用用 6 6 台抽水机，需要台抽水机，需要 2424 小时将池中的水抽干。小时将池
32、中的水抽干。 【巩固 1】一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果 3 人淘水 40 分钟可以淘完； 6 人淘水 16 分钟可以把水淘完，那么，5 人淘水几分钟可以把水淘完? 分析：设人淘分钟淘出的水量是“1” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 3 人40 分钟340=120：原有水+40 分钟的进水 6 人16 分钟616=96 ：原有水+16 分钟的进水 从上易发现：24（=40-16）分钟的进水量=120-96=24，即：1 分钟的进水量=1； 那么原有水量：120-401=80； 5 人中有 1 人分钟可以把水淘完来淘每分钟的进水量 1 ，剩下 4 人需要 8
33、04=20（分钟）将把水淘完， 即 5 人淘水 20 【巩固 2】 （三帆中学阶段测试）一个水池有一根进水管不间断地进水，若有若干根相同的抽水管.若用 24 根抽水管抽水，6 小时即可把池中的水抽干；若用 21 根抽水管抽水，8 小时可将池中的水抽干：若用 16 根抽水管，需要几小时将池中的水抽干？ 分析：设 1 根抽水管 1 小时抽水的量为“1” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 24 根抽水管6 小时246144:原有水量6 小时进水量 21 根抽水管8 小时218168:原有水量8 小时进水量 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数
34、讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第十二讲教师版Page 6 of 8 从上易发现：2 小时进水量16814424，即 1 小时进水量12；那么原有水量：14461272； 用 16 根抽水管，若其中 12 根抽水管去抽每小时进来的水，那么剩下的 4 根抽水管需要 724=18（小时） 可将原有水抽完，即用 16 桶抽水管，需要 18 小时将池中的水抽干。 【例【例 9】 甲甲、乙乙、丙三个仓库丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和甲仓库用一台皮带输送机和 12 个工人个工人，5 小小 时可将甲仓库内面粉搬完时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一
35、台皮带输送机和乙仓库用一台皮带输送机和 28 个工人个工人，3 小时可将仓库内面粉搬完小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库丙仓库 现有现有 2 台皮带输送机，如果要用台皮带输送机，如果要用 2 小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？（每个工人每小时小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？（每个工人每小时 工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉）工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉） 分析：设分析：设 1 1 人人 1 1 小时搬运的份数为小时搬运的份数为“1 1” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析，摘
36、录条件，将它们转化为如下形式方便分析 甲：甲：1212 人人5 5 小时小时5 5 小时一台皮带运输机工作量小时一台皮带运输机工作量12125 5面粉总量面粉总量 乙乙: : 2828 人人3 3 小时小时3 3 小时一台皮带运输机工作量小时一台皮带运输机工作量28283 3面粉总量面粉总量 所以所以 5 5 小时一台皮带运输机工作量小时一台皮带运输机工作量12125 53 3 小时一台皮带运输机工作量小时一台皮带运输机工作量28283 3，即，即 1 1 小时一台皮带小时一台皮带 运输机工作量运输机工作量( (848460)60) 2 21212，存放的面粉总量为存放的面粉总量为： 1212
37、5 512125 5120120，那么那么, ,丙仓库现有丙仓库现有 2 台皮台皮 带输送机，如果要用带输送机，如果要用 2 小时把丙仓库内面粉搬完小时把丙仓库内面粉搬完需要：需要：1202 212122 23636（人（人） 。 【巩固】 （三帆中学）自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子从扶梯上楼.已知男孩每 分钟走 20 级阶梯，女孩每分钟走 15 级阶梯，结果男孩用了 5 分钟到达楼上，女孩用了 6 分钟到达楼上. 问：该扶梯共有多少级? 分析：男孩：每分钟 20 级5 分钟2055 分钟扶梯自动运行的台阶数扶梯台阶数 女孩：每分钟 15 级6 分钟1566 分钟扶梯自动运
