1、重积分全册配套精品完整课件重积分全册配套精品完整课件 柱体体积柱体体积=底面积底面积高高 特点特点：平顶：平顶. 柱体体积柱体体积=？ 特点特点：曲顶：曲顶. 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 一、问题的提出一、问题的提出 解法解法: : 类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想: : 给定曲顶柱体给定曲顶柱体: : 0),(yxfz 底底: :xOyxOy 面上的闭区域面上的闭区域D D 顶顶: :连续曲面连续曲面 侧面侧面: :以以D D 的边界为准线的边界为准线, ,母线平行于母线平行于z z轴的柱面轴的柱面 求其体积求其体积. . “大化小大化小, ,常代变常代变, ,近似和近似和
2、, ,求极限求极限” ” D ),(yxfz D ),(yxfz 1)“1)“大化小大化小” 用用任意任意曲线网分曲线网分D D为为n n个区域个区域 n , 21 以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为n n个个 2)“2)“常代变常代变” 在每个在每个 k , ),( kk 3)“3)“近似和近似和” n k k VV 1 n k kkk f 1 ),( ),( kk f ),2, 1(),(nkfV kkkk 则则中中任取任取一点一点 小曲顶柱体小曲顶柱体 k ),( kk 4)“4)“取极限取极限” 的直径为定义 k kk ,PPPP 2121 max)( 令令 )(max
3、1 k nk n k kkk fV 1 0 ),(lim ),(yxfz ),( kk f k ),( kk 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域 D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定 ),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？ 求平面薄片的质量求平面薄片的质量 i ),( ii 将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和 近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量.),(lim 1 0 ii n
4、i i M x y o 二、二重积分的概念二、二重积分的概念 如如果果当当各各小小闭闭区区域域的的直直径径中中的的最最大大值值 趋趋近近于于零零 时时 ， 这这 和和 式式 的的 极极 限限 存存 在在 ， 则则 称称 此此 极极 限限 为为 函函 数数 ),(yxf在在闭闭区区域域 D D 上上的的二二重重积积分分， 记记为为 D dyxf ),(， 即即 D dyxf ),( ii n i i f ),(lim 1 0 . . (1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是在二重积分的定义中，对闭区域的划分是 任意的任意的. (2)当当),(yxf在闭区域上连续时，定义中和式在闭区域上连续时
5、，定义中和式 的极限必存在，即二重积分必存在的极限必存在，即二重积分必存在. 对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明： 二重积分的几何意义二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值负值 在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平 行于坐标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划 分区域分区域D， DD dxdyyxfdyxf),(),( dxdyd 故二重积分可写为故二重积分可写为 x y o 则面积元素为则面积元素为 ( , )d D Vf x y
6、曲顶柱体体积曲顶柱体体积: : ( , )d D Mx y 平面薄板的质量平面薄板的质量: : ( , )d d D f x yxy ( , )d d D x yxy 性质性质当当 为常数时为常数时， k .),(),( DD dyxfkdyxkf 性质性质 D dyxgyxf ),(),( .),(),( DD dyxgdyxf （二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质） 三、二重积分的性质三、二重积分的性质 性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性 .),(),(),( 21 DDD dyxfdyxfdyxf 性质性质 若若 为为D的面积，的面积，.1 DD dd 性
7、质性质 若在若在D上上),(),(yxgyxf .),(),( DD dyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DD dyxfdyxf )( 21 DDD 则有则有 设设M、m分分别别是是),(yxf在在闭闭区区域域 D 上上的的 最最大大值值和和最最小小值值， 为为 D 的的面面积积，则则 性质性质 性质性质 （二重积分中值定理）（二重积分中值定理） D Mdyxfm),( ),(),(fdyxf D （二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式） 区域面积区域面积2 , , 16)( 1 ),( 2 yx yxf 在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0( 4 1 yxM ),(yxf
