1、必修第一册综合测试题五必修第一册综合测试题五 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1函数 2 2 1 ( )log (2) 1 f xxx x 的定义域为() A(1,2)B(，0)(2，) C(，1)(1，2)D(0，1)(1，2) 2已知全集1U ，2，3，4，5，6，集合2A ，3，5，6，集合1B ，3，4，6， 则集合()( U AB ) A2，5B3，6C2，5，6D2，3，5，6 3 “关于x的方程的 2 210axx 至少有一个负数根”的一个充分不必要条件是() A1a B1aC1a DaR 4已知命题:( 1,3)px ， 2 2 0 xa 若p为假命题，则a的取值
2、范围为() A(, 2) B(, 1) C(,7)D(,0) 5关于x的不等式 2 10 xmx 的解集为R，则实数m的取值范围是() A(0,4)B(，2)(2，) C 2，2D( 2,2) 6 已知0m ，0 xy ， 当2xy时， 不等式 49 2 m xy 恒成立， 则m的取值范围是() A 1 ,) 2 B1，)C(0，1D 1 (0, 2 7函数( )f x、( )g x分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且( )2 ( ) x f xg xe，若关于x的 方程(2 )( )0fxmg x在区间(0，2内有解，则实数m的最小值为() A4B4 2C8D8 2 8已知扇形的周长是6cm
3、，面积是 2 2cm，则扇形的圆心角的弧度数为() A1B4C1 或 4D2 或 4 二多选题（共二多选题（共 4 小题）小题） 9下列各组对象能构成集合的是() A拥有手机的人B2020 年高考数学难题 C所有有理数D小于的正整数 10已知0a ，0b ，1ab，则() Aab的最大值为 1B(4 ) ab的最大值为 2 C 22 2 log ()ab的最小值为 0D 2 21 2 a ab 的最小值为31 11已知函数 | ( ) 1 x f x x ，则() A( )f x是奇函数 B( )f x在0，)上单调递增 C函数( )f x的值域是(, 1)0 ，) D方程 2 ( )10f
4、xx 有两个实数根 12如图是函数( )sin()(0)f xAx 的部分图象，则() A 1 ( )2sin() 24 f xx B 1 ( )2sin() 22 f xx C 1 ( )2sin() 22 f xx D 1 ( )2cos() 2 f xx 三填空题（共三填空题（共 4 小题）小题） 13若0 4 ，0 4 ， 1 cos() 43 ， 3 cos() 433 ，则cos() 3 14若1lgxlgy，则 25 xy 的最小值为 15函数( )g x对一切实数x，yR都有()( )(22)g xyg yx xy成立，且g（1）0， ( ) ( ) g x f x x ， 若
5、关于x的方程 2 (|21|)30 |21| x x k fk 有三个不同的实数解， 则实数k的 取值范围是 16已知函数 2 ,221 ( )() 2,212 xx f xZ xx kk k k kkk ，( ) |g xlgx，则函数( )( )( )h xf xg x 的零点个数为 四解答题（共四解答题（共 6 小题）小题） 17设函数 33 ( )sincos 2323 xx f x （1）求( )f x的最小正周期； （2）若函数( )yg x与( )yf x的图象关于x轴对称，求当0 x， 3 2 时，( )yg x的最大 值 18已知函数 41 ( ) 2 ax x f x （1
6、）若( )f x是偶函数，求a的值； （2）当4a 时，若关于x的方程 2 ( 243)2fxxa在 1，2上恰有两个不同的实 数解，求a的取值范围 19某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本，据市场调查，杂志的单价每提 高 0.1 元， 销售量就可能减少 2000 本 如何定价才能使提价后的销售总收入不低于 20 万元？ 20定义域为D的函数( )f x，如果对于区间I内()ID的任意三个数 1 x， 2 x， 3 x，当 123 xxx时，都有 3221 2132 ()()()()f xf xf xf x xxxx ，则称此函数为区间上的“T函数” （1）请你写出一个在
