1、第第 4 节节复数复数 考试要求1.通过方程的解，认识复数；2.理解复数的代数表示及其几何意义，理 解两个复数相等的含义；3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运 算的几何意义. 知 识 梳 理 1.复数的有关概念 内容意义备注 复数的概念 形如 abi(aR，bR)的数叫 复数，其中实部为 a，虚部为 b 若 b0，则 abi 为实数；若 a 0 且 b0，则 abi 为纯虚数 复数相等 abicdiac且bd(a， b， c，dR) 共轭复数 abi 与 cdi 共轭ac 且 b d(a，b，c，dR) 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数 的平面叫做复平面，x 轴叫实轴， y
2、轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原 点外， 虚轴上的点都表示纯虚数， 各象限内的点都表示虚数 复数的模 设OZ 对应的复数为 zabi，则 向量OZ 的长度叫做复数 za bi 的模 |z|abi| a2b2 2.复数的几何意义 复数集 C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的， 复数集 C 与复平面内所 有以原点 O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数 zabi复平面内的点 Z(a，b). (2)复数 zabi平面向量OZ . 3.复数的运算 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 (1)加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i； (2)减法
3、：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i； (3)乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i； (4)除法：z1 z2 abi cdi （abi）（cdi） （cdi）（cdi） acbd（bcad）i c2d2 (cdi0). 常用结论与微点提醒 1.i 的乘方具有周期性 in 1，n4k， i，n4k1， 1，n4k2， i，n4k3 (kZ). 2.复数的模与共轭复数的关系 zz |z|2|z |2. 3.两个注意点 (1)两个虚数不能比较大小； (2)利用复数相等 abicdi 列方程时，注意 a，b，c，dR 的前提条件. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正
4、误(在括号内打“”或“”) (1)复数 zabi(a，bR)中，虚部为 bi.() (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.() (3)原点是实轴与虚轴的交点.() (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的 向量的模.() 解析(1)虚部为 b；(2)虚数不可以比较大小. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(新教材必修第二册 P69 例 1 改编)若复数 z 1i 1ai为纯虚数，则实数 a 的值为 () A.1B.0C.1 2 D.1 解析设 zbi，bR 且 b0， 则 1i 1aibi，得到 1iabbi， 1ab，且 1b，解得 a1，故选
5、 D. 答案D 3.(老教材选修 22P116T1(2)改编)复数 5 2i 2 的共轭复数是() A.2iB.2iC.34iD.34i 解析 5 2i 2 5（2i） （2i）（2i） 2 (2i)234i，所以其共轭复数是 34i， 故选 C. 答案C 4.(2018北京卷)在复平面内，复数 1 1i的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 解析 1 1i 1i 2 1 2 1 2i，其共轭复数为 1 2 1 2i， 复数 1 1i的共轭复数对应的点的坐标为 1 2， 1 2 ，位于第四象限，故选 D. 答案D 5.(2019全国卷)若 z(1i)2
6、i，则 z() A.1iB.1i C.1iD.1i 解析由 z(1i)2i，得 z 2i 1i 2i（1i） （1i）（1i） 2i（1i） 2 i(1i)1i. 答案D 6.(2019全国卷)设 z 3i 12i，则|z|( ) A.2B. 3C. 2D.1 解析z 3i 12i （3i）（12i） （12i）（12i） 17i 5 ， |z| 1 5 2 7 5 2 2. 答案C 考点一复数的相关概念 【例 1】 (1)(2020唐山模拟)若 z(m2m6)(m2)i 为纯虚数，则实数 m 的 值为() A.2B.2C.3D.3 (2)(2020济南模拟)设复数 z1 3i(i 是虚数单位
7、)，则z z的虚部为( ) A. 3 2 iB. 3 2 C. 3 2 D. 3 2 i 解析(1)z(m2m6)(m2)i 为纯虚数， m2m60， m20， 解得 m3，故选 D. (2)z1 3i，z z z 2 zz （1 3i） 2 |z|2 12 3i3 4 1 2 3 2 i，z z的虚部为 3 2 .故选 C. 答案(1)D(2)C 规律方法1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满 足的条件，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即 可. 2.解题时一定要先看复数是否为 abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部. 【训练 1】 (1
