1、3.2 函数的基本性质函数的基本性质 知识梳理知识梳理 1、函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数 定 义 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1， x2 当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x) 在区间 D 上是增函数 当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数 图 象 描 述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 yf(x)在这一区间具有(严格的)单
2、调性，区间 D 叫做 y f(x)的单调区间 (3)函数单调性的常用结论函数单调性的常用结论 对x1，x2D(x1x2)，fx1fx2 x1x2 0 或0 2121 )()()(xfxfxxf(x)在 D 上是增函数，fx1fx2 x1x2 0 或 0 2121 )()()(xfxfxxf(x)在D上是减函数，即x与y同号增，异号减 在区间 D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数 复合函数 f(g(x)的单调性与函数 yf(u)和 ug(x)的单调性的关系是“同增异减同增异减” 对勾函数 f(x)xa x(a0)的单调性，如图可知，(0， a减， a，)增， a，0)减，(
3、，a增 (4)(4)注意注意：对于选择题，填空题可用下面四种方法判断函数单调性 1定义法：取值、作差、变形因式分解、配方、有理化、通分、定号、下结论. 2复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数. 3图象法：如果 fx是以图象形式给出的，或者 fx的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性. 4导数法：利用导函数的正负判断函数单调性. (5)(5)证明函数的单调性有定义法、导数法.但在高考中，见到有解析式，尽量用导数法. 易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 如有多个单调增减区间应分别写，不能用不能用“”联结联结. 2、函数最值 （1）概
4、念 前提设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足 条件 (1)对于任意的 xI，都有 f(x)M； (2)存在 x0I，使得 f(x0)M (3)对于任意的 xI，都有 f(x)M； (4)存在 x0I，使得 f(x0)M 结论M 为函数 yf(x)的最大值M 为函数 yf(x)的最小值 （2）求函数最值的 5 种常用方法 单调性法先确定函数的单调性，再由单调性结合端点值求最值 图象法先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值 基本不 等式法 先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值 导数法先求出导函数，然后求出给定区间上的极值，最后结合端
5、点值，求出最值 换元法对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值 3、函数的奇偶性 (1)概念 奇偶性定义图象特点 偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)， 那么函数 f(x)就叫做 偶函数 关于 y 轴 对称奇函 数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就叫 做奇函数 关于原点对称 (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件；f(0)0 既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要 条件. (3)函数奇偶性常用结论 若奇函数f(x)在x0 处有定义，则f(0)0. 如
6、果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|) 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 若yf(xa)是奇函数，则f(xa)f(xa)；若yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa) (4)判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： 定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； 判断f(x)与f(x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x) f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立. 4、函数的周期性 (1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个非零常
