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1、线性代数复习课件全册配套线性代数复习课件全册配套 完整精品课件完整精品课件 线性代数 复习辅导 行列式行列式 1. 二、三阶行列式的计算二、三阶行列式的计算 对二、三阶行列式，可使用行列式的展开式（即对角 线法则）直接计算： , 21122211 2221 1211 aaaa aa aa . 332112322311312213 322113312312332211 333231 232221 131211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaa aaa aaa 也可以利用行列式的性质进行计算. .A ,) 1 0 1 ( . 1 TTn AkEn为正整数，求，矩阵，设例 ，由于解2

2、1 0 1 1 0 1 T 利用矩阵乘法的结合律有： ,22)()( TTTTT2 AA .2 1 AA nn 依次类推，有 ， 又 1 01 0 00 101 1 0 1 1 0 1 A ).2( 202 00 202 2 2 11 11 1n nn nn nn kk k k k AkEAkE 故有 2. n n阶行列式的典型计算方法（阶行列式的典型计算方法（n n 4 4） (1) 利用性质将行列式化为三角形行列式或降阶后计算 . 011 101 110 . 2 4 dcba c b a D 求例 abdacb bc a abdacb bc b a Dc arr rr 11 11 0 11

3、0 101 110 1 24 23 4 展开按解 .2222)()2(2 2 2 20 20 11 2222 , 1 1312 dbcacabcbabacabd abdbac bac abdbac bac a cbrrrr 展开按 注：一边化简行列式，一边将行列式按行或列展开将行列式降 阶，这种方法有助于计算行列式. . . 3 abbb bbab bbba Dn 求例 abbb bbab )b(n-a)b(n-a)b(n-a)b(n-a D n rrr n 1111 21 解 abbb bbab bna 1111 ) 1( ba ba bnanibrri 000 000 1111 ) 1(

4、2, 1 .)() 1( 1 n babna )0( . 4未写出的为求例 xy yx yx yx Dn 列展开，则按第将解1 n D yx yx y y x yx yx yx xD n n 1 ) 1( nnnnn yxyx)() 1( 1 注：此题也可按第n行展开计算. 在行列式的计算中，这是一类比 较典型的题目. (3) 利用范德蒙行列式的结果计算 . 0 1 4441 3331 2221 )( 5 32 32 32 32 的根求例 xxx xp 3333 2222 32 32 32 32 432 432 432 1111 1 4441 3331 2221 )( x x x xxx xp

5、解 . 0)4)(3)(34)(2)(24)(23(xxx . 0)( 4 , 3 , 2 的根为故xpx (2) 利用递推关系计算(略) 注：范德蒙行列式是非常重要的，在实际计算行列式时，我们 经常遇到的是变形了的范德蒙行列式，因此要学会将这种行列 式还原成标准的范德蒙行列式. (4) 利用矩阵理论计算行列式 利用矩阵的一些性质，可简化方阵行列式的计算. . | 64,| , 5|)5,3,22( ) ,( )53,2,(3 6 144221 12324321 ACBC BA 求，若 ，阶方阵设例 |53,2,| 24321 解A |5 , ,|3 ,|,2,| 221421321 |,|3

6、|,|2 421321 . | , ,|3| ,|2 421123 )5,32 ,2( 144221 由于C ， 130 022 501 ), ,( 421 , 130 022 501 |, ,|64 421 C 两边取行列式，得： 2.|, ,|32 130 022 501 421 ，故由于 . *8) 3 1 ( 8 1 |3 7 1 AAAA ，求阶方阵且为设例 111 |83*8) 3 1 ( AAAAA解 1 |)|83( AA .64 | 1 222 3131 A AA 注：一般而言，|A+B|A|+|B|，故没有公式求|A+B|，通常是用 矩阵恒等变形的技巧，将其化为乘积的形式.