38、行的台阶数扶梯台阶数 所以 2055 分钟扶梯自动运行的台阶数1566 分钟扶梯自动运行的台阶数， 即 1 分钟扶梯自动运 行的台阶数1009010，那么 扶梯台阶数100510150（阶） 。 【例【例 1010】（三帆中学阶段测试（三帆中学阶段测试）经测算经测算，地球上的资源地球上的资源可供可供 100100 亿人亿人生活生活 100100 年年，或可供或可供 8080 亿人生亿人生 话话 300300 年年. .假设地球新生的资源增长的速度是一定的假设地球新生的资源增长的速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少地球最多能养活多少 人人? ? 分析
39、：设分析：设 1 1 亿人亿人 1 1 年消耗的资源为年消耗的资源为“1 1” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 100100 亿人亿人100100 年年1001001001001000010000：原有资源：原有资源100100 年新增资源年新增资源 8080 亿人亿人300300 年年80803003002400024000：原有资源：原有资源300300 年新增资源年新增资源 从上容易发现：从上容易发现：200200 年新增资源年新增资源240002400010000100001400014000，即，即 1 1 年新增资源年新增资源707
40、0； 为使人类有不断发展的潜力为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活地球最多能养活 70701 17070（亿）人。（亿）人。 【附加】小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行 15 千米， 3 小时可以追上；若骑摩托车，每小时行 35 千米，1 小时可以追上；若开汽车，每小时行 45 千米，多长 时间可以追上小明？ 分析：自行车：每小时 15 千米3 小时1533 小时小明走的路程追及距离 摩托车：每小时 35 千米1 小时3511 小时小明走的路程追及距离 所以 1533 小时小明走的路程3511 小时小明走的路程，即 1 小时小明走的路程5（千米）
41、，那 么追及距离1535330（千米） 。汽车去追的话需要：30（455） 3 4 （小时） 45（分钟） 。 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第十二讲教师版Page 7 of 8 说明：选讲是牛吃草和行程问题中的追及问题的结合，老师可以根据各自班级的情况来选择讲解。老师 您辛苦了 专题展望专题展望 欲知更多欲知更多“牛吃草问题牛吃草问题”的拓展和变例，请关注我们的下一讲牛吃草（二）的拓展和变例，请关注我们的下一讲牛吃草（二） 练习十二练习十二 1.1.有一块草地，若放养有一块草地，若放养 15 头
42、牛，头牛，60 天刚好将草全部吃完，若放养天刚好将草全部吃完，若放养 35 头牛，则头牛，则 20 天刚好将草全部吃天刚好将草全部吃 完完。那么若放养那么若放养 45 头牛头牛。 多少天刚好将草吃完？多少天刚好将草吃完？（草地上每天生长的草量相同草地上每天生长的草量相同，每头牛每天吃草量相同每头牛每天吃草量相同） 分析：设头牛天的吃草量为分析：设头牛天的吃草量为“” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 1515 头牛头牛6060 天天15156060900900：原有草量：原有草量6060 天生长的草量天生长的草量 3535 头牛头牛2020 天天
43、35352020700700：原有草量：原有草量2020 天生长的草量天生长的草量 从上易发现：从上易发现：4040（60602020）天生长的草量）天生长的草量900900700700200200，即：天生长的草量，即：天生长的草量5 5； 那么原有草量：那么原有草量：9009005 56060600600； 4 45 5 头牛里头牛里，若有若有 5 5 头牛去吃每天生长的草头牛去吃每天生长的草，剩下剩下 4 40 0 头牛需要头牛需要 6 600004 40 01515（天天）可将原有草吃完可将原有草吃完，即即它它 可供可供 4 45 5 头头牛吃牛吃 1 15 5 天。天。 2.2.一一
