1、讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第二讲教师版Page 1 of 10 第二讲第二讲立体图形（一）立体图形（一） 卷卷 教学目标教学目标 本讲的知本讲的知识识点主要是求复杂立体图形的表面积，竞赛班要求学生掌握复杂立体图形的组合、复杂的点主要是求复杂立体图形的表面积，竞赛班要求学生掌握复杂立体图形的组合、复杂的 面垂直的图形组合和立体图形的切面垂直的图形组合和立体图形的切、拼拼、挖挖.对表面积的极值问题也要掌握对表面积的极值问题也要掌握.本讲重在培养学生的空间想象本讲重在培养学生的空间想象 能力，教师可
2、以让学生多思考，多动手，多画图，注重能力，教师可以让学生多思考，多动手，多画图，注重“数形结合数形结合”的思想。的思想。 本讲的主线是培养学生的空间想象能力，亮点在于极值问题的体现、例本讲的主线是培养学生的空间想象能力，亮点在于极值问题的体现、例 3 及展开图的应用。及展开图的应用。 专题精讲专题精讲 （一）巧解复杂的组合图形表面积（一）巧解复杂的组合图形表面积 【例【例 1 1】 用棱长是用棱长是 1 1 厘米的立方块拼成如厘米的立方块拼成如右右图所示的立体图形，问该图形的表图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米面积是多少平方厘米? ? 分析：该图形的上、左、前三个方向的表面分别由
3、分析：该图形的上、左、前三个方向的表面分别由 9 9、7 7、7 7 块正方形组成块正方形组成 该图形的表面积等于该图形的表面积等于(9+7+7)(9+7+7)2=462=46 个小正方形的面积，所以该图形表面积个小正方形的面积，所以该图形表面积为为 4 46 6 平方厘米平方厘米 在墙角处有若干个体积都等于在墙角处有若干个体积都等于 1 1 的正方体堆成如图的立体图的正方体堆成如图的立体图 形形（每个正方体都可独立地搬走每个正方体都可独立地搬走，但如果抽走下面的正方体但如果抽走下面的正方体， 上面的正方体就会自动落下去上面的正方体就会自动落下去） ，有人希望搬走其中部分正方有人希望搬走其中部
4、分正方 体，但从上面和前面用平行光线照射时，在墙面及地面上的体，但从上面和前面用平行光线照射时，在墙面及地面上的 影子不变，则最多可以搬走多少个小正方体？影子不变，则最多可以搬走多少个小正方体？ 答案答案： 留下靠墙及地面上的正方体留下靠墙及地面上的正方体， 其余均可搬走共其余均可搬走共 1+3+6=11+3+6=10 0 块. 想挑战吗？ 长方体：长方体：6 6 个面，个面，8 8 个顶点，个顶点，1212 条棱，条棱， 表面积表面积=2=2（长（长宽宽+ +宽宽高高+ +长长高）高）. . 正方体：正方体：6 6 个面（每个面（每个面都是正方形个面都是正方形） ，8 8 个顶点，个顶点，1
5、212 条棱（条棱（棱长相等棱长相等） ， 表面积表面积=6=6边长边长边长边长. . 圆柱体：圆柱体：2 2 个底面圆，个底面圆，1 1 个侧面（长方形或正方形个侧面（长方形或正方形） ， 表面积表面积=2=2底面圆面积底面圆面积+ +侧面面积侧面面积. . 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第二讲教师版Page 2 of 10 【例【例 2】 边长为边长为 1 厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第 5 层时，这个立体图形的表层时，这个
6、立体图形的表 面积是多少平方厘米？面积是多少平方厘米？ 分析分析：这个图形的表面积是俯视面这个图形的表面积是俯视面、左视面左视面、上视面得到的图形面积的上视面得到的图形面积的 2 倍倍. 该立体图形的上下该立体图形的上下、左右左右、 前后方向的表面面积都是前后方向的表面面积都是 15 平方厘米，该图形的总表面积为平方厘米，该图形的总表面积为 90 立方厘米立方厘米 拓展 如图，25 块边长为 1 的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？ 分析：当小积木互相重合的面最多时表面积最小. 设想 27 块边长为 1 的正方形积木，当拼成一个 333 的正方体时，表面积最小，现在要去掉 2 块 小
