1、习题课二匀变速直线运动应用 一、位移时间图像(xt 图像) 1xt 图像：以时间为横坐标，以位移为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图像叫位移时间图 像 2对 xt 图像的理解 (1)斜率：斜率的绝对值表示速度的大小；斜率的正负表示速度的方向 (2)截距：纵截距表示物体起始位置 (3)交点：交点表示两物体在同一时刻处于同一位置，即相遇 3几种常见的位移时间图像 (1)静止物体的 xt 图像是平行于时间轴的直线，如图 3 直线 A. (2)匀速直线运动的 xt 图像是一条倾斜的直线，如图直线 B 和 C，其斜率表示速度其中 B 沿正方 向运动，C 沿负方向运动 (3)匀变速直线运动的 xt 图像：
2、由位移 xv0t1 2at 2可以看出，x 是 t 的二次函数当 v00 时，匀 变速直线运动的 xt 图像是顶点在坐标原点的一部分曲线，曲线上某点切线的斜率表示那一时刻的 速度，图 4 中切线斜率增大，质点的速度逐渐增大 二、速度时间图像(vt 图像) 1vt 图像：以时间 t 为横坐标，以速度 v 为纵坐标，描述速度随时间的变化规律 2对 vt 图像的理解 (1)斜率：斜率的绝对值表示加速度的大小；斜率的正负表示加速度的方向 (2)截距：纵截距表示物体初速度 (3)交点：交点表示两物体在同一时刻处于同一位置，即相遇 (4 图线折点：表示加速度方向改变的时刻 （5）vt 图像与时间轴所围面积
3、表示位移 图线与时间轴及始末时刻所围“面积”的数值等于物体在时间 t 内的位移。 在时间轴的上方表示位移为 正，在时间轴的下方表示位移为负 （6）图线在时间轴的上方表示物体向正方向运动，在时间轴的下方表示物体向负方向运动 二、xt 图像与 vt 图像的比较 内容 种类 vt 图像xt 图像 图象 举例 意义 倾斜直线表示匀速直线运动； 曲线表示变速直线运动 倾斜直线表示匀变速直线运 动；曲线表示变加速直线运 动 图像上某点 的纵坐标 表示瞬时速度 表示某一时刻 的位置 图线斜率 切线斜率表示瞬时加速度 连线线斜率表示瞬时加速度 切线斜率表示瞬时速度 连线线斜率表示平均速度 图线与时间轴所 围面
4、积 表示位移无意义 图线与纵截距表示初速度表示初始时刻的位置 坐标轴 的交点 横截距 表示开始运动或速度为零的时 刻 表示开始运动的时刻 两图线交点坐标 表示速度相同但不表示相遇， 往往是距离最大或距离最小的 临界点 表示相遇 2.三点说明 (1)xt 图象与 vt 图象都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹； (2)分析图象要充分利用图象与其所对应的物理量的函数关系； (3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点. 【典例精析】 例 1(多选)如图，直线 a 和曲线 b 分别是在平直公路上行驶的汽车 a 和 b 的位移时间(xt)图线， 由图可知() A.在时刻 t1，a
5、 车追上 b 车 B.在时刻 t2，a、b 两车运动方向相反 C.在 t1到 t2这段时间内，b 车的速率先减少后增加 D.在 t1到 t2这段时间内，b 车的速率一直比 a 车的大 答案：BC 解析：由题图可知，t1时刻，b 车追上 a 车，故 A 错误；xt 图象的斜率表示速度，由于 t2时刻 a、 b 两图象的斜率一正、一负，故两车运动方向相反，B 正确；由 b 图线的斜率的变化可以看出 t1到 t2这段时间 b 车的速率先减少后反向增加，C 正确；如图所示，在 t3时刻 b 图线的斜率与 a 图线的 相等，此时两车的速率相等，故 D 错误. 例(2014新课标全国14)甲、乙两汽车在一
6、平直公路上同向行驶.在 t0 到 tt1的时间内，它们的 vt 图象如图 5 所示.在这段时间内() A.汽车甲的平均速度比乙的大 B.汽车乙的平均速度等于v1v2 2 C.甲、乙两汽车的位移相同 D.汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大 答案：A 解析：根据 vt 图象中图线与时间轴所围的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移 x甲大于汽车乙 的位移 x乙，选项 C 错误；根据 vx t得，汽车甲的平均速度 v 甲大于汽车乙的平均速度 v乙，选项 A 正确；汽车乙的位移 x乙小于初速度为 v2、末速度为 v1的匀减速直线运动的位移 x，即汽车乙的平均 速度小于v1v2 2 ，选
