1、常微分方程全册配套精品常微分方程全册配套精品 完整课件完整课件 例例 1 1 一一曲曲线线通通过过点点(1,2),且且在在该该曲曲线线上上任任一一点点 ),(yxM处处的的切切线线的的斜斜率率为为x2,求求这这曲曲线线的的方方程程. 解解 )(xyy 设所求曲线为设所求曲线为 x dx dy 2 xdxy2 2,1 yx时时其中其中 , 2 Cxy 即即, 1 C求求得得 .1 2 xy所求曲线方程为所求曲线方程为 一、问题的提出一、问题的提出 例例 2 2 列列车车在在平平直直的的线线路路上上以以 2 20 0 米米/ /秒秒的的速速度度行行驶驶, , 当当制制动动时时列列车车获获得得加加速
2、速度度4 . 0 米米/ /秒秒 2 2, ,问 问开开始始制制动动 后后多多少少时时间间列列车车才才能能停停住住？以以及及列列车车在在这这段段时时间间内内 行行驶驶了了多多少少路路程程？ 解解 )(,tssst 米米秒钟行驶秒钟行驶设制动后设制动后 4 . 0 2 2 dt sd ,20, 0,0 dt ds vst时时 1 4 . 0Ct dt ds v 21 2 2 . 0CtCts 代入条件后知代入条件后知 0,20 21 CC ,202 . 0 2 tts ,204 . 0 t dt ds v 故故 ),(50 4 . 0 20 秒秒 t 列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了
3、 ).(5005020502 . 0 2 米米 s 开始制动到列车完全停住共需开始制动到列车完全停住共需 微分方程微分方程: : 含有未知函数及其导数方程叫微分方程含有未知函数及其导数方程叫微分方程. . 例例,xyy , 0)( 2 xdxdtxt ,32 x eyyy , yx x z 实质实质: : 联系自变量联系自变量, ,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的 某些导数某些导数( (或微分或微分) )之间的关系式之间的关系式. . 二、微分方程的定义二、微分方程的定义 微分方程的阶微分方程的阶: : 微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之高
4、阶导数的阶数称之. . , 0),( y yxF一阶微分方程);,(yxfy 0),( )( n yyyxF ),( ) 1()( nn yyyxfy(n(n阶阶显式显式微分方程微分方程) )或或 分类分类2 2: : 线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程. . ),()(xQyxPy ; 02)( 2 xyyyx 分类分类3 3: : 单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组. . ,2 ,23 zy dx dz zy dx dy 微分方程的解微分方程的解: : 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. . ,)(阶导数阶导数上有上有在区
5、间在区间设设nIxy . 0)(,),(),(,( )( xxxxF n 微分方程的解的分类：微分方程的解的分类： 三、主要问题三、主要问题-求方程的解求方程的解 (1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且任且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同意常数的个数与微分方程的阶数相同. . (2)(2)特解特解: : 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. . , yy 例例 ; x cey 通解通解 , 0 yy;cossin 21 xcxcy 通解通解 解的图象解的图象: : 微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线. . 通解的图象
6、通解的图象: : 积分曲线族积分曲线族. . 初始条件初始条件: : 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. . 过定点的积分曲线过定点的积分曲线; 0 0 ),( yy yxfy xx 一阶一阶: 二阶二阶: 00 01 ( , ,) , x xx x yf x y y yyyy 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题. . 例例 3 3 验证验证:函数函数ktCktCxsincos 21 是微分是微分 方程方程0 2 2 2 xk dt xd 的
