1、20212021 年高考真题和模拟题分类汇编年高考真题和模拟题分类汇编 数数学学 专题专题 0606 平面向量平面向量 一、选择题部分 1.(2021新高考全国卷T10)已知O为坐标原点， 点 1 cos ,sinP， 2 cos, sinP， 3 cos,sinP，()1,0A，则（） A. 12 OPOP B. 12 APAP C. 3 12 OA OPOP OP D. 123 OA OPOP OP 【答案】AC 【解析】 A 项， 1 (cos ,sin)OP ， 2 (cos, sin)OP ， 所以 22 1 |cossin1OP ， 22 2 |(cos)( sin)1OP ，故
2、12 | |OPOP ，正确； C 项，由题意得： 3 1 cos()0 sin()cos()OA OP ， 12 coscossin( sin)cos()OP OP ，正确；故选 AC 2.(2021浙江卷T3)已知非零向量, ,a b c ，则“a c b c ”是“ab ”的（） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】如图所示，,OAa OBb OCc BAab ,当ABOC时，a b 与c 垂直， ，所以成立，此时a b ， 不是a b 的充分条件， 当a b 时， 0ab ， 00abcc rrrr r ,成立，
3、是a b 的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件 3.(2021河南焦作三模理 T6)已知向量 （1， x） ， （0， 2） ， 则的最大值为 （） A2B2CD1 【答案】D 【解析】向量 （1，x）， （0，2）， 则，当 x0 时，0， 当 x0 时，1，当且仅当 x1 时，取等号， 所以的最大值为：1 4.(2021河北张家口三模T6)我国东汉末数学家赵爽在周牌算经中利用一幅“弦图”给 出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小 正方形拼成的一个大正方形，则+（） AB CD 【答案】D 【解析】以 E 为坐标原点，EF 所在直线为 x 轴
4、，建立如图直角坐标系， 设|EF|1由 E 为 AF 的中点， 可得 E（0，8），1），0），8），2）， 所以， 因为，所以（1，5）+（1， 即解得则 5.(2021山东聊城三模T7.)在?th 中，?t? b r，?h? b r，?th? b ，M 为 BC 中点，O 为?th 的内心，且? b ?t ? ?t ，则 ? ? b（） A. ? ?t B. r r C. ? D.1 【答案】 A 【考点】向量的线性运算性质及几何意义，三角形五心 【解析】 由题知，? b ? t， 根据三角形面积与周长和内心的关系求得， 内切圆半径 ?切 b ?径 b rr r?r? b ?，四边形 AE
5、OF 为矩形， 则? b ?切 ? ?径 b ? r ?h ? ? r ?t ，又?t b ? t ?t ? ? t ?h 则? b ?t ? ?t b t ? ? t ?t ? ? t ?h b ? r ?t ? ? r ?h 则? ? ? t b ? r ? t b ? r ，则 ? ? b ? r ? ? r b ? ?t 【分析】根据勾股定理可知?th 为直角三角形结合 O 为内心，可得四边形 AEOF 为正方形 内切圆半径 OE=OF=1，再过根据向量线性运算即可求得。 6.(2021四川内江三模理 T3)已知平面向量 ， ， 满足 + + 0 | | ，则 的值为（） A B C
6、D 【答案】A 【解析】，且，即 1， 7.(2021安徽马鞍山三模文 T3)已知向量，若 与 共线，则 实数 m（） AB5CD1 【答案】B 【解析】向量，若 与 共线，可得：92m1，解得 m5 8.(2021安徽蚌埠三模文 T6)已知向量 ， 满足| |2，（ + ） 2，| |2， 则| |（） A1BC2D4 【答案】C 【解析】向量 ， 满足| |2，（ + ） 2，| |2，可得2， 12，解得4，所以| |2 9.(2021贵州毕节三模文 T7)如图，在ABC 中，D 是 BC 边的中点，E，F 是线段 AD 的两 个三等分点，若，则（） A2B1C1D2 【答案】B 【解析
7、】D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分点， ，7， ，可得 42， 所以，2，121 10.(2021辽宁朝阳三模T2 )在ABC 中，若 AB1， AC5， sinA，则（） A3B3C4D4 【答案】D 【解析】在ABC 中，若 AB1，AC5，sinA，可得 cosA， 所以4 11.(2021四川泸州三模理 T4)已知平面向量 ， 满足| |，| |1，| + | |， 则| 2 |（） AB5CD7 【答案】C 【解析】平面向量 ， 满足| |，| |1，| + | |， 可得，可得0， 则| 2 | 12.(2021江苏常数三模T3)设为实数，已知向量（1，），（
8、2，1）若 ，则向量与的夹角为（） AB CD 【答案】D 【解析】,解得2，, , ,且, 与的夹角为 13.(2021江西上饶三模理T6 )已知A、 B、 C三点共线 （该直线不过原点O） ， 且m+2n （m0，n0），则的最小值是（） A10B9C8D4 【答案】C 【解析】由“A、B、C 三点共线（该直线不过原点 O），且m+2n”可知 m+2n 1（m0，n0），（m+2n）()4+4+28,当且仅当 即时取“”的最小值是 8 14.(2021福建宁德三模T9)已知向量?，? ?，? ? ?满足? ? ?b t? ?，? ? r? ?b t ? ? ? ?，? ? ?b t?，设?