7、积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加， 该几何体表面积为 54. 【例【例 3】 （奥数网原创题）按照上题的堆法一直堆到（奥数网原创题）按照上题的堆法一直堆到 N 层（层（N N3 3） ，要想使总表面积恰好是一个完全平，要想使总表面积恰好是一个完全平 方数，则方数，则 N 的最小值是多少？的最小值是多少？ 分析分析：每增加一层每增加一层，每一个每一个“大面大面”就增加到就增加到 (1) 2 N N 个小面个小面，总表面积是总表面积是 6 个个“大面大面” ，所以就增加所以就增加到到 3N(N+1)个小面个小面， 几何题变成数论题几何题变成数论
8、题， 问题转化为问题转化为 “3N(N+1)是一个完全平方数是一个完全平方数， N 的最小值是几的最小值是几 （N N3 3） ？” 因为因为 N 和和 N+1 互质互质，所以所以 N 和和 N+1 必须有一个是完全平方数必须有一个是完全平方数，一个是平方数的一个是平方数的 3 倍倍，但但 N+1 不能是平不能是平 方数的方数的 3 倍倍，因为此时因为此时 N 被被 3 除余除余 2，不可能是完全平方数不可能是完全平方数，所以所以 N 是平方数的是平方数的 3 倍倍，N+1 是完全平方是完全平方 数，开始试验：数，开始试验： 当当 N=3 31 1 2 2=3 =3，不符合题意；，不符合题意；
9、 当当 N=3 32 2 2 2=12 =12，N+1=13，不是完全平方数；，不是完全平方数； 当当 N=3 33 3 2 2=27 =27，N+1=28，不是完全平方数；，不是完全平方数； 当当 N=3 34 4 2 2=48 =48，N+1=49，是完全平方数是完全平方数，所以所以 N 的最小值是的最小值是 48，即堆到第即堆到第 48 层时层时，总表面积是完全平总表面积是完全平 方数，为方数，为 3484849=8449=84 2 2. . （二）（二）表面积的最值问题表面积的最值问题 【例【例 4】 一个正方体木块一个正方体木块，棱长是棱长是 1515从它的八个顶点处各截去棱长分别是
10、从它的八个顶点处各截去棱长分别是 1 1、2 2、 3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、8 8 的小正方体这个木块剩下部分的表面积最少是的小正方体这个木块剩下部分的表面积最少是多少？多少？ 分析分析：截去一个小正方体截去一个小正方体，表面积不变表面积不变，只有在截去的小正方体的面相重合时只有在截去的小正方体的面相重合时，表表 面积才会减少面积才会减少，所以要使木块剩下部分的表面积尽可能小所以要使木块剩下部分的表面积尽可能小，应该在同一条棱的两端应该在同一条棱的两端 各截去棱长各截去棱长 7 7 与与 8 8 的小正方体的小正方体( (如图所示如图所示) )，这时剩下部分的表面积比原正方体的
11、表这时剩下部分的表面积比原正方体的表 面积减少最多剩下部分的表面积最小是面积减少最多剩下部分的表面积最小是： 1515156-76-77 72=12522=1252 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第二讲教师版Page 3 of 10 【例【例 5】 边长分别是边长分别是 3、5、8 的三个正方体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？的三个正方体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？ 分析：三个正方体两两拼接时，最多重合分析：三个正方体两两拼接时，最多重合 3 个正方形面，其中边长为个正方形面，
12、其中边长为 3 的正方体的正方体 与其它两个正方体重合的面积不超过边长为与其它两个正方体重合的面积不超过边长为 3 的正方形，边长为的正方形，边长为 5 和边长为和边长为 8 的的 正方体的重合面面积不超过边长正方体的重合面面积不超过边长为为5的正方形的正方形， 三个正方形表面积和三个正方形表面积和为为633+6 55+688-2233-255=502. 【例【例 6】 用用 1010 块长块长 7 7 厘米厘米，宽宽 5 5 厘米厘米，高高 3 3 厘米的长方体积木堆成一个长厘米的长方体积木堆成一个长方体方体，这个长方体的表面积最这个长方体的表面积最 小是多少小是多少? ? 分析：教师可以先
13、提问：这个长方体的表面积最大是多少分析：教师可以先提问：这个长方体的表面积最大是多少? ?为使表面积最为使表面积最 大，要尽量保证大，要尽量保证 10102 2 个个 7 75 5 的面成为表面，想要做到这点很容易，只的面成为表面，想要做到这点很容易，只 需将需将 7 75 5 面做底面，而后将面做底面，而后将 1010 个立方体连排，衔接的面选用个立方体连排，衔接的面选用 3 35 5 的面的面 （衔接的面将不能成为表面积（衔接的面将不能成为表面积） ，这样得到的长方体表面积最大，这样得到的长方体表面积最大 同样要想最小同样要想最小，可把可把 7 75 5 面做衔接的面面做衔接的面，可得到可