7、 42352 |, ,|3|, ,|2| 421123 ）（从而A (5) 直接利用行列式的定义或性质解与行列式有关的问题 . 111 123 111 212 )( 8 34 的系数与中 计算例 xx x x x xx xf x x x xx xfrr 111 123 30021 212 )( 12 ）（用行列式的性质求解解 , 111 23 12 3 11 12 21 ) 12( 2 x xx x x x xr展开按 2. 1- 1 3 43 43 的系数为，的系数为可以得到 个行列式的项，从第与阶行列式不含显然第二个 xx xx (6)利用矩阵的特征值理论求行列式的值. . |5| | 3

8、 2 1 9EAAA及求，的三个特征值为已知三阶方阵例 ; 6)3()2(1| A解 224)8()7()4(|5| 8 7 4 5 EA EA 所以 ，的特征值为 注：关于行列式的计算，一般而言有三大类方法：一是利用行列一是利用行列 式的理论（行列式的定义与性质等），二是利用矩阵理论，三是式的理论（行列式的定义与性质等），二是利用矩阵理论，三是 利用矩阵的特征值理论利用矩阵的特征值理论. 因此，要求同学做到：熟练掌握这些基 本知识，牢记公式，并通过多做练习提高计算行列式的能力. 矩阵矩阵 一一. 矩阵的秩及其求法矩阵的秩及其求法 1. 利用定义求矩阵的秩 利用定义求矩阵的秩就是利用矩阵的子式

9、或行列式是否为零 来确定矩阵的秩. ).( )( 1 ArAa aAaA ijij ijijnnij ，求若 的代数余子式，为为非零矩阵，设例 ；，所以至少有一个元素因为解00 ij aA 行展开，有按第将 |iA , 0| 1 2 1 n j ij n j ijij aAaA .)( nAr故 .* *求逆有关中用，这时题目常常与若在；另一个是 ）展开；一是行列式按行（列方用到注：我们一般在两个地 AA A ij . )( 2)( 2A*rnArnA，求阶方阵且为设例 阶子式全为零，的所有知：由解 1 2)( nAnAr . 0*)(0* ArA，从而故 .3)( 111 111 111 1

10、11 3aAr a a a a A，求，若设例 ，即，所以因为解0|3)( AAr . 0) 1)(3( 111 111 111 111 | 3 aa a a a a A ；，时，当1)( 1111 1111 1111 1111 1 ArA a ，时，当 3111 1311 1131 1113 3 A a ， 阶子式的由于016 311 131 113 3 A . 33)(aAr，故 有时我们也利用矩阵的秩来求矩阵的行列式，见例4. . 0| 4 AB nmmnBnmA 求证 ，矩阵，且为矩阵，为设例 . 0| ,min)()( ABABnm mABnnmArABr 为降秩方阵，从而，故且 阶

11、方阵，为，而因为证 2. 利用矩阵的初等变换求矩阵的秩 利用矩阵的初等变换求矩阵的秩，就是利用初等变换将 A 化 为阶梯阵，然后由阶梯阵的秩确定 A 的秩. 这是一类非常基 本的题目，必须做到会做且做对. . 3)( 9113 1234 3221 5 ArttA为何值时，问设例 A因为解 1312 3,4rrrr 0770 01180 3221 t 23 7rr 01180 0110 3221 t , 0030 0110 3221 t 23 11rr . 3 03 3 -tt r(A)，即，则欲使 二二. 逆阵及其求法逆阵及其求法 1. 利用伴随矩阵A*求逆阵 .0 6 1 Abcad dc

12、ba A，求，例 . 0 可逆，故因为解Aad-bc|A| ），从而有（读者可记住这一规律又 * ac bd A . 1 1 ac bd bcad A . 153 132 543 7 1 AA，求例 100 010 001 153 132 543 ）（解EA ， 初等行变换 131 7185 11298 100 010 001 . 131 7185 11298 1 故 A 2. 利用初等变换求逆阵 3. 利用定义求逆阵 利用定义求 n 阶方阵 A 的逆阵，即找或猜或凑一个 n 阶方阵 B， 使 AB=E 或 BA=E，从而 A1B. . 02 8 1 2 A AEAAAn 并求 可逆，求证满足

