1、第二讲第二讲 从几何概型到全概率公式从几何概型到全概率公式本次课讲授第一章第本次课讲授第一章第2 2、3 3、4 4、5 5节；节；下次课结束并总结第一章，开始第二章；下次课结束并总结第一章，开始第二章；下周上课时交作业下周上课时交作业1-21-2页与页与5-65-6页。页。重点：加法公式、条重点：加法公式、条件概率、乘法公式与件概率、乘法公式与全概率公式。全概率公式。难点：公式运用。难点：公式运用。比比。几几何何概概，坐坐标标系系里里度度量量数数；古古典典概概，排排列列组组合合算算频频交交。差差补补交交；并并的的补补，补补的的算算；子子集集导导，并并变变和和；若若再再全全，对对立立，积积为为
2、空空，复复习习：并并至至少少，交交都都好好一一定定不不相相容容。、则则若若也也可可能能相相容容；、则则若若也也可可能能相相容容；、则则若若可可能能不不相相容容；、则则若若选选项项中中错错误误的的是是为为任任意意两两事事件件，则则下下列列、设设月月期期末末年年例例题题BABADBAABCBAABBBAABABAA,)(,)(,)(,)(:)72016(1第二讲第二讲 加法公式乘法公式与全概率加法公式乘法公式与全概率AB时时的的文文图图示示例例ABAB时时的的文文图图示示例例ABAB时时的的文文图图示示例例BA下下用用示示意意图图分分析析即即可可运运算算对对应应的的，所所以以，如如由由于于事事件件
3、运运算算是是和和集集合合D所所以以，答答案案：例题例题2-1-1 为减少比赛场次，把为减少比赛场次，把2020个球队任意分成两组（每组个球队任意分成两组（每组1010队）进行比赛，求最强的两队分在不同组内的概率。队）进行比赛，求最强的两队分在不同组内的概率。解：样本空间：将解：样本空间：将2020个队分成个队分成1010个、个、1010个个2 2组：组：10101020CC设事件设事件A A 表示最强的两队分在不同组内：先选两个强队中表示最强的两队分在不同组内：先选两个强队中的的1 1个选个选1818个弱队的个弱队的9 9个分成一组，再选另一组个分成一组，再选另一组：991191812CCCC
4、102091812CCCAP)(52601910.例例2-1-2电话号码由六个数字组成，每个数字可以是电话号码由六个数字组成，每个数字可以是0 09 9中的中的 任意一个（但第一个数字不能为任意一个（但第一个数字不能为0 0），求电话号码），求电话号码由完全不同的数字组成的概率由完全不同的数字组成的概率.第二讲第二讲 古典概型与几何概型古典概型与几何概型一、古典概型（续）一、古典概型（续）()=AAP A 的频次包含元素个数的频次的元素个数解解设设A A=由完全不同的数字组成的电话号码由完全不同的数字组成的电话号码，基本事件总数：基本事件总数：51910CN 事件事件A A含基本事件数：含基本
5、事件数：5919PCM 519591910)(CPCAP己己完完成成计计算算结结果果和和答答请请读读者者自自（1 1）A=A=“某指定的某指定的n n个房间中各有一人个房间中各有一人”；（2 2）B=B=“恰有恰有n n个房间中各有一人个房间中各有一人”。例例2-1-3:分房问题：分房问题：有有n n 个人，每个人都以同样的概率个人，每个人都以同样的概率 被分在被分在N N 个房间个房间 的任一间的任一间(N Nn n)，求下列事件的概率。，求下列事件的概率。N1基本事件总数：每人都可能被分配到基本事件总数：每人都可能被分配到N N个房间的一个个房间的一个 nN种种）个个人人（种种方方法法），
6、然然后后排排列列个个房房间间（先先指指定定!1:nnnA第二讲第二讲 古典概型与几何概型古典概型与几何概型.!)(nNnAP所所以以 BP.!nnNNnC!,:nnCnBnN个个人人：然然后后排排列列个个房房间间：先先选选例例2-1-4:2-1-4:两封信随机投入两封信随机投入4 4个邮箱，求前两个邮筒内没有信个邮箱，求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率：的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率：41442224P种种可可能能，即即每每封封信信只只有有后后两两个个邮邮筒筒种种可可能能，第第一一问问是是指指每每一一封封信信都都有有分分析析：类类似似分分房房问问题题，83431