7、解的解. 并求满足初始条件并求满足初始条件 0, 0 0 t t dt dx Ax的特解的特解. 解解 ,cossin 21 ktkCktkC dt dx ,sincos 2 2 1 2 2 2 ktCkktCk dt xd , 2 2 的表达式代入原方程的表达式代入原方程和和将将x dt xd . 0)sincos()sincos( 21 2 21 2 ktCktCkktCktCk .sincos 21 是原方程的解是原方程的解故故ktCktCx , 0, 0 0 t t dt dx Ax. 0, 21 CAC 所求特解为所求特解为.cosktAx 微分方程微分方程; 微分方程的阶微分方程的
8、阶; 微分方程的解微分方程的解; 通解通解; 初始条件初始条件; 特解特解; 初值问题初值问题; 积分曲线积分曲线; 四、小结四、小结 思考题思考题 函函数数 x ey 2 3 是是微微分分方方程程04 yy 的的什什么么解解? 思考题解答思考题解答 ,6 2x ey ,12 2x ey yy4, 03412 22 xx ee x ey 2 3 中不含任意常数中不含任意常数, 故为微分方程的故为微分方程的特特解解. 三三、设设曲曲线线上上点点),(yxP处处的的法法线线与与x轴轴的的交交点点为为Q, , 且且线线段段PQ被被y轴轴平平分分, ,试试写写出出该该曲曲线线所所满满足足的的微微 分分
9、方方程程. . 一、一、 填空题填空题: : 1 1、02 2 yxyyx是是_阶微分方程；阶微分方程； 2 2、0 2 2 c Q dt dQ R dt Qd L是是_阶微分方程；阶微分方程； 3 3、 2 sin d d 是是_阶微分方程；阶微分方程； 4 4、一个二阶微分方程的通解应含有、一个二阶微分方程的通解应含有_个任意常数个任意常数 . . 二、确定函数关系式二、确定函数关系式)sin( 21 cxcy 所含的参数所含的参数, ,使其使其 满足初始条件满足初始条件1 x y, ,0 x y. . 练练 习习 题题 四四、已已知知函函数数1 xbeaey xx , ,其其中中ba ,
10、为为任任意意常常 数数, ,试试求求函函数数所所满满足足的的微微分分方方程程 . . 练习题答案练习题答案 一、一、1 1、3 3； 2 2、2 2； 3 3、1 1； 4 4、2.2. 二、二、. 2 , 1 21 CC 三、三、02 xyy. . 四、四、xyy 1. . 一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程 dxxfdyyg)()( 称为可分离变量的微分方程称为可分离变量的微分方程. . 5 4 2 2yx dx dy 例如例如,2 2 5 4 dxxdyy 解法解法 设设函函数数)(yg和和)(xf是是连连续续的的, dxxfdyyg)()( 设设函函数数)(yG和和)(x
11、F是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函 数数,CxFyG )()( 分离变量法分离变量法 CxFyG )()( dxxfdyyg)()( yx x y 2 3 d d xx y y d3 d 2 xx y y d3 d 2 1 3 lnCxy Cxylnln 3 1 3 e Cx y 3 1e e xC 3 e x Cy 1 eCC令 解解 , dt dM 衰变速度衰变速度由题设条件由题设条件 )0(衰变系数衰变系数 M dt dM dt M dM , dt M dM 00 MM t 代代入入 ,lnlnctM , t ceM 即即 0 0 ceM 得得,C t eMM 0 衰变规
12、律衰变规律 例例 3. 英国人口学家马尔萨斯英国人口学家马尔萨斯(Malthas,1766-1834)根据百余年根据百余年 的统计资料，于的统计资料，于1798年提出了闻名于世的所谓马尔萨斯人口年提出了闻名于世的所谓马尔萨斯人口 模型，若时刻模型，若时刻 t 时的人口人数为时的人口人数为N(t)，初始时刻，初始时刻(t=0)的人口的人口 为为 ，假设人口增长率为常数，假设人口增长率为常数r（即单位时间内人口的增长量（即单位时间内人口的增长量 与当时的人口量成正比）。根据马尔萨斯理论，从时刻与当时的人口量成正比）。根据马尔萨斯理论，从时刻t到时到时 刻刻t+t的人口增长量是的人口增长量是 ()(