13、阶方阵设例 ,2)(02 2 EEAAEAA，得：由证 即 . 2 E EA A . 2 1 EA AA 可逆且从而 . 9 BAAB EAABBAA, B 可逆并进一步证明 ，求证满足且阶方阵为同设例 ，故因为证BEABABA)( ,)()(BEAEEA ,)( EEBEA从而有 故可逆且即 .)( 1 EBEAEA ),)()(EAEBEBEA , EBABAEBAAB即 . BAAB 从而 .)()(2 10 13 AEAEAAAn，求满足阶方阵已知例 ，得由解 3 )(2 AEAA , 022 23 AAA ,22 23 EEAAA所以 .)( 2 EEAAAE从而有 .)( 21 E

14、AAAE 即 关于分块矩阵的几个基本公式 则有阶方阵，为设 , , , 2 , 1 ) 1 (sinA ii |;| i)( 21 2 1 s s AAA A A A );()()( ii)( 21 2 1 s s ArArAr A A A r 4. 利用分块矩阵求逆阵 是可逆的，可逆的充要条件为矩阵 iii)( 2 1 i s A A A A . 1 1 2 1 1 1 2 1 s s A A A A A A 且有 ，则有，阶方阵，为设21 )2(inA iii |,| 0 ) i ( 2211 2221 11 AA AA A |;| 0 2211 22 1211 AA A AA 可逆且可逆

15、的充要条件为 )21( 0 )ii( 2221 11 ,iA AA A ii , 0 0 1 22 1 1121 1 22 1 11 1 2221 11 AAAA A AA A 可逆且可逆的充要条件为 )21( 0 22 1211 ,iA A AA ii . 0 0 1 22 1 2212 1 11 1 11 1 22 1211 A AAAA A AA 阶方阵，则为阶方阵，为设 ) 3(nBmA |;|) 1( ) i (BA CB AO mn 可逆且与可逆的充要条件为 )ii(BA OB AO . 1 1 1 OA BO OB AO . 1100 2100 0052 0021 11 1 AA

16、，求例 , 0 0 2 1 A A AA分块为将解 , 12 25 52 21 1 1 1 因为 A , 3 1 3 1 3 2 3 1 11 21 1 1 2 A . 3 1 3 1 00 3 2 3 1 00 0012 0025 0 0 1 2 1 1 1 故 A A A 注：因为使用了分块矩阵的求逆公式，由求4阶方阵的逆阵转化 为求两个2阶方阵的逆阵了，计算量大大减少. 5. 利用定义证明某一矩阵B为矩阵A的逆阵 .)( ) ( 0 12 121 k k AAAEAE kA ，证明为正整数设例 )( 12 k AAAEAE 因为证 kkk AAAAAAAE 1212 ,EAE k .)(

17、 121 k AAAEAE故 .)()( 13 11 AABEBEBAE BAEABEnBA 证明 均可逆，与阶方阵，且为，设例 因为证 AABEBEBAE 1 )()( AABEBBAEBAE 1 )()( AABEBABBBAE 1 )( AABEABEBBAE 1 )( EBABAE .)()( 11 AABEBEBAE 故 注：1. 矩阵的逆阵是线性代数中非常重要的一个内容，主要包括： 证明矩阵 A 可逆；求逆阵；证明矩阵 B 是矩阵A 的逆阵. 2. 证明矩阵 A 可逆，可利用 A 的行列式不为零或证明 A 满秩或 找一个矩阵 B，使 AB=E 或 BA=E 等方法；对数字矩阵，若求

18、其 逆阵，一般用 A*（如2阶矩阵）或初等变换（3阶及3阶以上的方 阵）的方法来做，有时也利用分块矩阵来做；对抽象的矩阵 A， 若求其逆，一般是用定义或 A*来做；证明矩阵 B 是矩阵 A 的逆 阵，只需验证 AB=E 或 BA=E 即可. 线性方程组线性方程组 一一. 基本概念题基本概念题 ). ( | ) 1( 1 的增广矩阵为矩阵，求 为有解，其中元非齐次线性方程组设例 AAAnn AbAxn . 0| 1)()( AnnArArbAx，从而有解，故因为解 . 02 , 0 , 0 2k zyx zkyx zykx 有非零解，求若例 . 4 1 0| 112 11 11 3)( 0 kk