7、121312CCP个个邮邮箱箱中中的的一一个个，即即其其余余信信投投入入号号信信箱箱，然然后后将将另另一一封封封封信信投投入入第第二二问问，首首先先选选第二讲第二讲 古典概型与几何概型古典概型与几何概型二、几何概型二、几何概型(Geometric Probability Model)若随机事件若随机事件A A的元素数量有无限个，且的元素数量有无限个，且A A是连续的和是连续的和可度量的，例如一维的长度，二维的面积等，则称利用可度量的，例如一维的长度，二维的面积等，则称利用度量比计算随机事件概率的模型为度量比计算随机事件概率的模型为几何概型几何概型（1 1）二维面积度量的几何概型）二维面积度量的
8、几何概型：的的概概率率：件件中中的的可可能能性性大大小小即即为为事事点点落落入入则则的的面面积积为为内内投投点点，且且中中的的小小区区域域可可能能地地向向，随随机机试试验验是是等等的的区区域域设设样样本本空空间间为为面面积积为为AASAASA,SSAPA)(（2 2）如果是在一个线段上投点，那么面积应改为长度，如）如果是在一个线段上投点，那么面积应改为长度，如果是在一个立方体内投点，则面积应改为体积，以此类推果是在一个立方体内投点，则面积应改为体积，以此类推第二讲第二讲 几何概型几何概型例例2-2-1:(91年）年）的的概概率率轴轴夹夹角角小小于于与与该该点点的的连连线线与与内内任任投投一一点
9、点，则则求求原原点点随随机机向向半半圆圆4)0(202xaxaxyMN40.210)0,)(222222aSyaaayaxxaxy圆；圆；部分的部分的为半径的为半径的为圆心，为圆心，因此，以（因此，以（：由：由分析：分析：之之和和圆圆与与三三角角形形即即连连线线右右前前方方的的所所有有点点，事事件件OMNOMA41:222221412141;21aaMNONaSaSA解：解：12121)2141()(22aaSSAPA第二讲第二讲 几何概型几何概型例题例题2-2-2(07,4分）分）_2110的的概概率率为为的的绝绝对对值值小小于于这这两两个个数数之之差差中中随随机机地地取取两两个个数数，则则
10、，在在区区间间21,10,10/),(:,10,10/),(,xyyxyxAAAyxyxyx的的所所有有点点为为区区域域事事件件为为正正方方形形），则则（分分析析：设设所所取取两两个个数数为为43)(4381811,121SSAPSSSSSAAAA；11212101A2AAxy21 xy21 xy第二讲第二讲 几何概型几何概型 常用方法：子集小、全集拆、并变加常用方法：子集小、全集拆、并变加释释即即可可由由右右图图，用用几几何何概概型型解解俗俗称称子子集集小小则则：),()(,)1(BPAPBA BA俗俗称称全全集集拆拆BAABBBAAA)()2(互互斥斥，俗俗称称并并变变加加与与看看右右图图
11、，且且BAABAABAABA)()3(ABABA阴影部分就是阴影部分就是BA第二讲第二讲 加法公式乘法公式与全概率加法公式乘法公式与全概率三、加法定理三、加法定理(Addition probability formula)1.1.互不相容（互斥）事件的加法公式互不相容（互斥）事件的加法公式)AB（条件：BPAPBAPAB 则：则：若：若公设公设,3 nnnAPAPAPAAAPAAA 2121211两两两两互互斥斥，则则：、：若若定定理理 112121 nnAPAPAPAAA件件组组，则则：构构成成互互不不相相容容的的完完备备事事：若若事事件件推推论论,）（为为任任意意事事件件，则则：设设推推论
