1、MATH 微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 中考必会几何模型 1 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 目录 专题一 角平分线相关问题模 型.3 模型 1 角平分线相关模 型.3 专题二 8 字模型与飞镖模 型.6 模型 1：角的 8 字模 型.6 模型 2：角的飞镖模 型.8 模型 3边的“8”字模 型.10 模型 4边的飞镖模 型.11 专题三 半角模 型.15 专题四 将军饮马模 型.23 模型 1：直线与两定 点.23 模型 2 角与定 点.28 模型 3 两定点一定 长.31 专题五 角平分线四大模 型
2、.34 模型 1 角平分线的点向两边作垂线. 34 模型 2截取构造对称全 等.35 模型 3 角平分线+垂线构造等腰三角形.37 模型 4 角平分线+平行 线. 39 专题六 截长补短辅助线模 型.42 模型 1 截长补 短.42 专题七 蚂蚁行 程.48 模型 1立体图形展开的最短路 径.48 专题八 三垂直全等模 型.55 模型 1三垂直全等模 型.55 专题九 手拉手模 型.62 模型 1手拉 手.62 专题十 相似模 型.68 模型 1A、8 模 型.68 模型 2 共边共角 型.72 模型 3 一线三等角 型.75 模型 4倒数 型.79 模型 5与圆有关的简单相 似.82 模型
3、6相似和旋 转.85 专题十一 圆中的辅助 线.89 模型 1连半径构造等腰三角 形.89 模型 2构造直角三角 形.90 模型 3与圆的切线有关的辅助 线.94 专题十二 中点四大模 型.97 模型 1倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形.97 模型 2已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”.99 模型 3已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理.102 模型 4已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线.107 2 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 专题一 角平分线相关问题模型 模型 1 角平分线相关模
4、型 （1）如图 1，若点 P 是ABC 和ACB 的角平分线的交点，则P=90+A； （2）如图 2，若点 P 是外角CBF 和BCE 的角平分线的交点，则P=90A； （3）如图 3，若点 P 是ABC 和外角ACE 的角平分线的交点，则P=A 图 1图 2 图 3 针对训练 1.（2016枣庄）如图，在ABC 中，AB=AC，A=30，E 为 BC 延长线上一点，ABC 与 ACE 的平分线相交于点 D，则D 的度数为（） A15B17.5C20D22.5 【小结】本题若不套用模型，则需要通过三角形的外角性质证明得到A、D 的数量关系. 3 免费获取 Word 版，加微信：beijingd
5、axue777QQ:1456770148 2.（2018巴中）如图，在ABC 中，BO、CO 分别平分ABC、ACB若BOC=110，则 A= 【分析】由解题模型一中的（1）可知，BOC=90+A，把BOC=110代入计算可得到 A 的度数 【详解】BOC=90+A，BOC=110，90+A=110.A=40 【小结】本题若不套用模型，需要利用三角形的内角和定理、角平分线的定义得到BOC、 A 的数量关系. 3.（2018济南历城区模拟）如图，BA1和 CA1分别是ABC 的内角平分线和外角平分线，BA2 是A1BD 的角平分线，CA2是A1CD 的角平分线，BA3是A2BD 的角平分线，CA
6、3是 A2CD 的角平分线，若A1=，则A2018= 【详解】A1B 是ABC 的平分线，A1C 是ACD 的平分线， A1BC=ABC，A1CD=ACD， 又ACD=A+ABC，A1CD=A1BC+A1， 4 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 【小结】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角 平分线的定义，熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键。 5 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 专题二 8 字模型与飞镖模型 模型 1：角的 8 字
7、模型 如图所示，AC、BD 相交于点 O，连接 AD、BC结论：ADBC 模型分析 证法一： AOB 是AOD 的外角，ADAOBAOB 是BOC 的外角， BCAOBADBC 证法二： ADAOD180，AD180AODBCBOC180， BC180BOC又AODBOC，ADBC （1）因为这个图形像数字 8，所以我们往往把这个模型称为 8 字模型 （2）8 字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图，ABCDE_； 解法一：利用角的 8 字模型如图，连接 CDBOC 是BOE 的外角， BEBOCBOC 是COD 的外角，12BOC BE12（
