1、讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第五讲教师版Page 1 of 11 第五讲第五讲包含与排除包含与排除 教学目标教学目标 1.熟练掌握容斥原理的基本应用；熟练掌握容斥原理的基本应用； 2.能够独立解决容斥原理与最值问题的综合应用；能够独立解决容斥原理与最值问题的综合应用； 3.了解容斥原理与排列组合、德了解容斥原理与排列组合、德-摩根定律的综合应用摩根定律的综合应用. 分析分析：无弟弟人数有无弟弟人数有 3838 人人，则有弟弟人数有则有弟弟人数有 1010 人人，有弟弟无妹妹的有有弟弟无妹妹的有
2、 8 8 人人，有弟弟有妹妹有弟弟有妹妹 的有的有 2 2 人，则无弟弟有妹妹的人数是人，则无弟弟有妹妹的人数是 4 4 人，所以无弟弟无妹妹的是人，所以无弟弟无妹妹的是 3434 人，即独生子女的人，即独生子女的有有 3434 人人. . 包含排除法：包含排除法： 1 1若已知若已知 A A、B B、C C 三部分的数量（如图三部分的数量（如图） ，其中，其中 C C 为重复部分，则为重复部分，则 图中的数量等于图中的数量等于 A+B-C.A+B-C. 即：即：A AB=A+B-B=A+B- A AB B，其中，其中 A AB=C.B=C. 2 2若已知若已知 A A、 B B、 C C 三
3、部分的数量三部分的数量 （如图如图） ，则图中的数量等于则图中的数量等于 A+B+C-A+B+C- （A A 与与 B B 重叠部分重叠部分+ + B B 与与 C C 重叠部分重叠部分+ + C C 与与 A A 重叠部分）重叠部分）+A+A、B B、 C C 三者重叠的部分三者重叠的部分. . 即：即：A AB BC=A+B+C-C=A+B+C-（A AB+BB+BC+CC+CA A）+ + A AB BC.C. 评注 韦恩图在包含与排除中运用广泛，但它只适用于三个圆和四个圆以下的情况，如果有四组不完全 相关性质划分集合，根据乘法原理它们会将集合划分为 2222=16 种类别.这是四个圆划
4、分长方形无 法办到的，圆办不到，不代表其他图形办不到，例如右图，粗实线能够分别穿越原来的 8 个区块将长方 形分为 8+8=16 个部分.一般小学奥数题中最多出现三组不完全相关性质划分集合的情况，用韦恩图足够 了.万一出现四组不完全相关性质的情况，不推荐使用韦恩图. C B A C B A 想挑战吗？想挑战吗？ 4848 人中无弟弟的有人中无弟弟的有 3838 人人，有弟弟无妹妹的有有弟弟无妹妹的有 8 8 人人，无弟弟有妹妹的无弟弟有妹妹的 人数是有弟弟有妹妹人数的人数是有弟弟有妹妹人数的 2 2 倍，试问：这倍，试问：这 4848 人当中是独生子女的人当中是独生子女的 有几个？有几个？ 专
5、题精讲专题精讲 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第五讲教师版Page 2 of 11 （一）（一） 容斥原理的基本应用容斥原理的基本应用 【例【例 1 1】 （20042004 年中央年中央 A A 类公务员考题）在桌面上放置着三个面积相等的纸片类公务员考题）在桌面上放置着三个面积相等的纸片 A A、B B、C C，A A 和和 B B 的重叠的重叠 面积为面积为 1616 cmcm 2 2， ，B B 和和 C C 重叠的面积为重叠的面积为 1212 cmcm 2 2， ，C C 和和 A A
6、重叠的面积为重叠的面积为 1010 cmcm 2 2，三张纸片共同重叠的面积为 ，三张纸片共同重叠的面积为 6 6 cmcm 2 2，已知三张纸片一共覆盖了 ，已知三张纸片一共覆盖了 160160 cmcm 2 2，那么每张纸片的面积为多少？ ，那么每张纸片的面积为多少？ 分析分析：将各种重叠将各种重叠、部分重叠的各部分凑成三张纸片的的面积和部分重叠的各部分凑成三张纸片的的面积和.可以由公式推倒可以由公式推倒，也可以靠对各部分面也可以靠对各部分面 积的容斥关系和数量关系的理解积的容斥关系和数量关系的理解，三张纸片的面积和三张纸片的面积和=覆盖面积覆盖面积+重叠了两次部分的面积重叠了两次部分的面