12、论)()(APAPAPAPA 112第二讲第二讲 加法公式加法公式然然，读读者者自自证证。表表示示，则则公公设设和和定定理理显显可可用用的的事事件件由由文文图图和和还还是是几几何何概概型型，若若注注解解：无无论论是是古古典典概概型型2121MMBAABNMBPNMAP ,)(,)(第二讲第二讲 加法公式加法公式2.2.一般概率加法定理一般概率加法定理对任意二事件对任意二事件 A A 与与 B B ，有，有 ABPBPAPBAP 定理定理3 3ABABA阴影部分就是阴影部分就是BA）的的阴阴影影部部分分（不不含含包包含含由由两两部部分分组组成成，分分析析：ABBABABA),(第二讲第二讲 加法
13、公式加法公式)()()()(BAPAPBAAPBAP 由由互互斥斥加加法法公公式式)()()()()()(,ABPBPBAPBAPABPBPBAABB 即即，)()()()(ABPBPAPBAP 代代入入公公式式即即得得：12111121()()()()(1)()nniijiijnnijknijknP AAAP AP A AP A A AP A AA 用归纳法可得有限个事 件的加法公式：例例2-3-1从这批从这批 产品中任取产品中任取3 3个，求其中有次品的概率。个，求其中有次品的概率。一批产品共有一批产品共有5050个，其中个，其中4545个是合格品，个是合格品，5 5个是次品。个是次品。)
14、(2AP35014525CCC)(3AP35035CC)(1AP35024515CCC,2526.0,0230.00005.0321AAAA取出的取出的3 3个产品中恰有个产品中恰有i i个次品，则个次品，则解解 设事件设事件 A A 表示取出的表示取出的3 3个产品中有次品，个产品中有次品，iA事件事件 表示表示2760321.)()()()(APAPAPAP由由互互斥斥的的加加法法公公式式：第二讲第二讲 加法公式加法公式是是互互斥斥的的、关关键键：321AAA第二讲第二讲 加法公式加法公式例例2-3-2(90数一）数一）_)(.)(,.)(,.)(BAPBAPBPAP，则则已已知知6030
15、4010603040.)()()()()()()()(BAPBPAPABPABPBPAPBAP解：解：)()()()()()(BAPABPBAABPBBAPAPAP又又301040.)()()(ABPAPBAP例例2-3-3 设设P P(A A)0)0，P P(B B)0)0，将下列四个数：，将下列四个数：P P(A A)、P P(ABAB)、P P(A AB B)、P P(A A)+)+P P(B B)用用“”“”连接它们，并指出在什么情况下等号成立连接它们，并指出在什么情况下等号成立.)()()(ABPBPAPBAP 解：解：)()(BPAPBAP )(BAAAB )()()(BAPAPA
16、BP )()()()()(BPAPBAPAPABP 时，时，由积为小，故当由积为小，故当BA)()(APABP)()(BAPAP)()()(BPAPBAP 时，时，由并为大，故当由并为大，故当AB 时，时，由加法公式，当由加法公式，当 AB第二讲第二讲 加法公式加法公式)()(,BAPABPBAAAB 首先首先22)()()(),()()(BPAPABPBPAPABP )()()()()()()()()(ABPBPAPBAPABPABPBPAPBAP 又又第二讲第二讲 加法公式加法公式22)()()()(;)()()()()()()()();()()()(BPAPABPDBPAPABPCBPA
17、PABPBBPAPABPABA ）则（则（为任意两个随机事件，为任意两个随机事件，、若若例2-3-4（2015考研题，4分）。因因此此，答答案案选选 C例例2-3-5(92数一）数一）全不发生的概率全不发生的概率、则求则求已知：已知：CBABCPACPABPCPBPAP,)()(,)(,)()()(161041 )()()()(_CBAPCBAPCBAPCBAPCBACBACBA 1求求可可用用摩摩根根公公式式化化成成并并来来，求求即即不不发发生生的的都都发发生生，、全全不不发发生生，即即、解解：第二讲第二讲 加法公式加法公式85016116104141410 )(.)()(CBAPABPAB