8、角的 8 字模型），ABACEADBE AACEADB12AACDADC180 解法二：如图，利用三角形外角和定理1 是FCE 的外角，1CE 2 是GBD 的外角，2BD ABCDEA12180 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 （2）如图，ABCDEF_ （2）解法一： 如图，利用角的 8 字模型AOP 是AOB 的外角，ABAOP AOP 是OPQ 的外角，13AOPAB13（角的 8 字模型），同理可证：CD12，EF23 由得：ABCDEF2（123）360 解法二：利用角的 8 字模型如图，连接 DEAOE 是AOB 的外角，
9、 ABAOEAOE 是OED 的外角，12AOE AB12（角的 8 字模型） ABCADCFEBF12CADCFEBF 360（四边形内角和为 360） 练习： 1 （ 1）如图，求：CADBCDE； 解：如图，1=B+D，2=C+CAD， CAD+B+C+D+E=1+2+E=180 故答案为：180 解法二： （2）如图，求：CADBACEDE 7 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 解：由三角形的外角性质，知BAC=E+ACE，EAD=B+D， 又BAC+CAD+EAD=180，CADBACEDE180 解法二： 2如图，求：ABCD
10、EFGH 解：G+D=3，F+C=4，E+H=2， G+D+F+C+E+H=3+4+2， B+2+1=180，3+5+A=180，A+B+2+4+3=360， A+B+C+D+E+F+G+H=360 解法二： 模型 2：角的飞镖模型 8 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 如图所示，有结论：DABC 模型分析 解法一：如图，作射线 AD 3 是ABD 的外角，3B1，4 是ACD 的外角，4C2 BDC34，BDCB12C，BDCBACBC 解法二：如图，连接 BC 24D180，D180（24） 1234A180，A13180（24） D
11、A13. （1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型 （2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用 模型实例 如图，在四边形 ABCD 中，AM、CM 分别平分DAB 和DCB，AM 与 CM 交于 M，探究 AMC 与B、D 间的数量关系 解答：利用角的飞镖模型 如图所示，连接 DM 并延长3 是AMD 的外角，31ADM， 4 是CMD 的外角，42CDM，AMC34 AMC1ADMCDM2，AMC12ADC（角的飞镖模型） 9 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 BADBCD AM、CM 分别平分DAB 和DCB，1
12、，2， 22 BADBCD AMC ADC ， 22 360 BADC AMCADC （四边 形 2 360BADC 内角和 360），AMC，2AMCBADC360. 2 练习： 1如图，求A+B+C+D+E+F=. 【答案】230 提示：C+E+D=EOC=115.（飞镖模型），A+B+F=BOF=115. A+B+C+D+E+F=115+115=230 2如图，求A+B+C+D=. 【答案】220 提示：如图所示，连接 BD. AED=A+3+1，BFC=2+4+C， A+ABF+C+CDE=A+3+1+2+4+C=AED+BFC=220 模型 3边的“8”字模型 如图所示，AC、BD
13、相交于点 O，连接 AD、BC结论 AC+BDAD+BC 10 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 模型分析 OA+ODAD， OB+OCBC， 由+得：OA+OD+OB+OCBC+AD 即：AC+BDAD+BC. 模型实例 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O。 求证：(1) AB+BC+CD+ADAC+BD； (2) AB+BC+CD+AD AC， CD+ADAC， AB+ADBD， BC+CD BD 由+得： 2 (AB+BC+CD+AD)2(AC+BD).即 AB+BC+CD+AD AC+BD. (2) ADO
14、A+OD ，BCOB+OC， 由+得： AD+BC OA+OD+OB+OC AD+BCAC+BD.（边的 8 字模型）， 同理可证：AB+CD AC+BD. AB+BC+CD+AD BD+CD. 模型分析 11 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 如图，延长 BD 交 AC 于点 E。 AB+AC=AB+AE+EC，AB+AEBE，AB+A CBE+EC.，BE+EC=BD+DE+EC， DE+EC CD，BE+ECBD+CD. ，由可得：AB+ACBD+CD. 模型实例 如图，点 O 为三角形内部一点 求证：(1) 2 (AO+BO+CO
15、)AB+BC+AC； (2) AB+BC+ACAO+BO+CO. 证明：(1)OA+OBAB， OB+OCBC， OC+OAAC 由+得： 2 (AO+BO+CO)AB+BC+AC (2)如图，延长 BO 交 AC 于点 E， AB+AC=AB+AE+EC， AB+AEBE， AB+ACBE+EC. BE+EC=BO+OE+EC，OE+ECCO，BE+ECBO+CO， 由可得： AB+ACBO+CO.（边的飞镖模型） 同理可得： AB+BCOA+OC.，BC+ACOA+OB. 由+得： 2 (AB+BC+AC)2 (AO+BO+CO).即 AB+BC+ACAO+BO+CO. 1如图，在ABC