7、项 B 错误；根据 vt 图象的斜率反映了加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速 度大小都逐渐减小，选项 D 错误. 【变式训练 1】甲、乙两车在同一条直道上行驶，它们运动的位移 x 随时间 t 变化的关系图象如图 6 所示.已知乙车做匀变速直线运动，其图线与 t 轴相切于 10 s 处.则下列说法正确的是() A.甲车的初速度为零 B.乙车的初位置在 x060 m 处 C.乙车的加速度大小为 1.6 m/s2 D.5 s 时两车相遇，此时甲车速度较大 答案：C 解析：由题图可知甲车做匀速直线运动，速度 v甲x t 20 5 m/s4 m/s.故 A 错；由题图可知乙车做 匀减速直线运动， 可看做
8、是反方向的匀加速直线运动， 则有 x1 2at 2.由题图可知， 当其反向运动 5 s 时， 位移为 20 m.则有 201 2a5 2，得加速度大小 a1.6 m/s2.因其共运动了 10 s，可得 x01 21.610 2m 80 m.C 对，B 错；t5 s 时，两车相遇，但甲车速度 v甲4 m/s 小于乙车速度 v乙8 m/s，D 错. 【变式训练 2】(2019广东佛山质检)如图所示为甲、乙两质点做直线运动的速度时间图象，则 下列说法中正确的是() A.在 0t3时间内甲、乙两质点的平均速度相等 B.甲质点在 0t1时间内的加速度与乙质点在 t2t3时间内的加速度相同 C.甲质点在
9、0t1时间内的平均速度小于乙质点在 0t2时间内的平均速度 D.在 t3时刻，甲、乙两质点都回到了出发点 答案：A 解析：因在 0t3时间内甲、乙两质点的速度图线与 t 轴所围“面积”相等，说明位移相等，则甲、 乙两质点的平均速度相等，故 A 项正确；在 0t1时间内，甲的图线斜率为正值，加速度为正方向， 在 t2t3时间内，乙的图线斜率为负值，加速度为负方向，两个加速度不相同，故 B 项错误；甲质 点在 0t1时间内的平均速度等于0v0 2 v0 2 ，乙质点在 0t2时间内的平均速度等于0v0 2 v0 2 ，故 C 项错误；由图可知甲、乙两质点的速度均为正值.则两质点均做单向直线运动，不
10、可能回到出发点， 故 D 项错误. 二、解决匀变速直线运动的常用方法 方法解读 基本公式法 基本公式指速度公式、位移公式及速度位移关系式，它们均是矢量式，使用 时要规定正方向 平均速度法 (1)定义式 v x t适用于任何性质的运动 (2) v vt 2 v0v 2 只适用于匀变速直线运动 推论法(位移差 公式) 匀变速直线运动中，在连续相等的时间 T 内的位移之差为一恒量，即x aT2，xmxn(mn)aT2，对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时 间间隔，应优先考虑用位移差公式求解 比例法初速度或末速度为零的匀变速直线运动问题，可以考虑用比例法快速解答 图像法 应用 v t 图像，可把
11、较复杂的问题转变为较为简单的数学问题，尤其是用图 像进行定性分析，可避开繁杂的计算，快速得出答案 2.处理直线运动的方法总结 运用一般公式法，平均速度是简法。 中间时刻速度法，初速度为零比例法。 若是相邻等时间，位移逐差是妙法。 再加几何图象法，求解运动好方法。 例 3.物体以一定的初速度从斜面底端 A 点冲上固定的光滑斜面， 斜面总长度为 xAC， 物体到达斜面最 高点 C 时速度恰好为零，如图所示，已知物体运动到距斜面底端 3 4x AC处的 B 点时，所用时间为 t， 求物体从 B 滑到 C 所用的时间。 答案：t 解法一：基本公式法 因为物体沿斜面向上做匀减速运动，设初速度为 v0，加