14、得到 1010 个长方体的连排个长方体的连排，但但 此时我们还可以再制造出衔接面此时我们还可以再制造出衔接面，如图如图：此时增加了此时增加了 2 2 个个 5 57 7 的面的面，减少了减少了 1010 个个 3 37 7 的面的面，总体来讲总体来讲 表面积减少了表面积减少了表面积是表面积是：2 2(7(715+1515+151010+ +10107)=650(7)=650(平方厘米平方厘米) )，所以所以这就是最小的表面积这就是最小的表面积 前铺用 6 块右图所示（单位：cm）的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼 法，其中表面积最小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？ 分析：最小：66
15、cm 2；最大： （12+13+23）26-1252=112 【例【例 7】 要把要把 12 件同样的长件同样的长 a、宽宽 b、高高 h 的长方体物品拼装成一件大的长方体的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小使打包后表面积最小， 该如何打包？该如何打包？ （1）当当 b=2h 时，按图几打包？时，按图几打包？ （2）当当 b b2h 时，按图几打包？时，按图几打包？ （3）当当 b b2h 时，按图几打包？时，按图几打包？ 分析分析：图图 2 和图和图 3 正面的面积相同正面的面积相同，侧面面积侧面面积 =正面周长正面周长长方体长长方体长， 所以正面的周长愈大表面积越大所以正面
16、的周长愈大表面积越大， 图图2的正面周长的正面周长是是8h+6b， 图图3的周长的周长是是12h+4b. 两者的周长之差为两者的周长之差为 2（b-2h）. 当当 b=2h 时，图时，图 2 和图和图 3 周长相等，可随意打包；当周长相等，可随意打包；当 b2h 时，按图时，按图 2 打包；当打包；当 b2h 时，按图时，按图 3 打包打包. 前铺 要把 6 件同样的长 17、宽 7、高 3 的长方体物品拼装成一件大的长方体， 表面积最小是多少？ 分析：考虑所有的包装方法，因为 6=123，所以一共有两种拼接方式： 第一种按长宽高 116 拼接，重叠面有三种选择，共 3 种包装方法. 第二种按
17、长宽高 123 拼接，有 3 个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有 2 个长方体并列方向的 重叠面剩下 2 种选择，一共有 6 种包装方法. 其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为 1034. 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第二讲教师版Page 4 of 10 卷卷 （三）立体图形的切、拼、挖（三）立体图形的切、拼、挖 【例【例 8】 下下图是一个棱长为图是一个棱长为 2 厘米的正方体厘米的正方体，在正方体上表面的正中在正方体上表面的正中，向下向下 挖一个棱长为挖一个棱长为 1 厘米的正方体
18、小洞厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个接着在小洞的底面正中向下挖一个 棱长为棱长为 1/2 厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同 为为 1/4 厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 分析：分析： 我们仍然从我们仍然从 3 个方向考虑个方向考虑平行于上下表面的各面面积之和：平行于上下表面的各面面积之和：22 28（平方厘米平方厘米） ；左右方向左右方向、前后方向前后方向：224=16（平方厘米平方厘米） ，11 44（平方厘米（平方厘米） ，1/2
19、1/24=1（平方厘米（平方厘米） ，1/41/44=1/4 （平方（平方 厘米厘米） ，这个立体图形的表面积为：，这个立体图形的表面积为：8+16+4+1+1/4=29 又又 1/4 （平方厘米（平方厘米） 【例【例 9】 如图如图，有一个边长为有一个边长为 20 厘米的大正方体厘米的大正方体，分别在它的角上分别在它的角上、棱上棱上、面上面上 各挖掉一个大小相同的小立方体后各挖掉一个大小相同的小立方体后， 表面积变为表面积变为 2454 平方厘米平方厘米， 那么挖掉的那么挖掉的 小立方体的边长是多少厘米？小立方体的边长是多少厘米？ 分析：分析： 大立方体的表面积是大立方体的表面积是 2020
