1、第 3 节匀变速直线运动的位移与时间的关系 一、匀速直线运动的位移 1.做匀速直线运动的物体在时间 t 内的位移 xvt。 2做匀速直线运动的物体，其 vt 图象是一条平行于时间轴的直线，其位移在数值上等于 vt 图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积。如图所示。 1当“面积”在 t 轴上方时，位移取正值，这表示物体的位移与规定的正方向相同 2当“面积”在 t 轴下方时，位移取负值，这表示物体的位移与规定的正方向相反 二、匀变速直线运动的位移 1微分与极限思想的应用 在匀变速直线运动中，由加速度的定义易得速度的变化量vat，只要时间足够短，速度的 变化量就非常小，在非常短的时间内，我们就可以用熟
2、悉的匀速直线运动的位移公式近似计算匀变 速直线运动的位移。 如图所示，甲图中与t 对应的每个小矩形的面积就可以看做t 时间内的位移。如果把每一小段 t内的运动看做匀速直线运动， 则各小矩形面积之和等于各段t时间内做匀速直线运动的位移之和。 时间t 越短，速度变化量v 就越小，我们这样计算的误差也就越小。当t0 时，各矩形面积之和 趋近于 vt 图象与时间轴所围成的面积。 由梯形面积公式得 xv0vt 2 在任何运动中都有 x v t 因此 v v0v 2 (适用匀变速直线运动) 把 vv0at 代入 xv0vt 2 得 xv0t1 2at 2 2公式的矢量性 公式中 x、v0、a 都是矢量，应
3、用时必须选取统一的正方向，一般选 v0方向为正方向，若物体做 匀加速直线运动，a 与 v0同向，a 取正值。若物体做匀减速直线运动，a 与 v0反向，a 取负值，若位 移的计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相同。若位移的计算结果为负值， 说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相反。 3公式的适用条件 公式适用于匀变速直线运动。 4公式的特殊形式 (1)当 a0 时，xv0t(匀速直线运动)。 (2)当 v00 时，x1 2at 2(由静止开始的匀加速直线运动)。 【典例精析】 例 1.（2019合肥高一检测）一物体做匀加速直线运动，初速度大小为 v05 m/s，加速度大小为
4、 a0.5 m/s2，求： (1)物体在 3 s 内的位移大小； (2)物体在第 3 s 内的位移大小。 答案:(1)17.25 m(2)6.25 m 解析：(1)用位移公式求解，3 s 内物体的位移： x3v0t31 2at 2 353 m1 20.53 2m17.25 m。 (2)同理 2 s 内物体的位移： x2v0t21 2at 2 252 m1 20.52 2m11 m 因此，第 3 s 内的位移 xx3x217.25 m11 m6.25 m。 【变式训练】 某物体做匀变速直线运动， 其位移与时间的关系为 x0.5tt2(m)， 则当物体速度为 3 m/s 时，物体已运动的时间为()
5、 A1.25 sB2.5 sC3 sD6 s 答案：A 解析：由 x0.5tt2知，v00.5 m/s ,a2 m/s2，再由速度公式 vtv0at 知，t1.25 s，选项 A 正 确 三位移时间图象 (1)匀速直线运动的 xt 图象如图甲所示是一条倾斜的直线。 (2)匀变速直线运动的 xt 图象：v00 时如图乙。 2对 xt 图象的几点说明 位移大小初、末位置的纵坐标差的绝对值 方向 初、末位置的纵坐标差的符号，正值表示位移沿正方向；负值表示位移沿负方 向 速度大小斜率的绝对值 方向 斜率的符号，斜率为正值，表示物体向正方向运动；斜率为负值，表示物体向 负方向运动 起始位置图线起点纵坐标