7、积+2重叠了三次重叠了三次 部分的面积部分的面积=覆盖面积覆盖面积+两两相互重叠的面积之和两两相互重叠的面积之和-重叠了三次的部分重叠了三次的部分=160+16+12+10-6=192，所以每张纸，所以每张纸 片的面积为片的面积为 64cm2. 前铺 在桌面上放置着三个两两重叠的近圆形纸片（如图，三个纸片等大） ，它们 的面积都是 100cm 2，并知 A、B 两圆重叠的面积是 20cm2，A、C 两圆重叠的面积为 45cm 2，B、C 两圆重叠的面积为 31cm2,三个圆共同重叠的面积为 15cm2，求盖住桌子 的总面积 分析： （法 1）直接套用公式：1003-20-45-31+15=21
8、9cm 2.套用公式的前提必须建 立在对公式的理解的基础上，A、B、C 三个圆的面积各包含了四块面积，例如 A 覆盖的部分包括，A 与 B 共有而 C 没有的；A 与 C 共有的而 B 没有的，A、B、C 三圆共有的；A 独有的.这样如果将 A、B、C 的面积 简单相加，A 与 B 共有而 B 没有的；A 与 C 共有的而 B 没有的；B 与 C 共有的而 A 没有的；A、B、C 三个 部分的共有部分则被计算了 3 次，如果再将 A、C 两圆重叠的；B、C 两圆重叠的；A、B 两圆重叠的三部 分各减去一遍，那么同时 A、B、C 三个部分的共有部分则被减了 3 次，此时得到的结果中 A、B、C
9、三个 部分的共有部分没有被计算过，所以最后还要将这一部分加上. （法 2）分别计算各区块的面积，A 与 B 共有而 C 没有的=20-15=5，B 与 C 共有的而 A 没有的=31-15=16， A 与 C 共有的而 B 没有的=45-15=30.A 独有的=100-5-30-15=50，B 独有的=100-16-5-15=64，C 独有的 100-30-16-15=39.盖住桌子的总面积=15+5+16+30+50+64+39=219，事实上如果我们实现没有将各个区块 算出来的话，盖住桌子的总面积=15+（20-15）+（31-15）+（45-15）+（100-15-（20-15）-（45
10、-15） ） +（100-15-（20-15）-（31-15） ）+（100-15-（36-15）-（45-15） ）=1003-20-45-31+15=219. 拓展 将 113 这 13 个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的 13 个区域中，然后把每个圆内的 7 个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多 少？ 分析：越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，将数字案从 大到小依次填写于被重复计算多的区格中，最大和为： 134+（12+11+10+9）3+（8+7+6+5）2+（4+3+2+1）=240. 【例【例 2】 （奥数网原创题）学而思学校有（奥数网
11、原创题）学而思学校有 46 名学生参加三项课外活动，其中名学生参加三项课外活动，其中 24 人参加了绘画小组，人参加了绘画小组，20 人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的 3.5 倍，又是三项活倍，又是三项活 动都参加人数的动都参加人数的 7 倍倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的 2 倍倍，既参加绘既参加绘 画小组又参加合唱小组的有画小组又参加合唱小组的有 10 人，求参加朗诵小组的人数人，求参加朗诵小组的
12、人数 分析：设三项都参加的人数有分析：设三项都参加的人数有 X 人，则参加朗诵小组的人数为人，则参加朗诵小组的人数为 7X 人，参加绘画小组又参加朗诵小组的人，参加绘画小组又参加朗诵小组的 人 数 为人 数 为 2X 人 ， 参 加 朗 诵 小 组 又 参 加 合 唱 小 组 的 人 数 为人 ， 参 加 朗 诵 小 组 又 参 加 合 唱 小 组 的 人 数 为 2X 人人 . 有有 46-24-20-7X+2X+2X+10-X=0，解得，解得 X=3，所以参与朗诵小组的人数为，所以参与朗诵小组的人数为 21 人人 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学
13、而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第五讲教师版Page 3 of 11 前铺 学而思举行各年级学生画展，其中 18 幅不是六年级的，20 幅不是五年级的，现在知道五、六年 级共展出 22 幅画，问：其他年级共展出多少幅画？ 分析： （法 1）其他年级与五年级共展出 18 幅画，其他年级与六年级共展出 20 幅画，五年级六年级共展 出 22 幅画，其他年级共展出（18+20-22）2=8 幅. （法 2） 把五年级的画看成一个集合 A， 六年级的画看成一个集合 B， 其他年级的画看成一个集合 C， 它们的画加起来是集合 I，那么我们知道：n(I)n(A)=20,n(I)n(B