12、速度大小为 a，物体从 B 滑到 C 所用的 时间为 tBC，由匀变速直线运动的规律可得 v022axAC vB2v022axAB xAB3 4x AC 解得 vBv0 2 又 vBv0at vBatBC 解得 tBCt。 解法二：平均速度法 匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度， v ACv 00 2 v0 2 ， 又 v022axAC，vB22axBC，xBCxAC 4 ， 由以上三式解得 vBv0 2 ， 可知 vB正好等于 AC 段的平均速度，因此物体到 B 点时是这段位移的中间时刻，因此有 tBCt。 解法三：逆向思维法 物体向上匀减速冲上斜面，其逆过程为由静止开始
13、向下匀加速滑下斜面。设物体从 B 到 C 所用 的时间为 tBC， 由运动学公式得 xBC1 2at BC2，xAC1 2a(tt BC)2， 又 xBCxAC 4 ， 由以上三式解得 tBCt。 解法四：比例法 物体运动的逆过程可以视为初速度为零的匀加速直线运动， 对于初速度为零的匀加速直线运动， 在连续相等的时间内通过的位移之比为 x1x2x3xn135(2n1)， 因为 xBCxABxAC 4 3xAC 4 13，而物体通过 AB 段的时间为 t，所以通过 BC 段的时间 tBCt。 解法五：图像法 根据匀变速直线运动的规律，画出 v t 图像，如图所示。 利用相似三角形的规律，面积之比
14、等于对应边的平方比， 得 SAOC SBDC CO 2 CD2，且 SAOC SBDC 4 1， ODt，OCttBC， 所以4 1 ttBC2 tBC2 ，解得 tBCt。 【自我检测】 1 质点做直线运动的速度时间图像如图所示，该质点() A在第 1 秒末速度方向发生了改变 B在第 2 秒末加速度方向发生了改变 C在第 2 秒内发生的位移为零 D第 3 秒末和第 5 秒末的位置相同 答案：D 解析：在第 1 秒末质点的加速度方向发生改变，速度方向未改变，A 错误在第 2 秒末质点的速度 方向发生改变，加速度方向未改变，B 错误在第 2 秒内质点一直沿正方向运动，位移不为零，C 错误从第 3
15、 秒末到第 5 秒末质点的位移为零，故两时刻质点的位置相同，D 正确 2(多选)(2018全国卷)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度时间图像分别如图 中甲、乙两条曲线所示。已知两车在 t2时刻并排行驶。下列说法正确的是() A两车在 t1时刻也并排行驶 B在 t1时刻甲车在后，乙车在前 C甲车的加速度大小先增大后减小 D乙车的加速度大小先减小后增大 解析：选 BD由题图知，t1t2时间内，v甲v乙，t2时刻两车相遇，则 t1时刻甲车在乙车的后 面，故 A 错误，B 正确；由图像的斜率知，甲、乙两车的加速度大小均先减小后增大，故 C 错误， D 正确。 3(多选)(2018全国卷)甲
16、、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速 直线运动。甲、乙两车的位置 x 随时间 t 的变化如图所示。下列说法正确的是() A在 t1时刻两车速度相等 B从 0 到 t1时间内，两车走过的路程相等 C从 t1到 t2时间内，两车走过的路程相等 D在 t1到 t2时间内的某时刻，两车速度相等 答案：CD 解析：xt 图像斜率表示两车速度，则可知 t1时刻乙车速度大于甲车速度，故 A 错误；由两图 线的纵轴截距知，出发时甲车在乙车前面，t1时刻图线相交表示两车相遇，可得 0 到 t1时间内乙车 比甲车多走了一段距离，故 B 错误；t1和 t2时刻两图线相交，表明两车均在同一位
17、置，从 t1到 t2时 间内，两车走过的路程相等；在 t1到 t2时间内，两图线有斜率相等的一个时刻，即该时刻两车速度 相等，故 C、D 正确。 4 物体做匀加速直线运动，相继经过两段距离为 16 m 的路程，第一段用时 4 s，第二段用时 2 s， 则物体的加速度是() A.2 3 m/s2B.4 3 m/s2C.8 9 m/s2D.16 9 m/s2 答案：B 解析：根据题意，物体做匀加速直线运动，t 时间内的平均速度等于t 2时刻的瞬时速度，在第一段内 中间时刻的瞬时速度为： v1 v 116 4 m/s4 m/s； 在第二段内中间时刻的瞬时速度为： v2 v 216 2 m/s8 m/