7、数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT)f(x)，那么就 称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期 (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期 函数周期性常用结论 (3)对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若)()(xfaxf，则T2a(a0) (2)若 )( )( xf axf 1 ，则T2a(a0) (3)若 )( )( xf axf 1 ，则T2a(a0) 5、函数的对称性 (1)函数yf(x)关于xab 2 对称f(ax)f(bx)f(x)f(bax) 特殊：函数yf(x)
8、关于xa对称f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)； 函数yf(x)关于x0 对称f(x)f(x)(即为偶函数) (2)函数yf(x)关于点(a，b)对称f(ax)f(ax)2bf(2ax)f(x)2b. 特殊：函数yf(x)关于点(a,0)对称f(ax)f(ax)0f(2ax)f(x)0； 函数yf(x)关于(0,0)对称f(x)f(x)0(即为奇函数) (3)yf(xa)是偶函数函数yf(x)关于直线xa对称； yf(xa)是奇函数函数yf(x)关于点(a,0)对称 (4)函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)表明的是函数图象的对称性， 函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)(a
9、b) 表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆. 知识典例知识典例 题型一单调性的证明 例 1设函数 2 ( ) axb f x x ，且 21 )(f， 2 5 2 )(f （1）求 ( )f x解析式； （2）利用定义判断 ( )f x在区间2，)上的单调性. 【答案】（1） 2 1x f x x ；（2）单调递增 【解析】 【分析】 （1）将1,2代入到函数解析式可得关于, a b的方程组，解得a、b的值，即可得函数的解析式； （2）根据题意，设 12 2xx，由作差法分析可得答案. 【详解】 （1）根据题意，函数 2 ( ) axb f x x ，且 12f， 5 2 2 f，
10、 则 2 1 4 5 22 ab ab ，解可得1a ，1b ， 则 2 1x f x x . （2）设 12 2xx， 则 22 1212 12 12 1212 111x xxxxx f xf x xxx x ， 又由 12 2xx，则 12 0 xx， 12 10 x x ， 则 12 0f xf x， 则函数 fx在区间2,上单调递增. 用定义法证明函数 2 1f xxx 在定义域内是减函数 【答案】见解析 【分析】 直接利用函数单调性的定义进行证明，设在 R 上任取两个数 x1，x2，且 x1x2，然后判定 f（x1）f（x2）的符号，从 而得到结论 【详解】 设在 R 上任取两个数
11、x1，x2，且 x1x2； 则 f（x1）f（x2）= 2 1 1x x1（ 2 2 1x x2） = 2 1 1x 2 2 1x +（x2x1） = 1212 22 12 11 xxxx xx +（x2x1） =（x1x2）（ 12 22 12 11 xx xx 1） x1x2，x1x20， 12 22 12 11 xx xx 10， 则 f（x1）f（x2）0， 函数 2 1f xxx 在 R 上是减函数 题型二单调性求解参数问题 例 2若函数 f(x)(4x)(x2)在区间(2a，3a1)上单调递增，则实数 a 的取值范围是_. 【答案】 4 1, 3 【分析】 根据二次函数的性质列出不
12、等式组，求解即可. 【详解】 f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴 x3 231 313 aa a 解得 4 1 3 a 故答案为： 4 1, 3 已知函数 2 ( )23f xxax，4,6x （1）当2a 时，求 fx的最值； （2）求实数a的取值范围，使 yf x在区间4,6上是单调函数； 【答案】（1）最小值是1，最大值是 35.；（2） 46aa或 【分析】 （1）根据二次函数的性质求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可； （2）求出函数的对称轴，得到关于a的不等式，求出a的范围即可 【详解】 解：（1）当2a 时， 22 ( )43(2)1f xxxx， 由于4,6x ， f