16、中，D、E 在 BC 边上，且 BD=CE。求证：AB+ACAD+AE. 【答案】 证法一：如图，将 AC 平移至 BF，AD 延长线与 BF 相交于点 G，连接 DF。 由平移可得 AC=BF ，ACBF ，ACE=BFD ，BD=CE AECFDB ，DF=AE 如图，延长 AD 交 BF 于点 G，AB+BF=AB+BG+GF.AB+BGAG， AB+BFAG+GF ，AG+GF=AD+DG+GF， DG+GFDF， AG+GFAD+DF ，由可得：AB+BFAD+DF.（飞镖模型） AB+AC=AB+BFAD+DF=AD+AE. AB+ACAD+AE. 12 免费获取 Word 版，加
17、微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 证法二：如图，将 AC 平移至 DF，连接 BF ，则 AC=DF ，ACDF，ACE=FDB. BD=CE，AECFBD. BF=AE. OA+ODAD，OB+OFBF 由+得：OA+OD+OB+OFBF+AD. AB+DFBF+AD.（8 字模型） AB+AC=AB+DFBF+AD=AE+AD. AB+ACAD+AE. 2观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由 (1)如图，ABC 中，P 为边 BC 一点，请比较 BP+PC 与 AB+AC 的大小，并说明理由 (2)如图，将(1)中的点 P 移至ABC
18、内，请比较BPC 的周长与ABC 的周长的大小，并说 明理由 (3)图将(2)中的点 P 变为两个点P、 1 P，请比较四边形 2 BPPC的周长与ABC 的周长的 12 大小，并说明理由. 【答案】 （1）如图，BP+PCAB+AC. 理由：三角形两边之和大于第三边。（或两点之间线段最短） （2）BPC 的周长小于ABC 的周长。 证明：如图，延长 BP 交 AC 于 M。在ABM 中，BP+PMAB+AM 在PMC 中，PCPM+MC ，由+得：BP+PCAB+AC. BPC 的周长小于ABC 的周长。 13 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:145677
19、0148 （3）四边形BPPC的周长小于ABC 的周长。 12 证法一：如图，分别延长BP、CP交于 M，由（2）知，BM+CMAB+AC. 12 又PP 12 PMPM， 12 BP+ 1 PP+ 12 PCBM+CMAB+AC. 2 四边形BPPC的周长小于ABC 的周长. 12 证法二：如图，做直线PP分别交 AB、AC 于 M、N。在BM 12 P中， 1 BPBM+MP 11 在AMN 中，MP+PP+P NAM+AN ，在 1122 P NC中， 2 PC 2 P N+NC 2 由+得：BP+ 1 PP+ 12 PCPC-PB 证明:在ABC 中, 在 AC 上取一点 E,使 AE
20、=AB ，AC-AE=AB-AC=BE AD 平分BAC ，EAP=BAP ，在AEP 和ACP 中 AEPABP (SAS) ，PE=PB ，在CPE 中 CECP-PE ，AC-ABPC-PB 练习 1.已知，在ABC 中，A2B,CD 是ACB 的平分线，AC16,AD8, 求线段 BC 的长 解：如图在 BC 边上截取 CEAC，连结 DE，在ACD 和ECD 中 36 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 AC ACD CD EC CD ECD ACDECD(SAS) ADDE ， A1 ，A2B，12B， 1BEDB， BEDB，
21、 EBBED ， EBDA8，BCECBEACDA16824 2.在ABC 中，ABAC,A108,BD 平分ABC， 求证：BCABCD 证明：在 BC 上截取 BEBA，连结 DE，BD 平分ABC,BEAB,BDBD ABDEBD(SAS)，DEBA108，DEC18010872 1 ABAC，CABC (180108)36，EDC72 ， 2 DECEDC，CECD ，BECEABCD，BCABCD 3.如图所示，在ABC 中，A100,ABC40,BD 是ABC 的平分线，延长 BD 至 E， 使 DEAD，求证：BCABCE 证明：在 CB 上取点 F，使得 BFAB,连结 DF，
22、BD 平分ABC，BDBD ABDFBD，DFADDE,ADBFDB，BD 平分ABC ABD20,则ADB1802010060CDE CDF180ADBFDB60，CDFCDE，在CDE 和CDF 中 DE CDF CD DF CD CDE CDECDF，CECF，BCBFFCABCE 模型 3 角平分线+垂线构造等腰三角形 如图，P 是MON 的平分线上一点，AP 丄 OP 于 P 点，延长 AP 交 ON 于点.B,则AOB 是 等腰三角形. 37 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 模型分析 构造此模型可以利用等腰三角形的三线合一”
23、，也可以得到两个全等的直角三角形.进而得 到对应边.对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来. 模型实例 如图.己知等腰直角三角形 ABC 中，A=90, AB=AC, BD 平分ABC, C丄 BD.垂足为 E. 求证：BD=2C. 解答：如图，延长 CE、BA 交于点 F,CE 丄 BD 于 E, BAC=90，BAD=CED. ABD=ACF.又AB=AC, BAD=CAF=90, ABDACF. BD=CF. BD 平分ABC, CBE=FBE. 又 BE=BE,BCEBFE. CE=EF. BD=2CE. 练习 1.如图.在ABC 中.BE 是角平分线.AD 丄 BE