19、Ak k A nArAx 或，解得，故有 ，又有非零解，所以因为解 . )4 , 3 , 2 , 1 ( )5 , 4 , 3 , 2( ,3 3 321321 的通解，求 ，是它的三个特解，且，为 的秩的系数矩阵组设四元非齐次线性方程例 Ax AAx T T . 0 3)(4 的基础解系含一个向量，故，因为解AxArn 0 0 )6 , 5 , 4 , 3()(2 )3 , 2 5 , 2 , 2 3 ( 2 321 32 1 的一个基础解系，的解，从而为为 或又 AxAx TT .,)6 , 5 , 4 , 3()5 , 4 , 3 , 2( ,) 3 , 2 5 , 2 , 2 3 ()

20、5 , 4 , 3 , 2( 1 Rkk Rkkk Ax TT TT 或或 的通解为所以方程组 二二. 求解线性方程组求解线性方程组 1. 求 Ax=0 的通解或基础解系 步骤： (1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式行最简形式（同时得 到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）； (2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组； (3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应 赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）. 2. 求 Ax=b 的通解 当有解时，则，判断是否有解及 为行最简形式，求出并用初等行变换将其化写出增广

21、矩阵 步骤： .)( )( ) 1 ( ArAr A (2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 Ax=0 的基础解系及 Ax=b 的一个特解； (3) 写出通解. .23657 ,112 3 , 3 , 4342 4 4321 4321 431 4321 xxxx xxxx xxx xxxx 求解方程组例 236517 112113 31101 43412 A解 ， 行变换 00000 00000 21210 31101 . 224 0 2)()( 个解向量的基础解系含 对应齐次方程组，方程组有无穷多解且故 Ax ArAr 对应的同解方程组为 ）（* . 22 , 3 432 431 xxx

22、xxx .)0 , 0 , 2, 3(* 0 43 T xx，得特解取 .) 1 , 0 , 1, 1 ( ,)0 , 1 , 2 , 1( 1 1 2 1 1 0 0 1 21 2 1 4 3 TT x x x x 基础解系为 ，从而导出组的，故，取 . ,* 212211 为任意常数方程组的通解为kkkk 注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为 行最简形式，这样有利于求解. 2. 根据同解方程组（*）式写对应齐次方程组Ax=0的基础解系时， 不要将常数加进去. 三三. 特殊方程组的求解特殊方程组的求解 . ,)0 , 0 , 1 (1 )( 5 11 的解求方程组 ，

23、是实正交阵，且设例 bAx baaA T nnij ，由正交阵的定义知：又有惟一解 ，所以方程组为正交阵，故由于解 1 . )( )( 11 abAx nAraA nnij , 0 0 0001 32 22322 nnnn n aaa aaa A 方程组为： . 0 , 0 , 1 22 2222 1 nnnn nn xaxa xaxa x . )0 , 0 , 1 ( 为其唯一解故 T . 132 032 6 321 321 的全部解 的基础解系，并求求例 n n nxxxx nxxxx . 1 01)( 321 个解向量础解系含 的基，方程组，故解 n AxArnA ，取因为)32( 32

24、1n nxxxx , 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 3 2 n x x x . 1 0 0 , 0 1 0 3 , 0 0 1 2 121 为一个基础解系则 n n- ，其全部解可表示为特解 的一个是显然 132 ,0)(1,0,* 321 n T nxxxx . 1, 2 , 1,* 1111 niRkkk inn 四四. 含参数的方程组含参数的方程组 . )()( . . . . 确定参数值 件法，这时依据有解的条其他情形常用初等变换 一般方程组方程组化为不含参数的数值，从而将含参数的 方程确定出参系数行列式等于零这一式等于零时，我们可由 而当系数行列时，方程组有惟一解；即当

25、系数行列式不为零 则，其理论依据为克莱姆法列式法容易求出时更是首选行 或系数行列式式法，特别当阶数较小参数时，常考虑用行列 且系数中含有数，即系数矩阵为方阵未知数个数等于方程个 当等变换法一是行列式法，二是初有两种方法确定参数： 一般而言，解之前要先确定参数对含参数的方程组，求 ArAr . 1554 , 2 , 1 2 7 321 321 321 有无穷解时求其解解、有无穷多解？并在 无解、有惟一为何值时，方程组例 xxx xxax xaxx a ),45)(1( 554 11 12 aaa a 原方程组的系数行列式解 . 5 4 1 时，方程组有惟一解且故当aa . 1554 , 2 ,