18、CP又又由由加加法法公公式式：由由已已知知且且子子集集小小838511 )()()(_CBAPCBAPCBAP故故：第二讲第二讲 加法公式加法公式算算。全全集集拆拆，差差补补交交，对对立立大大常常用用方方法法：子子集集小小，减减加加法法式式。加加法法定定理理总总结结：一一加加二二4例题例题2-3-6（94，3分）分）)(,)(),()(BPpAPBAPABPBA试试求求且且两两个个事事件件满满足足、已已知知 pAPBPBPAPBAPBPAPABPBPAPBAPBAP 1111-11)()(,)()()()()()()()()()()()()()()()(_BAPBAPABPBAPBAPBAP代
19、代入入上上式式，求求：且且解解：由由德德摩摩根根公公式式 1第二讲第二讲 加法公式加法公式例题例题2-3-7（95数学一，数学一，3分）分）0),max(,74)()(;73)(,0:;0:YXPBPAPABPYBXA则则求求：已已知知设设随随机机事事件件BAYXYXCYXC ),max(,),max(0000则则：解解：设设事事件件.75737474)()()()()(0),max(ABPBPAPBAPCPYXP例题例题2-3-8（2016年年7月期末月期末A）).()()()();()()();()()();()()(,APBPABPDBPABPCAPBAPBAPABPAABBA则则下下列
20、列式式子子正正确确的的是是满满足足、设设随随机机事事件件第二讲第二讲 加法公式加法公式2-3-9()P AB例题：试写出的计算公式)()()()(;)()(;ABPAPBAPBAPBAABABAPBAPBABA，全集拆：，全集拆：解：根据差补交解：根据差补交2-3-10()0.2,()0.3,()ABP AP BP BA例题：设，求)()()(,BAPBPABPBBAAB 解：根据全集拆：解：根据全集拆：;,ABABA 所以，所以，因为因为10.)()()()()(APBPBAPBPABP2-3-11()()0.7,()0.3,()()_.ABP AP BP ABP ABP AB例题：设、为随
21、机事件，则BBAABAAB显显然然，正正确确答答案案：包包含含分分析析：由由,)()()(),()()(,ABPAPBAPABPBPBAPBABBA 同理同理解：根据全集拆：解：根据全集拆：103027.02.)()()()()()()()()(ABPBPAPABPBPABPAPBAPBAP_2-3-12()0.5,()0.2()_.ABP AP ABP AB例题：设、为随机事件，)()(_ABPABP 1公式公式解：根据对立事件计算解：根据对立事件计算30205020.)(),()()()(.ABPABPAPBAPBAP703011.)()(_ ABPABP第二讲第二讲 加法公式加法公式2-
22、3-13()()()0.25,()0.125,()()0,_.ABCP AP BP CP ACP ABP BCABC例题：设、为三个随机事件，则、至少有一个发生的概率为第二讲第二讲 加法公式加法公式85081004141410 )()()()()()()()(.)()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAPABPABCP又又由由加加法法公公式式：由由已已知知且且子子集集小小2-3-14(2016.7)()0.5()0.6()0.8,()_.AABP ABP BPP ABA例题期末：设、为随机事件，则()()()()()()()()0.50.60.5 0.80.7()P ABP AP B
23、P ABP AP BBP A PABPA分析：本题出现了新的问题，即条件概率，四、条件概率与乘法公式四、条件概率与乘法公式(Conditional Probability and(Conditional Probability and Multiplication formula)Multiplication formula)1.1.条件概率定义条件概率定义发发生生的的概概率率发发生生的的条条件件下下，事事件件已已知知事事件件为为在在为为随随机机事事件件，称称、设设ABBPABPBAPBA)()()/(。中中讨讨论论即即要要在在的的概概率率，因因此此，分分子子也也时时的的压压缩缩成成是是把把样
