（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册5.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图象讲义（学生版+教师版）.zip

的图象与性质的图象与性质sin()yAx 要点一：用五点法作函数要点一：用五点法作函数的图象的图象sin()yAx 用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由 z 取sin()yAxzx 来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象. 3 0, ,2 22 要点二：函数要点二：函数中有关概念中有关概念sin()yAx 表示一个振动量时，A 叫做振幅，叫做周期，sin()0,0yAxA 2 T 叫做频率，叫做相位，x=0 时的相位称为初相. 1 2 f T x 要点三：由要点三：由得图象通过变换得到得图象通过变换得到的图象的图象sinyx sin()yAx 先平移后伸缩先平移后伸缩 的图象sinyx 的图象 () 横坐标伸长(0 1) 1 到原来的纵坐标不变 sin()yx 的图象 () AA A 纵坐标伸长(1)或缩短(0 1) 为原来的倍横坐标不变 sin()yx 的图象 (0)(0)kk k 向上或向下 平移个单位长度sin()yAxk 的图象.sin()yAx 先伸缩后平移先伸缩后平移 的图象 (1)(01)AA A 纵坐标伸长或缩短 为原来的倍(横坐标不变) sinyx 的图象sinyAx (01)(1) 1 () 横坐标伸长或缩短 到原来的纵坐标不变 的图象sin()yAx (0)(0) 向左或向右 平移个单位 的图象 (0)(0)kk k 向上或向下 平移个单位长度 sin()yAxk的图象.sin()yAx 【典型例题典型例题】 类型一：三角函数的图象类型一：三角函数的图象的平移、伸缩变换的平移、伸缩变换sin()yAx 例 1.如何由 y=sin x 的图象变化到的图象？ 1 3sin 24 yx 例 2.已知函数其中，( )sin(),f xx0| 2 （I）若求的值；coscossinsin0, 44 （）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的( )f x 3 ( )f x 解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数m( )f xm 【变式 1】把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是（ ） 【变式 2】已知函数的最小正周期为，( )sin()(,0) 4 f xxxR 为了得到函数的图象，只要将的图象（ ）( )cosg xx( )yf x A 向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度 8 8 C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度 4 4 类型二：三角函数类型二：三角函数的解析式的解析式sin()yAx 例 3.由图中条件，写出该函数，解析式.sin()0,0yAxA ） 举一反三：举一反三： 【变式 1】函数的图象如下图，确定其一个函数解析。sin()yAx 【变式 2】已知函数的图象如下图所示，其中|，求解析式：sin()yAx 类型三：函数类型三：函数的性质的综合运用的性质的综合运用sin()yAx 例 4函数的图象如图所示，试依图推出：( )sin()f xAx （1）的最小正周期；( )f x （2）时 x 的取值集合；( )0f x （3）使的 x 的取值集合；( )0f x （4）的单调递增区间和递减区间；( )f x （5）使取最小值时的 x 的取值集合；( )f x （6）图象的对称轴方程； （7）图象的对称中心； （8）要使成为偶函数，应对的图象作怎样的平移变换？( )f x( )f x 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知函数，其中，。若的最小正周( )2sin()f xxxR0( )f x 期为 6，且当时，取得最大值，则（ ） 2 x ( )f x A在区间2，0上是增函数( )f x B在区间3，上是增函数( )f x C在区间3，5上是减函数( )f x D在区间4，6上是减函数( )f x 【变式 2】已知函数 f（x）=Asin（x+） （其中 A0，0，|）的图象过点，图象(,0) 12 P 上与点最近的一个最高点是。