1、2021 年全国统一高考数学试卷（文科） （乙卷） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1已知全集1U ，2，3，4，5，集合1M ，2，3N ，4，则()( U MN ) A5B1，2C3，4D1，2，3，4 2设43izi，则(z ) A34i B34i C34iD34i 3 已知命题:pxR ，sin1x ； 命题:qxR ， | | 1 x e ， 则下列命题中为真命题的是() ApqBpq CpqD()pq 4函数( )sincos 33 xx f x 的最小正周期和最大值分别是() A3和2B3和 2
2、C6和2D6和 2 5若x，y满足约束条件 4, 2, 3, xy xy y 则3zxy的最小值为() A18B10C6D4 6 225 coscos( 1212 ) A 1 2 B 3 3 C 2 2 D 3 2 7在区间 1 (0, ) 2 随机取 1 个数，则取到的数小于 1 3 的概率为() A 3 4 B 2 3 C 1 3 D 1 6 8下列函数中最小值为 4 的是() A 2 24yxxB 4 |sin| |sin| yx x C 2 22 xx y D 4 ylnx lnx 9设函数 1 ( ) 1 x f x x ，则下列函数中为奇函数的是() A(1)1f x B(1)1f
3、 x C(1)1f x D(1)1f x 10在正方体 1111 ABCDABC D中，P为 11 B D的中点，则直线PB与 1 AD所成的角为() A 2 B 3 C 4 D 6 11设B是椭圆 2 2 :1 5 x Cy的上顶点，点P在C上，则|PB的最大值为() A 5 2 B6C5D2 12设0a ，若xa为函数 2 ( )() ()f xa xaxb的极大值点，则() AabBabC 2 abaD 2 aba 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。 13已知向量(2,5)a ，( ,4)b ，若/ /ab ，则 14双曲线 22 1 45 xy 的右焦点到直
4、线280 xy的距离为 15 记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 面积为3，60B ， 22 3acac， 则b 16以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥 的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 共 60 分。 17 （12 分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有 无提高， 用一台旧设备和一台新设备各生产了
5、10 件产品， 得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7 新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y， 样本方差分别记为 2 1 s和 2 2 s （1）求x，y， 2 1 s， 2 2 s； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 22 12 2 10 ss yx ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不 认为有显著提高） 18 （12 分）如图，四棱锥PABCD的底
6、面是矩形，PD 底面ABCD，M为BC的中点， 且PBAM （1）证明：平面PAM 平面PBD； （2）若1PDDC，求四棱锥PABCD的体积 19 （12 分）设 n a是首项为 1 的等比数列，数列 n b满足 3 n n na b ，已知 1 a， 2 3a， 3 9a成 等差数列 （1）求 n a和 n b的通项公式； （2）记 n S和 n T分别为 n a和 n b的前n项和证明： 2 n n S T 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点F到准线的距离为 2 （1）求C的方程； （2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足9PQQF ，求直线OQ斜率的最
7、大值 21 （12 分）已知函数 32 ( )1f xxxax （1）讨论( )f x的单调性； （2）求曲线( )yf x过坐标原点的切线与曲线( )yf x的公共点的坐标 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，C的圆心为(2,1)C，半径为 1 （1）写出C的一个参数方程； （2）过点(4,1)F作C的两条切线以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 求这两条切线的极坐标方程 选修 4-5：不等式选讲（10 分） 23已知函数( )
8、|3|f xxax （1）当1a 时，求不等式( ) 6f x 的解集； （2）若( )f xa ，求a的取值范围 2021 年全国统一高考数学试卷（文科） （乙卷） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1已知全集1U ，2，3，4，5，集合1M ，2，3N ，4，则()( U MN ) A5B1，2C3，4D1，2，3，4 【思路分析】利用并集定义先求出MN ，由此能求出() U MN 【解析】 ：全集1U ，2，3，4，5，集合1M ，2，3N ，4， 1MN ，2，3，4， ()5 U