7、R上的“T函数” （不需要证明） （2）判断幂函数 3 2 ( )f xx在(0,)上是否为“T函数” ，并证明你的结论 （3）若函数 2 ( ) a f xx x 在区间 2，11，2上是“T函数” ，求实数a的取值范围 21已知奇函数( )log(1,) 1 a bax f xabR ax （1）求b的值，并求出函数( )f x的定义域； （2）若存在区间m，n，使得xm，n时，函数( )f x的值域为log 6 a m，log 6 a n，求a 的取值范围 22已知命题： “ 0 xR，使得 2 00 250 xmxm”为假命题 （1）求实数m的取值集合A； （2） 设不等式(1)(12
8、 )0 xaxa 的解集为集合B， 若xA是xB的充分不必要条件， 求实数a的取值范围 必修第一册综合测试题五必修第一册综合测试题五 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1函数 2 2 1 ( )log (2) 1 f xxx x 的定义域为() A(1,2)B(，0)(2，) C(，1)(1，2)D(0，1)(1，2) 【分析】根据对数函数的性质以及分母不为 0，得到关于x的不等式组，解出即可 【解答】解：由题意得： 2 10 20 x xx ， 解得：02x且1x ， 故函数的定义域是(0，1)(1，2)， 故选：D 2已知全集1U ，2，3
9、，4，5，6，集合2A ，3，5，6，集合1B ，3，4，6， 则集合()( U AB ) A2，5B3，6C2，5，6D2，3，5，6 【分析】进行补集和交集的运算即可 【解答】解：1U ，2，3，4，5，6，2A ，3，5，6，1B ，3，4，6， 2 UB ，5，()2 U AB ，5 故选：A 3 “关于x的方程的 2 210axx 至少有一个负数根”的一个充分不必要条件是() A1a B1aC1a DaR 【分析】关于x的方程的 2 210axx 至少有一个负数根，列出不等式组，求出a的取值 范围，由此能求出“关于x的方程的 2 210axx 至少有一个负数根”的一个充分不必要 条件
10、 【解答】解：关于x的方程的 2 210axx 至少有一个负数根， 12 0 440 1 0 a a x x a 或 12 12 0 440 2 0 1 0 a a xx a x x a ， 解得0a “关于x的方程的 2 210axx 至少有一个负数根”的一个充分不必要条件是1a 故选：A 4已知命题:( 1,3)px ， 2 2 0 xa 若p为假命题，则a的取值范围为() A(, 2) B(, 1) C(,7)D(,0) 【分析】直接利用不等式的解法和函数的恒成立问题和命题的否定求出参数的取值范围 【解答】解：命题:( 1,3)px ， 2 2 0 xa 则:( 1,3)px ， 2 2
11、0 xa为真命题， 所以 2 2ax恒成立，即 2 (2)2 min ax 故选：A 5关于x的不等式 2 10 xmx 的解集为R，则实数m的取值范围是() A(0,4)B(，2)(2，) C 2，2D( 2,2) 【分析】根据一元二次不等式与二次函数的联系即可得解 【解答】解：不等式 2 10 xmx 的解集为R， 所以0，即 2 40m ， 解得22m 故选：D 6 已知0m ，0 xy ， 当2xy时， 不等式 49 2 m xy 恒成立， 则m的取值范围是() A 1 ,) 2 B1，)C(0，1D 1 (0, 2 【分析】根据“乘 1 法” ，可得 41 4 ()() 2 mm x
12、y xyxy ，展开后，结合基本不等式可推出 419 (42 4) 22 m mm xy ，解此不等式即可 【解答】解：0 xy ，且2xy，0 x，0y ， 41 414141 ()()(4)(42)(42 4) 2222 mmymxy mx xymmmm xyxyxyxy ， 当且仅当 4ymx xy 即2mxy时，等号成立， 不等式 49 2 m xy 恒成立， 19 (42 4) 22 mm，化简得，45 0mm ， 解得1m，即1m， m的取值范围是1，) 故选：B 7函数( )f x、( )g x分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且( )2 ( ) x f xg xe，若关于x的