14、)=18,n(A)n(B)=22,其他年级展出 的画 n(C)=n(I)-n(A)-n(B).把 n(I)n(A)=20,n(I)n(B)=18 两个式子相加得到：2n(I)n(A) n(B)=38,即 2n(I)=n(A)n(B)38=2238=60,n(I)=30.所以，n(C)=n(I)n(A)n(B)=3022=8 幅 拓展 五一班有 28 位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个其中仅参加数学与语文 小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有 6 个同学参加数学 与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是 3 个小组全参加的
15、人数的 5 倍，并且知道 3 个小组全参加的人数是一个不为 0 的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？ 分析：参加 3 个小组的人数是一个不为 0 的偶数，如果该数大于或等于 4，那么仅参加语文与自然小组的 人数则大于等于 20，而仅参加数学与自然小组的人有 6 个，这样至少应有 30 人，与题意矛盾，所以参加 3 个小组的人数为 2仅参加语文与自然小组的人数为 10，于是仅参加语文与自然、仅参加数学与自然和 参加 3 个小组的认识一共是 18 人，剩下的 10 人是仅参加数学与语文以及仅参加数学的由于这两个人数 相等，所以仅参加数学和语文小组的有 5 人 【例【例 3】 （奥数网原创
16、题）求（奥数网原创题）求不超过不超过 120 的合数的个数的合数的个数 分析：从分析：从 120 中去掉质数，再去掉中去掉质数，再去掉“1”，剩下的即是合数，剩下的即是合数 （法法 1）120 以内以内： 既不是素数又不是合数的数有一个既不是素数又不是合数的数有一个，即即“1”； 素数有素数有 2、3、5、7、11、13、17、 19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97、101、103、107、109、 113、共、共 30 个所以不超过个所以不超过 120 的合数有的合数有 12013089(个个) 筛法：从小到大按顺序写出筛
17、法：从小到大按顺序写出 1120 的所有自然数：的所有自然数： 先划掉先划掉 1，保留，保留 2，然后划掉，然后划掉 2 的所有倍数的所有倍数 4,6，120 等；保留等；保留 3，再划掉所有，再划掉所有 3 的倍数的倍数 6,9117、120 等等；保留保留 5，再划掉再划掉 5 的所有倍数的所有倍数 10,15，120；保留保留 7，再划掉再划掉 7 的所有倍数的所有倍数，这样这样，上面数表中剩上面数表中剩 下的数就是下的数就是 120 以内的所有素数，这种方法是最古老的寻找素数的方法，叫做以内的所有素数，这种方法是最古老的寻找素数的方法，叫做“埃斯托 拉筛法 ”) 讲义是乐谱，学生是听众
18、，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第五讲教师版Page 4 of 11 当当 n 不很大时不很大时，计算计算 1n 中的合数的个数困难不大中的合数的个数困难不大；但当但当 n 很大时很大时，利用筛法就很困难利用筛法就很困难、很费时了很费时了，必必 须另觅他途须另觅他途 （法法 2）如果能找出如果能找出 1n 中质数的个数中质数的个数 m，则，则 n1m 就是不超过就是不超过 n 的合数的个数由初等数论中定的合数的个数由初等数论中定 理：理：a 是大于是大于 1 的整数如果所有不大于的整数如果所有不大于a 的质数都不能整除
19、的质数都不能整除 a，那么，那么 a 是质数因为是质数因为 120121112， 12011，所以不超过所以不超过 120 的合数必是的合数必是 2 或或 3 或或 5 或或 7 的倍数的倍数，所以只要分别计算出不超过所以只要分别计算出不超过 120 的的 2、3、 5、7 的倍数，再利用的倍数，再利用“容斥原理容斥原理”即可即可，所以，所以不超过不超过 120 的合数共有的合数共有 89 个个 前铺 1 求 1 至 100 的自然数中能被 3 或 7 整除的数的个数. 分析：记 A：1 到 100 中 3 的倍数，1003=331，有 33 个； B：1 到 100 中 7 的倍数，1007