9、MN 故选：A 【归纳总结】本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力等 数学核心素养，是基础题 2设43izi，则(z ) A34i B34i C34iD34i 【思路分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解析】 ：解法一：由43izi，得 2 2 43(43 )() 3434 iii ziii ii 故选：C 解法二： （山西运城刘丽补解） ：等式两边同乘可得43zi 。两边再同乘1即得结果为 34i，故选：C 【归纳总结】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题 3 已知命题:pxR ，sin1x ； 命题:qxR ， | | 1 x e
10、， 则下列命题中为真命题的是() ApqBpq CpqD()pq 【思路分析】先分别判断命题p和命题q的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进 行判断，即可得到答案 【解析】 ：对于命题:pxR ，sin1x ， 当0 x 时，sin01x ，故命题p为真命题，p为假命题； 对于命题:qxR ， | | 1 x e ， 因为|0 x ，又函数 x ye为单调递增函数，故 | |0 1 x ee ， 故命题q为真命题，q为假命题， 所以pq为真命题，pq 为假命题，pq为假命题，()pq为假命题， 故选：A 【归纳总结】 本题考查了命题真假的判断， 解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的
11、 判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题 4函数( )sincos 33 xx f x 的最小正周期和最大值分别是() A3和2B3和 2C6和2D6和 2 【思路分析】化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可 【解析】 ：( )sincos2sin() 3334 xxx f x ， 2 6 1 3 T 当sin()1 34 x 时，函数( )f x取得最大值2； 函数( )f x的周期为6，最大值2 故选：C 【归纳总结】本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题 5若x，y满足约束条件 4, 2, 3, xy xy y 则3
12、zxy的最小值为() A18B10C6D4 【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解析】 ：由约束条件作出可行域如图， 联立 3 4 y xy ，解得(1,3)A， 由3zxy，得3yxz ，由图可知，当直线3yxz 过A时， 直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3 136 故选：C 【归纳总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题 6 225 coscos( 1212 ) A 1 2 B 3 3 C 2 2 D 3 2 【思路分析】直接利用二倍角的余弦化简求值即可 【解析】 ：解法一： 225
13、coscos 1212 5 1cos1cos 66 22 11115 coscos 226226 13133 () 22222 故选：D 解法二： （山西运城刘丽补解） ： 225 coscos 1212 22 3 cossincos 121226 【归纳总结】本题考查三角函数的化简求值和二倍角的余弦，是基础题 7在区间 1 (0, ) 2 随机取 1 个数，则取到的数小于 1 3 的概率为() A 3 4 B 2 3 C 1 3 D 1 6 【思路分析】我们分别计算出区间 1 (0, ) 2 和 1 (0, ) 3 的长度，代入几何概型概率计算公式，即 可得到答案 【解析】 ：由于试验的全部
14、结果构成的区域长度为 11 0 22 ， 构成该事件的区域长度为 11 0 33 ， 所以取到的数小于 1 3 的概率 1 2 3 1 3 2 P 故选：B 【归纳总结】 本题主要考查几何概型的概率计算， 其中根据已知条件计算出基本事件总数对 应的几何量的大小，和满足条件的几何量的大小是解答本题的关键，属基础题 8下列函数中最小值为 4 的是() A 2 24yxxB 4 |sin| |sin| yx x C 2 22 xx y D 4 ylnx lnx 【思路分析】利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A，根据基本不等式以及取最 值的条件，即可判断选项B，利用基本不等式求出最值，即可判断选
15、项C，利用特殊值验 证，即可判断选项D 【解析】 ：对于A， 22 24(1)3 3yxxx ， 所以函数的最小值为 3，故选项A错误； 对于B，因为0 |sin| 1x，所以 44 |sin|2 |sin|4 |sin|sin| yxx xx ， 当且仅当 4 |sin| |sin| x x ，即|sin| 2x 时取等号， 因为|sin| 1x ，所以等号取不到， 所以 4 |sin|4 |sin| yx x ，故选项B错误； 对于C，因为20 x ，所以 2 44 2222 24 22 xxxx xx y ， 当且仅当22 x ，即1x 时取等号， 所以函数的最小值为 4，故选项C正确；