13、 x在4,2上单调递减，在2,6上单调递增， f x的最小值是 21f ，又( 4)35,(6)15ff，故 fx的最大值是 35. （2）由于函数 fx的图像开口向上，对称轴是x a ， 所以要使 fx 在 4,6 上是单调函数，应有46aa或 题型三 脱式计算 例 3已知 ( )f x是R上的偶函数，且在0，)单调递增，若(3)(4)f af ，则a的取值范围为_ 【答案】17a 【分析】 由偶函数的性质 f xfx将不等式表示为 34faf，再由函数 yf x在区间0,上的单调性得 出3a与4的大小关系，解出不等式即可 【详解】 函数 yf x是R上的偶函数，所以 f xfx， 由 34
14、f af，得 34faf， 函数 yf x在区间0,上单调递增，34a，得434a ， 解得 17a ，因此，实数a的取值范围是 1,7 ，故答案为 1,7 若函数 yf x的定义域为R，且为增函数，121fafa，则 a 的取值范围是_. 【答案】 2 , 3 【解析】 【分析】 函数 yf x的定义域为R，且为增函数，121fafa，等价转化为121aa，解不等式，即可求解. 【详解】 yfx的定义域为R，且为增函数， 又121faa，121aa ，即 2 3 a ， a 的取值范围是 2 , 3 . 故答案为: 2 , 3 题型四 分段函数单调性 例 4已知 (31)4 ,1 ( ) ,
15、1 axa x f x ax x 是定义在 , 上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A 1 1 , ) 8 3 B 1 1 , 8 3 C 1 0, 3 D 1 (0, 3 【答案】A 【分析】 由函数 ( )f x是, 上的减函数，可得 310 0 314 a a aaa ，求解即可. 【详解】 因为函数 ( )f x是, 上的减函数，所以 310 0 314 a a aaa ，解得 11 83 a. 故选：A. 已知 2 372,1 ,1 axax f x axx x 在, 上单调递减，则实数 a 的取值范围为（） A0,3B 1 , 3 2 C 2 , 3 9 D 2 , 3 9 【
16、答案】B 【分析】 由已知 1 372faxxa， 2 2 faxxx 在各自的区间上均应是减函数，且当1x 时，应有 12 fxfx，求解即可 【详解】 由已知， 1 372faxxa在1，上单减， 30a ，3a 2 2 faxxx 在1,上单调递减， 0 1 1 2 a a ，解得 1 2 a 且当1x 时，应有 12 fxfx， 即811aa ， 2 9 a ， 由得，a的取值范围是 1 , 3 2 ，故选 B 题型五奇偶函数 例 5设 f（x）为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=2x+2x+m，则 f（1）=_. 【答案】3 【分析】 由函数 fx是R上的奇函数，求得1
17、m ，得到当0 x 时，函数 221 x f xx， 再由 11ff ，即可求解. 【详解】 由题意，因为函数 fx是R上的奇函数，则 0 022 00fm ， 解得1m ，即当0 x 时，函数 221 x f xx， 又由 1 11(22 1 1)3ff . 故答案为：3. 若函数 2 1 xa xb f x x 在 1,1 上是奇函数，则 fx的解析式为_ 【答案】 2 1 x fx x 【分析】 由函数在1,1上是奇函数，可得 00f，可求得a，结合 11ff 可求得b，进一步求得解析式 【详解】 f x在 1,1 上是奇函数， 00f，0a ， 2 1 x f x xbx 又 11ff
18、 ， 11 22bb ，即0b ， 2 1 x f x x 题型六性质应用 例 6 已知 ( )f x是实数集上的偶函数，且在区间0,)上是增函数，则( 2)f ，()f，(3)f的大小关系是（） A()( 2)(3)fffB(3)()( 2)fff C( 2)(3)()fff D()(3)( 2)fff 【答案】D 【分析】 结合 fx的奇偶性和单调性比较出三者的大小关系. 【详解】 因为 ( )f x是实数集上的偶函数，所以( 2)(2)ff ，()( )ff， 又因为在区间0,)上是增函数，并且32，所以( )(3)(2)fff， 所以()(3)( 2)fff，所以 D 选项的正确的 故
19、选：D 已知函数 yf x在区间5,5上是增函数，那么下列不等式中成立的是（） A 43fffB 43fff C 43fff D34fff 【答案】D 【分析】 根据函数的单调性，结合自变量的大小关系，即可得出结论. 【详解】 由函数 yf x在区间5,5上是增函数得， 4334ffffff. 故选:D. 题型七 周期性 例 7 已知 ( )f x是定义域为(,) 的奇函数,满足 (1)(1)fxfx.若 (1)2f，则 (1)(2)(3)(50)ffff （） A50B0C2D50 【答案】C 【解析】 分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因