8、)(多选题)若复数 z 2 1i，其中 i 为虚数单位，则下列结论正确的是 () A.z 的虚部为1B.|z| 2 C.z2为纯虚数D.z 的共轭复数为1i (2)已知 i 为虚数单位，复数 z13i 2i ，则|z|_. 解析(1)由题意得 z 2 1i 2（1i） （1i）（1i）1i.对于 A，由 z1i 得复数 z 的虚部为1，故 A 正确；对于 B，|z|1i| 2，故 B 正确；对于 C，由于 z2(1i)22i，所以 z2为纯虚数，故 C 正确；对于 D，z1i 的共轭复数z 1i，故 D 不正确.故选 ABC. (2)|z| 13i 2i|13i| |2i| 10 5 2. 答
9、案(1)ABC(2) 2 考点二复数的几何意义 【例 2】 (1)(2019全国卷)设复数 z 满足|zi|1，z 在复平面内对应的点为(x， y)，则() A.(x1)2y21B.(x1)2y21 C.x2(y1)21D.x2(y1)21 (2)(2019全国卷)设 z32i，则在复平面内z 对应的点位于() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 (3)(2020山东重点中学联考)在复平面内，复数 z 对应的点与 2 1i对应的点关于实 轴对称，则 z() A.1iB.1iC.1iD.1i 解析(1)由已知条件，可设 zxyi(x，yR).|zi|1，|xyii|1，x2 (y1
10、)21.故选 C. (2)z 32i，故z 对应的点(3，2)位于第三象限. (3) 2 1i 2（1i） （1i）（1i）1i，其在复平面内对应点为(1，1)，关于实轴对称 的点为(1，1)，z1i.故选 D. 答案(1)C(2)C(3)D 规律方法由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向 量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直 观. 【训练 2】 (1)(2020东北三省三校二模)设 i 是虚数单位，则复数 1 1i在复平面内 对应的点位于() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 (2)如图，若向量OZ 对应的复数为 z，
11、则 z4 z表示的复数为( ) A.13iB.3i C.3iD.3i 解析(1) 1 1i 1i （1i）（1i） 1 2 1 2i，则复数 1 1i对应的点为 1 2， 1 2 ，在第 四象限，故选 D. (2)由题图可得 Z(1，1)，即 z1i，所以 z 4 z 1i 4 1i 1i 4（1i） （1i）（1i）1i 44i 2 1i22i3i.故选 D. 答案(1)D(2)D 考点三复数的运算 【例 3】 (1)(2019武汉模拟)设复数 z 满足12z 1z i，则 z() A.1 5 3 5i B.1 5 3 5i C.1 5 3 5i D.1 5 3 5i (2) 1i 1i 6
12、 2 3i 3 2i_. 解析(1)由12z 1z i， 得 12ziiz， z1i 2i （1i）（2i） （2i）（2i） 1 5 3 5i.故选 C. (2)原式 （1i）2 2 6 （ 2 3i）（ 3 2i） （ 3）2（ 2）2 i6 62i3i 6 5 1i. 答案(1)C(2)1i 规律方法复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略： (1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位 i 的看作 一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可. (2)复数的除法.除法的关键是“分母实数化”即分子分母同乘以分母的共轭复数， 解题时要注意把 i 的幂写成最
13、简形式. (3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为 a bi(a，bR)的形式，再结合相关定义解答. (4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为 a bi(a，bR)的形式，再结合复数的几何意义解答. 【训练 3】 (1)(2019北京卷)已知复数 z2i，则 zz () A. 3B. 5C.3D.5 (2)设复数 z12i，则z 23 z1 () A.2iB.2iC.2D.2 解析(1)z2i，z 2i，zz (2i)(2i)5.故选 D. (2)z 23 z1 （12i） 23 12i1 1 24i4i23 2i 4i 2i2.
14、故选 C. 答案(1)D(2)C A 级基础巩固 一、选择题 1.(2019全国卷)设 zi(2i)，则z () A.12iB.12i C.12iD.12i 解析zi(2i)12i，z 12i.故选 D. 答案D 2.(2020临沂模拟)已知复数(12i)iabi，aR，bR，则 ab() A.3B.1C.1D.3 解析因为(12i)i2i，所以 a2，b1，则 ab1，选 B. 答案B 3.复数 2 1i(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A.1iB.1iC.1iD.1i 解析因为 2 1i 2（1i） （1i）（1i） 2（1i） 1i2 1i，所以复数 2 1i的共轭复数 为 1i.故