26、1 2 1 321 321 321 xxx xxx xxx a时，原方程组为当 , 0000 1110 1001 0000 1110 2111 1554 2111 1112 行变换化为：对其增广矩阵施行初等 . ) 1 , 1 , 0()0 , 1, 1 ( 1 为任意实数）（ 组解，其通解为时，原方程组有无穷多因此，当 kk a TT . 1554 , 01554 , 55410 5 4 321 321 321 xxx xxx xxx a 程组为时，原方程组的同解方当 , 9000 10554 55410 1554 10554 55410 行变换化为：对其增广矩阵施行初等 . 5 4 时，原

27、方程组无解由此可知当a 五五. 证明题证明题 利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题. .)()( 0 , 8 nBrAr ABnBA ，证明阶方阵，且均为设例 的解，故 为方程组，则，设因为证 0 , ),( 0 11 Ax BAB nn ).(),( 1 Arnr n .)()( )()( nBrArArnBr，从而有即 . , 0 0 9 1 1 是线性无关的 ，证明向量组，且有解向量 ，使线性方程组阶矩阵，若存在正整数是设例 k kk A AAxA knA ) 1 ( , 0 , 1 21 21 k k k AA 使得设有常数证 , 0 22 2 1 1 1 k k k

28、k k AAA A ，有等式两端左乘 . 0 0 00 1 11 1 ，所以，但，有由 kkk AAA (2) , 0 ) 1 ( 0 1 2 1 k k AA 式，得代入将 , 0 321 2 2 k k k k AA A ，有等式两端左乘 . 0 . 0 0 32 1 2 k k A 类似地可求得，故有从而有 . , 1 是线性无关的因此向量组 k AA ).()( 9AArArnmA T 阶矩阵，证明为设例 . 0 0 同解与只需证明方程组证AxAAx T ).()( 0 0 . 0 0)()( 0 0 0 AArAr AxAAxAAA AAAAA T TT TT 同解，所以 与因此，从

29、而 ，则；反之，若，显然有若 六六. 应用题应用题 利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、 面关系问题. .) , 3 , , 1 ( ,)3 , 2 , 1 , 1 (,)4 , 1 , 2 , 1 (,)5 , 0 , 3 , 1 ( 10 321 T TTT ba 设例 . , ,)2( . , , ) 1 ( 321 321 线性表示不能用取何值时， 式线性表示？并求出表示能用取何值时， ba ba , 3 2 1 321 332211 Ax x x x xxx ，则有设解 ., 345 210 123 111 3 2 1 321 x x x xA其中 . , 321

30、 有解的问题 是否线性表示转化为方程组能否用从而Ax b a AA 345 3210 123 1111 因为 5210 3210 3210 1111 b a . 2000 000 3210 1111 ab a a . , 2 0 3 21 线性表示 不能用时，方程组无解，从而或故当 aba 此时性表示 线可由时，方程组有解，从而，且当 . , 2 0 321 ba , 0000 0000 3210 2101 0000 0000 3210 1111 A .) 1 , 2, 1 ()0 , 3 , 2( TT k方程组的通解为 . ,)23()2( , 321 321 为任意常数其中 线性表示为可

31、由从而 kkkk 注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求 出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解 的问题. 例10 在直角坐标系中，三个平面的方程分别为： . 1 , 1 , 0 kzykx zkyx kzyx 问：当k为何值时，三个平面(1)交于一点；(2)没有交点； (3)交于一条直线。 . 1 , 1 , 0 kzykx zkyx kzyx 1 1 0 , 11 11 11 k b z y x X k k k A bAX 2)2)(1(00 1110 011 111 111 011 , kkk kk k kk k k bA初等行变换 解解：将3个

