1、高二数学期末复习模拟四高二数学期末复习模拟四 范围范围(选择性必修一选择性必修一 +选择性必修二数列选择性必修二数列) 一、单选题一、单选题 1在公差为 2 的等差数列 n a中， 35 24aa，则 47 2aa（） A4B2C6D8 2圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A、13B、C、13D、 3若向量a与b不共线，0a b，且 a a c = a -b a b ，则向量a与c的夹角为（） A0B 6 C 3 D 2 4已知圆 22 :210M xyx ，直线:30l xy，点P在直线l上运动，直线 PA，PB分别与圆M相切于点A，B，当切线长PA最小时，弦AB的长度为（） A 6 2 B
2、6 C2 6D4 6 5若数列 n a满足 21 1 nn nn aa k aa （k为常数），则称数列 n a为“等比和数列”，k 称为公比和， 已知数列 n a是以3为公比和的等比和数列， 其中 1 1a ， 2 2a ， 则 2015 a （） A1B2C 1006 2 D 1007 2 6已知 n S为等差数列 n a的前n项和，若 37 37SS，则 311 19aa（） A47B73C37D74 7已知抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F，准线l与x轴交于点A，点P在抛物线 上，点P到准线l的距离为d，点O关于准线l的对称点为点B，BP交y轴于点M， 若BPa BM， 2 3
3、OMd，则实数a的值是（） A 3 4 B 1 2 C 2 3 D 3 2 8如图，矩形ABCD中，E为BC的中点，F为AD的中点，CF交DE于点H， 将BAE沿直线AE翻折到PAE，连接PD，G为PD的中点，则在翻折过程中， 下列命题错误的是（） A翻折过程中，始终有平面/ /PAE平面GFC B存在某个位置，使得CGAP C若ABBE，则AEED D翻折过程中，CG的长是定值 二、多选题二、多选题 9已知直线 1: 10lxy ，动直线 2:( 1)0()lkxkykkR，则下列结论错 误 的是（） A不存在k，使得 2 l的倾斜角为 90B对任意的k， 1 l与 2 l都有公共点 C对任
4、意的k， 1 l与 2 l都不 重合D对任意的k， 1 l与 2 l都不垂直 10已知二面角l 的大小为120，点,A Bl，点,P Ql，P，Q且 QBl，1PAQB， 2AB ，则P，Q两点间的距离可以是（） A 5 B 7 C3D2 3 11 已知抛物线 2 :20C ypx p的焦点为F， 过F的直线l交抛物线C于点,A B， 且, 4 p Aa ， 3 2 AF .下列结论正确的是（） A4p B 2a C3BF D AOB的面积 为 3 2 2 12九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上 二人所得与下三人等问各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五
5、人分 5 钱， 甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数 列问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）关于这个问题，下列说法 正确的是（） A甲得钱是戊得钱的2倍B乙得钱比丁得钱多 1 2 钱 C甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍D丁、戊得钱的和比甲得钱多 1 3 钱 三、填空题三、填空题 13 已知数列 n a的前项和为 n S，若 =2-4 nn SanN ，则= n a 14如图，在三棱锥OABC中，OA a ，OB b ，OC c ，点M在OA上，且 2OMMA，N为BC中点，, ,a b c 构成空间的一个基底，将MN 用基底表示， MN =_.
6、 15 如图， 两条距离为 4 的直线都与 y 轴平行， 它们与抛物线 2 2014ypxp 和 圆 2 2 49xy分别交于,A B和,C D， 且抛物线的准线与圆相切， 则当AB CD 取得最大值时，直线AB的方程为_ 16已知 12 ,F F是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且 21 PFPF， 椭圆的离心率为 1 e，双曲线的离心率为 2 e，若 112 | |PFFF，则 2 1 3 3 e e 的最小值为 _. 四、解答题四、解答题 17已知点 C 是曲线30 xyx上一点，以 C 为圆心的圆与 x 轴交于 OA 两点，与 y 交于 OB 两点，其中 O 为坐标原点.