18、s；则物体加速度为：av2v1 t 84 3 m/s24 3 m/s2，故选项 B 正确。 5 如图所示，a、b、c、d 为光滑斜面上的四个点。一小滑块自 a 点由静止开始下滑，通过 ab、bc、 cd 各段所用时间均为 T。现让该滑块自 b 点由静止开始下滑，则该滑块() A.通过 bc、cd 段的时间均大于 T B.通过 c、d 点的速度之比为 12 C.通过 bc、cd 段的位移之比为 13 D.通过 c 点的速度等于通过 bd 段的平均速度 答案：A 解析：当滑块由 a 点静止下滑时，滑块沿光滑的斜面做匀加速直线运动，假设 ab 段的间距为 x，则 bc 段、cd 段的间距应分别为 3
19、x、5x，xbcxcd35，选项 C 错误；如果滑块由 b 点静止释放，显 然滑块通过 bc 段、cd 段的时间均大于 T，选项 A 正确；滑块在 c 点的速度应为 v1 2a3x，滑块 在 d 点的速度应为 v2 2a8x，则 v1v2 38，选项 B 错误；因为 xbcxcd35，显然通过 c 点的时刻不是 bd 的中间时刻，则滑块通过 c 点的速度不等于 bd 段的平均速度，选项 D 错误。 6 如图所示，很小的木块由静止开始从斜面下滑，经时间 t 后进入一水平面，两轨道之间用长度 可忽略的圆弧连接，再经 2t 时间停下，关于木块在斜面上与在水平面上位移大小之比和加速度大小 之比，下列说
20、法正确的是() A.1221B.1212 C.2121D.2112 答案：A 解析：设木块到达斜面底端时的速度为 v，根据 vat 得，加速度之比a1 a2 v t v 2t 2 1；根据平均速度的推 论知，x1v 2t，x 2v 22t，所以 x1 x2 1 2。选项 A 正确。 7 如图所示，物体自 O 点由静止开始做匀加速直线运动，途经 A、B、C 三点，其中 O、A 之间的 距离为9 8 m，A、B 之间的距离为 2 m，物体通过 AB 和 BC 这两段位移的时间相等，则 B、C 之间的 距离为() A2.5 mB3 m C3.5 mD4 m 答案：B 解析：设物体通过 AB、BC 所
21、用时间分别为 T，通过 OA 所用时间为 t，则有 xOA1 2at 2，xOB1 2a(t T)2，xOC1 2a(t2T) 2，且 xOCxOBxBC，xOBxOAxAB，解得 xBC3 m，故 B 正确。 8.(多选)（2019 年贵州省安顺市期末测试）一物体以初速度 v0做匀减速直线运动，第 1 s 内通过的位 移 x13 m，第 2 s 内通过的位移 x22 m，又经过位移 x3，物体的速度减小为 0，则下列说法正确的 是() A.初速度 v0的大小为 2.5 m/s B.加速度 a 的大小为 1 m/s2 C.位移 x3的大小为 1.125 m D.位移 x3内的平均速度大小为 0
22、.75 m/s 解析由xaT2可得加速度 a1 m/s2，选项 B 正确；第 1 s 末的速度 v1x1x2 2T 2.5 m/s，得初 速度 v0v1at3.5 m/s，选项 A 错误；物体速度由 2.5 m/s 减小到 0 所需时间 tv a 2.5 s，则经过 位移 x3的时间 t3为 1.5 s，且 x31 2at 2 3 1.125 m，选项 C 正确；位移 x3内的平均速度v x3 t30.75 m/s，选项 D 正确。 答案BCD 9.(多选)（2019 年贵州省铜仁中学测试）如图所示，某质点做匀减速直线运动，依次经过 A、B、C 三点，最后停在 D 点。已知 AB6 m，BC4
23、 m，从 A 点运动到 B 点，从 B 点运动到 C 点两个过程 速度变化量都为2 m/s，则下列说法正确的是() A.质点到达 B 点时速度大小为 2.55 m/s B.质点的加速度大小为 2 m/s2 C.质点从 A 点运动到 C 点的时间为 4 s D.A、D 两点间的距离为 12.25 m 答案：BD 解析：设加速度大小为 a，根据题设条件得|v|at2 m/s，AB、BC 为连续相等时间内的位移，由 匀变速直线运动推论xat2，解得 tx at 64 2 s1 s，a2 m/s2，选项 B 正确；质点从 A 点运动 到 C 点的时间为 2t2 s，选项 C 错误；根据匀变速直线运动的