8、的的最最小小值值 5 1 43 1 22 m)2, 1( yx 故故 4 2 5 2 I. 5 . 04 . 0 I 解解 当当1 yxr时时, 1)(0 222 yxyx 故故 0)ln( 22 yx; 又又当当 1 yx时时, 0)ln( 22 yx 于是于是0)ln( 1 22 yxr dxdyyx. 解解 解解 三三角角形形斜斜边边方方程程2 yx 在在 D 内内有有 eyx 21, 故故 1)ln( yx, 于于是是 2 )ln()ln(yxyx , 因因此此 D dyx )ln( D dyx 2 )ln(. o x y 1 21 D 例例4.4.设设D D 是第二象限的一个有界闭域
9、是第二象限的一个有界闭域, ,且且00y y 1,1,则则 ,d 3 1 D xyI,d 32 2 D xyI D xyId 3 2 1 3 的大小顺序为的大小顺序为 ( )( ) .)(;)( ;)(;)( 213123 312321 IIIDIIIC IIIBIIIA 提示提示: :因因00y y 1,； 4 4、 . . 三、三、1 1、 DD dyxdyx 32 )()(； 2 2、 dyxdyx D 2 )ln()ln(. . 四、四、 100)94(36 22 dyx. . 练习题答案练习题答案 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和 、取极限、取极限”的
10、方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和 、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和 、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和 、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和 、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分
11、割、求和 、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 如果积分区域为：如果积分区域为：, bxa ).()( 21 xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)( 1 x )( 2 x ,ba 一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分 X型型 )( 2 xy a b D )( 1 xy D b a )( 2 xy )( 1 xy ( , ) ( , )( , )0 D f x y dDz f x yf x y 的值等于以为底，以曲面 为曲顶的曲顶柱体的体积（） 应用计算应用计算“平行截平行截 面面积为已知的立面面积为已知的立 体求体积体求体积
12、”的方法的方法, z y x )( 0 xA ),( yxfz )( 1 xy )( 2 xy .),(),( )( )( 2 1 D b a x x dyyxfdxdyxf 得得 abx .),(),( )( )( 2 1 D d c y y dxyxfdydyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()( 21 yxy Y型型 )( 2 yx )( 1 yx D c d c d )( 2 yx )( 1 yx D X型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点型区域的特
13、点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图，若区域如图， 3 D 2 D 1 D 在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别 使用积分公式使用积分公式 . 321 DDDD 则必须分割则必须分割. 解解 两两曲曲线线的的交交点点 ),1 , 1( ,)0 , 0( 2 2 yx xy D dxdyyx)( 2 1 0 2 2 )( x x dyyxdx dxxxxxx)( 2 1 )( 42 1 0 2 . 140 33 2 xy 2 yx 2 xy 2 yx 注：注：积分区域既是积分区域既是X-型也是型
14、也是Y-型，也可表示成先对型，也可表示成先对x后对后对y 次序的二次积分。次序的二次积分。 dye y2 无法用初等函数表示无法用初等函数表示解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 D y dxdyex 2 2 y y dxexdy 0 2 1 0 2 dy y e y 1 0 3 3 2 2 1 0 2 6 2 dy y e y ). 2 1( 6 1 e 解解 dxe x y 不不能能用用初初等等函函数数表表示示 先先改改变变积积分分次次序序. 原原式式 x x x y dyedxI 2 2 1 1 1 2 1 )(dxeex x . 2 1 8 3 ee 2 xy xy xy 2 2
15、 2xxy 原原式式 1 0 2 11 2 ),( y y dxyxfdy. 解解积分区域如图积分区域如图 axy2 解解 = ayaa a y dxyxfdy 0 2 22 2 ),( 原式原式 aa yaa dxyxfdy 0 2 22 ),( .),( 22 2 2 a a a a y dxyxfdy 2 2xaxy 22 yaax a2a a2 a 例例6. 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积的直交圆柱面所围的体积. 解解: 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为 , 222 Ryx 利用对称性利用对称性, 考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为其曲