7、 （1）求证：OAB的面积为定值； （2）设直线35yx 与圆 C 交于 M，N 两点，若OMON，求圆 C 的方程. 18已知等比数列 n b的公比为 q，与数列 n a满足 * 3 () n a n bnN. (1) 证明：数列 n a为等差数列； (2) 若 5 3b ，且数列 n a的前 3 项和 3 39S ，求 n a的通项公式； (3) 在(2)的条件下，求 12 | nn Taaa. 19已知点,A B分别为椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 的左，右顶点，点 0, 2P， 直线BP交E于点Q， 3 2 PQQB 且ABP是等腰直角三角形. （1）求椭圆E的方程； （
8、2）设过点P的动直线l与E相交于,M N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的 圆外时，求直线l斜率的取值范围. 20已知等比数列 n a的各项均为正数， 1 1a ，公比为 q；等差数列 n b中， 1 3b ， 且 n b的前 n 项和为 n S， 33 27aS， 2 2 S q a . （1）求 n a与 n b的通项公式； （2）设数列 n c满足 9 2 n n c S ，求 n c的前 n 项和 n T. 21如图，在四棱锥PABCD中，AB 平面PAD，2PDAD，E为PB的 中点，F在DC上，且 1 2 DAFB ，点H在AD上，且PHAD， 3PH ， 24CDAB. （1）
9、证明：/ /EF平面PAD； （2）求直线AF与平面PAB所成角的正弦值. 22如图所示，曲线E： 22 1 xy mn (0m 0n )与正方形L：4xy的边界相 切. （1）求mn的值； （2）设直线l：yxb交曲线E于AB，交L于CD，是否存在这样的曲线E， 使得|CA|AB|BD成等差数列？若存在，求出实数b的取值范围；若不存在，请 说明理由. 参考答案参考答案 1B2D3D4B 5D6D7D8B 9AC10ABC 11BCD12AC 13 1 2n .14 112 223 MNbca 15 3x 168 17【解】（1）证明：由题意设 3 ,(0)C aa a ，则半径为 2 2 9
10、 (0)Raa a ， 所以圆的方程为 2 2 2 2 39 (0)xayaa aa ， 令0 x ，则 2 222 2 339 2ayya aaa ， 所以 6 y a ， 6 0,A a ， 令0y ，则 2 222 2 39 2xaaxa aa ， 所以2xa，2 ,0Ba， 所以 116 26 22 OAB SOAOBa a ， 所以OAB的面积为定值. （2）因为OMON，所以原点O在线段MN的垂直平分线上， 设线段MN的中点为H，则CHO、三点共线，由（1）知 3 ,(0)C aa a ， CO的斜率为 2 3 k a ，由于直线所以CO与35yx 垂直，所以 2 3 ( 3)1
11、a ， 解得3a ，或3a 舍去，所以 2 2 9 3,1 ,10CRa a ， 圆 C 的方程为 22 3110 xy. 18.【解】(1)证明：设 n b的公比为q3 n a n b （ * nN ） 3 log nn ab（ * nN ） 1 131333 loglogloglog n nnnn n b aabbq b （与n无关的常数） 数列 n a为等差数列，公差为 3 log q. (2)解: 8 8 3 33 39 a b S 即 1 1 71 3339 ad ad ，解得 1 15 2 a d 1521172 n ann (3)由1720 n an得8n ，1720 n an可
12、得9n n a的前 8 项均为正，从第 9 项开始为负 当8n 时， 12nn Taaa 2 12 15 172 1616 2 n nn aaan nnn 当9n 时, 12nn Taaa 128910n aaaaaa 128128910 2 n aaaaaaaaa 2 15 18 216 2 nn 2 1281616128n nnn 综上所述： 2 2 16 ,8 161289 n nn n T nnn 19【解】（）由ABP是等腰直角三角形，得a2,B 2,0， 设 00 Q x ,y，则由 3 PQQB 2 ，得 0 0 6 x 5 4 y 5 ， 代入椭圆方程得 2 b1 ， 所以E的