44、片青草，每天生长的速度相同，如果片青草，每天生长的速度相同，如果 2424 头牛头牛 6 6 天可把草吃完，或者天可把草吃完，或者 2020 头牛头牛 1010 天可以把草吃光天可以把草吃光. . 那么多少头牛那么多少头牛 1212 天可以把草吃尽天可以把草吃尽? ? 分析：设头牛天的吃草量为分析：设头牛天的吃草量为“” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 头牛头牛天天：原有草量天生长的草量：原有草量天生长的草量 头牛头牛天天：原有草量天生长的草量：原有草量天生长的草量 从上易发现从上易发现：（）天生长的草量天生长的草量，即即：天生长的草量天生长的
45、草量； 那么原有草量：那么原有草量：；天共供应青草：；天共供应青草：； 够够头牛吃天。头牛吃天。 3.3.（三帆中学阶段测试）（三帆中学阶段测试）由于天气逐渐冷起来，牧场上的草由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生不仅不生长，反而以固定的速度在减少长，反而以固定的速度在减少. . 已知某块草地上的已知某块草地上的草草可可供供 4040 头头牛牛吃吃 5 5 天天，或或可供可供 3030 头牛吃头牛吃 6 6 天天. .照此计照此计算，算，可以供多少头牛吃可以供多少头牛吃 1010 天天? ? 分析：设头牛天的吃草量为分析：设头牛天的吃草量为“” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析，摘录条
46、件，将它们转化为如下形式方便分析 4040 头牛头牛5 5 天天40405 5200200 ：原有草量：原有草量5 5 天自然减少的草量天自然减少的草量 3030 头牛头牛6 6 天天30306 6180180 ：原有草量：原有草量6 6 天自然减少的草量天自然减少的草量 从上容易发现：从上容易发现：1 1 天自然减少的草量天自然减少的草量2020；那么原有草量：；那么原有草量：2002005 52020300300； 1010 天吃完需要牛的头数是：天吃完需要牛的头数是：300300101020201010（头（头） 。 4.4.（三帆中学阶段测试）（三帆中学阶段测试）一艘船有一个漏洞，水以
47、均匀的速度进入船内，当发现漏洞时船内已有一些一艘船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，当发现漏洞时船内已有一些 水，现在要派人将水淘出船外，如果派水，现在要派人将水淘出船外，如果派 1010 个人需要个人需要 4 4 小时淘完；如果派小时淘完；如果派 8 8 个人需要个人需要 6 6 小时淘完小时淘完. .若要求若要求 用用 2 2 小时淘完，需要派多少人小时淘完，需要派多少人? ? 分析：设分析：设 1 1 人人 1 1 小时淘出的水量是小时淘出的水量是“1 1” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 1010 人人4 4 小时小时10104 44
48、040 ：原有水量：原有水量4 4 小时进水量小时进水量 8 8 人人6 6 小时小时8 86 64848 ：原有水量：原有水量6 6 小时进水量小时进水量 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第十二讲教师版Page 8 of 8 从上易发现：从上易发现：2 2 小时进水量小时进水量484840408 8，即，即 1 1 小时进水量小时进水量4 4；那么原有水量：；那么原有水量：40404 44 42424；若；若 2 2 小小 时淘完，那么共需要淘出水：时淘完，那么共需要淘出水：2 24 424243
49、232 , ,需要需要 32322 21616（人）（人） 5.（三帆中学阶段测试（三帆中学阶段测试）两只两只蜗牛由于耐不住阳光的照射蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶从井顶逃逃往井底往井底. .白天往白天往下爬下爬，两只蜗牛白两只蜗牛白 天爬行的速天爬行的速度度是不同的是不同的，一只每个白天爬一只每个白天爬 2020 分米分米，另一只爬另一只爬 1515 分米分米. .黑夜里往下滑黑夜里往下滑，两只两只蜗蜗牛滑行的速牛滑行的速 度却是相同的度却是相同的. .结结果果一只一只蜗牛蜗牛恰恰好好用用 5 5 个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用 6 6 个昼夜到达井底个昼
50、夜到达井底. .那么，井那么，井 深多少米深多少米? ? 分析：分析： 一只蜗牛：一只蜗牛：5 5白天下爬距离白天下爬距离 2020 5 5夜晚下滑距离夜晚下滑距离井深井深 ； 另一只蜗牛：另一只蜗牛：6 6白天下爬距离白天下爬距离 1515 6 6夜晚下滑距离夜晚下滑距离井深；井深； 所以所以 5 52020 5 5夜晚下滑距离夜晚下滑距离 6 61515 6 6夜晚下滑距离夜晚下滑距离，即即 1 1 个夜晚下滑距离个夜晚下滑距离1010（分米分米） ，进进 而可得而可得 井深井深5 52020 5 51010 150150（分米（分米） 。 数学知识数学知识 合理分鱼合理分鱼 一个山清水秀