13、方程(2 )( )0fxmg x在区间(0，2内有解，则实数m的最小值为() A4B4 2C8D8 2 【分析】由函数的奇偶性，构造方程可解得( ), ( ) 24 xxxx eeee f xg x ，原方程有解可 转化为 22 2() xx xx ee m ee 在(0，2有解，换元(0 xx tee， 22 ee，求函数 4 2yt t 的 最小值即可 【解答】解：( )2 ( ) x f xg xe， ()2 () x fxgxe， 又函数( )f x、( )g x分别是定义在R上的偶函数、奇函数， ( )2 ( ) x f xg xe， ( ), ( ) 24 xxxx eeee f
14、xg x ， (2 )( )0fxmg x在区间(0，2内有解， 22 2() xx xx ee m ee 在区间(0，2内有解， 令(0 xx tee， 22 ee，则 222 2()2()24 2 xxxx xxxx eeee mt eeeet 在(0， 22 ee 内有解， 又 4 24 2yt t ，当且仅当2t 时取等号， m的最小值为4 2 故选：B 8已知扇形的周长是6cm，面积是 2 2cm，则扇形的圆心角的弧度数为() A1B4C1 或 4D2 或 4 【分析】 设出扇形的圆心角为rad， 半径为Rcm， 根据扇形的周长为 6cm， 面积是 2 2 cm， 列出方程组，求出扇
15、形的圆心角的弧度数 【解答】解：设扇形的圆心角为rad，半径为Rcm，则 2 26 1 2 2 RR R ， 解得1或4 故选：C 二多选题（共二多选题（共 4 小题）小题） 9下列各组对象能构成集合的是() A拥有手机的人B2020 年高考数学难题 C所有有理数D小于的正整数 【分析】根据集合元素的确定性对四个选项依次判断即可 【解答】解：拥有手机的人具有确定性，能构成集合，故A正确； 数学难题定义不明确，不符合集合的定义，故B不正确； 有理数具有确定性，能构成集合，故C正确； 小于的正整数具有确定性，能构成集合，故D正确； 故选：ACD 10已知0a ，0b ，1ab，则() Aab的最大
16、值为 1B(4 ) ab的最大值为 2 C 22 2 log ()ab的最小值为 0D 2 21 2 a ab 的最小值为31 【分析】结合已知及基本不等式及结论分别检验各选项即可判断 【解答】解：0a ，0b ，1ab， 2 1 () 24 ab ab ，当且仅当 1 2 ab时取等号， 222 11 ()2121 22 abababab ，当且仅当 1 2 ab时取等号， 2 ()21212ababababab ，当且仅当 1 2 ab时取等号，ab的 最大值2，A错误； 1 4 (4 )442 abab ，即最大值2，B正确； 22 22 1 log ()1 2 ablog ，当且仅当
17、1 2 ab时取等号，即最大值1，C错误； 22222 212()3233 11213 2222222 aaababababab abababbaba ， 当且仅当 3 22 ab ba 且1ab即 31 2 a ， 33 2 b 时取等号， 故 2 21 2 a ab 的最小值13 故选：BD 11已知函数 | ( ) 1 x f x x ，则() A( )f x是奇函数 B( )f x在0，)上单调递增 C函数( )f x的值域是(, 1)0 ，) D方程 2 ( )10f xx 有两个实数根 【分析】根据函数的奇偶性判断A，根据函数的单调性判断B，结合图象判断C，D即可 【解答】解：对于
18、 | :()( ) 1 x A fxf x x ，( )f x不是奇函数，故A错误； 对于:0B x时， 1 ( )1 11 x f x xx 在0，)递增，故B正确； 对于C，D，画出函数( )f x和 2 1yx 的图象，如图示： ， 显然函数( )f x的值域是(, 1)0 ，)，故C正确， ( )f x和 2 1yx 的图象有 3 个交点，故D错误； 故选：BC 12如图是函数( )sin()(0)f xAx 的部分图象，则() A 1 ( )2sin() 24 f xx B 1 ( )2sin() 22 f xx C 1 ( )2sin() 22 f xx D 1 ( )2cos()