20、为 ( )f x是定义域为(,) 的奇函数，且 (1)(1)fxfx， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4fxf xfxf xf xT , 因此(1)(2)(3)(50)12 (1)(2)(3)(4)(1)(2)ffffffffff， 因为(3)(1)(4)(2)ffff ，所以(1)(2)(3)(4)0ffff， (2)( 2)(2)(2)0ffff ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2fffff，选 C. 已知 fx是定义在R上的偶函数，对任意xR都有 3f xfx，且 24f，则2020f的值为（） A4B3C2D1 【答案】A 【分析】 利用函数 fx是偶函数和对称性求出函数的周
21、期，再化简计算得出2020f的值 【详解】 由 33f xfxf x，知 fx为周期函数，且周期3T ，则 20203 673 11124fffff 故选:A 题型八 抽象函数 例 8 已知函数 ( )f x满足：对于任意, x yR 都有()( )( )f xyf xf y，且0 x 时，( )0f x ，(1)2f . （1）证明函数 ( )f x是奇函数； （2）判断并证明函数 ( )f x在R上的单调性，然后求函数( )f x在 3,3 上的最值； 【答案】（1）详见解析（2） ( )f x在 R 上是减函数，证明详见解析，( )f x有最大值 6；最小值-6 【分析】 （1）抽象函数
22、的奇偶性证明，采用令值的方式证明；（2）单调性证明需要借助条件中表达式构造： 2211211 ()()()()f xf xxxf xxf x去证明. 【详解】 解：（1）设0yx，有(0)0f， 取y x ，则有( )()(0)0f xfxf()( )fxf x ( )f x是奇函数 （2）设 12 xx，则 21 0 xx，由条件得 21 ()0f xx 22112111 ()()()()()f xf xxxf xxf xf x ( )f x在R上是减函数， ( )f x在 3,3上也是减函数。 ( )f x当3x 时有最大值( 3)f ；当3x 时有最小值(3)f， 由(1)2f (3)(
23、12)(1)(2)3 (1)6fffff ， ( 3)(3)6ff ( )f x当3x 时有最大值6；当3x 时有最小值6. 已知 fx对任意的实数m，n都有： 1f mnf mf n-，且当0 x 时，有 1fx （1）求 0f； （2）求证： fx在R上为增函数； 【答案】【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）5 2 31， 【分析】 (1)在已知恒等式中令0mn可得; (2)用增函数的定义可证; (3)利用已知恒等式和(6)7f求得(1)2f,再将不等式 2 23f axf x x-化为 2 121fxaxf - 后,利用单调性可化为 2 130 xax-在1x ，上恒成立,再利用二
24、次函数的最值可解决. 【详解】 （1）解：令0mn ，则 0201ff-，解得 01f （2）证明：设 12 xx，是R上任意两个实数，且 12 xx，则 则 212111 ()fxfxxxf x-f(x )- 211121 ()() 1()() 1f xxf xf xf xx 所以 2121 1f xf xf xx-， 由 12 xx得 21 0 xx -，所以 21 1f xx-， 故 21 0f xf x，即 12 fxfx， 所以 fx在R上为增函数 巩固提升巩固提升 1、定义在R上的函数 fx对任意两个不相等的实数a，b，总有 0 f af b ab ，则必有（） A函数 fx先增后
25、减B函数 fx是R上的增函数 C函数 fx先减后增D函数 fx是R上的减函数 【答案】B 2、已知函数 53 ( )8f xxaxbx，若( 3)10f ，则(3)f（） A-26B26C18D10 【答案】A 【分析】 令 53 g xxaxbx,利用 g x为奇函数整体代换,进行求解. 【详解】 令 53 g xxaxbx,由 gxg x 得 g x为奇函数, 则由33810fg 得318g ,所以 3318gg , 所以 33826fg . 故选:A. 3、若函数 (31)4 ,1 ( ) ,1 axa x f x axx ，是定义在R上的减函数，则a的取值范围为（） A 1 1 8 3