24、.垂足为 D.求证：2=1+C. 证明：延长 AD 交 BC 于 F,ADBE, ADB=BDF=90, ABD=FBD, 2=BFD. BFD=1+C,2=1+C. 2.如图.在ABC 中. ABC=3C,AD 是BAC 的平分线, BE 丄 AD 于点 E. 求证: 1 BE(AC AB). 2 38 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 (2)证明:延长 BE 交 AC 于点 F.AD 为BAC 的角平分线,BAD=CAD.AE=AE, BAE=FAE,则AEBAEF，AB=AF, BE=EF, 2=3.AC-AB=AC-AF=FC.
25、ABC=3C,2+1=3+1=1+C+1=3C.21=2C 11 即1=C BF=FO=2BE.BEFCACAB 22 模型 4 角平分线+平行线 模型分析 有角平分线时.常过角平分线上一点作角的一边的平行线. 构造等腰三角形.为证明结论提供 更多的条件.体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系. 模型实例 解答下列问题： (1)如图.ABC 中，EFBC,点 D 在 EF 上,BD、CD 分别平分ABC、ACB.写出线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系？ (2)如图，BD 平分ABC,CD 平分外角ACG. DE/BC 交 AB 于点 E,交 AC 于点 F，线段 EF 与 BE、CF
26、 有什么数量关系？并说明理由. (3)如图，BD、CD 为外角CBM、BCN 的平分线，DE/BC 交 AB 延长线于点 E.交 AC 延长线于点 F,直接写出线段 EF 与 BE、CF 有什么数关系？ 39 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 解答：(1) EF/BC,EDB=DBC.BD 平分EBC，EBD=DBC=EDB. EB=ED. 同理：DF=FC. EF=ED+DF=BE+CF. (2)图中有 EF=BE=CF，BD 平分BAC,ABD=DBC.又 DE/BC、EDB=DBC. DE=EB.同理可证：CF=DF EF=DE-D
27、F=BE-CF. (3) EF=BE+CF. 练习 1.如图. 在ABC 中,ABC 和ACB 的平分线交于点 E.过点 E 作 MNBC 交 AB 于 M 点. 交 AC 于 N 点.若 BM+CN=9，则线段 MN 的长为. 解答：ABC、ACB 的平分线相交于点 E,MBE=EBC，ECN=ECB.MN/BC, EBC=MEB, NEC=ECB. MBE-MEB, NEO=ECN.BM=ME, EN=CN. MN=ME+EN,即 MN=BM+CN.BM+CN=9,MN=9. 2. 如图. 在ABC 中,AD 平分BAC.点 E、F 分別在 BD，AD 上,EFAB.且 DE=CD,求证：
28、 EF=AC. 证明：如图，过点 C 作 CMAB 交 AD 的延长线于点 M,ABEF,CMEF.3=4. DE=CD, 5=6, DEFDCM.EF=CM. AB/CM,2=4. 1=2, 1=4.CM=AC.EF=AC 3.如图.梯形 ABCD 中,ADBC,点 E 在 CD 上,且 AE 平分BAD.BE 平分ABC.求证： AD=AB-BC. 40 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 证明：延长 AD、BE 交于点 F.ADBC,2=F. 1=2,1=F.AB=AF. AE平分BADBE=EF.DEF=CEB, DEFCEB.DF
29、=BC.AD=AF-DF=AB-BC. 41 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 专题六 截长补短辅助线模型 模型 1 截长补短 如图，若证明线段 AB、CD、EF 之间存在 EFAB CD，可以考虑截长补短法. 截长法：如图，在 EF 上截取 EGAB，再证明 GF CD 即可. 补短法：如图，延长 AB 至 H 点，使 BHCD，再证 明 AHEF 即可. 模型分析 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线端中截取一段等于已 知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三 角形、角
30、平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程. 模型实例 例 1：如图，已知在ABC 中，C2B，12 . 求证：ABACCD . 证法一，截长法： 如图，在 AB 上取一点 E，使 AEAC，连接 DE. AEAC，12，ADAD， ACDAED ， CDDE，C3 . C2B， 32B4B ， 4B ， DEBE ， CDBE. ABAEBE， ABACCD . 42 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 证法二，补短法： 如图，延长 AC 到点 E，使 CECD，连接 DE . CECD，4E . 34E，32E .