20、20206=24006=2400 平方厘米挖掉了三个小正方体平方厘米挖掉了三个小正方体， 反而多出了反而多出了 6 6 个面，可以计算出每个面的面积个面，可以计算出每个面的面积： （2454245424002400）6=96=9 平方厘米平方厘米， 说明小正方体的棱长是说明小正方体的棱长是 3 3 拓展 1 图中是一个边长为 4 厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的 中心位置挖去一个边长 l 厘米的正方体，做成一种玩具它的表面积是多少平 方厘米? 分析：原正方体的表面积是 446=96(平方厘米)每一个面被挖去一个边长 是 1 厘米的正方形，同时又增加了 5 个边长是 1 厘米的正方体作
21、为玩具的表面 积的组成部分总的来看，每一个面都增加了 4 个边长是 1 厘米的正方形从 而，它的表面积是：96+46=120 平方厘米 拓展 2 如右图，一个边长为 3a 厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上 下各面的中心位置挖去一个截口是边长为 a 厘米的正方形的长方体（都和对 面打通） 如果这个镂空的物体的表面积为 2592 平方厘米，试求正方形截口 的边长 分析：原来正方体的表面积为：63a3a69a 2（平方厘米） ， 六个边长为 a 的小正方形的面积为（减少部分） ：6aa6a 2（平方厘 米） ；挖成的每个长方体空洞增加的侧面积为：aa428a 2（平方厘米） ； 根据题意可得：
22、54a26a238a22592，解得 a236（平方厘米） ，故 a6 厘米 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第二讲教师版Page 5 of 10 【例【例 10】有一个棱长为有一个棱长为 5 cm 的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透 的完全相同的孔（右上图的完全相同的孔（右上图） ，求这个立体图形的内、外表面的总面积，求这个立体图形的内、外表面的总面积 分析分析：将此带孔的正方体看做由八个将此带孔的正方体看做由八个 8cm3的正方体的正方体（8 个顶点
23、个顶点）和和 12 个个 1cm3的的 正方体（正方体（12 条棱）粘成的每个正方体有两个面粘接，减少表面积条棱）粘成的每个正方体有两个面粘接，减少表面积 4cm2，所以，所以 总的表面积为总的表面积为： （46）8612412216（cm2） 拓展 边长分别是 3、5、8 的三个正方体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？ 分析：三个正方体两两拼接时，最多重合 3 个正方形面，其中边长为 3 的正方体与 其它两个正方体重合的面积不超过边长为 3 的正方形，边长为 5 和边长为 8 的正方 体的重合面面积不超过边长为 5 的正方形， 三个正方形表面积和为 633+65 5+688-2233-
24、255=502. 【例【例 11】如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下侧面的中心打通一如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下侧面的中心打通一 个圆柱形的洞个圆柱形的洞已知正方体边长为已知正方体边长为 1010 厘米厘米，侧面上侧面上的洞口是边长为的洞口是边长为 4 4 厘米的正方形厘米的正方形，上下侧面的洞上下侧面的洞 口是直径为口是直径为 4 4 厘米的厘米的圆，求此立体图形的表面积圆，求此立体图形的表面积 分析：外侧表面积为：分析：外侧表面积为：6 6101010-10-4 44 44 4- -2 2 2 2 2=5362=536- -8
