1、期末复习期末复习空间向量基础过关卷空间向量基础过关卷 第第 I I 卷（选择题）卷（选择题） 一、单选题一、单选题 1已知2, 3,1a ，则下列向量中与a 平行的是（） A1,1,1B4,6, 2C2, 3, 1D2, 3,1 2已知, ,i j k 是两两垂直的单位向量，32,2aijk bijk ，则5a 与3b 的数 量积等于（） A15B5C3D1 3如图，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，E 是 CD 的中点， F 是 AD 上一 点，当 BFPE 时，AFFD 的值为（） A12B11C31D21 4已知a bc ， ， 是空间向量的一个基底，则与向量pab ，qa
2、b 可构成空 间向量基底的是（） Aa Bb C 2ab D2ac 5已知向量1,1,0 ,1,0,2 ,ab 且ka b 与2a b 互相垂直，则k （） A 7 5 B1C 3 5 D 1 5 6 如图所示， 在一个长、 宽、 高分别为 2、 3、 4 的密封的长方体装置 2223333 DA B CD A B C 中放一个单位正方体礼盒 1111 DABCD ABC， 现以点 D 为坐标原点， 2 DA、 2 DC、 3 DD 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz，则正确的是（） A 1 D的坐标为(1,0,0)B 1 D的坐标为(0,1,0) C 13 BB的长为 293
3、D 13 BB的长为 14 7如图，在棱长为 a 的正方体 1111 ABCDABC D中，P 为 11 AD的中点，Q 为 11 AB上 任意一点，E，F 为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点 Q 到平面PEF的距离 （） A等于 5 5 a B和EF的长度有关 C等于 2 3 a D和点 Q 的位置有关 8如图所示，三棱柱 111 ABCABC所有棱长均相等，各侧棱与底面垂直，D，E分 别为棱 11 AB， 11 BC的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（） A 7 10 B 3 5 10 C 15 5 D 3 5 二、多选题二、多选题 9给出下列命题，其中正确命题有（） A空
4、间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底 B已知向量 /a b r r ，则存在向量可以与a ，b 构成空间的一个基底 CA，B，M，N是空间四点若,BA BM BN 不能构成空间的一个基底那么A，B， M，N共面 D已知向量组, ,a b c 是空间的一个基底，若m ac ，则, ,a b m 也是空间的一个 基底 10已知正方体 1111 ABCDABC D的中心为O，则下列结论中正确的有（） AOA OD 与 11 OBOC 是一对相反向量 BOB OC 与 11 OAOD 是一对相反向量 COA OBOCOD 与 1111 OAOBOCOD 是一对相反向量 D 1 OAOA 与 1 O
5、COC 是一对相反向量 第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题） 三、填空题三、填空题 11若2, 3,5a ，3,1, 4b ，则2ab _. 12已知向量 1 e ， 2 e ， 3 e 是三个不共面的非零向量，且 123 2aeee ， 123 42beee ， 123 115ceee ，若向量a ，b ，c 共面，则_. 13已知3, 2, 3 ,1,1,1abx rr ，且a 与b 夹角为钝角，则 x 的取值范围为 _ 14已知向量1,2, 2a ，则向量a 的单位向量 0 a _ 四、解答题四、解答题 15已知( ,4,1),( 2, , 1), (3, 2, ),/ / ,a
6、xbycz ab bc ，求： （1） , ,a b c ； （2）()ac 与()bc 所成角的余弦值. 16 如图， 四棱锥SABCD的底面是正方形， 每条侧棱的长都是底面边长的 2倍，P 为侧棱SD上的点. （1）求证：ACSD； （2）若SD 平面PAC，求平面PAC与平面ACD的夹角大小； （3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得/ /BE平面PAC.若存在， 求:SE EC的值；若不存在，试说明理由. 17已知三点0,2,32,1,61, 1,5ABC， （1）求以AB AC，为邻边的平行四边形面积 （2）求平面ABC一个法向量 （3）若向量a 分别与AB ，AC 垂