9、 ?的夹角为?，则t? A.? b ? ? B.? ?C.? b ?r ?D.? ? ? ? ? 【答案】BC 【解析】? ? ? ?b t? ? ?，? ? r? ?b t ? ? ? ?，? ?b t ? ? ?，?b tt?，得? b t ? ?t? t ? ?tbt，? ? b t，故 A 错误；又? ? ?b t?，则?b? ? ?，则? ?，故 B 正确； cos? b ? ? b ?t t t b? t t ，又? t ? ? ?h? ? ?，? ? b ?r ?，故 C 正确； ? ? ? ? ? ?b t ? ? ? ? ? ? b t ? ?，? ? ?与? ? ?不垂直，
10、故 D 错误故选：th? 由已知求解方程组可得?与?，求模判断 A；由?b? ? ?判断 B；由数量积求夹角判断 C；由数 量积不为 0 判断 ?本题考查向量垂直与数量积的关系，训练了利用数量积求夹角，考查运 算求解能力，是基础题 15.(2021宁夏中卫三模理 T3)若向量（5，6），（2，3），则（） A（3，3）B（7，9）C（3，3）D（6，10） 【答案】C 【解析】向量（5，6），（2，3），则（3，3） 16.(2021江西九江二模理 T7)如图所示，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，E 是边 BC 上 靠近 C 的三等分点，F 为 CD 的中点，则（） A2BCD2 【答
11、案】C 【解析】+， （）（） 17.(2021浙江杭州二模理 T3)设 ， 是非零向量，则“ ”是“函数 f（x）（x + ） （x ）为一次函数”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】f（x）（x）（x ） x2+（）x ， 若 ，则 0，如果同时有| | |，则函数恒为 0， 不是一次函数，故不充分；如果 f（x）是一次函数，则 0，故 ，该条件必要 18.(2021河北邯郸二模理 T2)已知向量 （2，6）， （1，x），若 与 反向，则 （3 + ）（） A30B30C100D100 【答案】D 【解析】向量 （2，6），
12、 （1，x）， 与 反向，可得 x3， 所以 （3 + ）（2，6）（5，15）10+90100 19.(2021江西上饶二模理 T10)如图，AB 是圆 O 的一条直径且 AB2，EF 是圆 O 的一条 弦，且 EF1，点 P 在线段 EF 上，则的最小值是（） ABCD 【答案】B 【解析】， 当 P 为 EF 中点时，则的最小值为 20.(2021河北秦皇岛二模理 T5)在ABC 中，已知|+|，|4，|3， 2，则（） AB3 CD6 【答案】D 【解析】|+|，|+|， |+|2|2， +2+2， 0， 2，+（）+， （+）+6 21.(2021江西鹰潭二模理 T4)已知向量 是单
13、位向量， （3，4），且 在 方向上的投 影为，则|2 |（） A36B21C9D6 【答案】D 【解析】向量 是单位向量， （3，4），且 在 方向上的投影为， 可得，|2 |6 22.(2021辽宁朝阳二模T5)已知向量 ， 满足| | |2， （ ）2，则|2| （） A2B2C4D8 【答案】B 【解析】向量 ， 满足| | |2， （ ）2，可得： 2， |2|2 23.(2021广东潮州二模T4)设 ， 均为单位向量，则“| 3 |3 + |”是“ ”的 （） A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】“| 3 |3 + |”平
14、方得| |2+9| |26 9|2+| |2+6 ， 即 1+96 9+1+6 ，即 12 0，则 0，即 ， 反之也成立，则“| 3 |3 + |”是“ ”的充要条件 24.(2021天津南开二模T9)在直角梯形 ABCD 中，ADAB，CDAB，E 为 BC 边上一点， ，F 为直线 AE 上一点，则（） AB CD 【答案】C 【解析】以 A 为原点，AB、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， A（0，0），7），1），1）， 设 E（a，b），则， ，（1，2）3（1a，解得， 直线 AE 的方程为，设 F（x，y）， ， ， 又F 为直线 AE 上一点，当 x时，有最大值 25.(2