P(,5) 3 Q （1）求函数的解析式； （2）求函数的递增区间。( )f x （3）求使 y0 时，x 的取值范围 【变式 3】某同学用“五点法”画函数 f（x）=Asin（x+） （0，|）在某一个周期内的图象时， 列表并填入了部分数据，如表： x+02 x Asin（x+）05 5 0 （1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数 f（x）的解析式； （2）将 y=f（x）图象上所有点向左平行移动 （0）个单位长度，得到 y=g（x）的图象 若 y=g（x）图象的一个对称中心为（，0） ，求 的最小值 【变式 4】已知 f（x）的定义域为，且 f（x）为偶函数，且当 x0，时， ( )2sin() 3 f xx （1）求 f（x）的解析式及 f（x）的单调递增区间； （2）若，求 x 的所有可能取值 2 ( )3 ( )0f xf x 【巩固练习巩固练习】 1函数 f（x）=Asin（x+） （其中 A0，0，|）的图象如图所示，为了得到 y=cos2x 的图 象，则只要将 f（x）的图象（） A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度 2要得到函数 ysinx 的图象，只需将函数 y的图象()cos() 3 x A向右平移个单位 B向右平移个单位 6 3 C向左平移个单位 D向左平移个单位 3 6 3要得到 y的图象，只需将 y的图象() 1 sin() 2 x 1 sin() 26 x A向左平移个单位 B向右平移个单位 3 3 C向左平移个单位 D向右平移个单位 6 6 4函数的图象经 平移后所得的图象关于点中心对称sin 2 3 yx ,0 12 A向左平移个单位 B向左平移个单位 12 6 C向右平移个单位 D向右平移个单位 6 12 5已知 a 是实数，则函数的图象不可能是（ ）( )1sinf xaax 6函数 f(x)2sin，当 f(x)取得最小值时，x 的取值集合为() 26 x Ax|x4k，kZ Bx|x4k，kZ 2 3 2 3 Cx|x4k，kZ Dx|x4k，kZ 3 3 7函数的最小值为2，其图象上相邻的最高点与最低点的sin()yAx(0,0,|) 2 A 横坐标之差是 3，又图象过点（0，1） ，则这个函数的解析式是（ ） A B 2 2sin 36 yx 1 2sin 36 yx C D 2 2sin 36 yx 1 2sin 36 yx 8若函数对于任意的都有成立，则的最小( )cos() 25 f xx xR 12 ()( )()f xf xf x 12 |xx 值为（ ） A 1 B 2 C D4 9函数在内 （ ）( )cosf xxx0,) A没有零点 B有且仅有一个零点 C有且仅有两个零点 D有无穷多个零点 10函数的图象大致是（ ） sin ln() sin xx y xx 11函数 y=3sin(2x+)（0）为偶函数，则=_ 12函数（A，为常数，A0，0）在区间，0上的图象如下图所示，sin()yAx 则 =_ 13函数的部分图象如图所示，sin()yAx(0,0)A 则 (1)(2)(3)(11)ffff 14已知函数，的图象关于点对称，( )sin()0,0f xx|(0)| 1,f( )f x 3 (,0) 4 M 且在区间上是单调函数，求的值0, 2 , 的图象与性质的图象与性质sin()yAx 要点一：用五点法作函数要点一：用五点法作函数的图象的图象sin()yAx 用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由 z 取sin()yAxzx 来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象. 3 0, ,2 22 要点二：函数要点二：函数中有关概念中有关概念sin()yAx 表示一个振动量时，A 叫做振幅，叫做周期，sin()0,0yAxA 2 T 叫做频率，叫做相位，x=0 时的相位称为初相. 1 2 f T x 要点三：由要点三：由得图象通过变换得到得图象通过变换得到的图象的图象sinyx sin()yAx 先平移后伸缩先平移后伸缩 的图象sinyx 的图象 () 横坐标伸长(0 1) 1 到原来的纵坐标不变 sin()yx 的图象 () AA A 纵坐标伸长(1)或缩短(0 1) 为原来的倍横坐标不变 sin()yx 的图象 (0)(0)kk k 向上或向下 平移个单位长度sin()yAxk 的图象.sin()yAx 先伸缩后平移先伸缩后平移 的图象 (1)(01)AA A 纵坐标伸长或缩短 为原来的倍(横坐标不变) sinyx 的图象sinyAx (01)(1) 1 () 横坐标伸长或缩短 到原来的纵坐标不变 的图象sin()yAx (0)(0) 向左或向右 平移个单位 的图象 (0)(0)kk k 向上或向下 平移个单位长度 sin()yAxk的图象.sin()yAx 【典型例题典型例题】 类型一：三角函数的图象类型一：三角函数的图象的平移、伸缩变换的平移、伸缩变换sin()yAx 例 1.