15、选 B. 答案B 4.下列各式的运算结果为纯虚数的是() A.i(1i)2B.i2(1i) C.(1i)2D.i(1i) 解析i(1i)2i2i2，不是纯虚数，排除 A；i2(1i)(1i)1i，不 是纯虚数，排除 B；(1i)22i，2i 是纯虚数.故选 C. 答案C 5.(2019揭阳一模)已知 aR，i 是虚数单位，若 z 3ai，|z |2，则 a() A. 7或 7B.1 或1 C.2D.2 解析因为|z | 3ai| 3a22，所以 a21，a1，故选 B. 答案B 6.(2019德州二模)已知复数 z1 i 1，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点的 坐标为() A.(1，1)B
16、.(1，1)C.(1，2)D.(1，2) 解析z1 i 11i，则z 1i，对应的点的坐标为(1，1)，故选 A. 答案A 7.设 z 1 1ii(i 为虚数单位)，则|z|( ) A.1 2 B. 2 2 C. 3 2 D.2 解析因为 z 1 1i i 1i （1i）（1i） i 1i 2 i 1 2 1 2 i，所以|z| 1 2 2 1 2 2 2 2 . 答案B 8.(2019唐山模拟)设复数 z 满足(1i)z2i(其中 i 为虚数单位)，则下列结论正确 的是() A.|z|2B.z 的虚部为 i C.z22D.z 的共轭复数为 1i 解析由(1i)z2i，得 z 2i 1i 2i
17、（1i） （1i）（1i）1i， |z| 2，z 的虚部为 1，z2(1i)22i，z 的共轭复数为 1i，故选 D. 答案D 二、填空题 9.(2019江苏卷)已知复数(a2i)(1i)的实部为 0，其中 i 为虚数单位，则实数 a 的值是_. 解析(a2i)(1i)a2(a2)i， 因为其实部为 0，故 a2. 答案2 10.(2019邯郸一模)已知复数 z1i(i 是虚数单位)，则z2 z2z_. 解析由题意知z2 z2z 1i 1i （1i）（1i） （1i）（1i） 2 2 1. 答案1 11.(2019浙江卷)复数 z 1 1i(i 为虚数单位)，则|z|_. 解析z 1 1i 1
18、i （1i）（1i） 1i 1i2 1 2 1 2i， 易得|z| 1 2 2 1 2 2 2 2 . 答案 2 2 12.在复平面内，O 为原点，向量OA 对应的复数为12i，若点 A 关于直线 y x 的对称点为 B，则向量OB 对应的复数为_. 解析因为 A(1，2)关于直线 yx 的对称点 B(2，1)，所以向量OB 对应的 复数为2i. 答案2i B 级能力提升 13.(2019江西红色七校联考)若复数 z(2ai)(ai)在复平面内对应的点在第三 象限，其中 aR，i 为虚数单位，则实数 a 取值范围为() A.( 2， 2)B.( 2，0) C.(0， 2)D.0， 2) 解析z
19、(2ai)(ai)3a(a22)i 在复平面内对应的点在第三象限， 3a0， a220，解得 2a0.故选 B. 答案B 14.(2020广东省实验中学模拟)设2i i12iabi( a，bR，i 为虚数单位)，则 b ai() A.5 2 3 2i B.5 2 3 2i C.5 2 3 2i D.5 2 3 2i 解析因为2i i12i （2i）（1i） （i1）（1i）2i 3 2 5 2iabi，所以 a 3 2，b 5 2， 因此 bai5 2 3 2i.故选 A. 答案A 15.(2019天津卷)i 是虚数单位，则| 5i 1i|的值为_. 解析5i 1i （5i）（1i） （1i）
20、（1i）23i， | 5i 1i|23i| 13. 答案13 16.(2020重庆联考)若abi i (a，bR)与(2i)2互为共轭复数，则 ab_. 解析abi i （abi）（i） i2 bai，(2i)244i134i，abi i (a， bR)与(2i)2互为共轭复数，b3，a4，则 ab7，故答案为7. 答案7 C 级创新猜想 17.(多选题)已知 i 为虚数单位，复数 z32i 2i ，则以下为真命题的是() A.z 在复平面内对应的点在第一象限 B.z 的虚部是7 5 C.|z|3 5 D.若复数 z1满足|z1z|1，则|z1|的最大值为 1 65 5 解析z32i 2i （
21、32i）（2i） （2i）（2i） 4 5 7 5i，z 在复平面内对应的点为 4 5， 7 5 ，在第一象限，故 A 正确；z 的虚部是7 5，故 B 不正确；|z| 4 5 2 7 5 2 65 5 ，故 C 不正确；设 z1xyi，x，yR，由|z1z|1 得 x4 5 2 y7 5 2 1， 则点(x，y)在以 4 5， 7 5 为圆心，以 1 为半径的圆上，则(x，y)到(0，0)的距离的最 大值为 1 4 5 2 7 5 2 1 65 5 ，即|z1|的最大值为 1 65 5 ，故 D 正确. 答案AD 18.(多选题)下列命题正确的是() A.若复数 z1，z2的模相等，则 z1
22、，z2是共轭复数 B.z1，z2都是复数，若 z1z2是虚数，则 z1不是 z2的共轭复数 C.复数 z 是实数的充要条件是 zz (z 是 z 的共轭复数) D.已知复数 z112i，z21i，z332i(i 是虚数单位)，它们对应的点分别 为 A，B，C，O 为坐标原点，若OC xOA yOB (x，yR)，则 xy1 解析对于 A，z1和 z2可能是相等的复数，故 A 错误；对于 B，若 z1和 z2是共轭 复数，则相加为实数，不会为虚数，故 B 正确；对于 C，由 abiabi 得 b0， 故 C 正确；对于 D，由题可知，A(1，2)，B(1，1)，C(3，2)，建立等式(3， 2)(xy，2xy)，即 xy3， 2xy2，解得 x1， y4，故 D 错误.故选 BC. 答案BC