16、 对于D，因为当 1 x e 时， 14 1454 1 yln e ln e ， 所以函数的最小值不是 4，故选项D错误 (详解 D) 当 x1 时， lnx0,所以 4 ylnx lnx 2 4 *4lnx lnx （当且仅当 lnx=2 即 x= 2 e时 取等号） ； 当 0 x1 时，lnx0,所以 4 ylnx lnx 4 )()lnx lnx （ -2 4 ()*()4lnx lnx （当且 仅当 lnx=-2 即 x= 2 1 e 取等号） ，综上， 4 ylnx lnx ), 44，（,所以选项 D 错 故选：C 【归纳总结】本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，
17、利用基本不等式求 解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，考查 了转化思想，属于中档题 9设函数 1 ( ) 1 x f x x ，则下列函数中为奇函数的是() A(1)1f x B(1)1f x C(1)1f x D(1)1f x 【思路分析】先根据函数( )f x的解析式，得到( )f x的对称中心，然后通过图象变换，使得 变换后的函数图象的对称中心为(0,0)，从而得到答案 【解析】 ：因为 1(1)22 ( )1 111 xx f x xxx ， 所以函数( )f x的对称中心为( 1, 1) ， 所以将函数( )f x向右平移一个单位，向上平移一个
18、单位， 得到函数(1)1yf x，该函数的对称中心为(0,0)， 故函数(1)1yf x为奇函数 故选：B 【归纳总结】本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定( )f x的对称中 心，考查了逻辑推理能力，属于基础题 10在正方体 1111 ABCDABC D中，P为 11 B D的中点，则直线PB与 1 AD所成的角为() A 2 B 3 C 4 D 6 【思路分析】由 11 / /ADBC，得 1 PBC是直线PB与 1 AD所成的角（或所成角的补角） ，由此 利用余弦定理，求出直线PB与 1 AD所成的角 【解析】 ： 11 / /ADBC， 1 PBC是直线PB与 1 A
19、D所成的角（或所成角的补角） ， 设正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2， 则 22 11 1 222 2 PBPC， 22 1 222 2BC ， 22 2( 2)6BP ， 222 11 1 1 6823 cos 22262 2 PBBCPC PBC PBBC ， 1 6 PBC ， 直线PB与 1 AD所成的角为 6 故选：D 【归纳总结】本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题 11设B是椭圆 2 2 :1 5 x Cy的上顶点，点P在C上，则|PB的最大值为() A 5 2 B6C5D2 【思路分析】求出B的坐标，设( 5cosP，sin )，利用两点
20、间距离公式，结合三角函数 的有界性，转化求解距离的最大值即可 【解析】 ：解法一：B是椭圆 2 2 :1 5 x Cy的上顶点，所以(0,1)B， 点P在C上，设( 5cosP，sin )，0，2 )， 所以 222 |( 5cos0)(sin1)42sin2PBcos 22 125 42sin64(sin) 44 sin， 当 1 sin 4 时，|PB取得最大值，最大值为 5 2 故选：A 解法二： （安徽滁州刘家范补解） ：B是椭圆 2 2 :1 5 x Cy的上顶点，所以(0,1)B， 设 P),( 0 0 yx,因为点P在C上，所以 2 20 0 :1 5 x Cy，PB 2 = 2
21、 0 2 ) 1()0( 0 yx =5（1- 2 0 y ）+ 2 0 y -2 0 y +1=-4 2 0 y -2 0 y +6=-4（ 0 y + 4 1 ）+ 4 25 ，因为-1 0 y 1，所以 当 0 y = 4 1 时，PB 2 最大值为 4 25 ， ，即 PB 最大值为 5 2 【归纳总结】本题考察的考点时椭圆的基本性质（纵坐标的范围） ，利用二次函数求最值的 的方法，考查划归转化思想和计算能力，属中档题。 12设0a ，若xa为函数 2 ( )() ()f xa xaxb的极大值点，则() AabBabC 2 abaD 2 aba 【思路分析】分0a 及0a ，结合三次
22、函数的性质及题意，通过图象发现a，b的大小关 系，进而得出答案 【解析】 ：令( )0f x ，解得xa或xb，即xa及xb是( )f x的两个零点， 当0a 时，由三次函数的性质可知，要使xa是( )f x的极大值点，则函数( )f x的大致图 象如下图所示， 则0ab； 当0a 时，由三次函数的性质可知，要使xa是( )f x的极大值点，则函数( )f x的大致图 象如下图所示， 则0ba； 综上， 2 aba 故选：D 【归纳总结】本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形结合思想， 属于中档题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。 13已知向量