25、8. . 内侧表面积为：内侧表面积为：16164 43+23+2 (4(44 4- -2)+22)+22 22 23=192+323=192+32- -8 8+24+24=224+16=224+16 总表面积总表面积=224+16=224+16+536+536- -8 8=760+8=760+8=785=785. .12(12(平方厘米平方厘米) ) 【例【例 12】如图如图，用用 455 个棱长为个棱长为 1 的小正方体粘成一个大的长方体的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体若拆下沿棱的小正方体，则余则余 下下 371 个小正方体，问：所堆成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小
26、正方体后的多面体的表个小正方体，问：所堆成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体的表 面积是多少？面积是多少？ 分析：设长方体棱长为分别为分析：设长方体棱长为分别为yzx、 、.，他们只能取正整数，则有：，他们只能取正整数，则有： 455 4(222)8455371 xyz xyz 因为因为4555 7 13 方程组的有序正整数解只有方程组的有序正整数解只有（5，7，13） ，拆下沿棱的的小正方体后的多面体如图所拆下沿棱的的小正方体后的多面体如图所 示示，首先计算突出在外面的首先计算突出在外面的 6 个平面个平面，面积是面积是2 (11 5 11 33 5)206 再计算再计算
27、 24 个宽都是个宽都是 1 的长的长 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第二讲教师版Page 6 of 10 条，面积是条，面积是8 (11 35)152 ，总面积为，总面积为 358. 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第二讲教师版Page 7 of 10 （三）展开图（三）展开图 【例【例 13】在小于在小于 1616 的自然数中选出的自然数中选出 6 6 个不同的数，分别写在正方体的个不同的数，分别写
28、在正方体的 6 6 个面上，要求各组相对的个面上，要求各组相对的 两个面上的数的乘积都相等，下图是正方体的展开图，并填上了两个面上的数的乘积都相等，下图是正方体的展开图，并填上了 1 1，请将其它数填上。，请将其它数填上。 分析分析：在在 1 1 至至 1515 中只有中只有 1212 可以分解成可以分解成 3 3 种两个自然数的乘积种两个自然数的乘积 1 112=212=26=36=34 4，所以只要将所以只要将 1 1 与与 1212，2 2 与与 6 6，3 3 与与 4 4 分别填入相对的面上即可，答案如图所示分别填入相对的面上即可，答案如图所示 前铺 下列哪个是正方体的表面积展开图（
29、） A、B、C、D、 分析：分析：D 拓展请画出正方体的表面积展开图，最多能画出多少种不同的展开图？ 分析：最长的一排有 4 个正方形的有 6 个，如图 最长的一排有 3 个正方形的有 4 个，如图 最长的一排有 2 个正方形的有 1 个，如图 【例【例 14】如图所示如图所示，将将 1 1 根绳子从圆柱上的一端到另一端绕根绳子从圆柱上的一端到另一端绕 4 4 整圈整圈，圆柱底面周长为圆柱底面周长为 4 4 米米，长为长为 1 12 2 米，你能算出绳子有多长吗？米，你能算出绳子有多长吗？ 分析分析： 圆柱展开图如图圆柱展开图如图， 由勾股定理有由勾股定理有 222 9 1625cab， 所以
30、所以5c . .即绳长为即绳长为4 520（米米） . . 1 12 6 4 3 2 1 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第二讲教师版Page 8 of 10 练习二练习二 1.1.如如右右图图，有一个边长是有一个边长是 5 5 的立方体的立方体，如果它的左上方截去一个边如果它的左上方截去一个边分别是分别是 5 5，3 3，2 2 的长方体，那么它的表面积减少了百分之几的长方体，那么它的表面积减少了百分之几? ? 分析分析：正方体原来的表面积为正方体原来的表面积为 5 55 56 6= =15015
31、0现在立体图形的表面积现在立体图形的表面积减少相当于两个减少相当于两个 面积面积为为 3 32=2=6 6 的长方形的长方形， （2 23 3）150=0150=0. .08=808=8 2.2.（例（例 1）把把 19 个棱长为个棱长为 1 厘米的正方体重叠在一起厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立按右图中的方式拼成一个立 体图形体图形.求这个立体图形的表面积求这个立体图形的表面积 分析：分析： 从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三个图表示从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三个图表示 因此，这个立体图形的表面积为：因此，这个立体图形的表面积为：2 个上面个上面+2