16、顶柱体的顶为 则所求体积为则所求体积为 22 8 D VRx dxdy 22 0 d xR y xxR R d)(8 0 22 3 3 16 R 222 Rzx 22 xRz 0 0 :),( 22 Rx xRy Dyx xxR R d8 0 22 222 Ryx 222 Rzx D x y z R RO x y o 1 1 提示：虽然积分区域为全平面，但只有当 01,01xyx 时，被积函数才不为零，因此只需要在满足 此不等式的区域内积分即可 二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式 （在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序） 二、小结二、小结 .),()
17、,( )( )( 2 1 D b a x x dyyxfdxdyxf .),(),( )( )( 2 1 D d c y y dxyxfdydyxf Y型型 X型型 思考题思考题 思考题解答思考题解答 1 D 2 D x y o 11 2 00 11 ( )( ). 22 f x dxf y dyA 1 11 0 ( ) ( )( ) ( ) x D Idxf x f y dyf x f y dxdy 又 1 ( ) ( ) 2 D f x f y dxdy 1 D 2 D x y o 12 1 ( ) ( )( ) ( ) 2 DD If x f y dxdyf x f y dxdy 故 练
18、练 习习 题题 4 4、将二重积分、将二重积分 D dyxf ),(, ,其中其中D是由直线是由直线 2, xxy及双曲线及双曲线)0( 1 x x y所围成的闭区所围成的闭区 域域, ,化为先对化为先对x后对后对y的二次积分的二次积分, ,应为应为 _. _. 5 5、将将二二次次积积分分 2 2 2 2 1 ),( xx x dyyxfdx改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、将将二二次次积积分分 x x dyyxfdx sin 2 sin0 ),( 改改换换积积分分次次
19、序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 7 7、将将二二次次积积分分 2 ln 1 ),( 2 ye dxyxfdy 2 )1( 21 1 2 ),( y dxyxfdy改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 二、画出积分区域二、画出积分区域, ,并计算下列二重积分并计算下列二重积分: : 1 1、 D yx de , ,其中其中D是由是由1 yx所确定的闭区域所确定的闭区域. . 2 2、
20、D dxyx )( 22 其中其中D是由直线是由直线 xyxyy2, 2 及及所围成的闭区域所围成的闭区域. . 3 3、 x D dy yxx y dxdyxf 0 2 0 )( 2 ( cos ),( 。 4 4、, 2 D dxdyxy其中其中D: : 20 , 11 yx. . 三、设平面薄片所占的闭区域三、设平面薄片所占的闭区域D由直线由直线, 2 yxxy 和和x轴所围成轴所围成, ,它的面密度它的面密度 22 ),(yxyx , ,求该求该 薄片的质量薄片的质量 . . 四、四、 求由曲面求由曲面 22 2yxz 及及 22 26yxz , ,所围成的所围成的 立体的体积立体的体
21、积 . . 一、一、1 1、1 1； 2 2、 2 3 ； 3 3、 22 0 ),( xrr r dyyxfdx； 4 4、 22 1 2 1 1 2 1 ),(),( y y dxyxfdydxyxfdy； 5 5、 2 11 2 1 0 ),( y y dxyxfdy； 6 6、 y yy dxyxfdydxyxfdy arcsin arcsin 1 0arcsin2 0 1 ),(),( ； 7 7、 2 1 12 0 ),( x e x dyyxfdx. . 练习题答案练习题答案 二、二、1 1、 1 ee； 2 2、 6 13 ； 3 3、 ； 4 4、 23 5 . . 三、三、
22、 3 4 . . 四、四、 6. . o D rrr 22 11 () 22 rdrdrd 2 1 () 2 rdrddrd 2 1 2 drd dr d 当与均充分小时， 略去高阶项 （ ） ,drdrd .)sin,cos(),( DD rdrdrrfdxdyyxf 一、利用极坐标系计算二重积分一、利用极坐标系计算二重积分 .)sin,cos( )( )( 2 1 rdrrrfd A D o )( 1 r)( 2 r D rdrdrrf )sin,cos( 二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（） 1)极点极点O在积分区域在积分区域D的外部的外部 区域特征如图区域特征如
23、图 , ).()( 21 r 区域特征如图区域特征如图 , ).()( 21 r .)sin,cos( )( )( 2 1 rdrrrfd D rdrdrrf )sin,cos( A o D )( 2 r )( 1 r A o D )(r .)sin,cos( )( 0 rdrrrfd 二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（） , ).(0 r D rdrdrrf )sin,cos( 2)极点极点O在积分区域在积分区域D的边界上的边界上 区域特征如图区域特征如图 D rdrdrrf )sin,cos( .)sin,cos( )( 0 2 0 rdrrrfd 极坐标系下区域的