13、 )=( )N ttN trN tt ()( ) =( ) N ttN t rN t t 从而 0 N 0t 令就得到人口数所应满足的微分方程， 0 (0) dN rN dt NN 即 0 ()( ) lim( ), t N ttN t rN t t 求解该微分方程得到： 显然，如果r0，人口将按指数规律随时间无限增长增 长，出现人口爆炸,这个模型虽然与19世纪以前欧洲一 些地区的人口数据十分吻合，但它与自那以后的人口资料 相比出现较大的偏差，后来，为了使人口预报特别是长期 预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人 口增长率是常数这一假设，注意到自然资源、环境条件等 因素对人口的增长
14、起着阻滞作用，并且随着人口的增加， 阻滞作用越来越大，人们将马尔萨斯模型修正为下述阻滞 增长模型（Logistic模型）： 0 = rt N N e 0 (0) dN rN dt NN 0 0 (1)= ( ) 1 (1) m m m rt m dNN rNNN dtN N N N t N e N ，（0） 其中，表示自然资源和环境条件所容许的最大人口数量， 这是一个更为合理的人口模型。求解该模型得到： ( )()() (), ,0,=0 ()0, mm m rN tr Nr NN r NrsN r srN r r NrsNs N 将增长率 表示为人口的函数，是 的减函 数，并设这里 相当于时
15、的增长率， 称为固有增长率(由得)。 dN rN dt 分离变量法步骤分离变量法步骤: 1.分离变量分离变量; 2.两端积分两端积分-隐式通解隐式通解. 二、小结二、小结 思考题思考题 求解微分方程求解微分方程 . 2 cos 2 cos yxyx dx dy 思考题解答思考题解答 , 0 2 cos 2 cos yxyx dx dy , 0 2 sin 2 sin2 yx dx dy , 2 sin 2 sin2 dx x y dy 2 cot 2 cscln yy , 2 cos2C x 为所求解为所求解. .e d d 的通解求方程 yx x y xy xy dede C xy ee 0
16、1e)e( yx C , yxu令yu1则 u ue1 Cx u u e1 d Cxu u )e1 (ln Cy yx )e1(ln 一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、0tansectansec 22 xdyyydxx； 2 2、0)()( dyeedxee yyxxyx ； 3 3、0)1( 32 x dx dy y. . 二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、xdxyydyxsincossincos , , 4 0 x y； 2 2、0sin)1(cos ydyeydx x , , 4 0 x y.
17、. 练练 习习 题题 三、质量三、质量克克为为1的质点受外力作用作直线运动的质点受外力作用作直线运动, ,这外力这外力 和时间成正比和时间成正比, ,和质点运动的速度成反比和质点运动的速度成反比. .在在 10 t 秒时秒时, ,速度等于速度等于秒秒厘米厘米/50, ,外力为外力为 2 /4秒秒厘厘米米克克 , , 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? ? 四、 小船从河边四、 小船从河边处处点点 0出发驶向对岸出发驶向对岸( (两岸为平行直线两岸为平行直线).). 设设a船速为船速为, ,船行方向始终与河岸垂直船行方向始终与河岸垂直, ,设河宽设河宽
18、 h为为, ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离 的乘积成正比的乘积成正比( (比例比例k系数为系数为).).求小船的航行路求小船的航行路 线线 . . 练习题答案练习题答案 一、一、1 1、Cyx tantan； 2 2、Cee yx )1)(1(； 3 3、Cxy 43 3)1(4. . 二、二、1 1、 xycoscos2 ； 2 2、ye x cos221 . . 三、三、3 .269 v厘米厘米/ /秒秒. . 四、取四、取 0 0 为原点为原点, ,河岸朝顺水方向为河岸朝顺水方向为轴轴x, ,轴轴y指向对指向对 岸岸, ,则所求航线为则所求
19、航线为) 3 1 2 ( 32 yy h a k x . . 一、齐次方程一、齐次方程 )( x y f dx dy 形如形如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. . 2.解法解法, x y u 作变量代换作变量代换,xuy 即即 代入原式代入原式 , dx du xu dx dy ),(uf dx du xu . )( x uuf dx du 即即 可分离变量的方程可分离变量的方程 1.1.定义定义 例例 1 1 求解微分方程求解微分方程 . 0cos)cos( dy x y xdx x y yx ，令令 x y u ，则则udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudx
20、uxdxuuxx ,cos x dx udu ,lnsinCxu .lnsinCx x y 解解 22 2 2 yxyx xyy dx dy , 1 2 2 2 x y x y x y x y , x y u 令令, dydu yuxux dxdx 则 , 1 2 2 2 uu uu uxu . 2 222 xyy dy yxyx dx 例例 2 2 求解微分方程求解微分方程 解解 ,lnlnln 2 1 )2ln( 2 3 )1ln(Cxuuu . )2( 1 2 3 Cx uu u 微分方程的解为微分方程的解为.)2()( 32 xyCyxy , 1 1 2 2 ) 1 2 1 ( 2 1
21、 x dx du uuuu 22 22 2(32) , 11 uuu uu xuu uuuu ( , ) ( , ) ( , )( , ) 0 ( ,)( , ),( ,)( , ) mm dyM x y dxN x y M x yN x y xymt M tx tyt M x yN tx tyt N x y 该题属于 型的齐次方程，其中函数和都是 和 的同次（比如 次）齐次函数，即对有 x 由光的反射定律由光的反射定律: 可得可得 OMA = OAM = 例例3. 探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面, 它的形状由它的形状由 )0()(:yxfyL 解解: 将光源所在
22、点取作坐标原点将光源所在点取作坐标原点, 并设并设 入射角入射角 = 反射角反射角 xycotx y y 22 yxOM T M AP y 能的要求能的要求, 在其旋转轴在其旋转轴 (x 轴轴)上一点上一点O处发出的一切光线处发出的一切光线 从而从而 AO = OM OPAP xOy坐标面上的一条曲线坐标面上的一条曲线 L 绕绕 x 轴旋转而成轴旋转而成, 按聚光性按聚光性 而而 AO 于是得微分方程于是得微分方程 : x y y 22 yx y O 经它反射后都与旋转轴平行经它反射后都与旋转轴平行. 求曲线求曲线 L 的方程的方程. 21 d d y x y x y x , vyx 则, y
23、 x v 令 2 1 d d v y v y y v yv y x d d d d Cyvvlnln)1(ln 2 积分得积分得 故有故有1 2 2 2 C vy C y , xvy代入 得得 ) 2 (2 2 C xCy (抛物线 抛物线) 22 1)(vv C y C y vv 2 1 故反射镜面为旋转抛物面故反射镜面为旋转抛物面. 于是方程化为于是方程化为 (齐次方程齐次方程) y x A O 顶到底的距离为顶到底的距离为 h , h d C 8 2 说明说明: 2 , 2 d yh C x 则将则将 这时旋转曲面方程为这时旋转曲面方程为 h d x h d zy 164 22 22 h
24、 d 若已知反射镜面的底面直径为若已知反射镜面的底面直径为 d , 代入通解表达式得代入通解表达式得 )0,( 2 C ) 2 (2 2 C xCy 二、可化为齐次的方程二、可化为齐次的方程 的微分方程的微分方程形如形如)( 111 cybxa cbyax f dx dy 为齐次方程为齐次方程. . ,0 1 时时当当 cc ， 令令 kYy hXx ,（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数） dYdydXdx , 否则为非齐次方程否则为非齐次方程. . )( 11111 ckbhaYbXa cbkahbYaX f dX dY 2. 解法解法 1.1.定义定义 , 0 , 0 111
25、ckbha cbkah , 0)1( 11 ba ba 有唯一一组解有唯一一组解. )( 11 YbXa bYaX f dX dY 得通解代回得通解代回 ，kyY hxX, , 0)2( 未必有解未必有解, 上述方法不能用上述方法不能用. ,0 1 时时当当 b. 1 中必至少有一个为零中必至少有一个为零与与ba 11 () dyaxc f dxa xc 原方程变为 , 0, 0 1 ab若若 1 () dyaxbyc f dxc 原方程变为 , 0 b若若 ,byaxz 令令 ),( 1 a dx dz bdx dy )()( 1 1 c cz fa dx dz b （可分离变量的微分方程）