20、=142，有 14 个； AB:1 到 100 中 3 和 7 的倍数，即 21 的倍数，10021=416，有 4 个 依据公式，1 到 100 中 3 的倍数或 7 的倍数共有 33+14-4=43 个，则能被 3 或 7 整除的数的个数为 43 个. 前铺 2（07 年我爱数学夏令营）在 1 到 2004 的所有自然数中，既不是 2 的倍数，也不是 3、5 的倍数 的数有多少个？ 分析：1 到 2004 中是 2 的倍数的有 1002 个，3 的倍数有 668 个，5 的倍数有2004/5=400 个,6 的倍数有 334 个，10 的倍数有2004/10=200 个，15 的倍数有20
21、04/15=133 个，30 的倍数有2004/30=66 个. 所以不是 2、3、5 的倍数有 2004-1002-668-400+334+200+133-66=535 个. 巩固 求在 1100 的自然数中不是 5 的倍数也不是 6 的倍数的数有多少个？ 分析： “既不是 5 的倍数也不是 6 的倍数”的反面情况就是“是 5 的倍数或者是 6 的倍数” 记A：1100 中 5 的倍数，100520，有 20 个； B：1100 中 6 的倍数，4166100，有 16 个； BA：1100 中 5 和 6 的公倍数，即 30 的倍数，10330100，有 3 个 依据公式，1100 中 5
22、 的倍数或 6 的倍数共有3331620个，则既不是 5 的倍数也不是 6 的 倍数的数有6733100个 拓展 1 不超过 201 的自然数中，至少有两个数字相同的奇数有多少个？ 分析：1099 中符合条件的数有 5 个（11、33、55、77、99） ，100199 中有三个数字都不同的有 98=72 个，偶数有 50 个，有三个数字都不同的偶数有 58=40 个，因此至少有两个数字相同的不同的奇数有 100-72-50+40=18 个，200 和 201 都不符合条件一共有 23 个符合条件 拓展 2 有 2000 盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为 1，2，3，20
23、00，然 后将编号为 2 的倍数的灯线拉一下，再将编号为 3 的倍数的灯线拉一下，最后将编号为 5 的倍数的灯线 拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？ 分析：教师可以先讲解前铺，但要区分例题与前铺的区别. 三次拉完后，亮着的灯包括不是 2、3、5 的倍数的数以及是 6、10、15 的倍数但不 是 30 的倍数的数12000 这 2000 个正整数中，2 的倍数有 1000 个，3 的倍数有 666 个，5 的倍数有 400 个，6 的倍数有 333 个，10 的倍数有 200 个，15 的倍数有 133 个， 30 的倍数有 66 个， 亮着的灯一共有 2000-1000-666-400+2
24、 （333+200+133） -466=1002 盏 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第五讲教师版Page 5 of 11 【例【例 4】 学而思举行数学擂台赛学而思举行数学擂台赛，共出共出 A、B、C 三道题三道题，有有 110 人参加人参加，每个人都至少答对一道题每个人都至少答对一道题，已已 知答对知答对 A 题的有题的有 52 人，只答对人，只答对 A 题的有题的有 16 人；答对人；答对 B 题的有题的有 61 人，只答对人，只答对 B 题的有题的有 15 人；答对人；答对 C 题的有题的
25、有 63 人，只答对人，只答对 C 题的有题的有 21 人，问三道题都答对的有多少人？人，问三道题都答对的有多少人？ 分析分析：结合题的条件结合题的条件，设仅答对设仅答对 AB 的有的有 X 人人，BC 的有的有 Z 人人，AC 的有的有 Y 人人，全答对的有全答对的有 W 人人，可得可得 以下等式：以下等式： 16+X+Z+W=52 15+X+Y+W=61 21+Y+Z+W=63 16+15+21+X+Y+Z+W=110 + + +- -2 2：解得：解得 W=8W=8，即三道题都答对的人数为，即三道题都答对的人数为 8 8 【例【例 5】 （2007 中央中央 B 类公务员考题）某次考试有