如何由 y=sin x 的图象变化到的图象？ 1 3sin 24 yx 【解析】 解法一： 4 1 sinsinsin() 424 yxyxyx 2 向右平移个单位长度 将各点的横坐标伸长为原来的倍 。 3 将各点的纵坐标伸长为原来的倍 1 3sin() 24 yx 解法二： 2 2 1 sinsin 2 yxyx 向右平移个单位长度 将各点的横坐标伸长为原来的 。 3 111 sin3sin3sin 222224 yxyxx 将各点的纵坐标伸长为原来的倍 例 2.已知函数其中，( )sin(),f xx0| 2 （I）若求的值；coscossinsin0, 44 （）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的( )f x 3 ( )f x 解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数m( )f xm 【解析】 （I）由，得，得 3 coscossinsin0 44 22 cossin0 22 tan1 又|, 24 （）由（I）得，( )sin() 4 f xx 依题意，又故 23 T 2 ,T 3,( )sin(3) 4 f xx 函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为： ( )f xm( )sin 3() 4 g xxm 是偶函数当且仅当( )g x3() 42 mkkZ 即() 312 k mkZ 从而，最小正实数 12 m 【变式 1】把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是（ ） 【答案】A 【变式 2】已知函数的最小正周期为，( )sin()(,0) 4 f xxxR 为了得到函数的图象，只要将的图象（ ）( )cosg xx( )yf x A 向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度 8 8 C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度 4 4 【答案】A 【解析】由题知又，所以,T0 22 2, T 所以=( )sin(2)cos(2) 424 f xxx cos 2 4 x cos2 8 x 显然将的图象向左平移个单位长度便可得到的图象( )f x cos2 8 x 8 ( )cos2g xx 类型二：三角函数类型二：三角函数的解析式的解析式sin()yAx 例 3.由图中条件，写出该函数 f（x）=Asin（x+） （其中 A0，0，|）解析式. 【解析】 A=5， 2 3; 3 T 将最高点坐标(，5)代入得 4 2 5sin() 3 yx5sin5 6 ，取.2 62 k 2 3 kkZ ， 3 举一反三：举一反三： 【变式 1】函数的图象如下图，确定其一个函数解析。sin()yAx 【解析】由图象知，振幅 A=3，又， 5 66 T 。由点，令，得， 2 2 T ,0 6 20 6 3 。3sin 2 3 yx 【变式 2】已知函数 f（x）=Asin（x+） （其中 A0，0，|）的图象如下图所示， 求函数解析式： 【解析】 （1）T=(2+1)4=12， ，f（x）=Asin（x+） 6 6 点 C 为最低点，对称轴为，1x k2 26 ，。 k2 3 | 2 3 又点在图象上， ，(0,3)3sin0 63 A A=2， 2sin 63 yx 类型三：函数类型三：函数的性质的综合运用的性质的综合运用sin()yAx 例 4函数的图象如图所示，试依图推出：( )sin()f xAx （1）的最小正周期；( )f x （2）时 x 的取值集合；( )0f x （3）使的 x 的取值集合；( )0f x （4）的单调递增区间和递减区间；( )f x （5）使取最小值时的 x 的取值集合；( )f x （6）图象的对称轴方程； （7）图象的对称中心； （8）要使成为偶函数，应对的图象作怎样的平移变换？( )f x( )f x 【解析】 （1）。 7 23 44 T （2）在一个周期中，使的 x 是，。 5 , 2 2 ( )0f x 2 5 2 故所求的 x 的取值集合是. Zkkxx, 2 3 （3）使的 x 的取值集合是。