26、（可分离变量的微分方程） （可分离变量的微分方程）（可分离变量的微分方程） , 11 b b a a 令令 ), )( ( 1 cbyax cbyax f dx dy 方程可化为方程可化为 ，则则 dx dy ba dx dz ).()( 1 1 cz cz fa dx dz b ,0 1 时时当当 b ,byaxz 令令 可分离变量可分离变量. . 3 1 4的通解的通解求求例例 yx yx dx dy 解解, 02 11 11 , 03 01 kh kh 方程组方程组, 2, 1 kh . 2, 1 YyXx令令 , YX YX dX dY 代入原方程得代入原方程得 ，令令 X Y u ,
27、 1 1 u u dX du Xu 分离变量法得分离变量法得 ,)12( 22 cuuX ,2 22 CXXYY 即即 代回，代回，将将2, 1 yYxX 得原方程的通解得原方程的通解 ,)1()2)(1(2)2( 22 Cxyxy .622 1 22 Cyxyxyx 或或 方程变为方程变为 利用变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解 .)(5 2的通解 的通解求求例例yx dx dy 解解 ,uyx 令令1 dx du dx dy 代入原方程代入原方程 2 1 du u dx ,arctanCxu 解得解得 得得代回代回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解为原方程的
28、通解为.)tan(xCxy ()()0.f xy ydxg xy xdy例6求方程通解 ,xyu 令令,ydxxdydu 则则 ( )( ) ()0,f u ydxg uduydx , 0)()()( duugdx x u uguf , 0 )()( )( du ugufu ug x dx . )()( )( |lnCdu ugufu ug x 通解为通解为 解解 ) 1(sin 2 yxy , 1yxu yu1 uu 2 sin1 xuuddsec 2 Cxutan Cxyx) 1tan( 三、小结三、小结 齐次方程齐次方程( )( ) dyydxx dxxdyy 或 齐次方程的解法齐次方程
29、的解法 yx uv xy 令或 可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程 . , kYy hXx 令令 思考题思考题 方程方程 22 0 2 ( )( )( ) x y tty tdtxy x 是否为齐次方程是否为齐次方程? 思考题解答思考题解答 方程两边同时对方程两边同时对 求导求导:x ,2 22 yxyyxy , 22 yyxyx ,1 2 x y x y y 原方程原方程是是齐次方程齐次方程. 一、一、 求下列齐次方程的通解求下列齐次方程的通解: : 1 1、0)( 22 xydydxyx； 2 2、0)1(2)21( dy y x edxe y x y x . . 二、二、 求下列齐
30、次方程满足所给初始条件的特解求下列齐次方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、1, 02)3( 0 22 x yxydxdyxy； 2 2、,0)2()2( 2222 dyxxyydxyxyx 1 1 x y . . 三、化下列方程为齐次方程三、化下列方程为齐次方程, ,并求出通解并求出通解: : 1 1、 3 1 yx yx y； 2 2、0)642()352( dyyxdxyx. . 练练 习习 题题 练习题答案练习题答案 一、一、1 1、)ln2( 22 cxxy ； 2 2、cyex y x 2. . 二、二、1 1、 322 yxy ； 2 2、yxyx 22 . . 三、三、1
31、1、Cyx x y )2()1ln( 2 1 1 2 arctan 22 ； 2 2、Cxyxy 2 )32)(34(. . )()(xQyxP dx dy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式: , 0)( xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的. 上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的., 0)( xQ当当 一、线性方程一、线性方程 例如例如, 2 xy dx dy ,sin 2 ttx dt dx , 32 xyyy, 1cos yy 线性的线性的; 非线性的非线性的. . 0)( yxP dx dy ,)(dxxP y dy ,)( dxxP y dy ,ln)(lnC