26、类公务员考题）某次考试有 52 人参加，共考人参加，共考 5 题，每题做错的人数统计如表：题，每题做错的人数统计如表： 已知每人都至少做对一道题，做对一道题的有已知每人都至少做对一道题，做对一道题的有 7 人，人，5 道题全对的有道题全对的有 6 人，做对人，做对 2 道题和道题和 3 道题的人数道题的人数 一样多，那么做对一样多，那么做对 4 道题的人数是多少？道题的人数是多少？ 分析：设做对分析：设做对 2 道题的和道题的和 3 道题的人数为道题的人数为 X，做对，做对 4 道题的人数有道题的人数有 Y 人则根据人数和错题数的相关等人则根据人数和错题数的相关等 量关系有以下两条等式：量关系
27、有以下两条等式： 7+2X+Y+6=52 47+3X+2X+Y=4+6+10+20+39 X=4 Y=31所以做对所以做对 4 道题的有道题的有 31 人人 （二）（二） 容斥原理与最值问题的综合应用容斥原理与最值问题的综合应用 容斥原理与最值问题的结合往往是小学生的难点，不仅是因为不等式的出现，还有分数、倍数关系容斥原理与最值问题的结合往往是小学生的难点，不仅是因为不等式的出现，还有分数、倍数关系 的融合都会使题目复杂易错，更重要的是注意的融合都会使题目复杂易错，更重要的是注意“至少至少” “最多最多”等所隐含的数学关系等所隐含的数学关系. 【例【例 6】 1100 这这 100 个自然数，
28、个自然数，A、B、C 三个人都分别从某一个数开始按顺序往后数，已知三个人都分别从某一个数开始按顺序往后数，已知 A 数数了了 75 个数，个数，B 数了数了 60 个数，个数，C 数了数了 52 个数，那么三个人共同数到的数最少有多少个？个数，那么三个人共同数到的数最少有多少个？ 分析：三个人共同数到的数也必然是一段连续的数，这段数有分析：三个人共同数到的数也必然是一段连续的数，这段数有 X 个个A,B,C 三人中至多有一个人既数了三人中至多有一个人既数了 小于这段数的数，又数了大于这段数的数否则如果有两个人既数了小于这段数的数，又数了大于这段小于这段数的数，又数了大于这段数的数否则如果有两个
29、人既数了小于这段数的数，又数了大于这段 数的数数的数，则第三人无论数了小于这段数的数则第三人无论数了小于这段数的数，还是大于这段数的数还是大于这段数的数，三人共同数的数都不止这三人共同数的数都不止这 X 个个对对 于另外两个数数区间没有跨越这段数的人有不等式于另外两个数数区间没有跨越这段数的人有不等式 Y+Z-X100（Y 和和 Z 分别为两人所数的个数）分别为两人所数的个数）X Y+Z-10060+52-100=12. 题号题号一一二二三三四四五五 做错人数做错人数46102039 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07
30、 年秋季五年级竞赛班第五讲教师版Page 6 of 11 前铺 学校组织一次数学竞赛，共出了一、二、三共三道大题，至少做对一道题的有 40 人，其中做对 第一题的有 15 人，做对第二题的有 20 人，做对第三题的有 25 人，如果三道题都做对的只有 2 人，那么 只对两道题的有多少人？只做对一道题的又有多少人？ 分析：假设只答对两道题的有 X 人，根据一、二、三道题总人数中扣去重复计算的人员数乘以被重复计 算的次数等于做对一道题的人数，则有 15+20+25-X-22=40，解得 X=16，即只作对一道题的人数为 15+20+25-216-32=22 人 【例【例 7】 （人大附中考题）一次
31、数学考试，小明答错题目占总数的（人大附中考题）一次数学考试，小明答错题目占总数的 1 9 ，小军答对，小军答对 7 道题，两人都答对的道题，两人都答对的 题目是总数的题目是总数的 1 6 ，问：小明答对多少道题？，问：小明答对多少道题？ 分析分析：设两人都答对的题的数目是设两人都答对的题的数目是 X，由条件可知一共有由条件可知一共有 6X 道题道题，小明至少有小明至少有（7-X）道题没答道题没答，又因又因 为小明答错题目占总数的为小明答错题目占总数的 1 9 ，所以，小明没答的题有，所以，小明没答的题有 2 3 X 道道 2 3 X（7-X） ，得到，得到 X 21 5 ，且且 X 为为 3