26、 ，B 1 0 3 ， C 1 , 8 D 11 , 83 【答案】A 【分析】 本题根据减函数的定义再结合一次函数的性质直接求解即可. 【详解】 因为函数 ( )f x是定义在R上的减函数，所以 310 0 314 a a aaa ，解得 11 83 a. 故选：A. 4、 设函数 2 ( )1f xmxmx， 若对于任意的 xx|1 x 3，( )4f xm 恒成立， 则实数 m 的取值范围为 （） Am0B0m 5 7 Cm0 或 0m 5 7 Dm 5 7 【答案】D 【详解】 若对于任意的 xx|1 x 3，( )4f xm 恒成立 即可知：mx2mxm5 0 在 xx|1 x 3上
27、恒成立 令 g(x)mx2mxm5，对称轴为 1 2 x 当 m0 时，5 0 恒成立 当 m 0 时，有 g(x)开口向下且在1,3上单调递减 在1,3上 max ( )(1)50g xgm，得 m 5，故有 m 0 时，有 g(x) 开口向上且在1,3上单调递增 在1,3上 max ( )(3)750g xgm，得 5 0 7 m 综上，实数 m 的取值范围为 5 7 m 故选：D 5、若函数 ( )f x定义域为 R，且其图像关于原点成中心对称，当 0 x 时， 3 ( )1f xxx ，则当0 x时， ( )f x _ 【答案】 3 0(0) 1(0) x xxx 6、若函数 yf x
28、的定义域为R，且为增函数，121fafa，则 a 的取值范围是_. 【答案】 2 , 3 yfx的定义域为R，且为增函数， 又121faa，121aa ，即 2 3 a ， a 的取值范围是 2 , 3 . 故答案为: 2 , 3 7、若 2 1 ax f x x 在区间, a 上是减函数，则 a 的取值范围是_. 【答案】( ) 1,2 由 22 11 axa f xa xx ， 得当20a时， fx在, 1 上是减函数， 依题意得 1 2 a a ， 解得12a，即 a 的取值范围是1,2. 故答案为:1,2 8、设函数 f(x) (1)()xxa x 为奇函数，则 a_. 【答案】1 9
29、、已知函数 4 ( )f xx x . (1)用函数单调性的定义证明 ( )f x在区间2,)上为增函数; (2)解不等式 2 24(7)fxxf. 【答案】(1)证明见解析;(2) 1,3. 【分析】 （1）通过计算 12 0f xf x，证得( )f x在区间2,)上为增函数. （2）利用 fx的单调性，化简不等式，由此求得不等式的解集. 【详解】 （1） fx的定义域为|0 x x .任取 12 0 xx，则 1212 12 44 f xf xxx xx 12 12 12 4 xx xx x x 1212 12 1212 44 1 xxx x xx x xx x . 当 12 2,)x
30、x 时， 12 40 x x ，而 1212 0,0 xxxx，所以 12 0f xf x，所以( )f x在区间2,)上为 增函数. （2）由于 2 2 24133xxx，且由（1）知 ( )f x在区间2,)上为增函数，所以由 2 24(7)fxxf 可得 2 247xx ，即310 xx，解得1 3,x . 10、已知函数 ( )f x是定义在R上的奇函数，且当 0 x 时， 2 ( )f xxx. （1）计算(0)f，( 1)f ； （2）求 ( )f x的解析式. 【答案】（1） 00,10ff；（2） 2 2 ,0 ( ) ,0 xx x f x xx x . 【分析】 （1）根据
31、奇函数的性质求得 0f，根据奇函数的定义求得1f .（2）先令0 x ，得到0 x ，然后根据奇函数 fxfx 求得函数0 x 时的解析式，进而求得函数在R上的解析式. 【详解】 （1） fx是R上的奇函数， 00f 因为 fx是R上的奇函数，又0 x 时， 2 f xxx 所以 110ff . （2）当0 x 时，0 x 因为当0 x 时， 2 f xxx 所以 2 2 fxxxxx 又函数 fx是R上的奇函数，即 fxfx 2 f xxx 又 00fQ 2 2 ,0 ( ) ,0 xx x f x xx x . 11、已知函数 21 ( ) 1 x f x x . （1）用定义证明 ( )
32、f x在区间1,)上是增函数. （2）求该函数在区间2,4上的最大值与最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2） max 9 ( ) 5 f x， min 5 ( ) 3 f x. 【分析】 （1）用单调性定义证明，任取 1 x， 2 1,)x ，且 12 xx，然后证明 12 ()0(f xf x； （2）由（1）的单调性易得最值 【详解】 （1）任取 1 x， 2 1,)x ，且 12 xx，则 1212 12 1212 2121 1111 xxxx f xf x xxxx . 12 1 xx， 12 0 xx， 12 110 xx， 12 0f xf x，即 12 fxfx， 故函数 ( )f x在区间1,)上是增函数. （2）由（1）知函数 ( )f x在区间2,4上是增函数， max 2419 ( )(4) 415 f xf ， min 2215 ( )(2) 213 f xf .