32、dxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为. )( dxxP Cey 1. 线性齐次方程线性齐次方程 一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法 (使用分离变量法使用分离变量法) 2. 线性非齐次方程线性非齐次方程 ).()(xQyxP dx dy 讨论讨论,)( )( dxxP y xQ y dy 两边积分两边积分,)( )( ln dxxPdx y xQ y ),( )( xvdx y xQ 为为设设 ,)()(ln dxxPxvy . )()( dxxPxv eey即即 非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比:)(xuC 常数变易法常数变易法 把齐
33、次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. . 实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换. ),()(xyxu原未知函数原未知函数新未知函数新未知函数 作变换作变换 dxxP exuy )( )( ( )( ) ( )( )( ), P x dxP x dx yu x eu xP x e 代代入入原原方方程程得得和和将将yy ,)()( )( CdxexQxu dxxP ),()( )( xQexu dxxP 积分得积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为: dxxPdxxP eCdxexQy )()( )( dx
34、exQeCe dxxPdxxPdxxP )()()( )( 对应齐次对应齐次 方程通解方程通解 非齐次方程特解非齐次方程特解 )()(xQyxP dx dy dxxP exuy )( )( . sin1 的通解的通解求方程求方程 x x y x y , 1 )( x xP , sin )( x x xQ Cdxe x x ey dx x dx x 11 sin Cdxe x x e xxlnln sin Cxdx x sin 1 .cos 1 Cx x 解解 例例1 1 例例2 2 如图所示，平行于如图所示，平行于 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之 长数值
35、上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 . y )(xfy )0( 3 xxy )(xf ,)()( 23 0 yxdxxf x x yxydx 0 3 , 两边求导得两边求导得,3 2 xyy 解解 解此微分方程解此微分方程 x y ox P Q 3 xy )(xfy dxexCey dxdx 2 3 , 663 2 xxCe x , 0| 0 x y由由, 6 C得得 所求曲线为所求曲线为 ).222(3 2 xxey x 2 3xyy 伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式 n yxQyxP dx dy )()( )1 , 0( n 方程为
36、方程为线性微分方程线性微分方程. 方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程. 二、伯努利方程二、伯努利方程 时时，当当1 , 0 n 时时，当当1 , 0 n 解法解法: : 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程. , 1 n yz 令令，则则 dx dy yn dx dz n )1( ),()( 1 xQyxP dx dy y nn ),()1()()1(xQnzxPn dx dz 求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得 n yz 1 ，得，得两端除以两端除以 n y 代入上式代入上式 . )1)( )()1()()1( 1 CdxenxQe zy dxxPn
37、dxxPn n . 4 2 的通解的通解求方程求方程yxy xdx dy 1 1 2 dzdy dxdxy 则,yz 令令 , 4 2 2 xz xdx dz , 2 2 C x xz解得解得 . 2 2 4 C x xy即即 解解 例例 3 例例4 4 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程: : ;22. 1 2 2x xexyyy 解解 , 2 1 1 2 yxexyy x , 2)1(1 yyz 令令 ,2 dx dy y dx dz 则则 ,2 2 x xexz dx dz 222 Cdxexeez xdx x xdx 所求通解为所求通解为). 2 ( 2 2