( )0f x 5 33, 2 xkxkkZ （4）的单调递增区间是；( )f x 5 3,3() 44 kkkZ 单调递减区间是。 7 3,3() 44 kkkZ （5）取最小值时 x 的取值集合是。( )f x 7 3, 4 x xkkZ （6）对称轴方程是。 3 () 42 xkkZ （7）对称中心是。 3 ,0 () 22 kkZ （8）要使成为偶函数，可以把其图象向左平移个单位长度。( )f x 4 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知函数，其中，。若的最小正周( )2sin()f xxxR0( )f x 期为 6，且当时，取得最大值，则（ ） 2 x ( )f x A在区间2，0上是增函数( )f x B在区间3，上是增函数( )f x C在区间3，5上是减函数( )f x D在区间4，6上是减函数( )f x 【答案】A 【变式 2】已知函数 f（x）=Asin（x+） （其中 A0，0，|）的图象过点，图象(,0) 12 P 上与点最近的一个最高点是。P(,5) 3 Q （1）求函数的解析式； （2）求函数的递增区间。( )f x （3）求使 y0 时，x 的取值范围 【解析】 （1）依题意得：，周期, （或者直接代点）5A 4() 312 T (,5) 3 Q ,故，又图象过点， 2 2 5sin(2)yx(,0) 12 P ，解得：，即5sin()0 6 k0 66 。5sin(2) 6 yx （2）由222, 262 kxkkz 得：, 63 kxkkz 故函数的递增区间为：。( )f x, 63 kkkz （3），5sin 20 6 x 222() 6 kxkkZ 5 () 1212 kxkkZ 【变式 3】 （2015 湖北高考）某同学用“五点法”画函数 f（x）=Asin（x+） （0，|）在某 一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： x+02 x Asin（x+）05 5 0 （1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数 f（x）的解析式； （2）将 y=f（x）图象上所有点向左平行移动 （0）个单位长度，得到 y=g（x）的图象 若 y=g（x）图象的一个对称中心为（，0） ，求 的最小值 【解析】 （1）根据表中已知数据，解得 A=5，=2，=数据补全如下表： x+02 x Asin（x+ ） 050 5 0 且函数表达式为 f（x）=5sin（2x） （2）由（）知 f（x）=5sin（2x） ，得 g（x）=5sin（2x+2） 因为 y=sinx 的对称中心为（k，0） ，kZ 令 2x+2=k，解得 x=，kZ 由于函数 y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=， 解得 =，kZ由 0 可知，当 K=1 时， 取得最小值 【变式 4】已知 f（x）的定义域为，且 f（x）为偶函数，且当 x0，时， ( )2sin() 3 f xx （1）求 f（x）的解析式及 f（x）的单调递增区间； （2）若，求 x 的所有可能取值 2 ( )3 ( )0f xf x 【解析】 （1）当 x，0时，x0，()2sin() 3 fxx 由于 f（x）为偶函数，则 f（x）=f（x） ， 故，x（，0( )2sin() 3 f xx 即画出 f（x）的图象： 2sin(),0, 3 ( ) 2sin(),0 3 xx f x xx 由图象易得 f（x）的单调增区间为和, 6 0, 6 （2）方程等价于 f（x）=0 或，( )3f x 当时 f（x）=0；当 0 或时 2 3 x 1 3 ( )3f x 综上可知 x 的所有可能取值为 0， 1 3 2 3 【巩固练习巩固练习】 1函数 f（x）=Asin（x+） （其中 A0，0，|）的图象如图所示，为了得到 y=cos2x 的图 象，则只要将 f（x）的图象（） A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度 1.