6、 运动开始时刻图线起点横坐标 两图线交点含 义 表示两物体在同一位置(相遇) 注意：(1)位移时间图象不是物体的运动轨迹。 (2)位移时间图象只能描述直线运动，不能描述曲线运动。 【典例精析】 例 2(多选)如图是甲、乙两个物体在同一直线上运动时的位移时间图象，由图象可知() A乙开始运动时，两物体相距 20 m B在 010 s 这段时间内，两物体间的距离逐渐增大 C在 1025 s 这段时间内，两物体间的距离逐渐减小 D两物体在 10 s 时相距最远，在 25 s 时相遇 答案：BCD 解析：由图象可知，开始计时时，甲、乙相距 20 m，乙在 10 s 时开始运动，此时两物体间的距 离已超
7、过 20 m，A 错误。在 010 s 这段时间内，两物体纵坐标的差值逐渐增大，说明两物体间的 距离逐渐增大，B 正确；在 1025 s 这段时间内，两物体纵坐标的差值越来越小，说明两物体间的 距离逐渐减小，C 正确；由以上分析知两物体在 10 s 时相距最远，在 25 s 时，两图线相交，两物体 纵坐标相等，说明它们到达同一位置，即相遇。D 正确。 四、匀变速直线运动的速度与位移关系式 1推导：物体以加速度 a 做匀变速直线运动时，设其初速度为 v0，末速度为 v，则由 速度公式：vv0at 位移公式：xv0t1 2at 2. 消去时间 t 得位移与速度的关系式为 v2v202ax. 2匀变
8、速直线运动的位移速度公式：v2v202ax，此式是矢量式，应用解题时一定要先选定正 方向，并注意各量的符号 若 v0方向为正方向，则： (1)物体做加速运动时，加速度 a 取正值；做减速运动时，加速度 a 取负值 (2)位移 x0 说明物体通过的位移方向与初速度方向相同，x0 说明物体通过的位移方向与初速 度方向相反 3公式特点：该公式不涉及时间 4两种特殊情况 (1)当 v00 时，v22ax.（物体做初速度为零的匀加速直线运动，如自由下落问题(下面要学习） (2)当 v0 时，v202ax.（物体做匀减速直线运动直到静止，如刹车问题） 【典例精析】 例 3（2019云浮高一检测）已知长为
9、L 的光滑斜面，物体从斜面顶端由静止开始以恒定的加速 度下滑，当物体的速度是到达斜面底端速度的1 3时，它沿斜面已下滑的距离是( ) A.L 3 B.L 9 C. 3L 3 D.L 6 答案：B 解答：若物体到达底端时的速度为 v，对于整个下滑过程有 v202aL，若当物体速度为v 3时， 下滑的距离为 L，则有 v 3 202aL，由以上两式可得，LL 9，B 正确。 【变式训练】A、B、C 三点在同一条直线上，一物体从 A 点由静止开始做匀加速直线运动，经过 B 点的速度是 v，到 C 点的速度是 3v，则 xABxBC等于() A18B16C15D13 答案：A 解析：由公式 v2v20
10、2ax，得 v22axAB，(3v)22a(xABxBC)，联立两式可得 xABxBC18. 刹车问题分析 【典例精析】 例 4.一辆汽车正在平直的公路上以 72 km/h 的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器， 此后，汽车开始做匀减速直线运动设汽车减速过程的加速度大小为 5 m/s2，求： (1)开始制动后，前 2 s 内汽车行驶的距离； (2)开始制动后，前 5 s 内汽车行驶的距离 答案：(1)30 m(2)40 m 解析：汽车的初速度 v072 km/h20 m/s，末速度 v0，加速度 a5 m/s2；汽车运动的总时间 t vv0 a 020 m/s 5 m/s2 4 s.