24、样本本空空间间实实际际上上注注解解：对对比比ABBABBAPPAPAP )/(,)()()()()()/(APABPABP 显然，同样定义显然，同样定义第二讲第二讲 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式()BPA本题出现了新的问题，即条件概率，一旦学习了条件概率的定义和计算，这个题目就显得简单了！式：式：的一种求法，即乘法公的一种求法，即乘法公出了出了是一难点，条件概率给是一难点，条件概率给求求中中在加法公式在加法公式)()(,)()()()(ABPABPABPBPAPBAP 2.乘法公式：乘法公式：由条件概率定义可知：由条件概率定义可知：)/()()/()()(ABPAPBAPBPABP )
25、/()/()/()()(12121312121 nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP限限个个事事件件的的情情形形乘乘法法公公式式容容易易推推广广到到有有 归归纳纳法法己己证证明明，提提示示乘乘法法公公式式，请请同同学学们们自自时时，例例如如，:2131213213AAAPAAPAPAAAPn 第二讲第二讲 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式推得乘法式。推得乘法式。依次乘积为条件，归纳依次乘积为条件，归纳概率是分式；概率是分式；分母条件分子积，条件分母条件分子积，条件求三次内取得合格品的概率求三次内取得合格品的概率.一批零件共一批零件共100100个个,次品率为次品率为1010,每次从其
26、中任取一个零每次从其中任取一个零件件,取出的零件不再放回去取出的零件不再放回去,（1 1）求第三次才取得合格品的概率）求第三次才取得合格品的概率.（2 2）如果取得一个合格品后）如果取得一个合格品后,就不再继续取零件，就不再继续取零件，例例2-4-1“第第i i次取得合格品次取得合格品”,设设 iA 3,2,1 i解解“第第 i i 次取得次品次取得次品”（i=1，2，3），），则则 iA所求概率为所求概率为 321AAAP 213121AAAPAAPAP所求事件为所求事件为,321AAA （1 1）1001099998900083.0第二讲第二讲 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式 设设A
27、 A 表示事件表示事件“三次内取得合格品三次内取得合格品”,则则A A 有下列几种情况有下列几种情况:第一次取到合格品第一次取到合格品,;1A 第二次才取到合格品第二次才取到合格品,;21AAA1A21AA321AAA 第三次才取到合格品第三次才取到合格品,321AAA 321211 AAAPAAPAPAP 2131211211 AAAPAAPAPAAPAPAP 100901001099900083.0.9993.0第二讲第二讲 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式第二讲第二讲 全概率与逆概率公式全概率与逆概率公式2-4-2()0.3,()0.5,()0.15,()(/)();()(/)();
28、()(/)();()(/)().ABP AP BP ABA P BABP BB P BAP BC P ABBP ABD P AABP A例：已知事件、满足则（）BBPAPABPBPAPBAPABPBPABPABPABPBABPABBP选选试试验验分分析析：用用条条件件概概率率公公式式);(.)()()()()()/();()()()()()/(50301150501第二讲第二讲 全概率与逆概率公式全概率与逆概率公式2-4-30()1,1()(/);()(/);()(/);()().ABP BA P ABB P BAC P ABD P AB例：设、为对立事件，则下列概率值为 的是（）14 )/(