38、2 C x ey x ; )(sin 1 . 2 2 x y xyxdx dy 解解 ,xyz 令令, dx dy xy dx dz 则则 , sin 1 ) )(sin 1 ( 22 zx y xyx xy dx dz ,42sin2Cxzz 分离变量法得分离变量法得 ,代回代回将将xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy ; 1 . 3 yxdx dy 解解,uyx 令令, 1 dx du dx dy 则则 代入原式代入原式, 1 1 udx du 分离变量法得分离变量法得 ,)1ln(Cxuu ,代回代回将将yxu 所求通解为所求通解为 ,)1ln(Cyxy 1 1 y
39、eCx y 或或 另解另解 . yx dy dx 方程变形为方程变形为 1.1.一阶线性方程一阶线性方程 d ( )( ) d y P x yQ x x 方法方法1 1 先解齐次方程先解齐次方程, ,再用常数变易法再用常数变易法. . 方法方法2 2 用通解公式用通解公式 三、小结三、小结 ( )( ) ( ) P x dxP x dx yeQ x edxC ( ) ( ); P x dx yu x e 令 ( ) ( ); P y dy xu y e (或 ( )( ) ( ) P y dyP y dy xeQ y edyC （或） d ( )( ) d x P y xQ y y 或 化为线
40、性方程求解化为线性方程求解. . 2. 2. 伯努利方程伯努利方程 n yxQyxP x y )()( d d )1,0(n ; 1 zy n 令令 d ( )( )(0,1) d n x P y xQ y xn y (或 1 ); n xz (或 思考题思考题 求微分方程求微分方程 的通解的通解. yxyy y y sin2sincos cos 思考题解答思考题解答 y yxyy dy dx cos sin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxy dy dx Cdyeyex yycoslncosln 2sin Cdy y yy y cos cossin2 cos .co
41、s2cosyCy 1.判别下列方程类型判别下列方程类型: x y yxy x y x d d d d ) 1( )ln(ln d d )2(xyy x y x 0d2d)()3( 3 yxxxy 0d)(d2)4( 3 yxyxy yxxyxydd)2ln()5( 提示提示: x x y y yd d 1 可分离变可分离变 量方程量方程 x y x y x y ln d d 齐次方程齐次方程 22 1 d d 2 x y xx y 线性方程线性方程 22 1 d d 2 y x yy x 线性方程线性方程 2 ln2 d d y x x y xx y 伯努利方伯努利方 程程 2. 求一连续可导
42、函数求一连续可导函数)(xf使其满足下列方程使其满足下列方程: ttxfxxf x d)(sin)( 0 令令 txu 提示提示:uufxxf x d)(sin)( 0 则有则有 xxfxfcos)()( 0)0(f 线性方程线性方程 )esin(cos 2 1 )( x xxxf 利用公式可求出利用公式可求出 3. 设有微分方程设有微分方程, )(xfyy 其中其中 )(xf 10,2 x 1,0 x 试求此方程满足初始条件试求此方程满足初始条件0 0 x y的连续解的连续解. 解解: 1) 先解初值问题先解初值问题 10, 2xyy 0 0 x y 利用通解公式利用通解公式, 得得 x y
43、 d e 1 d de2Cx x )e2(e 1 C xx x C e2 1 利用利用0 0 x y得得2 1 C 故有故有) 10(e22 xy x 2) 再解初值问题再解初值问题 1,0 xyy 1 1 e22) 1 ( yy x 此齐次线性方程的通解为此齐次线性方程的通解为 ) 1(e 2 xCy x 利用衔接条件得利用衔接条件得) 1(e2 2 C 因此有因此有 ) 1(e) 1(e2 xy x 3) 原问题的解为原问题的解为 y 10),e1 (2 x x 1,e) 1(e2 x x ) 10(e22 xy x 一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、 x e