32、 个左面个左面+2 个前面上表面的面积为：个前面上表面的面积为：9 平方厘米，左表面平方厘米，左表面 的面积为：的面积为：8 平方厘米，前表面的面积为：平方厘米，前表面的面积为：10 平方厘米因此，这个立体图形的总表面积为：平方厘米因此，这个立体图形的总表面积为： （9810）254（平方厘米（平方厘米） 3.如如右右图图，一个正方体形状的木块一个正方体形状的木块，棱长棱长 l l 米米，沿水平方向将它锯沿水平方向将它锯成成 3 3 片片，每片每片 又锯成又锯成 4 4 长条，每条又锯成长条，每条又锯成 5 5 小块，共得到大大小小的长方体小块，共得到大大小小的长方体 6060 块块那么，那么
33、， 这这 6060 块长方体表面积的和是多少平方米块长方体表面积的和是多少平方米? ? 分析分析：我们知道每切一刀我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的多出的表面积恰好是原正方体的 2 2 个面个面的面积的面积现在一现在一 共切了共切了(3(3- -1)+(41)+(4- -1)+(51)+(5- -1)=91)=9 刀刀，而原正方体一个面的面积而原正方体一个面的面积 1 1l=l=1 1( (平方米平方米) )，所以所以 表面积增加了表面积增加了 9 92 21=18(1=18(平方米平方米) )原来正方体的表面积为原来正方体的表面积为 6 61=6(1=6(平方米平方米) )，所，
34、所 以现在的这些小长方体的表以现在的这些小长方体的表积之和为积之和为 6+18=24(6+18=24(平方米平方米) ) 4.用铁皮做一个如右图（单位：用铁皮做一个如右图（单位：cm）所示的管道，需用铁皮多少平方厘米？（圆周率取）所示的管道，需用铁皮多少平方厘米？（圆周率取 3） 分析：两个同样的工件可拼成下图的圆柱体，所以一个工件需铁皮分析：两个同样的工件可拼成下图的圆柱体，所以一个工件需铁皮： （4654）15322250（cm2）. 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第二讲教师版Page 9 o
35、f 10 5.5.（例（例 9 9） 在一个棱长为在一个棱长为 5050 厘米的正方体木块厘米的正方体木块， 在它的八个角上各挖去一个棱长为在它的八个角上各挖去一个棱长为 5 5 厘米的小正方体厘米的小正方体， 问剩下的立体图形的表面积是多少？问剩下的立体图形的表面积是多少？ 分析：对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后分析：对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后 3 3 个方向考虑变化前后的表面个方向考虑变化前后的表面 积不变：积不变：505050506=150006=15000（平方厘米（平方厘米） 6.6.（例（例 1313）有一个正方体，从不同的角度
36、观察它得到下面的图，其中左图中看不到右中的）有一个正方体，从不同的角度观察它得到下面的图，其中左图中看不到右中的 A A 点，点， 请你在这个正方体的展开图中分别将所缺的线段补上。请你在这个正方体的展开图中分别将所缺的线段补上。 分析：如图分析：如图 专题展望专题展望 立体图形的相关知识（表面积、体积等）我们会在五年级春季和六年级继续学习立体图形的相关知识（表面积、体积等）我们会在五年级春季和六年级继续学习. A 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第二讲教师版Page 10 of 10 数学知识数学知识 蛋型拼板蛋型拼板一种蛋形图板一种蛋形图板，可以分割成如下图所示的九块板可以分割成如下图所示的九块板，利用这九块板可以拼利用这九块板可以拼 成各种各样的图形国外称之为成各种各样的图形国外称之为“魔蛋魔蛋” 用蛋形拼板拼成的几种动物的造型用蛋形拼板拼成的几种动物的造型 你会拼吗？拼拼看你会拼吗？拼拼看 三角板拼图三角板拼图用四块形状用四块形状、大小完全一样的直角三角形纸板大小完全一样的直角三角形纸板（如右图如右图），拼拼搭拼拼搭 搭（不能重叠），能出现许多边长不同的正方形搭（不能重叠），能出现许多边长不同的正方形 你会拼吗？拼拼看你会拼吗？拼拼看