24、面积极坐标系下区域的面积. D rdrd 二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（） ).(0 r D o A )(r ,2 0 3)极点极点O在积分区域在积分区域D的内部的内部 区域特征如图区域特征如图 例例1 1 写写出出积积分分 D dxdyyxf),(的的极极坐坐标标二二次次积积分分形形 式式，其其中中积积分分区区域域 ,11| ),( 2 xyxyxD 10 x. 1 yx 1 22 yx 解解 在极坐标系下在极坐标系下 sin cos ry rx 所所以以圆圆方方程程为为 1 r, 直直线线方方程程为为 cossin 1 r, D dxdyyxf),(.)sin,
25、cos( 2 0 1 cossin 1 rdrrrfd 解解在极坐标系下在极坐标系下 D：ar 0， 20. dxdye D yx 22 a r rdred 0 2 0 2 ).1( 2 a e 2 e x 的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角故本题无法用直角由于由于 坐标计算坐标计算. 例例3 3 求求广广义义积积分分 0 2 dxe x . 解解| ),( 222 1 RyxyxD 2| ),( 222 2 RyxyxD 0, 0 yx 0 ,0| ),(RyRxyxS 显显然然有有 21 DSD , 0 22 yx e 1 22 D yx dxdye S yx
26、dxdye 22 . 2 22 D yx dxdye 1 D 2 D S S 1 D 2 D RR2 又又 S yx dxdyeI 22 R y R x dyedxe 00 22 ;)( 2 0 2 R x dxe 1 I 1 22 D yx dxdye R r rdred 00 2 2 );1( 4 2 R e 同理同理 2 I 2 22 D yx dxdye);1( 4 2 2R e 当当 R时时, 4 1 I, 4 2 I 故故当当 R时时, 4 I 即即 2 0 )( 2 dxe x 4 , 所求广义积分所求广义积分 0 2 dxe x 2 . , 21 III );1( 4 )()1
27、( 4 222 22 0 R R xR edxee 例例 4 4 计算计算dxdyyx D )( 22 ，其，其 D为由圆为由圆 yyx2 22 ，yyx4 22 及直线及直线yx3 0 ， 03 xy 所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域. 解解 3 2 6 1 sin4 r sin2 r dxdyyx D )( 22 3 6 sin4 sin2 2 rdrrd).3 2 (15 yyx4 22 yyx2 22 03 yx 03 xy 例例 5 5 计算二重积分计算二重积分 D dxdy yx yx 22 22 )sin( , 其中积分区域为其中积分区域为41| ),( 22 yxyxD.
28、解解 由对称性，可只考虑第一象限部分由对称性，可只考虑第一象限部分， 注意：注意：被积函数也要有对称性被积函数也要有对称性. D dxdy yx yx 22 22 )sin( 4 1 22 22 )sin( D dxdy yx yx 2 10 sin 4 2 rdr r r d. 4 1 4DD 1 D 例例 6 6 求曲线求曲线 )(2)( 222222 yxayx 和和 222 ayx 所围成的图形的面积所围成的图形的面积. 解解根根据据对对称称性性有有 1 4DD 在在极极坐坐标标系系下下 )(2)( 222222 yxayx ,2cos2 ar , 222 arayx 1 D 由由 a
29、r ar 2cos2 , 得得交交点点) 6 ,( aA, 所求面积所求面积 D dxdy 1 4 D dxdy 2cos2 0 6 4 a a rdrd ). 3 3( 2 a 例例7.7.求球体求球体 2222 4azyx被圆柱面被圆柱面 xayx2 22 )0( a所截得的所截得的( (含在柱面内的含在柱面内的) )立体的体积立体的体积. . 解解: : 设设 由对称性可知由对称性可知 2 0,cos20:arD dd44 22 rrraV D 2 0 d4 cos2 0 22 d4 a rrra d)sin1 ( 3 32 2 0 33 a ) 3 2 2 ( 3 32 3 a x y
30、 a2 D O cos2r x y z a2 O ( , ), ( , ),max ( , ), ( , ), min ( , ), ( , ),sgn ( , )( , ) DDD DD f x y df x y df x y g x yd f x y g x ydf x yg x yd 等 的被积函数均应当做分段（分区域）函数看待，利用 积分的可加性分区域进行。 注：形如积分注：形如积分 二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式 （在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性） 二、小结二、小结 D rdrdrrf )sin,cos( .)sin,cos( )( )( 2
31、 1 rdrrrfd .)sin,cos( )( 0 rdrrrfd .)sin,cos( )( 0 2 0 rdrrrfd 交交换换积积分分次次序序: ).0(),( cos 0 2 2 adrrfdI a 思考题思考题 , cos0 22 : ar D ox y 思考题解答思考题解答 cosar D a a r arccos a r arccos .),( arccos arccos0 a r a r a drfdrI 一、一、 填空题填空题: : 1 1、 将将 D dxdyyxf),(, ,D为为xyx2 22 , ,表示为极坐表示为极坐 标形式的二次积分标形式的二次积分, ,为为_.