【答案】C【解析】由图象可知 A=1，T=，=2 f（x）=sin（2x+） ，又因为 f（）=sin（+）=1 +=+2k，=（kZ） ，|，= f（x）=sin（2x+）=sin（2x）=cos（2x）=cos（2x） 将函数 f（x）向左平移可得到 cos2（x+）=cos2x=y 2要得到函数 ysinx 的图象，只需将函数 y的图象()cos() 3 x A向右平移个单位 B向右平移个单位 6 3 C向左平移个单位 D向左平移个单位 3 6 2 【答案】A【解析】ysinxcoscos， 2 x 2 x cos 63 x 须将 ycos的图象向右平移个单位 3 x 6 3要得到 y的图象，只需将 y的图象() 1 sin() 2 x 1 sin() 26 x A向左平移个单位 B向右平移个单位 3 3 C向左平移个单位 D向右平移个单位 6 6 3 【答案】B【解析】ysinsin 1 26 x 1 () 23 x 4函数的图象经 平移后所得的图象关于点中心对称sin 2 3 yx ,0 12 A向左平移个单位 B向左平移个单位 12 6 C向右平移个单位 D向右平移个单位 6 12 4 【答案】D 【解析】设平移后得当时，y=0，sin 2() 3 yx 12 x ，k=0，故向右平移个单位2 63 k 212 k 12 12 5已知 a 是实数，则函数的图象不可能是（ ）( )1sinf xaax 5 【答案】D 6函数 f(x)2sin，当 f(x)取得最小值时，x 的取值集合为() 26 x Ax|x4k，kZ Bx|x4k，kZ 2 3 2 3 Cx|x4k，kZ Dx|x4k，kZ 3 3 6 【答案】A 7函数的最小值为2，其图象上相邻的最高点与最低点的sin()yAx(0,0,|) 2 A 横坐标之差是 3，又图象过点（0，1） ，则这个函数的解析式是（ ） A B 2 2sin 36 yx 1 2sin 36 yx C D 2 2sin 36 yx 1 2sin 36 yx 7 【答案】B【解析】A=2，T=2=6，又，所以，故 2 T 221 63T ，又过点（0，1） ，所以，因为，所以， 1 2sin 3 yx 12sin 1 sin 2 | 2 6 所以 1 2sin 36 yx 8若函数对于任意的都有成立，则的最小( )cos() 25 f xx xR 12 ()( )()f xf xf x 12 |xx 值为（ ） A 1 B 2 C D4 8 【答案】B 【解析】由题知：是函数的最小值，是函数的最大值，是使得函数取 1 ()f x 2 ()f x 1 x 得最小值的一个自变量，是使得函数取得最大值的一个自变量，那么，的最小值应为半 2 x 12 |xx 个周期因为函数的最小正周期为 4，所以的最小值为 2( )f x 12 |xx 9函数在内 （ ）( )cosf xxx0,) A没有零点 B有且仅有一个零点 C有且仅有两个零点 D有无穷多个零点 【答案】B 10函数的图象大致是（ ） sin ln() sin xx y xx 10 【答案】A 【解析】函数，x+sin x0，x0，故函数的定义域为xx0 sin ln() sin xx y xx 再根据 y=f（x）的解析式可得， sinsin ()ln()ln()( ) sinsin xxxx fxf x xxxx 故函数 f（x）为偶函数，故函数的图象关于 y 轴对称，故排除 B、D （当 x 接近于 0，则真数接近于 0，故函数值接近于负无穷） 当 x（0，1）时，0sin xx1， sin 01 sin xx xx 函数，故排除 C，只有 A 满足条件，故选：A sin ln()0 sin xx y xx 11函数 y=3sin(2x+)（0）为偶函数，则=_ 11 【答案】 2 12函数（A，为常数，A0，0）在区间，0上的图象如下图所示，sin()yAx 则 =_ 12 【答案】3 【解析】 ， 2 3 T 2 3 2 3 13函数的部分图象如图所示，sin()yAx(0,0)A 则 (1)(2)(3)(11)ffff 13 【答案】 【解析】，所以，计算得22 22,0,8AT( )2sin() 4 f xx (1)2,(2)2,(3)2,(4)0,ffff(5)2,(6)2,(7)2,(8)0,ffff 所以，且函数周期为 8(9)(1)2,ff(1)(2)(8)0fff 所以(1)(2)(11)(9)(10)(11)(1)(2)(3)22 2fffffffff 14已知函数，的图象关于点对称，( )sin()0,0f xx|(0)| 1,f( )f x 3 (,0) 4 M 且在区间上是单调函数，求的值0, 2 , 14 【解析】由，得，因为，所以|(0)| 1f|sin| 10 2 又的图象关于点对称，所以，即，( )f x 3 (,0) 4 M 3 ()0 4 f 3 sin()0 42 在区间上是单调函数，0, 2 0 22 T 2 2 结合，可得，0 3 ,0,1,2 42 kk 当时，在上是减函数；0k 22 ,( )sin() 332 f xx 0, 2 当时，在上是减函数；1k 2,( )sin(2) 2 f xx 0, 2 当时，在上不是单调函数；2k 10 ,( )sin() 32 f xx 0, 2 所以，综上得 2 2, 32 或