15、021安徽淮北二模文 T6)在平行四边形 ABCD 中，若2，AE 交 BD 于 F 点， 则（） AB CD 【答案】D 【解析】如图所示：由，则点 E 为 CD 的中点，在平行四边形 ABCD 中，DEAB， 所以，则 26.(2021吉林长春一模文 T2.)若平面向 ,2,1 2x ab 且 /ab ,则x的值为 1 A. B. 1 C4 . 4D. 2 【答案】C 【解析】由 /,ab 可知 2 12 x 即 4x ,故选 C. 27.(2021宁夏银川二模文 T3)已知向量 ， 的夹角为 60，| |2，| |1，则（ +2 ） （ ）（） AB2C1D0 【答案】D 【解析】向量
16、， 的夹角为 60，| |2，| |1， （ +2 ）（ ）2222120 28.(2021山西调研二模文 T7)平行四边形 ABCD 中，E 为 AD 边上的中点，连接 BE 交 AC 于 点 G，若?体 ? ? b ?t ? ? ? ? ? ?，则 ? ? b t? A.1B. ? C. t r D. ? r 【答案】C 【解析】?四边形 ABCD 为平行四边形，? ? b th，? 切 为 AD 边上的中点，? ?切 b ? t ?， ? ?th， ? ?切体? ht体， ? ?体 h体 b ?切 th b ? t， ? ?体 b ? t h体 b ? r ?h， ? ?体 ? ? b
17、? r ?h ? ? b ? r t?t ? ? ? ? b ? r?t ? ? ? ? r ? ? ?，? ?体? ? b ?t ? ? ? ? ? ?，? b ? b ? r，? ? ? b t r ?故选：h? 先判断? ?切体? ht体， 求出相似比， 得到 ?体 b ? r ?h， 再利用平面向量的线性运算即可求解 本 题考查平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，平面向量的线性运算，属于基础题 二、填空题部分 29.(2021高考全国甲卷理 T14) 已知向量 3,1 ,1,0 ,abcakb 若a c ，则 k _ 【答案】 10 3 【解析】利用向量的坐标运算法则求得向量c
18、的坐标，利用向量的数量积为零求得k的值 3,1 ,1,0 ,3,1abcakbk ,3 31 10aca ck ，解得 10 3 k ,故答案为： 10 3 . 30.(2021高考全国乙卷文 T13) 已知向量 2,5 ,4ab ， 若 /a b r r ， 则 _ 【答案】 8 5 【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2 450，解方程可得： 8 5 . 故答案为 8 5 . 31.(2021浙江卷T17) 已知平面向量, , ,(0)a b c c 满足 1,2,0,0aba babc .记向量d 在, a b 方向上的投影分别为 x， y，d a 在c 方 向上的投影为 z，
19、则 222 xyz的最小值为_. 【答案】 2 5 【解析】由题意，设(1,0),(0 2),( , )abcm n ， ， 则20abcmn ，即2mn， 又向量d 在, a b 方向上的投影分别为 x，y，所以,dx y ， 所以d a 在c 方向上的投影 22 1()22 |5 m xnydacxy z c mn ， 即252xyz, 所以 22 22222222 112 21525 10105 xyzxyzxyz ， 当且仅当 215 252 xyz xyz 即 2 5 1 5 5 5 x y z 时，等号成立， 所以 222 xyz的最小值为 2 5 .故答案为： 2 5 . 32.