19、 2 f xx 【分析】分类讨论A的符号，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法 作图求出的值，可得( )f x的解析式 【解答】解：若0A ，根据函数( )sin()(0)f xAx 的部分图象，可得2A ， 1 2 2 2 ， 1 2 ，结合五点法作图可得 2 ，故( )2sin() 22 x f x ，故B满足条 件； 若0A ，则2A ， 1 2 2 2 ， 1 2 ，结合五点法作图可得 3 2 ， 故 3 ( )2sin()2sin()2cos 22222 xxx f x ，故C、D也正确， 故选：BCD 三填空题（共三填空题（共 4 小题）小题） 13 若0 4 ，0
20、4 ， 1 cos() 43 ， 3 cos() 433 ， 则cos() 3 5 3 9 【 分 析 】 根 据 条 件 即 可 得 出 2 26 sin(),sin() 43433 ， 然 后 可 得 出 cos()cos()() 3443 ，然后根据两角差的余弦公式即可求出答案 【解答】解： 0 4 ， 442 ，且 1 cos() 43 ， 2 2 sin() 43 ， 0 4 ， 4433 ，且 3 cos() 433 ， 6 sin() 433 ， cos()cos()() 3443 cos()cos()sin()sin() 443443 132 26 3333 5 3 9 故答案
21、为： 5 3 9 14若1lgxlgy，则 25 xy 的最小值为2 【分析】根据对数的基本运算，结合不等式的解法即可得到结论 【解答】解：1lgxlgy， 1lgxy，且0 x ，0y ， 即10 xy ， 252 510 222 10 xyx y ， 当且仅当 25 xy ，即2x ，5y 时取等号， 故答案为：2 15函数( )g x对一切实数x，yR都有()( )(22)g xyg yx xy成立，且g（1）0， ( ) ( ) g x f x x ， 若关于x的方程 2 (|21|)30 |21| x x k fk 有三个不同的实数解， 则实数k的 取值范围是(0,) 【分析】利用赋
22、值法，求得( )g x和( )f x的解析式，代入方程 2 (|21|)30 |21| x x k fk ， 化简后利用换元转化为一元二次方程形式， 根据一元二次方程根的分布特征， 建立不等式组， 解出即可得到k的取值范围 【解答】解：函数( )g x对一切x，yR，都有()( )(22)g xyg yx xy， 令1x ，0y ，代入()( )(22)g xyg yx xy可得，g（1）(0)1g ， 而g（1）0， (0)1g， 令0y ，代入可得( )(0)(2)g xgx x，故 2 ( )21g xxx，则 ( )1 ( )2 g x f xx xx ， 代入方程 2 (|21|)3
23、0 |21| x x k fk 可得， 12 |21|230 |21|21| x xx k k ， 化简变形可得 2 |21|(23 )|21| 120 xx kk ，|21| 0 x ， 令|21| x t，则上式可化为 2 (23 )120tk tk ，0t ， 关于x的方程 2 (|21|)30 |21| x x k fk 有三个不同的实数解，|21| x t 的图象如下图 所示， 结合|21| x t 的图象可知， 2 (23 )120tk tk 有两个不等实数根，设为 1 t， 2 t，且 12 01tt 或 1 01t， 2 1t ， 令 2 ( )(23 )12h ttk tk
24、，则满足 (0)120 (1)0 hk hk ，解得0k ， 或满足 (0)120 (1)0 (23 ) 01 2 hk hk k ，此时无解 综上，实数k的取值范围为(0,) 故答案为：(0,) 16已知函数 2 ,221 ( )() 2,212 xx f xZ xx kk k k kkk ，( ) |g xlgx，则函数( )( )( )h xf xg x 的零点个数为18 个 【分析】根据题中给出的分段函数解析式，判断出它是周期函数和偶函数，然后在同一坐标 系中作出函数( )yf x与函数ylgx的图象，将函数的零点问题转化为两个函数图象的交 点个数问题，再利用周期性和奇偶性进行分析，即