11、 (1)因为 t12 st，所以汽车 5 s 时早已停止运动 故 x2v0t1 2at 2(2041 254 2) m40 m. 逆向思维法解题 在处理末速度为零的匀减速直线运动时，为了方便解题，可以采用逆向思维法，将该运动对称地看 做逆向的加速度大小相等的初速度为零的匀加速直线运动 【典例精析】 例 5.物体做匀减速直线运动，初速度为 10 m/s，加速度大小为 1m/s2，则物体在停止运动前 1 s 内的 平均速度为() A5.5 m/sB5 m/s C1 m/sD0.5 m/s 答案:D 解析:物体减速时间 t0010 m/s 1 m/s2 10 s 该匀减速直线运动的逆运动为：初速度为
12、零、加速度为 a1 m/s2的匀加速直线运动，则原运动物体 停止运动前 1 s 内的位移与逆运动第 1 s 内的位移相等由 x1 2at 21 211 2 m0.5 m，故物体 停止运动前 1 s 内的平均速度 v x t0.5 m/s，选项 D 正确 【自我检测】 1 （2019 年福建省漳平市二中测试）根据匀变速直线运动的位移公式 xv0t1 2at 2和 xv t，关于 做匀加速直线运动的物体在 t 秒内的位移，下列说法正确的是() A加速度大的物体位移大B初速度大的物体位移大 C末速度大的物体位移大D平均速度大的物体位移大 答案:D 解析:由 x v t 知，t 一定时平均速度大的物体
13、位移大，选项 D 正确 2 （2019 年北京市通州区联考）一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间 t 内通过的位移为 x， 则它从出发开始经过 4x 的位移所用的时间为() A.t 4 B.t 2 C2tD4t 答案:C 解析:由 x1 2at 2和 4x1 2at 2得：t2t，故 C 对 3(多选)（2019 年河北省承德市三中测试）某质点的位移随时间变化的关系是 x4t4t2，x 与 t 的单位分别为 m 和 s，设质点的初速度为 v0，加速度为 a，下列说法正确的是() Av04 m/s，a4 m/s2Bv04 m/s，a8 m/s2 C2 s 内的位移为 24 mD2 s 末的速
14、度为 24 m/s 答案：BC 解析：将位移随时间变化的关系与位移公式 xv0t1 2at 2相对照即可判定 v04 m/s，a8 m/s2， 选项 A 错误，B 正确；把 t2 s 代入公式可得 x24 m，选项 C 正确；由于 vv0at，代入数据可 得 2 s 末的速度 v20 m/s，选项 D 错误。 4 （2109 年河北省邢台八中测试）两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的 初速度之比为 12，它们运动的最大位移之比为() A12B14C1 2D21 答案B 解析由 0v202ax 得x1 x2 v201 v202，故 x1 x2( 1 2) 21 4，B 正确
15、5 （2019 年山西省运城市应景中学期末测试）一辆汽车以 20 m/s 的速度沿平直公路匀速行驶，突然 发现前方有障碍物，立即刹车，汽车以大小为 5 m/s2的加速度做匀减速直线运动，那么刹车后 2 s 内与刹车后 6 s 内汽车通过的位移大小之比为() A11B34C31D43 答案:B 解析:汽车的刹车时间 t020 5 s4 s，故刹车后 2 s 及 6 s 内汽车的位移大小分别为 x1v0t11 2at 2 1202 m1 2(5)2 2m30 m， x2204 m1 2(5)4 2m40 m， x1x234，B 正确 6 （多选） 物体先做初速度为零的匀加速运动，加速度大小为 a1
16、，当速度达到 v 时，改为以大小为 a2的加速度做匀减速运动，直至速度为零在加速和减速过程中物体的位移和所用时间分别为 x1、 t1和 x2、t2，下列各式成立的是() A.x1 x2 t1 t2 B.a1 a2 t1 t2 C.x1 x2 a2 a1 D.x1 x2 a1 a2 答案：AC 解析：在加速运动阶段 v22a1x1，va1t1；在减速运动阶段 0v22(a2)x2,0va2t2.由以上几 式可得x1 x2 a2 a1， a1 a2 t2 t1，进一步可得 x1 x2 t1 t2，选项 A、C 正确 7(多选)（2019 年山西省朔州市怀仁一中测试）下列所给的图象中能反映做直线运动
17、的物体回 到初始位置的是() 答案：ACD 解析：由图 A 可知，物体开始和结束时的纵坐标为 0，说明物体又回到了初始位置，A 正确； 由图 B 可知，物体一直沿正方向运动，位移增大，故无法回到初始位置，B 错误；由图 C 知，物体 第 1 s 内的位移沿正方向，大小为 2 m，第 2 s 内的位移沿负方向，大小为 2 m，故 2 s 末物体回到初 始位置，C 正确；由图 D 知，物体做匀变速直线运动，2 s 末时物体的总位移为零，故物体回到初始 位置，D 正确。 8(多选)（2019 年湖北省黄石市六中质量检测）物体从静止开始做匀加速直线运动，第 3 s 内通过 的位移是 3 m，则() A