31、 32B，EB . 12，ADAD， EADBAD，AEAB. 又AEACCE， ABACCD . 例 2：如图，已知 OD 平分AOB， DCOA 于点 C，AGBD . 求证：AOBO2CO . 证明：在线段 AO 上取一点 E，使 CEAC，连接 DE . CDCD，DCOA， ACDECD， ACED . AGBD ， CEDGBD ， 1800CED1800GBD ， OEDOBD . OD 平分AOB， AODBOD . ODOD， OEDOBD ， OBOE， AOBOAOOEOE2CEOEOECEOECE2（CEOE）2CO . 跟踪练习 1. 如图，在ABC 中，BAC600
32、， AD 是BAC 的平分线，且 ACABBD . 求ABC 的度数 . 【答案】 43 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 证法一：补短 延长 AB 到点 E，使 BEBD . 在BDE 中， BEBD，EBDE， ABCBDEE2E . 又ACABBD， ACABBE，ACAE . AD 是BAC 的平分线，BAC600， EADCAD6002300. ADAD， AEDACD，EC . ABC2E，ABC2C . BAC600， ABCC18006001200， 3 2 ABC1200，ABC800. 证法二：在 AC 上取一点 F，
33、使 AFAB，连接 DF. AD 是BAC 的平分线， BADFAD . ADAD， BADFAD， BAFD，BDFD . ACABBD，ACAFFC FDFC ，FDCC . AFDFDCC， BFDCC2C . BACBC1800， 3 2 ABC1200，ABC800. 2. 如图，在ABC 中，ABC600，AD、CE 分别平分BAC、ACB . 求证：ACAE CD . 【答案】如图，在 AC 边上取点 F，使 AEAF，连接 OF . ABC600，BACACB1800ABC1200. AD、CE 分别平分BAC、ACB， OACOAB BAC 2 ACB ，OCAOCB 2 ，
34、 44 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 AOECODOACOCA AOC1800AOE1200. + BACACB 2 600， AEAF，EAOFAO，AOAO， AOEAOF（SAS） ， AOFAOE600， COFAOCAOF600， COFCOD . COCO，CE 平分ACB， CODCOF（ASA） ， CDCF . ACAFCF， ACAECD， 3. 如图，ABCBCD1800，BE、CE 分别平分ABC、DCB .求证：ABCDBC . 【答案】证法一：截长 如图，在 BC 上取一点 F，使 BFAB，连接 EF .