32、_. 2 2、 将将 D dxdyyxf),(, ,D为为xy 10, ,10 x, ,表表 示为极坐标形式的二次积分为示为极坐标形式的二次积分为_._. 3 3、 将将 x x dyyxfdx 3 22 2 0 )(化为极坐标形式的二化为极坐标形式的二 次积分为次积分为_._. 4 4、 将将 2 0 1 0 ),( x dyyxfdx化为极坐标形式的二次积分化为极坐标形式的二次积分 为为_._. 练练 习习 题题 5 5、 将将 x x dyyxdx 2 2 1 )( 22 1 0 化为极坐标形式的二次积化为极坐标形式的二次积 分为分为_,_,其值为其值为_._. 二、二、 计算下列二重积
33、分计算下列二重积分: : 1 1、 D dyx )1ln( 22 , ,其中其中D是由圆周是由圆周1 22 yx 及坐标轴所围成的在第一象限内的区域及坐标轴所围成的在第一象限内的区域. . 2 2、 D dyx )( 22 其中其中D是由直线是由直线xy , , )0(3, aayayaxy所围成的区域所围成的区域. . 3 3、 D dyxR 222 , ,其中其中 D 是由圆周是由圆周 Rxyx 22 所围成的区域所围成的区域. . 4 4、 D dyx 2 22 , ,其中其中 D : :3 22 yx. . 三、试将对极坐标的二次积分三、试将对极坐标的二次积分 cos2 0 4 4 )
34、sin,cos( a rdrrrfdI交换积分次序交换积分次序. . 四、设平面薄片所占的闭区域四、设平面薄片所占的闭区域D是由螺线是由螺线 2 r上一段上一段 弧弧( ( 2 0 ) )与直线与直线 2 所围成所围成, ,它的面密度为它的面密度为 22 ),(yxyx , ,求这薄片的质量求这薄片的质量. . 五、五、 计算以计算以xoy面上的圆周面上的圆周axyx 22 围成的闭区域为围成的闭区域为 底，而以曲面底，而以曲面 22 yxz 为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积. . 一、一、1 1、rdrrrfd cos2 0 2 2 )sin,cos(； 2 2、 1 )sin(co
35、s 0 2 0 )sin,cos(rdrrrfd； 3 3、 sec2 0 3 4 )(rdrrfd； 4 4、 sec tansec 4 0 )sin,cos(rdrrrfd ； 5 5、 2 cos sin 0 4 0 1 rdr r d, ,12 . . 二、二、1 1、 )12ln2( 4 ； 2 2、 4 14a ； 练习题答案练习题答案 3 3、) 3 4 ( 3 3 R ； 4 4、 2 5 . . 三、三、 4 4 2 0 )sin,cos(drrfrdrI a a r a r a a drrfrdr 2 arccos 2 arccos 2 2 )sin,cos(. . 四、四
36、、 40 5 . . 五、五、 4 32 3 a . . 一、问题的提出一、问题的提出 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. . d d dyxf),( dyxf),(),(yx 若要计算的某个量若要计算的某个量U对于闭区域对于闭区域D具有可加性具有可加性 (即当闭区域即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量分成许多小闭区域时，所求量U相应相应 地分成许多部分量，且地分成许多部分量，且U等于部分量之和等于部分量之和)，并且，并且 在闭区域在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域内任取一个直径很小的闭区域 时，时， 相应地部分量可近似地表示为相应地部分量可近似
37、地表示为 的形式的形式, 其中其中 在在 内这个内这个 称为所求量称为所求量U 的的元素元素，记为，记为 ，所求量的积分表达式为所求量的积分表达式为 D dyxfU ),( dU 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz ,Dxoy 面上的投影区域为面上的投影区域为在在 ,Dd 设小区域设小区域 ,),( dyx 点点 . ),(,( 的切平面的切平面 上过上过为为yxfyxMS .dsdA dAdss zd 则有则有 ，为为；截切平面；截切平面为为柱面，截曲面柱面，截曲面 轴的小轴的小于于边界为准线，母线平行边界为准线，母线平行以以 如图，如图， d ),(yx M dA x y z