7、直，且|3a 求a 的坐标. 18如图所示，直角梯形 ABCD 中，/ /ADBC，ADAB，22ABBCAD， 四边形 EDCF 为矩形， 3CF ，平面EDCF 平面 ABCD (1)求证：DF 平面 ABE； (2)求平面 ABE 与平面 EFB 所成锐二面角的余弦值 (3)在线段 DF 上是否存在点 P， 使得直线 BP 与平面 ABE 所成角的正弦值为 3 4 ， 若存在， 求出线段 BP 的长，若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 1B2A3B4D5A6D7A8A9ACD10ACD11258 12113 55 2 33 ，14 1 22 , 3 33 15解析： （1）因为a b
8、 ，所以 ，解得x2,y4， 这时a (2,4,1)，b (2,4,1)又因为b c ，所以b c 0，即68z 0，解得z2，于是 c (3，2,2) （2）由（1）得()ac (5,2,3)，()bc (1，6,1)， 设()ac 与()bc 所成角为，因此 cos. 16 （1）证明：连接BD，设AC交BD于O，由题意知SO 平面ABCD.以O为坐 标原点，OB ，OC ，OS 分别为x轴、y轴、z轴正方向， 建立空间直角坐标系Oxyz 如图. 设底面边长为a，则高 6 2 SOa . 于是 6 0,0, 2 Sa ， 2 ,0,0 2 Da ， 2 0,0 2 Ca 2 0,0 2 O
9、Ca ， 26 ,0, 22 SDaa ， 0OC SD ，故OCSD，从而ACSD. （2）由题设知，平面PAC的一个法向量 26 ,0, 22 DSaa ，平面DAC的一个 法向量 6 0,0, 2 OSa ，设所求角为，则 3 cos 2 OS DS OSDS ，平面PAC 与平面DAC的夹角为 30. （3）在棱SC上存在一点E使/ /BE平面PAC.由（2）知DS 是平面PAC的一个法 向量，且 26 ,0, 22 DSaa ， 26 0, 22 CSaa . 设CE tCS ，则BE BCCEBCtCS 226 ,1, 222 aatat 而 1 0 3 BE DSt ， 即当:2
10、:1SE EC 时，BE DS ，而BE不在平面PAC内，故/ /BE平面PAC. 17 （1）7 3 ABCD S； （2）(1,1,1)； （3）(1,1,1)a . 解： （1）( 2, 1,3)AB ，(1, 3,2)AC ， 71 cos, 21414 AB AC AB AC AB AC ， 3 sin,14147 3 2 ABCD SAB ACAB AC . （2）设平面ABC的一个法向量为( , , )nx y z ， 0 0 n AB n AC ，可得 230 320 xyz xyz ， 取(1,1,1)n . （3）a AB ，a AC ，/ /an ， 设(1,1,1)a
11、，|3a ，解得1 ， (1,1,1)a . 18解析： （）取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直 角坐标系，如图，则1,0,0A，1,2,0B，0,0, 3E，1,2, 3F ， 1, 2, 3BE ， 0,2,0AB ， 设平面ABE的法向量, ,nx y z ， 230, 20, xyz y 不妨设3,0,1n ，又 1,2, 3DF ， 330DF n ， DF n ， 又DF 平面ABE， / /DF平面ABE （）1, 2, 3BE ， 2,0, 3BF ，设平面BEF的法向量, ,mx y z ， 230, 230, xyz xz 不妨设2 3, 3,4m ， 105 31 cos 31231 m n m n ， 平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值为 5 31 31 （）设1,2, 3DPDF ,2 , 3 ，0,1， ,2 , 3P， 1,22, 3BP ，又平面ABE的法向量3,0,1n ， 22 2 333 3 sincos, 4 21223 BP n ， 2 8610 ， 1 2 或 1 4 当 1 2 时， 33 , 1, 22 BP ，2BP ；当 1 4 时， 533 , 424 BP ， 2BP 综上，2BP