32、的倍数，所以只能为的倍数，所以只能为 6，一共有题，一共有题 36 道，小明答题道，小明答题 36-369=32 题题 前铺 某班在体育课上进行了成绩考核，这个班在 100 米自由泳、跳远、铅球三项测试中获优秀等级的 人数分类统计如下：100 米自由泳获得优秀的有 21 人，跳远获得优秀的有 19 人，铅球获得优秀的有 20 人100 米自由泳和跳远都获得优秀的有 9 人，跳远和铅球都获得优秀的有 7 人，铅球和 100 米自由泳都 获得优秀的有 8 人有 5 人没有获得任何一项优秀试判断这个班的人数的取值范围 分析：该班人数表达为 5+21+19+20-9-7-8+X，X 为三项测试都优秀的
33、人考虑 X 的取值范围，0X7， 即该班人数最多能有 48 人，最少有 41 人 小笑话 1. 公共汽车上老太太怕坐过站逢站必问汽车到一站她就一个劲地用雨伞捅司机：这是展览中心 吗？不是，这是排骨！ 2. 护士看到肝病病人在病房喝酒，就上前走过去叮嘱说：小心肝！病人微笑道：小宝贝 【例【例 8】 （仁华考题（仁华考题）60 人中有人中有 2 3 的人会打乒乓球的人会打乒乓球， 3 4 的人会打羽毛球的人会打羽毛球， 4 5 的人会打排球的人会打排球，这三项运动这三项运动 都会的人有都会的人有 22 人，问：这三项运动都不会的最多有多少人？人，问：这三项运动都不会的最多有多少人？ 分析：设只会打
34、乒乓球和羽毛球的人有分析：设只会打乒乓球和羽毛球的人有 X，只会打乒乓球和排球的有，只会打乒乓球和排球的有 Y 人，只会打羽毛球和排球的有人，只会打羽毛球和排球的有 Z 人则人则 X、Y、Z 有如下关系：有如下关系： 40-(X+Y+22)0 45-(X+Z+22)0 48-(Y+Z+22)0 将三条关系式相加，得到将三条关系式相加，得到 X+Y+Z33，而，而 60 人当中会至少一项运动的人数有人当中会至少一项运动的人数有 40+45+48-（X+Y+Z）-2 2256 人人60 人当中三项都不会的人数最多人当中三项都不会的人数最多 4 人人 （当当 X、Y、Z 分别取分别取 7、10、15
35、 时时，不等式组成立不等式组成立） 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第五讲教师版Page 7 of 11 【例【例 9】 希望小学的音乐兴趣小组有希望小学的音乐兴趣小组有 37 人人，其中有其中有 20 人会手风琴人会手风琴，16 人会钢琴人会钢琴，24 人会电子琴人会电子琴，其中其中 既会手风琴又会钢琴的有既会手风琴又会钢琴的有 8 人，既会电子琴又会钢琴的有人，既会电子琴又会钢琴的有 10 人，既会手风琴又会电子琴的有人，既会手风琴又会电子琴的有 8 人请人请 问：这三种琴都不会的人至多有多少
36、人？问：这三种琴都不会的人至多有多少人？ 分析分析： 三种琴都不会的人有三种琴都不会的人有 37-20-16-24+8+10+8-X 人人， 其中其中 X 为三种琴都会的人数为三种琴都会的人数， 考虑考虑 X 的取值范围的取值范围, X 必须满足会指定乐器的学生人数必须为非负整数于是有不等式组：必须满足会指定乐器的学生人数必须为非负整数于是有不等式组： X0 8-X0 10-X0 8-X0 20-8-8+X0 16-8-10+X0 24-8-10+X0 37-20-16-24+8+10+8-X0 得到的得到的 X X 取值范围为取值范围为 2 2X X3 3当当 X X 取取 2 2 时三种琴
37、都不会的人数得到最小值时三种琴都不会的人数得到最小值 1.1. 前铺 图书室有 100 本书，借阅者要在借书证上签名，已知这 100 本书中有甲签名的 33 本，有乙签名 的 44 本，有丙签名的 55 本，其中同时有甲、乙签名的图书有 29 本，同时有甲、丙签名的图书有 25 本， 同时有乙、丙签名的图书有 36 本，问：这批图书中有多少本没有被这三个人中的任何一个人借阅过？ 分析：设这批图书中被这三个人同时借阅过的有 x 本，则有 33+44+55-29-25-36+x=42+x 本书被人借过， 因为同时有甲、丙签名的图书才有 25 本，所以 x 的最大值是 25，42+x 的最大值是 6
38、7，100-67=33（本） ， 即没有被这三个人中的任何一个人借阅过的至少有 33 本. 小笑话 1. 南非有一位渔民，有一件很烦心的心事：每当他停车离开后，总有野生狒狒把他的汽车后视镜和雨刷 掰下来后来，他想到一条妙计：狒狒很怕蛇，何不在车上放几条橡胶蛇吓唬吓唬它们呢？第二天一 早，他就到玩具店买了 12 条长长的蛇，放在引擎盖和车顶上，几个小时后，他回到车边，发现车身 上全是凹坑：一群狒狒正在一边怒气冲冲的朝那些“蛇”扔石头！ 2. 沙僧参加数学考试，监考老师盯着他脖子上的珠子看了半天，冷笑道： “嘿嘿，把算盘伪装成这样了！ 休想作弊，快摘下来！ ” （三）（三） 容斥原理与排列组合、德