38、s o 二、曲面的面积二、曲面的面积 ,面上的投影面上的投影在在为为xoydAd ,cos dAd , 1 1 cos 22 yx ff dffdA yx 22 1 ,1 22 D yx dffA 曲面曲面S的面积元素的面积元素 曲面面积公式为：曲面面积公式为：dxdyA xy D y z x z 22 )()(1 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式为：曲面面积公式为： .1 22 dzdxA zx D x y z y 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为： ;1 22 dydzA yz D z x y x 同理可得同理可得
39、例例 1 1 求球面求球面 2222 azyx ，含在圆柱体，含在圆柱体 axyx 22 内部的那部分面积内部的那部分面积. 由由对对称称性性知知 1 4AA , 1 D：axyx 22 曲面方程曲面方程 222 yxaz , 于于是是 22 1 y z x z , 222 yxa a 解解 )0,( yx 面面积积dxdyzzA D yx 1 22 14 1 222 4 D dxdy yxa a cos 0 22 0 1 4 2 a rdr ra da .42 22 aa 例例 2 2 求由曲面求由曲面azyx 22 和和 22 2yxaz )0( a所围立体的表面积所围立体的表面积. 解解
40、解方程组解方程组, 2 22 22 yxaz azyx 得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周, 222 az ayx 在在 平面上的投影域为平面上的投影域为xy,: 222 ayxDxy 得得由由)( 1 22 yx a z , 2 a x zx , 2 a y z y 22 1 yx zz 22 22 1 a y a x ,44 1 222 yxa a 知知由由 22 2yxaz 22 1 yx zz, 2 dxdyyxa a S xy D 222 44 1 故故dxdy xy D 2 rdrra a d a 0 22 2 0 4 1 2 2 a ).15526( 6 2 a ),(yx
41、三、平面薄片的重心三、平面薄片的重心 当薄片是均匀的，重心称为当薄片是均匀的，重心称为形心形心. , 1 D xd A x . 1 D yd A y D dA 其中其中 , ),( ),( D D dyx dyxx x . ),( ),( D D dyx dyxy y 由元素法由元素法 例例 3 3 设平面薄板由设平面薄板由 )cos1( )sin( tay ttax ，)20( t 与与x轴围成，它的面密度轴围成，它的面密度1 ，求形心坐标，求形心坐标 解解 先求区域先求区域 D的面积的面积 A， 20t， ax 20 a dxxyA 2 0 )( 2 0 )sin()cos1(ttadta
42、 2 0 22 )cos1(dtta.3 2 a D a 2a )(xy , 1 D xd A x . 1 D yd A y 所所以以形形心心在在ax 上上，即即 ax , D ydxdy A y 1 )( 0 2 0 1 xya ydydx A a dxxy a 2 0 2 2 )( 6 1 2 0 3 cos1 6 dtt a . 6 5 所求形心坐标为所求形心坐标为 ),( 6 5 a. 由于区域关于直线由于区域关于直线ax 对称对称 ， , 1 D xd A x . 1 D yd A y 四、平面薄片的转动惯量四、平面薄片的转动惯量 ,),( 2 D x dyxyI .),( 2 D
43、y dyxxI 22 () ( , ). o D Ixyx y d 例例 4 4 设设一一均均匀匀的的直直角角三三角角形形薄薄板板，两两直直角角边边长长 分分别别 为为a、b，求求这这三三角角形形对对其其中中任任一一直直角角边边的的 转转动动惯惯量量. 解解 a b o y x , 2dxdy xI D y ba b y dxxdy 0 )1( 0 2 . 12 1 3 ba 同理：对同理：对x轴的转动惯量为轴的转动惯量为 dxdyyI D x 2 . 12 1 3 ab o y x , 2dxdy xI D y bxayab a b 解解 先求形心先求形心, 1 D xdxdy A x. 1
44、 D ydxdy A y 建建立立坐坐标标系系如如图图 o y x , hbA 区域面积区域面积 因因为为矩矩形形板板均均匀匀, 由由对对称称性性知知形形心心坐坐标标 2 b x ， 2 h y . h b 将将坐坐标标系系平平移移如如图图 o y x h b u v o 对对u轴轴的的转转动动惯惯量量 D u dudvvI 2 2 2 2 2 2 h h b b dudvv . 12 3 bh 对对v轴的转动惯量轴的转动惯量 D v dudvuI 2 . 12 3 hb 薄片对薄片对轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z, zyx FFFF , )( ),( 2 3 222 d ayx xy