23、(2,5)a ，( ,4)b ，若/ /ab ，则 8 5 【思路分析】根据题意，由/ /ab ，可得关于的方程，再求出即可 【解析】 ：因为(2,5)a ，( ,4)b ，/ /ab ， 所以850，解得 8 5 故答案为： 8 5 【归纳总结】本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题 14双曲线 22 1 45 xy 的右焦点到直线280 xy的距离为5 【思路分析】求出双曲线的右焦点的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可 【解析】 ：双曲线 22 1 45 xy 的右焦点(3,0)， 所以右焦点到直线280 xy的距离为 22 |308| 5 12 d 故答案为：5 【
24、归纳总结】本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，是基础题 15 记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 面积为3，60B ， 22 3acac， 则b 2 2 【思路分析】由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得 【解析】 ：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，60B ， 22 3acac， 1 sin3 2 acB 22 13 3412 22 acacac， 又 222 cos 2 acb B ac 2 112 2 2 28 b b ， （负值舍） 故答案为：2 2 【归纳总结】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题
25、16以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥 的三视图， 则所选侧视图和俯视图的编号依次为或 （写出符合要求的一组答案 即可） 【思路分析】通过观察已知条件正视图，确定该三棱锥的长和高，结合长、高、以及侧视图 视图中的实线、虚线来确定俯视图图形 【解析】 ：观察正视图，推出三棱锥的长为 2 和高 1，图形的高也为 1，即可能为该三 棱锥的侧视图， 图形的长为 2，即可能为该三棱锥的俯视图， 当为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为， 当为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱 锥的俯视图为 故答案为：或 【归纳总结
26、】 该题考查了三棱锥的三视图， 需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系， 以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中，需要较强空间想象，属于中等题 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 共 60 分。 17 （12 分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有 无提高， 用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品， 得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110
27、.29.7 新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y， 样本方差分别记为 2 1 s和 2 2 s （1）求x，y， 2 1 s， 2 2 s； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 22 12 2 10 ss yx ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不 认为有显著提高） 【思路分析】 （1）利用平均数和方差的计算公式进行计算即可； （2）比较yx与 22 12 2 10 ss 的大小，即可判断得到答案 【解析】：（1）由题中的数
28、据可得， 1 (9.810.310.010.29.99.810.010.1 10.29.7)10 10 x ， 1 (10.1 10.410.1 10.010.1 10.310.610.510.410.5)10.3 10 y ， 2222222 1 1 (9.810)(10.310)(1010)(10.210)(9.910)(9.810) 10 s 2222 (10 10)(10.1 10)(10.2 10)(9.710) 0.036； 222222 2 1 (10.1 10.3)(10.410.3)(10.1 10.3)(10.010.3)(10.1 10.3) 10 s 22222 (10
29、.3 10.3)(10.6 10.3)(10.5 10.3)(10.4 10.3)(10.5 10.3) 0.04； 解法二： （安徽滁州刘家范补快速解） ： 1 10( 0.20.300.20.10.200.10.20.3)10010 10 x ， 1 10(0.10.40.100.10.30.60.50.40.5)100.310.3 10 y ， （2）10.3 100.3yx， 22 12 0.0360.04 222 0.00760.174 1010 ss ， 所以 22 12 2 10 ss yx ， 故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高 【归纳总结】本题考查了样本特征数