20、(2021浙江丽水湖州衢州二模T16)已知平面向量 ， ， ， ，若| | |， 0，|+|4，|1，则|的最大值是 【答案】 【解析】不妨令， 以点 O 为坐标原点，OA，OB 所在直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系， 则 O（0，0）， 因为|+|4，所以|CA|+|CA|4|AA|， 故点 C 在以 4 为长轴，为焦点的椭圆上， 则点 C 的轨迹方程为，又|1，即， 故点 D 在以为圆心，1 为半径的圆上，又|， 所以转化为求解|BC|的最大值， 由图易得， 当以 B 为圆心， r 为半径的圆 与椭圆内切时有最大值，联立方程组消去 x 可得， 则1212（r27）0，解得， 所以
21、33.(2021山东潍坊二模T16)已知向量 ， ， 满足| + |3，| |1 且 +1（ + ） ，则| |的取值范围是 【答案】1，5 【解析】| + |3，4 94 ， | +1|（） |（）| |3，4 2， 194 25，125，即 1| |5 34.(2021江苏盐城三模T12)将平面向量a(x1，x2)称为二维向量，由此可推广至 n 维向量 a(x1，x2，xn) 对于 n 维向量a，b， 其运算与平面向量类似， 如数量积ab|a|b|cos 1 n ii i x y (为向量a，b的夹角)，其向量a的模|a| 2 1 n i i x ，则下列说法正确的有 A不等式( 2 1
22、n i i x )( 2 1 n i i y )( 1 n ii i x y )2可能成立 B不等式( 2 1 n i i x )( 2 1 n i i y )( 1 n ii i x y )2一定成立 C不等式 n 2 1 n i i x ( 1 n i i x )2可能成立 D若，则不等式 11 1 nn i ii i x x n2一定成立 【答案】ABD 【考点】新情景问题下的数量积与模的应用 【解析】 由题意， 可设a(x1， x2， ， xn)， b(y1， y2， ， yn)， 所以( 2 1 n i i x )( 2 1 n i i y )|a|2|b|2， ( 1 n ii i
23、 x y )2(|a |b |)2|a |2|b |2cos2，由 cos21，可得( 2 1 n i i x )( 2 1 n i i y ) ( 1 n ii i x y )2，当且仅当0 或时取等号，若 xi0，则 11 1 nn i ii i x x 1 1 n i i i x x n2，所 以选项 A、B、D 正确；设c (1，1，1)(n 个 1)，则 n 2 1 n i i x n|a |2，( 1 n i i x )2(ac )2 |a|2|c |2cos2n|a|2cos2，由 cos21，可得 n 2 1 n i i x ( 1 n i i x )2，当 且仅当0 或时取等
24、号，所以选项 C 错误；综上，答案选 ABD 35.(2021江苏盐城三模T15)若向量a，b满足|ab| 3，则ab的最小值为 【答案】3 4 【考点】平面向量的综合应用 【解析】 法一： 由题意， |ab|2a 2 b 22 ab2ab2ab4ab， 即 34ab， 则ab3 4 法二：由题意，ab| ab|2|ab|2 4 1 4| ab|23 4，所以 ab的最小值为3 4 36.(2021河南郑州三模理T13)在矩形ABCD中， 其中AB3， AD1， AB上的点E满足+2 ，F 为 AD 上任意一点，则 【答案】3 【解析】在矩形 ABCD 中，其中 AB3，AD1，AB 上的点
25、E 满足+2 ，E 是 AB 的 一个 3 等分点， F 为 AD 上任意一点， 所以|cos （EBF） | 3 37.(2021河南开封三模理 T14)已知向量 ， 满足，若，则 在 方向上 的投影为 【答案】1 【解析】， 在 方向上的投影为：，故答案为：1 38.(2021河南开封三模文 T14)已知向量，若 在 方向上的 投影为，则实数 t2 【答案】2 【解析】向量， 在 方向上的投影为， ，即：，解得 t2 39.(2021浙江杭州二模理 T16)已知 ， 是单位向量，且 设 ， ， m（mn0），若ABC 为等腰直角三角形，则 m 【答案】2 或 1 【解析】根据题意，已知 ，