25、可得到答案 【解答】解：因为函数 2 ,221 ( )() 2,212 xx f xZ xx kk k k kkk ，即( ) |2 |f xx k，21xk， 21()Zkk， 所以函数( )f x是以 2 为周期的偶函数， 当0 x时，在同一坐标系中，函数( )yf x与函数ylgx的图象如图所示， 因为0( ) 1f x，091lg，111lg， 所以函数( )yf x与函数ylgx的图象有 9 个交点， 又因为( )yf x与( ) |g xlgx都是偶函数， 则其图象关于y轴对称，所以当0 x 时，函数( )yf x与函数ylgx的图象也有 9 个交点， 所以函数( )( )( )h
26、 xf xg x的零点个数为 18 个 故答案为：18 个 四解答题（共四解答题（共 6 小题）小题） 17设函数 33 ( )sincos 2323 xx f x （1）求( )f x的最小正周期； （2）若函数( )yg x与( )yf x的图象关于x轴对称，求当0 x， 3 2 时，( )yg x的最大 值 【分析】 （1）利用辅助角公式化积，再由周期公式求周期； （2）由对称性求得( )g x的解析式，再由x的范围求得函数最值 【解答】解： （1） 33 ( )sincos3sin() 232333 xx f xx ( )f x的最小正周期为 2 6 3 T ； （2）函数( )yg
27、x与( )yf x的图象关于x轴对称， ( )( )3sin() 33 x g xf x 0 x， 3 2 ， 333 x ， 6 ， 3 sin() 332 x ， 1 2 ， 3 ( ) 2 g x ， 3 2 当0 x， 3 2 时，( )yg x的最大值为 3 2 18已知函数 41 ( ) 2 ax x f x （1）若( )f x是偶函数，求a的值； （2）当4a 时，若关于x的方程 2 ( 243)2fxxa在 1，2上恰有两个不同的实 数解，求a的取值范围 【分析】 （1）直接由偶函数的定义列式求得a的值； （ 2 ） 由(0)2f结 合 方 程 2 ( 243)2fxxa，
28、得 2 243axx， 作 出 函 数 2 243yxx的图象，数形结合得答案 【解答】解： （1）若函数 41 ( ) 2 ax x f x 偶函数，则()( )fxf x， 即 414144 222 axaxx axx xxx ，变形可得 (1) 4144 axa xx ， 则有1a ； （2） (21) 41 ( )22 2 ax axx x f x ， 4a ， (21) 2 ax y ，2 x y 都在R上单调递减，函数( )yf x在R上单调递减， 又(0)2f， 2 ( 243)(0)fxxaf， 2 2430 xxa， 2 243axx， 1x ，2， 由图象知，当53a 时，
29、方程 2 243axx在 1，2有两个不同的实根， 即方程 2 ( 243)2fxxa在区间 1，2上恰有两个不同的实数解， 又4a ，54a ， 故a的取值范围是( 5, 4) 19某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本，据市场调查，杂志的单价每提 高 0.1 元， 销售量就可能减少 2000 本 如何定价才能使提价后的销售总收入不低于 20 万元？ 【 分 析 】 设 提 价 后 每 本 杂 志 的 定 价 为x元 ， 推 出 销 售 总 收 入 为 2.5 (800002000)200000 0.1 x x ，列出不等式，转化求解即可 【解答】解：设提价后每本杂志的定
30、价为x元， 则销售总收入为 2.5 (800002000)200000 0.1 x x ， 即： 2 21320 0 xx， 解得，2.54x ， 所以，每本杂志的定价不低于 2.5 元且不超过 4 元时， 提价后的销售总收入不低于 20 万元 20定义域为D的函数( )f x，如果对于区间I内()ID的任意三个数 1 x， 2 x， 3 x，当 123 xxx时，都有 3221 2132 ()()()()f xf xf xf x xxxx ，则称此函数为区间上的“T函数” （1）请你写出一个在R上的“T函数” （不需要证明） （2）判断幂函数 3 2 ( )f xx在(0,)上是否为“T函数