39、容斥原理与排列组合、德摩根定律的综合应用摩根定律的综合应用 （本部分例题根据近两年全国高中数学联赛改编） 信息提示集合的基本概念 某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集，集合常常用大写字母表示，比如 A，B，C 等 等，在平面上集合也常用一个圆表示，集合中的每个对象叫做这个集合的元素，元素与集合只有两种关 系，即元素属于集合或者不属于集合，元素一般用小写字母表示 元素a属于集合A记作aA 元素a不属于集合A记作aA或a A 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第五讲教师版Page 8 of 1
40、1 由所有属于集合A且属于集合B的元素所构成的集合， 叫做A与B的交集， 记作：AB（读作 “A 交B” ） 由所有属于集合A或属于集合B的元素所构成的集合， 叫做A与B的并集， 记作：AB（读作 “A 并B” ） 已知全集I，集合A，由于I中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在集合I中的补集， 记作：A（读作“A补” ） 如果我们用n（A）表示集合A中元素的个数，那么可以叙述容斥原理如下： （1）()( )( )()n ABn An Bn AB，若AB是非空集合，称A，B两个集合是相容的，则 ()0n AB ，从而()( )( )n ABn An B，特别地，若AB （是空集，称A，B
41、两个集合 是不相容的即相斥的） ，则()0n AB ，这时有()( )( )n ABn An B （2）()(I)( )( )()n ABnn An Bn AB（I是全集，A，B是I的子集） （3）()( )( )( )()()()()n ABCn An Bn Cn ABn BCn CAn ABC （4）()( )( )( )( )()()n ABCn In An Bn Cn ABn BC ()()n CAn ABC 【例【例 1010】从从 6 6 名运动员中选出名运动员中选出 4 4 名参加名参加 4x100m4x100m 接力赛接力赛，如果甲不跑第一棒如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒乙不跑
42、第四棒，共有多共有多 少种不同的参赛方法少种不同的参赛方法? ? 分析分析：设全集设全集 U U6 6 人中任取人中任取 4 4 人参赛的排列，人参赛的排列，A=A=甲跑第一棒的排列，甲跑第一棒的排列，B=B=乙跑第四棒的排列乙跑第四棒的排列 ，根，根 据容斥原理得参赛方法共有：据容斥原理得参赛方法共有： 252)()()()( 2 4 3 5 3 5 4 6 AAAABABnAnn ( (种种) ). . 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第五讲教师版Page 9 of 11 【例【例 1111】
43、学而思五年级竞赛学而思五年级竞赛班的学生中，参加课外语文小组的有班的学生中，参加课外语文小组的有 2020 人，参加数学小组的有人，参加数学小组的有 2222 人，人， 既参加语文又参加数学小组的有既参加语文又参加数学小组的有 1010 人，既未参加语文又未参加数学小组的有人，既未参加语文又未参加数学小组的有 1515 人，问共有多少学生人，问共有多少学生? ? 分析分析：设：设 U=U=学而思五年级竞赛学而思五年级竞赛班的学生班的学生 ，A=A=学而思五年级竞赛学而思五年级竞赛班参加语文小组的学生班参加语文小组的学生 ，B=B=学而思学而思 五年级竞赛五年级竞赛班参加数学小组的学生班参加数学
44、小组的学生 ，由容斥原理及德，由容斥原理及德摩根定律：摩根定律： )(4710222015 )()()()( )()()( 人 BAnBnAnBACn BAnBACnUn 【例【例 1212】由数字由数字 1 1、2 2、3 3、4 4、5 5 可以组成多少个无重复数字且可以组成多少个无重复数字且 2 2、3 3 都与都与 4 4 不相邻的五位数不相邻的五位数 分析分析：设设 A=2A=2 与与 4 4 相邻的五位数相邻的五位数 ，B=3B=3 与与 4 4 相邻的五位数相邻的五位数 ，则原题即求，则原题即求 )(BCACn ，由容斥原，由容斥原 理及德理及德摩根定律：摩根定律： .36 )(