29、)/(:,AAPBAPCABABBA个个结结果果，显显然然答答案案代代入入为为对对立立事事件件，所所以以、分分析析：因因为为例例2-4-4(0606数学一，数学一，4 4分分）);()()();()()();()()();()()(,)/(,)(BPBAPDAPBAPCBPBAPBAPBAPABAPBPBA ）则则必必有有（为为随随机机事事件件，且且、设设10CAPBAPBPBAPBPABPABPBPAPBAP故故选选所所以以而而乘乘法法公公式式：分分析析：根根据据加加法法公公式式与与),()(),()/()()(),()()()(五、五、全概率公式及其逆概率公式全概率公式及其逆概率公式(To
30、tal Probability Formula)()()()()()()(),()/(,nniiininBAPBPBAPBPBAPBPAPABPBAPBBBB 2211121 发发生生的的概概率率为为：则则事事件件和和，若若已已知知且且，组组是是互互不不相相容容的的完完备备事事件件全全概概率率公公式式定定理理：设设 )(,APAPBBBBBniiinin 即即两两互斥，两两互斥，证：证：1121 nBBBAP 21第二讲第二讲 全概率与逆概率公式全概率与逆概率公式 nABPABPABP 21 nABABABP 21 nnBAPBP 11BAPBP 22BAPBP 乘法定理乘法定理组组成成。定定
31、理理中中的的组组必必须须由由互互斥斥完完备备的的事事件件前前面面的的步步骤骤（阶阶段段）则则而而）在在后后一一个个阶阶段段完完成成，定定理理中中的的率率公公式式。所所求求的的事事件件（用用全全概概步步骤骤的的，则则很很可可能能就就要要：若若事事件件是是分分阶阶段段或或分分注注解解),(nBBBA211发发生生的的概概率率为为：发发生生条条件件下下则则事事件件和和，若若已已知知，且且的的一一组组事事件件是是互互不不相相容容）：设设贝贝叶叶斯斯定定理理（iiiininBABPBAPBBBBtheoremsBaye),()/(,121.,)()()()()(逆逆概概率率公公式式称称为为贝贝叶叶斯斯公
32、公式式，也也称称niBPBAPBPBAPABPnjjjiii21 1 第二讲第二讲 全概率与逆概率公式全概率与逆概率公式例例2-5-1,(93数学一）1212个产品中有个产品中有2 2个次品，无放回连续取个次品，无放回连续取2 2次，求第二次取到次，求第二次取到次品的概率次品的概率：第二次取到次品；则第二次取到次品；则第一次取到次品第一次取到次品第一次取到正品，第一次取到正品，解：令解：令 ABB21)/()()/()()(2211BAPBPBAPBPAP 6111111101221111221121210 )(概概率率公公式式可可用用全全概概率率公公式式推推出出逆逆，且且全全概概率率公公式式
33、的的条条件件一一样样）逆逆概概率率公公式式的的条条件件和和：（注注解解12也也一一样样，分分两两个个步步骤骤。其其分分析析过过程程与与全全概概率率的的的的可可能能性性，因因此此来来推推断断第第一一步步的的）逆逆概概率率是是利利用用全全概概率率（iBAP)(2第二讲第二讲 全概率与逆概率公式全概率与逆概率公式例例2-5-2 2-5-2 (05(05数学一）从数学一）从1 1，2 2，3 3，4 4中任取一个数记为中任取一个数记为X X,再从再从1 1，X X中任取一个数记为中任取一个数记为Y Y,试求试求P(P(Y Y=2)=2)()/()()(,APBAPBPAPXYYAiiXBiiii计计算算出出由由全全概概率率公公式式则则：为为第第二二次次取取出出数数，然然后后个个数数中中取取一一，是是从从两两步步：首首先先，设设分分析析：完完成成这这一一事事件件分分 41243214321)/()()/()()/()()/()()(44332211BAPBPBAPBPBAPBPBAPBPAP 解：解：)/()()/()()/()()/()(424323222121 xyPxPxyPxPxyPxPxyPxP4813414131412141041 第二讲第二讲 全概率与逆概率公式全概率与逆概率公式