44、xyy sin cos ； 2 2、0)ln(ln dyyxydxy； 3 3、02)6( 2 y dx dy xy. . 二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、4,5cot 2 cos x x yexy dx dy ； 2 2、. 0,1 32 1 3 2 x yy x x dx dy 练练 习习 题题 三、设有一质三、设有一质的的量为量为m质点作直线运动从速度等于零质点作直线运动从速度等于零 的时刻起的时刻起,有一个与运动方向一致有一个与运动方向一致,大小与时间成正大小与时间成正 比比(比例比例 1 k系数为系数为)的力作用于它的
45、力作用于它,此外还受此外还受 一与速度成正比一与速度成正比(比例比例 2 k系数为系数为)的阻力作用的阻力作用,求质求质 点运动的速度与时间的函数关系点运动的速度与时间的函数关系 . 四、四、 求下列伯努利方程的通解求下列伯努利方程的通解: 1、 2 1 2 1 2 1 yxy x y ； 2、0)ln1( 3 dxxxyyxdy. 五、五、 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的 方程方程, ,然后求出通解然后求出通解: : 1 1、1 1 yxdx dy ； 2 2、1cossin2sin)1(sin2 22 xxxyxyy； 3 3、 x y
46、 xyxdx dy )(sin 1 2 . . 六、六、 已知微分方程已知微分方程)(xgyy , ,其中其中 0,0 10,2 )( x x xg, ,试求一连续函数试求一连续函数)(xyy , ,满满 足条件足条件0)0( y, ,且在区间且在区间),0 满足上述方程满足上述方程 . . 练习题答案练习题答案 一、一、1 1、 x eCxy sin )( ； 2 2、Cyyx 2 lnln2； 3 3、 23 2 1 yCyx . . 二、二、1 1、15sin cos x exy； 2 2、 1 1 33 2 2 x exxy. . 三、三、)1( 0 2 2 1 2 1 t m k e
47、 k mk t k k v . . 四、四、1 1、Cxxy ； 2 2、) 3 2 (ln 3 2 3 2 2 xxC y x . . 五、五、1 1、Cxyx 2)( 2 ； 2 2、 Cx xy 1 sin1； 3 3、Cxxyxy 4)2sin(2. . 六、六、 1,)1(2 10, )1(2 )( xee xe xyy x x . . 一、全微分方程及其求法一、全微分方程及其求法 ;),(Cyxu 1.定义: 0),(),( dyyxQdxyxP 则 dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 若有全微分形式 例如, 0 ydyxdx 22 1 ( , )(), 2 u x y
48、xy 称为全微分方程 或恰当方程 是全微分方程. . x Q y P 全微分方程全微分方程 全微分方程的通解即为 22 1 () 2 xyC其通解为 2.解法: 0),(),( dyyxQdxyxP 应用曲线积分与路径无关. x Q y P y y x x dyyxQxdyxPyxu 00 ),(),(),( 0 ,),(),( 00 0 xdyxPdyyxQ x x y y 用直接凑全微分的方法. 是全微分方程 ( , ) u P x y x ( , )( , )( )u x yP x y dxC y 再由 ( , ) u Q x y y ( )C y （不定积分法) （曲线积分法) （凑微
49、分法) . 0)3()3( 2323 的通解的通解 求方程求方程 dyyxydxxyx 解 ,6 x Q xy y P 是全微分方程, yx dyyxdxyxyxu 0 3 0 23 )3(),( . 42 3 4 4 22 4 C y yx x 原方程的通解为 , 42 3 4 4 22 4 y yx x 例1 .0 32 4 22 3 的通解的通解求方程求方程 dy y xy dx y x 解 , 6 4 x Q y x y P 是全微分方程, 将左端重新组合 ) 32 ( 1 4 2 32 dy y x dx y x dy y )() 1 ( 3 2 y x d y d . 1 3 2
50、C y x y 原方程的通解为 ), 1 ( 3 2 y x y d 例2 二、积分因子法二、积分因子法 定义: 0),( yx 连续可微函数，使方程连续可微函数，使方程 0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx成为全成为全 微分方程微分方程. .则称则称),(yx 为方程的为方程的积分因子积分因子. . 问题: 如何求方程的积分因子? 1.公式法: , )()( x Q y P x Q x Q y P y P ，两边同除两边同除 x Q y P y P x Q lnln 求解不容易 特殊地: ;.有关时有关时只与只与当当xa , 0 y , dx d x ;.有关时有关时只与