35、 1ABE，BEBE， ABEFBE，34 . ABCBCD1800， BE、CE 分别平分ABC、DCB， 12 1 2 ABC 1 2 DCB 1 2 1800900， BEC900， 45900，36900. 34 ，56 . CECE， 2DCE ， CEFCED，CFCD . BCBFCF，ABBF，ABCDBC 证法二：补短 如图，延长 BA 到点 F，使 BFBC，连接 EF . 1ABE，BEBE， BEFBEC， EFEC，BECBEF . ABCBCD1800， BE、CE 分别平分ABC、DCB， 45 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:
36、1456770148 12 1 2 ABC 1 2 DCB 1 2 1800900， BEC900， BEFBEC900， BEFBEC1800， C、E、F 三点共线 . ABCD，FFCD . EFEC，FEADEC， AEFDEC， AFCD . BFABAF， BCABCD . 4. 如图，在ABC 中，ABC900，AD 平分BAC 交 BC 于 D，C300，BEAD 于 点 E . 求证：ACAB2BE . 【答案】延长 BE 交 AC 于点 M . BEAD，AEBAEM900. 39001，49002，12， 34，ABAM . BEAE，BM2BE . ABC900，C30
37、0， BAC600. ABAM，34600， 59003300， 5C，CMBM， ACABCMBM2BE . 5. 如图，RtACB 中，ABC，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，CEAD 交 AD 于点 F， 交 AB 于点 E . 求证：AD2DFCE . 46 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 【答案】在 AD 上取一点 G，使 AGCE，连接 CG . CEAD， AFC900，1ACF900. 2ACF900，12 . ACBC，AGCE， ACGCBE，3B450， 249003450. 21 1 2 BAC22.50，
38、 4450222.50， 4222.50. 又CFCF，DGCF， CDFCGF，DFGF . ADAGDG，ADCE2DF . 6. 如图，五边形 ABCDE 中，ABAE，BCDECD，BE1800. 求证：AD 平分 CDE . 【答案】如图，延长 CB 到点 F，使 BFDE，连接 AF、AC . 121800，E11800，2E . ABAE，2E，BFDE， ABFAED，F4，AFAD . BCDECD，BCBFCD，即 FCCD . 又ACAC，ACFACD， F3 . F4， 34， AD 平分CDE . 47 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777Q
39、Q:1456770148 专题七 蚂蚁行程 模型 1立体图形展开的最短路径 模型分析 上图为无底的圆柱体侧面展开图，如图蚂蚁从点 A 沿圆柱表面爬行一周。到点 B 的最短 路径就是展开图中 AB的长，。做此类题日的关键就是，正确展开 立体图形，利用“两点之间线段最短”或“两边之和大于第三边”准确找出最短路径。 模型实例 例 1有一圆柱体油罐，已知油罐底面周长是 12m，高 AB 是 5m，要从点 A 处开始绕油罐一 周建造房子，正好到达 A 点的正上方 B 处，问梯子最短有多长？ 例 2如图，一直圆锥的母线长为 QA=8，底面圆的半径， 若一只小蚂蚁从 A 点出发， 绕圆锥的侧面爬行一周后又回
40、到 A 点，则蚂蚁爬行的最短 路线长是。 48 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 例 3已知长方体的长、宽、高分别为 30cm、20cm、10cm，一只蚂蚁从 A 处出发到 B 处觅食， 求它所走的最短路径。（结果保留根号） 49 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 跟踪练习 1有一个圆锥体如图，高 4cm，底面半径 5cm，A 处有一蚂蚁，若蚂蚁欲沿侧面爬行到 C 处， 求蚂蚁爬行的最短距离。 50 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:14567701
41、48 2如图，圆锥体的高为 8cm，底面周长为 4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从 A 点到 B 点，路 线如图，则最短路程为。 3桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高为 12 厘米，底面周长 18 厘米，在杯口内壁离杯口距 离 3 厘米的 A 处有一滴蜜糖，一只小虫 22 杯子外壁，当它正好在蜜糖相对方向离桌面 3 厘 米的 B 处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。 51 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 4已知 O 为圆锥顶点，OA、OB 为圆锥的母线，C 为 OB 的中点，一只小蚂蚁从点 C 开始沿圆 锥侧面爬
42、行到点 A，另一只小蚂蚁也从 C 点出发绕着圆锥侧面爬行到点 B，它们所爬行的最 短路线的痕迹如图所示，若沿 OA 剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（） AB CD 5如图，一只蚂蚁沿着边长为 2 的正方体表面从点 A 出发，经过 3 个面爬行到点 B，如果 它运动的路径是最短的，则最短距离为。 52 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 6如图是一个边长为 6 的正方体木箱，点 Q 在上底面的棱上，AQ=2，一只 蚂蚁从 P 点出发沿木箱表面爬行到点 Q，求蚂蚁爬行的最短路线。 7如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高 分 别 等 于