30、的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式， 考查了运算能力，属于基础题 18 （12 分）如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，M为BC的中点， 且PBAM （1）证明：平面PAM 平面PBD； （2）若1PDDC，求四棱锥PABCD的体积 【思路分析】 （1）通过线面垂线即可证明；即只需证明AM 平面PBD （2） 根据PD 底面ABCD，可得PD即为四棱锥PABCD的高，利用体积公式计算即可 【解答】 （1）证明：PD 底面ABCD，AM 平面ABCD， PDAM， 又PBAM， PDPBP ，PB，PD 平面PBD AM平面PBD AM 平面PAM， 平面PAM
31、平面PBD； （2）解：由PD 底面ABCD， PD即为四棱锥PABCD的高，DPB是直角三角形； ABCD底面是矩形，1PDDC，M为BC的中点，且PBAM 设2ADBCa，取CP的中点为F因为点 E 是 CD 中点，连接MF，AF，EF，AE， 可得/ /MFPB，/ /EFDP， 那么AMMF且 1 2 EF 2 1 4 4 AEa， 2 1AMa， 22 AFEFAE 那么AMF是直角三角形， DPB是直角三角形， 根据勾股定理： 2 24BPa，则 2 24 2 a MF ； 由AMF是直角三角形， 可得 222 AMMFAF， 解得 2 2 a 底面ABCD的面积2S ， 则四棱锥
32、PABCD的体积 112 12 333 Vh S 解法二： （安徽滁州刘家范补解第二小题） ： 由（1）知：AM 平面PBD又BD 平面PBD，AM BD 设AM BD=O,底面 ABCD 是矩形， AD/ /BC,易证：OADOMB,又 M 为中点， 2 1 AD MB OA OM OD OB ， 若设 BC=x,1DC 由,得 BM= 2 1 x,OB= 3 1 BD=1x 3 1 2 ， OM= 3 1 AM=1 4 x 3 1 2 ， OMB 中， 222 ODOBBD，即）（1x 9 1 2 +）（1 4 x 9 1 2 = 4 1 x 2 ， 解得：x=2,底面ABCD的面积2S
33、， 则四棱锥PABCD的体积 112 12 333 Vh S 【归纳总结】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，体积计算， 考查运算求解能力，是中档题 19 （12 分）设 n a是首项为 1 的等比数列，数列 n b满足 3 n n na b ，已知 1 a， 2 3a， 3 9a成 等差数列 （1）求 n a和 n b的通项公式； （2）记 n S和 n T分别为 n a和 n b的前n项和证明： 2 n n S T 【思路分析】 （1） 根据 1 a， 2 3a， 3 9a成等差数列， n a是首项为 1 的等比数列， 求出公比q， 进一步求出 n a和 n b的通项
34、公式； （2）分别利用等比数列的前n项和公式和错位相减法，求出 n S和 n T，再利用作差法证明 2 n n S T 【解析】 ： （1） 1 a， 2 3a， 3 9a成等差数列， 213 69aaa， n a是首项为 1 的等比数列，设其公比为q， 则 2 619qq ， 1 3 q， 11 1 1 ( ) 3 nn n aa q ， 1 ( ) 33 nn n na bn （2）证明：由（1）知 1 1 ( ) 3 n n a ， 1 ( ) 3 n n bn， 1 1 1 1( ) 311 3 ( ) 1 223 1 3 n n n S ， 12 111 1 ( )2( )( ) 3
35、33 n n Tn ， 231 1111 1 ( )2( )( ) 3333 n n Tn ， 得， 1 2111 1( ) ( ) 3233 nn n Tn ， 1 3111 ( )( ) 4432 3 nn n n T ， 11 3111311 ( )( )( )0 244323443 nnnn n Sn T ， 2 n n S T 【归纳总结】本题考查了等差数列与等比数列的性质，等比数列的前n项和公式和利用错位 相减法求数列的前n项和，考查了方程思想和转化思想，属中档题 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点F到准线的距离为 2 （1）求C的方程； （2）已知O
36、为坐标原点，点P在C上，点Q满足9PQQF ，求直线OQ斜率的最大值 【思路分析】 （1）根据焦点F到准线的距离为 2 求出p，进而得到抛物线方程， （2）设出点Q的坐标，按照向量关系得出P点坐标，再代入抛物线方程中，利用基本不等 式即可求出最值 【解答】 （1）解：由题意知，2p ， 2 4yx （2）解法一：由（1）知，抛物线 2 :4C yx，(1,0)F， 设点Q的坐标为( , )m n， 则(1,)QFmn ， 9(99 , 9 )PQQFmn P点坐标为(109,10 )mn， 将点P代入C得 2 1004036nm， 整理得 22 10036259 4010 nn m ， 2 1
37、0101 9 2593 25 nn K mn n n ，当3n 时取最大值 故答案为： 1 3 解法二： （安徽滁州刘家范另解） ： ) 2 10 259 nn K mn ，同乘以分母可得： 2 25910nKn（）， 整理得 2 251090KnnK，当 K=0 时，n=0;当 K0 时,n 有根，0，解得： 0k 3 1 k 3 1 且，综上： 3 1 k 3 1 ，所以 k 的最大值为 1 3 故答案为： 1 3 【归纳总结】本题考查抛物线的性质，考察基本不等式求最值，属于中档题 21 （12 分）已知函数 32 ( )1f xxxax （1）讨论( )f x的单调性； （2）求曲线(