45、x fF D x , )( ),( 2 3 222 d ayx yyx fF D y . )( ),( 2 3 222 d ayx yx afF D z 为引力常数为引力常数f 五、平面薄片对质点的引力五、平面薄片对质点的引力 解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知, 0 yx FF d ayx yx afF D z 2 3 )( ),( 222 d ayx af D 2 3 )( 1 222 o y z x F drr ar daf R 022 2 0 2 3 )( 1 . 11 2 22 a aR fa 所求引力为所求引力为 . 11 2, 0, 0 22 a aR fa 几何应用：
46、曲面的面积几何应用：曲面的面积 物理应用：重心、转动惯量、物理应用：重心、转动惯量、 对质点的引力对质点的引力 （注意审题，熟悉相关物理知识）（注意审题，熟悉相关物理知识） 六、小结六、小结 思考题思考题 . )0(cos,cos 之间的均匀薄片的重心之间的均匀薄片的重心 求位于两圆求位于两圆babrar a b x y o 薄片关于薄片关于 轴对称轴对称 x , 0 y则则 cos 2 0cos 2cos b a drrdr A 33 8 22 4 () () ba ba . )(2 22 ab abab 思考题解答思考题解答 , 1 D xd A x . 1 D yd A y 1 D xx
47、d A 练练 习习 题题 五、求面密度为常量五、求面密度为常量 的匀质半圆环形薄片的匀质半圆环形薄片: : 0, 22 2 22 1 zyRxyR对位于对位于z轴上点轴上点 )0)(, 0 , 0( 0 aaM处单位质量的质点的引力处单位质量的质点的引力F. . 六、 设由六、 设由exoyxy 及及,ln所围的均匀薄板所围的均匀薄板( (密度密度1),1), 求此薄板绕哪一条垂直于求此薄板绕哪一条垂直于 x 轴的直线旋转时转动惯轴的直线旋转时转动惯 量最小量最小? ? 一、一、 2. . 二、二、)0 , )(2 ( 22 ba baba . . 三、三、). 5 2 , 5 2 (aa 四
48、、四、. 7 96 , 5 72 yx II 五、五、 ),(ln2 22 1 1 22 2 2 22 11 22 22 aR R aR R aRR aRR fF ) 11 (, 0 22 1 22 2 aRaR fa 练习题答案练习题答案 一、三重积分的定义一、三重积分的定义 即即 dvzyxf),( iii n i i vf ),(lim 1 0 . .叫做体积元素叫做体积元素其中其中dv , 的平面来划分的平面来划分 用平行于坐标面用平行于坐标面在直角坐标系中，如果在直角坐标系中，如果 . lkji zyxv 则则 三三重重积积记记为为 dxdydzzyxf),( iii n i i v
49、f ),(lim 1 0 . .积元素积元素叫做直角坐标系中的体叫做直角坐标系中的体其中其中dxdydz 直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分 1.先单后重（先一后二）先单后重（先一后二） 二、三重积分的计算二、三重积分的计算 x y z o D 1 z 2 z 2 S 1 S ),( 1 yxzz ),( 2 yxzz a b )( 1 xyy )( 2 xyy ),(yx 如图，如图， ,D xoy 面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域 在在闭区域闭区域 ),(: ),(: 22 11 yxzzS yxzzS ,),(作直线作直线过点过点Dyx 穿出穿出穿入
50、，从穿入，从从从 21 zz 函数，则函数，则 的的只看作只看作看作定值，将看作定值，将先将先将zzyxfyx),(, ),( ),( 2 1 ),(),( yxz yxz dzzyxfyxF 上上的的二二重重积积分分在在闭闭区区间间计计算算DyxF),( .),(),( ),( ),( 2 1 D yxz yxz D ddzzyxfdyxF ,),()(: 21 bxaxyyxyD 得得 dvzyxf),( .),( )( )( ),( ),( 2 1 2 1 b a xy xy yxz yxz dzzyxfdydx 注意注意 于两点情形于两点情形 相交不多相交不多的边界曲面的边界曲面直线与