43、5cm、3cm 和 1cm，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物。请你 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 想一想，这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到 B 点的最短路程是多少？ 54 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 专题八 三垂直全等模型 模型 1三垂直全等模型 如图：DBCAE90，BCAC. 结论：RtBCDRtCAE. 模型分析 说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位， 很多利用垂直
44、求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图 形去求解.图和图就是我们经常会见到的两种弦图. 三垂直图形变形如下图、图，这也是由弦图演变而来的. 例 1 如图，ABBC，CDBC，AEDE，AEDE，求证：ABCDBC. 证明：AEDE，ABBC，DCBC， AEDBC90. AAEBAEBCED90. BAECED. 55 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 在ABE 和ECD 中， B C A CED AEED ABEECD. ABEC，BECD. ABCDECBEBC. 例 2 如图，ACB90，ACBC，BE
45、CE，ADCE 于 D，AD2.5cm，BE0.8cm， 则 DE 的长为多少？ 解答：BECE，ADCE， EADC90. EBCBCE90. BCEACD90， EBCDCA. 在CEB 和ADC 中， E ADC EBC DCA BCAC CEBADC. BEDC0.8cm，CEAD2.5cm. DECECD2.50.81.7cm. 例 3如图，在平面直角坐标系中，等腰 RtABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点 的坐标. 解答：（1）如图，过点 B 作 BDx 轴于点 D. BCDDBC90. 56 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770
46、148 由等腰 RtABC 可知，BCAC，ACB90， BCDACO90. DBCACO. 在BCD 和CAO 中， BDC AOC DBC ACO BCAC BCDCAO. CDOA，BDOC. OA3，OC2. CD3，BD2. OD5. B（5，2）. （2）如图，过点 A 作 ADy 轴于点 D. 在ACD 和CBO 中， ADC COB DAC OCB ACCB ACDCBO. CDOB，ADCO. B（1，0） ， C（0，3） OB1，OC3. AD3，OD2. OD5. A（3，2）. 跟踪练习 1如图，正方形 ABCD，BECF.求证：（1）AEBF； （ 2）AEBF.
47、57 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 证明： （1）四边形 ABCD 是正方形， ABBD，ABCBCD90. 在ABE 和BCF 中， AB BC ABE BCF BECF ABEBCF. AEBF. （2）ABEBCF. BAECBF. ABE90， BAEAEB90. CBFAEB90. BGE90， AEBF. 2直线 l 上有三个正方形 a、b、c，若 a、c 的面积分别是 5 和 11，则 b 的面积是_. 解答：a、b、c 都是正方形， ACCD，ACD90. ACBDCEACBBAC90， BACDCE. 在ABC 和C
48、BE 中， ABC CED BAC DCE ACCD ACBCDE. ABCE，BCDE. 在 RtABC 中， AC 2 AB 2 BC 2 AB 2 DE 2 即 S b S a S 51116. c 58 免费获取 Word 版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 3已知，ABC 中，BAC90，ABAC，点 P 为 BC 上一动点（BPCP），分别过 B、 C 作 BEAP 于 E、CFAP 于 F. （1）求证：EFCFBE； （2）若 P 为 BC 延长线上一点，其它条件不变，则线段 BE、CF、EF 是否存在某种确定的 数量关系？画图并直接写出你的结
49、论. 解答：BEAP，CFAP， AEBAFC90. FACACF90， BAC90， BAEFAC90， BAEACF. 在ABE 和CAF 中， AEB AFC BAE ACF ABAC ABECAF. AECF，BEAF. EFAEAF， EFCFBE. （2）如图，EFBECF. 理由：同（1）易证ABECAF. AECF，BEAF. EFAEAF， EF BE CF. 4如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AD2，BC3，设BCD，以 D 为旋转中心，将 腰 DC 绕点 D 逆时针旋转 90至 DE. （1）当45时，求EAD 的面积； 59 免费获取 Word 版，
50、加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148 （2）当45时，求EAD 的面积； （3）当 0AB，D 点在 AC 上，AB=CD，E，F 分别是 BC，AD 的中点， 连接 EF 并延长，与 BA 的延长线交于点 G，若EFC=60，连接 GD，判断AGD 的形状并 证明. 2.证明 （1）等腰三角形（提示：取 AC 中点 H，连接 FH，EH，如图） （2）AGD 是直角三角形 如图，连接 BD，取 BD 的中点 H，连接 HF，HE. F 是 AD 的中点， HFAB，HF= 1=3. 1 2 AB. 同理，HECD，HE= 2=EFC， AB=CD， HF=HE.