38、)yf x过坐标原点的切线与曲线( )yf x的公共点的坐标 【思路分析】 （1） 对函数( )f x求导， 分 1 3 a及 1 3 a 讨论导函数与零的关系， 进而得出( )f x 的单调性情况； （2）先设出切点，表示出切线方程，根据切线过原点，可求得切线方程，将切线方程与曲 线( )yf x联立，即可求得公共点坐标 【解析】 ： （1） 2 ( )32fxxxa，412a， 当0，即 1 3 a时，由于( )fx的图象是开口向上的抛物线，故此时( ) 0fx，则( )f x在 R上单调递增； 当0，即 1 3 a 时，令( )0fx，解得 12 113113 , 33 aa xx ，
39、令( )0fx，解得 1 xx或 2 xx，令( )0fx，解得 12 xxx， ( )f x在 1 (,)x， 2 (x，)单调递增，在 1 (x， 2) x单调递减； 综 上 ， 当 1 3 a时 ，( )f x在R上 单 调 递 增 ； 当 1 3 a 时 ，( )f x在 113113 (,),(,) 33 aa 单调递增，在 113113 (,) 33 aa 单调递减 （2）设曲线( )yf x过坐标原点的切线为l，切点为 322 0000000 (,1),()32x xxaxfxxxa， 则切线方程为 322 000000 (1)(32)()yxxaxxxa xx， 将原点代入切线
40、方程有， 32 00 210 xx ，解得 0 1x ， 切线方程为(1)yax， 令 32 1(1)xxaxax ，即 32 10 xxx ，解得1x 或1x ， 曲 线( )yf x过 坐 标 原 点 的 切 线 与 曲 线( )yf x的 公 共 点 的 坐 标 为(1,1)a 和 ( 1,1)a 【归纳总结】 本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性， 考查分类讨论思想 及运算求解能力，属于中档题 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 22 （10 分）在直角坐标系x
41、Oy中，C的圆心为(2,1)C，半径为 1 （1）写出C的一个参数方程； （2）过点(4,1)F作C的两条切线以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 求这两条切线的极坐标方程 【思路分析】 （1）求出C的标准方程，即可求得C的参数方程； （2）求出直角坐标系中的切线方程，再由cosx，siny即可求解这两条切线的极 坐标方程 【解析】 ： （1）C的圆心为(2,1)C，半径为 1， 则C的标准方程为 22 (2)(1)1xy， C的一个参数方程为 2cos ( 1sin x y 为参数） （2）由题意可知两条切线方程斜率存在， 设切线方程为1(4)yk x ，即410kxyk ， 圆
42、心(2,1)C到切线的距离 2 |2141| 1 1 kk d k ，解得 3 3 k ， 所以切线方程为 3 (4)1 3 yx ， 因为cosx，siny， 所以这两条切线的极坐标方程为 3 sin( cos4)1 3 【归纳总结】本题主要考查圆的参数方程，普通方程与极坐标方程的转化，考查运算求解能 力，属于基础题 选修 4-5：不等式选讲（10 分） 23已知函数( ) |3|f xxax （1）当1a 时，求不等式( ) 6f x 的解集； （2）若( )f xa ，求a的取值范围 【思路分析】 （1）将1a 代入( )f x中，根据( ) 6f x ，利用零点分段法解不等式即可； （
43、2）利用绝对值三角不等式可得( )|3|f xa ，然后根据( )f xa ，得到|3|aa ，求 出a的取值范围 【解析】 ： （1）当1a 时， 22,3 ( ) |1|3|4, 31 22,1 xx f xxxx xx ， ( ) 6f x， 3 226 x x 或 31 46 x 或 1 22 6 x x ， 4x或2x， 不等式的解集为(，42 ，) （2）( ) |3|3| |3|f xxaxxaxa， 若( )f xa ，则|3|aa ， 两边平方可得 22 69aaa，解得 3 2 a ， 即a的取值范围是 3 ( 2 ，) 【归纳总结】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算
44、求解能力，属于基础题 初高中数学教研微信系列群简介： 目前有 15 个群（13 个高中群，2 个初中群） ，共 5000 多优秀、特、高级教师，省、 市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕高中 数学教学研究展开教研活动的微信群. 宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！ 特别说明： 1.本系列群只探讨高中数学教学研究、高中数学试题研究等相关 话题； 2.由于本群是集“研究写作发表（出版） ”于一体的“桥梁” ， 涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片： 教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三 编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名 欢迎各位老师邀请你身边热爱高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢 绝）加入，大家共同研究，共同提高！ 群主二维码：见右图