18、第 3 s 内的平均速度大小是 3 m/s B物体的加速度大小是 1.2 m/s2 C前 3 s 内的位移大小是 6 m D第 3 s 末的速度大小是 3.6 m/s 答案：ABD 解析：前 2 s 内的位移大小为 x11 2at 2 1，前 3 s 内的位移大小为 x21 2at 2 2，则第 3 s 内的位移大小 为 x3x2x11 2at 2 21 2at 2 1， 可得加速度大小为 a1.2 m/s2， 则前 3 s 内的位移大小为 x21 2at 2 25.4 m； 第 3 s 末的速度大小是 v31.23 m/s3.6 m/s，第 3 s 内的平均速度大小是 v x t 3 m 1
19、 s 3 m/s，故 ABD 正确，C 错误。 9. (多选)（2019 年湖南张家界民族中学测试）如图所示是汽车与自行车在同一直线上、从同一 地点同向运动、同时计时而作的 vt 图象，由图象可知() A在 2 s 时二者速度相同 B在 4 s 时二者速度相同 C在 2 s 时二者相遇 D在 4 s 时二者相遇 答案AD 解析由图象可知，自行车做匀速直线运动，速度为 v16 m/s，汽车做初速度等于零的匀加速 直线运动，a3 m/s2，交点表示 t2 s 时，二者速度都是 6 m/s，A 正确，B 错误；位移可由图线与 坐标轴所围的面积求得，据此可知，t4 s 时两者面积相同，C 错误，D 正
20、确。 10 一辆长途客车正在以 v20 m/s 的速度匀速行驶，突然，司机看见车的正前方 x45 m 处 有一只小狗(图甲)， 司机立即采取制动措施。 从司机看见小狗到长途客车开始做匀减速直线运动的时 间间隔t0.5 s。若从司机看见小狗开始计时(t0)，该长途客车的 vt 图象如图乙所示。求： (1)长途客车在t 时间内前进的距离； (2)长途客车从司机发现小狗至停止运动的这段时间内前进的距离； (3)根据你的计算结果，判断小狗是否安全。如果安全，请说明你判断的依据；如果不安全，有 哪些方式可以使小狗安全。 答案：(1)10 m(2)50 m(3)见解析 解析：(1)长途客车在司机的反应时间
21、内前进的距离 x1vt10 m。 (2)长途客车从司机发现小狗至停止的时间内前进的距离 x2x1vt 2 50 m。 (3)因为 x2x，所以小狗不安全。 若要小狗不发生危险，可以采用如下的一些方式： 小狗沿车的前进方向在 4.5 s 内跑出 5 m 以上的距离。 小狗沿垂直运动的方向在 4.5 s 内跑出的距离超过车的宽度。 11 （2019 年江苏省宿迁市马陵中学测试）如图所示，一冰壶以速度 v 垂直边线进入四个矩形区域 沿虚线做匀减速直线运动，且刚要离开第四个矩形区域边缘的 E 点时速度恰好为零，冰壶通过前三 个矩形的时间为 t，试通过所学知识计算冰壶通过第四个矩形区域所需的时间。 答案
22、：t 解析： 解法一(常规法)： 根据匀变速直线运动的位移公式和速度公式， 由 A 到 E 有 4lvt11 2at 2 1， 0vat1；由 A 到 D 有 3lvt1 2at 2 联立解得 t12t 或 t12 3t，显然 2 3t 不符合实际，应舍去。 故冰壶通过第四个矩形区域所需的时间为 tt1tt。 解法二(逆向思维法)：将冰壶通过矩形区域的匀减速运动，认为是从 E 点开始的初速度为零的 匀加速直线运动，根据位移公式，由 E 到 A 有 4l1 2at 2 1，由 E 到 D 有 l1 2a(t 1t)2，联立解得 t12t， 故冰壶通过第四个矩形区域所需的时间为 tt1tt。 12
23、 （2019 年山东菏泽市期中考试）在高速公路上，有时会发生“追尾”事故后面的汽车撞上 前面的汽车某段高速公路的最高车速限制为 108 km/h.设某人驾车正以最高时速沿该高速公路匀速 行驶，该车刹车时产生的加速度大小为 5 m/s2，该人的反应时间(从意识到应该停车到操作刹车的时 间)为 0.5 s计算行驶时的安全车距至少为多少？ 答案:105 m 解析:汽车原来的速度 v0108 km/h30 m/s 运动过程如图所示 在反应时间 t10.5 s 内，汽车做匀速直线运动的位移为 x1v0t1300.5 m15 m 刹车后，汽车做匀减速直线运动，滑行时间为 t2030 5 s6 s 汽车刹车后滑行的位移为 x2v0t21 2at 2 2306 m1 2(5)6 2m90 m 所以行驶时的安全车距至少应为 xx1x215 m90 m105 m.