24、平均速度公式可得 vBv ACABBC 2t 5 m/s，选项 A 错误；由速度与位移公式可得 xADABv 2 B 2a12.25 m，选项 D 正确。 10(多选)(2019潍坊模拟)如图所示，t0 时，质量为 0.5 kg 的物体从光滑斜面上的 A 点由静止开 始下滑，经过 B 点后进入水平面(经过 B 点前后速度大小不变)，最后停在 C 点。每隔 2 s 物体的瞬 时速度记录在表格中，重力加速度 g10 m/s2，则下列说法中正确的是() t/s0246 v/(ms 1) 08128 At3 s 时物体恰好经过 B 点 Bt10 s 时物体恰好停在 C 点 C物体运动过程中的最大速度为
25、 12 m/s DA、B 间的距离小于 B、C 间的距离 答案：BD 解析：根据图表中的数据，可以求出物体沿斜面下滑的加速度 a14 m/s 2和在水平面上的加速度 a2 2 m/s2。根据运动学公式：8 m/sa1t1a2t212 m/s，t1t22 s，解得 t14 3 s，可得 t10 3 s 经 过 B 点，经过 B 点时的速度 va1t40 3 m/s，即运动过程中的最大速度，故 A、C 错误；第 6 s 末的 速度是 8m/s，到停下来还需的时间 t08 2 s4 s，所以 t10 s 时恰好停在 C 点，故 B 正确； 根据 v2v022ax，求出 AB 段的长度为200 9 m
26、，BC 段长度为400 9 m，则 A、B 间的距离小于 B、C 间的距离，故 D 正确。 11.(2019南昌市调研)如图 5 所示，一长为 200 m 的列车沿平直的轨道以 80 m/s 的速度匀速行驶，当 车头行驶到进站口 O 点时，列车接到停车指令，立即匀减速停车，因 OA 段铁轨不能停车，整个列 车只能停在 AB 段内，已知 OA1 200 m，OB2 000 m，求： (1)列车减速运动的加速度大小的取值范围； (2)列车减速运动的最长时间。 答案：(1)1.6 m/s2a16 7 m/s2(2)50 s 解析;(1)若列车车尾恰好停在 A 点，减速运动的加速度大小为 a1，距离为
27、 x1，则 0v202a1x1 x11 200 m200 m1 400 m 解得 a116 7 m/s2 若列车车头恰好停在 B 点，减速运动的加速度大小为 a2，距离为 xOB2 000 m，则 0v202a2xOB，解得 a21.6 m/s2 故加速度大小 a 的取值范围为 1.6 m/s2a16 7 m/s2 (2)当列车车头恰好停在 B 点时，减速运动的时间最长，则 0v0a2t， 解得 t50 s 12.（2019 年贵州省遵义市航天中学期末测试）近几年长假期间，国家取消了 7 座及其以下的小车的 收费公路的过路费，给自驾带来了很大的实惠，但车辆的增多也给交通道路的畅通增加了很大的压
28、 力， 因此国家规定了免费车辆在通过收费站时在专用车道上可以不停车拿卡或交卡而直接减速通过。 假设收费站的前、后都是平直大道，长假期间过站的车速要求不超过 v21.6 km/h，事先小汽车未 减速的车速均为 v0108 km/h，制动后小汽车的加速度的大小为 a14 m/s2。试问： (1)长假期间，驾驶员应在距收费站至少多远处开始制动？ (2)假设车过站后驾驶员立即使车以 a26 m/s2的加速度加速至原来的速度，则从减速开始到最终恢 复到原来速度的过程中，汽车运动的时间至少是多少？ (3)在(1)(2)问题中，车因减速和加速过站而耽误的时间至少为多少？ 答案：(1)108 m(2)10 s
29、(3)4 s 解析：取小汽车初速度方向为正方向，v21.6 km/h6 m/s，v0108 km/h30 m/s (1)小汽车进入站台前做匀减速直线运动，设距离收费站 x1处开始制动，则： 由 v2v202ax1，解得 x1108 m。 (2)小汽车通过收费站经历匀减速和匀加速两个阶段，以 v6 m/s 过站时汽车运动的时间最少，前后 两段位移分别为 x1和 x2，时间为 t1和 t2， 则减速阶段：vv0a1t1得 t1v0v a1 6 s 加速阶段：v0v6 m/s， vv030 m/s 则：v0va2t2，t2v0v a2 4 s 则汽车运动的时间至少为 tt1t210 s。 (3)在加速阶段：v20v22a2x2 解得 x272 m 则总位移 xx1x2180 m 若不减速通过所需时间 t x v06 s 车因减速和加速过站而耽误的时间至少为 ttt4 s。