31、” ，并证明你的结论 （3）若函数 2 ( ) a f xx x 在区间 2，11，2上是“T函数” ，求实数a的取值范围 【分析】 （1）结合所学函数找出符合T函数的定义即可； （2）根据T函数定义判断条件是否满足即可得到结论； （3）根据T函数定义，建立条件关系，转化为参数恒成立即可得到结论 【解答】解： （1） 2 ( )f xx， （2）解：幂函数 3 2 ( )f xx在(0,)上为“T函数，证明如下： 证明：设 1 (A x， 1 ()f x， 2 (B x， 2 ()f x， 3 (C x， 3 ()f x， 若 123 xxx时，都有 3221 2132 ()()()()f x
32、f xf xf x xxxx ， 则 ABBC kk，即斜率存在且不断增大， 而 3 2 ( )f xx在(0,)单调递增的函数，且随着x的增大，( )f x增加的越来越快， 即( )f x是下凸函数，斜率增加的越来越快， 故幂函数 3 2 ( )f xx在(0,)上为“T函数” ， （3）因为函数 2 ( ) a f xx x 在区间 2，11，2上是“T函数” ， 所以 2 ( )2 a fxx x 的单调递增区间 2，1，1，2， 3 2 ( )20 a fx x 的解 2，11，2， 当1x，2时，得 3 ax恒成立，故1a， 当 2x ，1时，得 3 ax恒成立，故1a 21已知奇函
33、数( )log(1,) 1 a bax f xabR ax （1）求b的值，并求出函数( )f x的定义域； （2）若存在区间m，n，使得xm，n时，函数( )f x的值域为log 6 a m，log 6 a n，求a 的取值范围 【分析】 （1）由已知( )()0f xfx，得1b ，即可求出( )f x的定义域； （2） 分类讨论， 利用函数的单调性， 及当xm，n时，( )f x的取值范围为log 6 a m，log 6 a n， 求a的取值范围 【解答】解：（1）由已知( )()0f xfx，得 1 loglog01 111 aa baxbaxbaxax b axaxaxbax ， 故
34、 1 ( )log 1 a ax f x ax ，由 1 0 1 ax ax ，解得定义域为 1 ( a ， 1) a ； （2）当01a时， 12 ( )loglog (1) 11 aa ax f x axax 在 1 ( a ， 1) a 上单调递减， 故有 1 ( )6 1 1 ( )6 1 aa aa am f mloglogn am an f nloglogm an ，而 12 (1) 11 ax y axax 在 1 ( a ， 1) a 上单调递增， 所以 11 11 aman aman 又66mn与 1 6 1 1 6 1 am n am an m an 矛盾， 故1a ， 所
35、以 1 ( )6 1 1 ( )6 1 aa aa am f mloglogm am an f nloglogn an ， 故方程 1 6 1 ax x ax 在 1 ( a ， 1) a 上有两个不等实根， 即 2 6(6)10axax 在 1 ( a ， 1) a 上有两个不等实根， 设 2 ( )6(6)1g xaxax，则 2 (6)240 161 12 112 ()0 1 ( )20 aa a aa g aa g a ， 2 36360 1812 2 18 aa a a ， 故11812 2a 22已知命题： “ 0 xR，使得 2 00 250 xmxm”为假命题 （1）求实数m的
36、取值集合A； （2） 设不等式(1)(12 )0 xaxa 的解集为集合B， 若xA是xB的充分不必要条件， 求实数a的取值范围 【分析】 （1）利用一元二次函数的恒成立问题，即可求出集合A； （2）若xB是xA的必要不充分条件，则集合A是集合B的真子集，从而转化为判断集 合A是集合B关系问题分类讨论求出集合B，进而求出a取值范围 【解答】解： （1）由题可知：命题“xR ，使方程 2 25 0 xmxm ”是真命题 则 2 4(25) 0mm，于是可得：| 210Amm（5 分） （2）令(1)(12 )0 xaxa ，可得1xa或12xa ； 若xB是xA的必要不充分条件，则集合A是集合B的真子集 当 2 3 a 时，B，不合题意；（7 分） 当 2 3 a 时，(1,12 )Baa， 12 1210 a a ，所以： 9 2 a ；（9 分） 当 2 3 a 时，(12 ,1)Ba a， 110 122 a a ，所以：11a ；（11 分） 所以实数a的取值范围为： 9 (,)(11,) 2 a （12 分）