32、平面方程连立组成方程组 设 则方程组可写为 讨论 3),()(bArAr 时，当1. 2k2),(, 1)(bArAr 时，当2. 3k 2),()(bArAr 方程组有唯一解，此时3个平面交于一点； 方程组无解，此时3个平面没有交点； 方程组解无穷，此时3个平面交于一条直线。 时，且当21. 1kk n元向量元向量 一一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法向量组的秩及极大线性无关组的求法 1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组 ，为何值时，向量组例 TT ) 3 , 2 , 3 , 1 , 2()2 , 1 , 1 , 1 , 1 ( 1 21 . ) , 1 , 1 , 3 , 1

33、 ()5 , 2 , 2 , 3 , 2( 43 组并求一个极大线性无关 ？，线性相关？秩为多少， TT , 532 1221 1231 3311 1221 )( 4321 ，设解A 经初等行变换后，有. 0000 4000 0100 2110 1221 行变换A ., , 3 43)(, 4 431321 4321 为极大线性无关组或，秩为 ，向量组线性相关，时，故当 Ar)r( 注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列 摆放成矩阵，并做 初等行变换. 二二. 线性相关性的判定线性相关性的判定 1. 利用定义讨论向量组的线性相关性 骤为：的线性相关性，一般步利用定义讨论向量组

34、 , 21m ；设0 ) 1 ( 2211 mm kkk 的方程组并求解；将向量方程转化为 , )2( 21m kkk . , , , 0 )3( 2121 2121 线性相关不全为零，则向量组若 线性无关；，则向量组若 组的线性相关性，即根据解的情况判断向量 mm mm kkk kkk . , , , , 2 21 21 2121 线性无关向量组 线性相关，证明线性无关的，但向量组 都是与向量组设向量组例 s s ss , 0)( , 1121 kkkkkkk sss 使设有常数证 线性表示，不妨设可由 线性相关知：线性无关，由题设 , , , s21 s21s21 , 2211ss lll

35、 , 0)( 22112211 ssss lllkkkk则有 . 0)()()( 222111 kklkklkklk sss 整理得 是线性无关的，故有由于 , 21 s . 0 , 0 , 0 , 0 22 11 k klk klk klk ss . ,0 2121 线性无关 ，从而由此方程组得 ss kkkk 2. 利用等价讨论向量组的线性相关性 , , , 3 21 22221 11211 s1s1 s1s1 ssss s s kkk kkk kkk 可由其线性表示为 线性无关且向量组设向量组例 . , )( )( s21 线性无关时，证明当设sKrkK ssij .因子的秩 任何一个论

36、：乘积的秩小于等于证明：利用矩阵乘法结 ._ , 4 4321 向量组为 的线性无关，则线性无关已知向量组例 . , )( ; , )( ; , )( ; , )( 14433221 14433221 14433221 14433221 D C B A ; 3)(, 1100 0110 0011 1001 ),( KrKA对解 ; 3)(, 1100 0110 0011 1001 ),( KrKB对 ; 4)(, 1100 0110 0011 1001 ),( KrKC对 . 3)(, 1100 0110 0011 1001 ),( KrKD对).( C因此选 3. 利用秩讨论向量组的线性相关

37、性 . 5 的列向量组线性无关证明 ，阶矩阵，且为阶矩阵，为设例 B EABnmBmnA ,min)()( .)()( nnmBrABrn nErABrEAB 又，故因为证 .)( nBr所以 ，则 个向量，记为阶矩阵，其列向量组含为因为 nBrr nnmB nn )(),( , 2121 . , 21 线性无关从而 n 注： 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性无 关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向量 组的极大无关组与秩的求法. . ) 1 , 1 , 1 ( ,) 1, 1 , 1 (,) 1 , 1 , 1 ( ) 1 , 2 , 1 ( 6 3 21

38、下的坐标 在基求向量例 T TTT ，则有下的坐标为在基设解 T xxx),( , I 321321 . 332211 xxx . 3 2 1 321 AX x x x XA，则上式化为，记 1111 2111 1111 , A由于 1312 ,rrrr 0220 1200 1111 ) 2 1 (), 2 1 (, 3232 rrrr 2 1 100 0110 1111 3221 ,rrrr , 2/1100 1/2010 1001 . 2 1 , 2 1 , 1 , 2 1 , 2 1 , 1 321 TT X 下的坐标为在基，即故 .)3 , 1 , 6 , 6( ,) 1 , 2 ,