26、 是单位向量，且 ，设 （1，0）， （0，1）， 则 （m，n）（mn0），则 A（1，0），B（0，1），C（m，n）， 若 C 为直角，即且|，则， 又由 mn0，解可得 mn1， 若 B 为直角，即且|，则， 解可得：m2，n1， 同理：若 C 为直角，可得 m1，n2，（不合题意，舍去） 综合可得：m2 或 1 40.(2021上海嘉定三模T11)若圆 O 的半径为 2，圆 O 的一条弦 AB 长为 2，P 是圆 O 上任 意一点，点 P 满足，则的最大值为 【答案】10 【解析】【法一：建系法】如图以 AB 中点 C 为原点建系，则 ，所以圆 O 方程为， 所以设，Q（x0，y0）
27、，因为， ， 所以， 所以，因为 cost1，1，所以的最大值为 10 【法二：投影法】连接 OA，OB 过点 O 作 OCAB，垂足为 C， 则， 因为，所以Q 所以， 且仅当且同向时取等号，的最大值为 10 41.(2021河南济源平顶山许昌三模文 T14)已知平面向量 （1，）， （，m） ， 且| + | |，则|3 6 | 【答案】6 【解析】向量 （1，）， （，m），且| + | |， +m0，m1，则|3 6 | 6 42.(2021上海浦东新区三模T2)已知 （2，3）， （4，x）且，则 x6 【答案】6 【解析】已知 （2，3）， （4，x）且，则由两个向量共线的性质可得
28、 2x340，解得 x6 43.(2021江西南昌三模理 T13)已知两个单位向量，且|1，则| 【答案】 【解析】，且； ； 1+1+13； 44.(2021上海浦东新区三模T12)已知|1，若存在 m，ntR，使得 m+与 n+夹角为 60，且|（m+）（n+）|，则|的最小值为 【答案】 【解析】由题意，令， ，故有 A，A，B，B共线， 为定值，在AOB中，由余弦定理可得， ， 当且仅当时，取最大值，此时AOB面积最大，则 O 到 AB 距 离最远，即当且仅当 A、B关于 y 轴对称时，最小， 此时 O 到 AB 的距离为， ， 即 45.(2021湖南三模T13)已知单位向量 ， 满
29、足| 2 |，则 与 的夹角为 【答案】 【解析】根据题意，设 与 的夹角为，单位向量 ， 满足| 2 |，则有（ 2 ） 22+424 3，变形可得：cos ，又由 0，则 46.(2021江西上饶三模理 T13)已知（1，2），（0，1），则在方向上的投 影为 【答案】2 【解析】因为（1，2），（0，1），则在方向上的投影2 47.(2021安徽宿州三模文 T14)已知非零向量 ， 满足| |2| |，且 （ ）， 则 与 的夹角为 【答案】 【解析】根据题意，设 与 的夹角为，再设| |t，则| |2| |2t， 若 （ ），则 （ ） 2 t22t2cos0， 变形可得 cos，又由
30、 0，则 48.(2021安徽马鞍山三模理 T14)在ABC 中，O 为ABC 的外心，若 ，则的值为 【答案】2 【解析】在ABC 中， 可知与，在上的投影相同，并且， O 为ABC 的外心，所以 ABAC，三角形是正三角形， 设外接圆的半径为 R，则，解得 R，所以三角形的高为， 则三角形的边长为 2，所以22 49.(2021北京门头沟二模理 T12) ? ?th 外接圆圆心为 O，且 t? ? ? ? ?t ? ? ? ?h ? ? b ? ?，则?t? ? ?h ? ? b_ 【答案】0 【解析】 如图， ? ?th 外接圆圆心为 O， 且 t? ? ? ?t? ? ? ?h ? ?
31、 b ? ?，可知?t? ? ?h? ? b? ? ? ? b t? ? ? b ? ? ?， 所以? ?th 是直角三角形，?t ? ?h， 则?t ? ? ? ?h ? ? b ?故答案为：? 画出图形， 结合已知条件判断两个向量的关系， 然后求解?t ? ? ? ?h ? ?即可本题考查向量的数量积的求法，数形结合的应用， 是基础题 50.(2021新疆乌鲁木齐二模文 T14)已知向量 （2，1）， （m，1）， （1， 2），若（ ） ，则 m3 【答案】3 【解析】，且， 2（2m）20，解得 m3 51.(2021河南郑州二模文 T14 )已知向量 与 的夹角为 60， | |3， | |6， 则 2 在 方向上的投影为 【答案】3 【解析】向量 与 的夹角为 60，| |3，| |6， 可得 2 在 方向上的投影为：3