13、方程为 2 2 x y1 4 ， （）依题意得，直线l的斜率存在，方程设为ykx2， 联立 2 2 2 x y1 4 ykx 消去y并整理得： 22 14kx16kx120（*）， 因直线l与E有两个交点，即方程（*）有不等的两实根， 故 2 2 16k4 1 4k120 ，解得 2 3 k 4 ， 设 11 M x ,y， 22 N x ,y，由根与系数的关系得 12 2 12 2 16k xx 14k 12 xx 14k ， 由坐标原点O位于以MN为直径的圆外 OM ON0 ，即 1212 x xy y0， 又由 2 12121212 22 1216k x xy yx xkx2kx21k2
14、k40 14k14k 解得 2 k4 ， 综上可得 2 3 k4 4 ，则 3 k2 2 或 3 2k 2 . 则满足条件的斜率的取值范围为 33 2,2 22 . 20解：（1）设 n b的公差为d，由 33 27aS， 2 2 S q a ， 可得： 2 2 318 6 qd dq ，解得： 3 3 q d ， 可得： 1 3 n n a，3 n bn； （2）由（1）可得： (33 ) 2 n nn S ， 故： 992111 ()3() 223(1)1 n n c Sn nnn ， 可得： 111113 3(1.) 22311 n n T nnn . 21【解】（1）取PA的中点Q，连
15、接DQEQ，则E为PB的中点， / /EQAB，且 1 2 EQAB， 又 1 2 DAFB ，/ /DFAB，且 1 2 DFAB， / /EQDF，且EQDF，四边形EQDF为平行四边形，/ /EFQD， 又EF 平面PAD，QD 平面PAD，/ /EF平面PAD； （2）AB 平面PAD，ABPH，又PHAD，ABADA，PH 平面 PAD， 又AB 平面PAD，在平面ABCD内过点H作/ /HGAB，且HGBCG， HG 平面PAD，以H原点，建立如图所示的空间直角坐标系 2PDAD， 3PH ， 在RtPHD中 2222 2( 3)1HDPDPH ， H为AD中点，(10 0)A ，
16、 ，(0 03)P ， ，(12 0)B ， ， 13 (1) 22 E， ， ( 110)F ， ， 设平面PAB的法向量为()nxyz ， ，(103)PA ， ，(123)PB ， ， 由 0 0 n PA n PB 得 30 230 xz xyz ，则0y ，令 3z 得3x ，(3 03)n ， ， 又( 210)AF ， ，设直线AF与平面PAB所成角的平面角为， 则 2222 2 3315 sincos 553 ( 2)1 , 3( 3) AF n AF n AFn ， 直线AF与平面PAB所成角的正弦值为 15 5 . 22.【解】 （1）由题 22 1 4 xy mn xy
17、联立得 2 ()8160nm xmxmmn， 有 2 644()(16)0mmnmmn ，化简的4()640mn mnmn， 又0m 0n ，0mn ，从而有16mn； （2）由2 ABCABD，得34 2AB ，即 4 2 | 3 AB ， 由 22 1 xy mn yxb 联立得 22 ()20nm xbmxmbmn， 有 222 4440nmbn mm n ，可得 2 16bmn ， 且 12 2bm xx nm ， 2 12 mbmn xx nm ， 2 2 4(16)4 2 12 163 mnb ABk a ， 得 2 32 (16) 3 bmn，从而 2 321 8 32 16 mn mn b ， 2 128 9 b ，即有 8 28 2 33 b ，符合 2 16bmn ， 故当实数b的取值范围是 8 2 8 2 33 ， 时， 存在直线l和曲线E，使得|CA|AB|BD成等差数列.