39、3 , 5( ,)0 , 1 , 3 , 0( ,) 1 , 1, 1 , 2( ,) 1 , 0 , 0 , 0( ,)0 , 1 , 0 , 0( ,)0 , 0 , 1 , 0( ,)0 , 0 , 0 , 1 ( 4 3 2 1 4 3 2 1 T T T T T T T T 12341234 2056 1336 ,. 1121 1013 解： 由于 下的坐标，其中在基 的过渡矩阵，并求到基求由基例 , ) 1 , 0 , 0 , 1 ( , , 7 4321 43214321 T . 3101 1211 6331 6502 , , 43214321 A 的过渡矩阵为到基故由基 ，则下

40、的坐标为在设 T xxxx),( , 43214321 ., 4 3 2 1 4321 4 3 2 1 4321 x x x x A x x x x ，即下的坐标为在又 T n ) 1 , 0 , 0 , 1 ( , 21 , 1 0 0 1 , 4321 ， 由坐标的唯一性，有 TT xxxxA) 1 , 0 , 0 , 1 (),( 4321 1 0 0 1 26937 18009 239121 3327912 27 1 ),( 1 4321 Axxxx T 从而 .)11 , 9 , 8 ,15( 9 1 T 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 一一. 特征值与特征向量的求法特

41、征值与特征向量的求法 1.利用定义求特征值与特征向量 . 0)( )2( 0| ) 1 ( 的非零解求对 ；求出由 步骤： xAE AE . 2)(, 33 351 315 1的特征值及，求设例AcAr c A ，因为解7224 33 351 315 | c c A . 3 0| 2)( cAAr，故，所以又 . 9, 4, 0 0| 333 351 315 321 的特征值，得，由此时AAEA . 3 2100 100 0001 0010 2 的其他特征值及 的一个特征值，求：是，若设例 A yA y A .12)2()1)(1( 1)2)()(1( 2100 100 001 001 | 2

42、 2 yy y y AE 设解 注：用定义求特征值与特征向量，最重要的是求出特征值. 为此， 首先求出矩阵的特征多项式，并将它按降幂排列，然后通过试根 或因式分解将其化为一次式的乘积，从而求出特征值. 求特征向 量即求齐次方程组 (E-A)x=0 的基础解系. 1,1,1,3. 1 012)2( 2 012)2( 3 3 2 2 的全部特征值为故 ，的另一根及的根，由此求得 必为的一个特征值，所以是因为 A yyy yyA 2.利用公式求特征值与特征向量 则特征向量 的的对应于特征值为的特征值，阶方阵为设 .21, ,n,i AAn iii . )( , 2 , 1 )( )( )( ) 1

43、( 的多项式为，其中 的特征向量为，对应于的特征值为 xxfni ,ffAf iii ., 2 , 1 )2( 111 n,i AA i ii 量为 的特征向，对应于的特征值为可逆，则设 ., 2 , 1 | | * )3( n,i AA AA i ii 向量为 的特征，对应于的特征值为可逆，则设 ., 2 , 1, )4(niA i T 的特征值为 ., 2 , 1, )5( 1 1 niP BAPPB i ii 为 的特征向量，对应于的特征值为，则若 . , 00 020 002 33 242 111 3 的特征值与特征向量及矩阵 相似，求：与设例 A ba b B a A ., 2 ,

44、2 , 2 , 2 . bAb BBABA 的特征值也为，所以为 的特征值又有相同的特征值与，故因为解 ),1(3)3()2( 33 242 111 | 2 aa a AE 由于 . 6 6 , 2 , 2 6 0) 1(3)3( 5, 2 0) 1(3)3( 2 2 2 b Aaa aaa ，故为 的特征值，即的另一根为并求得 代入，得的根，将是所以 , 000 000 111 333 222 111 2 2 21 AE 时当 .) 1 , 1 , 0( ) 1 , 0 , 1 ( 0)2( 21 TT xAE及的基础解系为则 , 000 3/210 3/101 133 222 115 6