45、)()()( )()( )()( 3 3 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 5 5 AAAAAAA BAnBnAnn BAnn BACnBCACn 注： )(BAn 表示 2 与 4 相邻且 3 与 4 相邻的五位数的个数，那么 4 一定排在 2 与 3 之间，且 2、3、4 相邻，故有 3 3 2 2 AA 种排法 字谜及脑筋急转弯 1. 十个人打架，八个人拉，六个人进屋把门叉（打一个字）答案：校 2. 乌龟和豆子赛跑，遇到一条河，乌龟游过去赢了.（猜一种蔬菜名）答案：荷兰豆 3. 一个小人，带个小帽，过个小桥，看着月亮，哼着小曲，吃着小豆（打一个繁体字）答案：體（体） 专题展望专题展
46、望 因为容斥原理的相关内容我们会在六年级继续学习因为容斥原理的相关内容我们会在六年级继续学习. 练习五练习五 1.（例（例 1）边长为边长为 6、5、2 的三个正方形的三个正方形，如图所示如图所示，求它们的盖住部分的求它们的盖住部分的 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第五讲教师版Page 10 of 11 面积面积 分析：边长为分析：边长为 5 的正方形与边长为的正方形与边长为 6 的正方形，共同盖住的部分面积为的正方形，共同盖住的部分面积为 9； 边长为边长为 5 的正方形与边长为的正方形与边长
47、为 2 的正方形，共同盖住的部分面积为的正方形，共同盖住的部分面积为 2； 边长为边长为 2 的正方形与边长为的正方形与边长为 6 的正方形，共同盖住的部分面积为的正方形，共同盖住的部分面积为 2； 三个正方形共同盖住的面积为三个正方形共同盖住的面积为 1 它们一共盖住面积为它们一共盖住面积为 25+36+4-9-2-2+1=53. 2.2.（例（例 3 3）求在）求在 1 1100100 的自然数中不是的自然数中不是 5 5 的倍数也不是的倍数也不是 6 6 的倍数的数有多少个？的倍数的数有多少个？ 分析分析： “既不是既不是 5 5 的倍数也不是的倍数也不是 6 6 的倍数的倍数”的反面情
48、况就是的反面情况就是“是是 5 5 的倍数或者是的倍数或者是 6 6 的倍数的倍数” 记记A A：1 1100100 中中 5 5 的倍数，的倍数，100520，有，有 2020 个；个； B B：1 1100100 中中 6 6 的倍数，的倍数，4166100，有，有 1616 个；个； BA：1 1100100 中中 5 5 和和 6 6 的公倍数，即的公倍数，即 3030 的倍数，的倍数，10330100，有，有 3 3 个个 依据公式依据公式，1 1100100 中中 5 5 的倍数或的倍数或 6 6 的倍数共有的倍数共有3331620个个，则既不是则既不是 5 5 的倍数也不是的倍数
49、也不是 6 6 的的 倍数的数有倍数的数有6733100个个 3.（例（例 3）以）以 105 为分母的最简真分数共有多少个？为分母的最简真分数共有多少个？ 分析分析：105=357，105 以内的以内的 3 的倍数有的倍数有 35 个个，5 的倍数有的倍数有 21 个个，7 的倍数有的倍数有 15 个个，35 的倍数的倍数有有 7 个，个，37 的倍数有的倍数有 5 个，个，57 的倍数有的倍数有 3 个，只有个，只有 105 是是 3、5、7 的倍数，的倍数，105 以内与以内与 105 互质的数互质的数 一共有一共有 105-35-21-15+7+5+3-1=48 个个. 4.（例（例
50、4）在所有的三位自然数中，组成数字的三个数字既有大于）在所有的三位自然数中，组成数字的三个数字既有大于 5 的数字，又有小于的数字，又有小于 5 的数字的自的数字的自 然数共有多少个？然数共有多少个？ 分析：所有三位的自然树中仅仅由不大于五的数字组成的数有分析：所有三位的自然树中仅仅由不大于五的数字组成的数有 566=180 个数字，仅仅由不小于个数字，仅仅由不小于 5 的的 数字组成的数有数字组成的数有 555=125 个个，其中其中 555 各位书即不大于各位书即不大于 5，也不小于也不小于 5，因此符合条件的三位数共因此符合条件的三位数共有有 999-99-（180+125-1）=596