45、6 3 AE 时当 .,a 2 212211 且不同时为零的全部特征向量为特征值Rkkkk .)3 , 2 , 1 ( 0)6( , 3 T xAE的基础解系为那么 . 2*, | 3 2 1 4 21 的特征值 及求：，的三个特征值为已知三阶方阵例 EAAAA AA ; 6) 3()2(1| A解 ; 3 1 , 2 1 , 1 1 的特征值为：A ; 2, 3, 6 *的特征值为：A . 4 , 1 , 4 1)3(2)3( , 1)2(22)( , 1121 2 2 222 ，即 的特征值为： EAA .,a 6 333 且不为零的全部特征向量为特征值Rkk . 3 2 )0( 5 1

46、特征向量的一个特征值及对应的 ，求的每行元素之和均为阶可逆阵设例 E AaaAn , 0 1 1 1 1 1 1 aAaaA的一个特征值且为，所以由题设知解 . 1 1 1 32 3 2 1 特征向量为的一个特征值，对应的为从而EA a 二二. A 与对角阵相似的解题方法与对角阵相似的解题方法 . 100 010 221 , 122 020 021 . 6 BA 角阵相似判断下列矩阵能否与对例 ，的特征值为解2 , 1 , 1 A ，因为 000 010 011 022 010 020 AE . 232)( 不能与对角阵相似，所以故AAEr ，的特征值为1 , 1 , 1 B . 2)(3 0

47、00 000 111 000 000 222 BEr BE 故 ，因为 注：当矩阵有重特征值时，我们用定理“A 与对角阵相似的充 要条件为 n-r(iE-A)=ni”来判定 A 能否与对角阵相似，其中ni为 特征值 i的重数，n 为矩阵 A 的阶数. . 324 1 223 7 1 及相应的对角阵为对角阵？并求使 ，取何值时，存在可逆阵，问设例 PAPP PkkkA . . 1)- (3能与对角阵相似所以同理BBEr ),1() 1() 1(8)9() 1( )3(2)3(2) 1(848)3)(3)(1( 324 1 223 | 22 kkkk kkAE 因为解 . 1 , 1, 1 的特征

48、值为所以 A . 0 , 1)( 2)(-3 000 0 112 224 0 224 - 与对角阵相似时，从而即 ，与对角阵相似必须满足而 ，由于 AkAEr AErA kkkkAE . 1 0 1 1 2 0 1 0 2 1 1 3 21 时，对应的特征向量为当 ；与特征向量为时，对应的线性无关的当 . 1 1 1 , 120 002 111 1 APPP，则令 注：矩阵相似对角化的步骤：(1) 求出 A 的所有特征值 1, 2, n ，若 1, 2, n 互异，则 A 与对角阵相似；若1, 2, n中互 异的为 1, 2, m，每个i 的重数为 ni，当 n- r(i E-A)=ni时 (

49、i=1,2,m)，A 与对角阵相似；否则 A 不能与对角阵相似. (2) 当 A 与对角阵相似时，求出 A 的 n 个线性无关的特征向量 1, 2, , n，并令 P=(1, 2, , n)，则 P 可逆，且 P-1AP=. . 2 1 0 , 2 1 0 11 1 11 8 1 AQQQ lk l lk k A ，使正交阵 及，求正交相似于设例 . 0 0| 0| 0|2| , 0| , 0| 2 , 1 , 0 lk AElkAAEAE AA ，得，由，得，由 的特征值，从而为由相似矩阵的性质知：解 . 101 010 101 A故 单位化，得，它们两两正交，将其 的特征向量依次为，的属于

50、特征值 TT T A ) 1 , 0 , 1 (,)0 , 1 , 0( ,) 1 , 0 , 1 ( 2 1 0 32 1 . 2 1 , 0 , 2 1 ,0 , 1 , 0, 2 1 , 0 , 2 1 321 T T T PPP , 2 1 0 2 1 010 2 1 0 2 1 321 PPPQ令 . 2 1 0 1 AQQQ为正交阵且则 注：对于实对称矩阵 A，一定有可逆阵 P，使 P1AP为对角阵，P 的列向量为 A 的特征向量，对角阵中主对角线上的元素为 A 的特 征值，而且也一定有正交阵 Q，使 Q1AQ 为对角阵. 当 A 的特征 值互异时，其特征向量两两正交，只需将特征向