1、第第 8 节节函数与方程函数与方程 考试要求1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系；2.结合具体 连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理. 知 识 梳 理 1.函数的零点 (1)函数零点的概念 对于函数 yf(x)，把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点. (2)函数零点与方程根的关系 方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点. (3)零点存在性定理 如果函数 yf(x)满足：在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线； f(a)f(b)0)的图象与零点的关系 b24ac000)的图象 与 x 轴的交点(x1，0)
2、，(x2，0)(x1，0)无交点 零点个数210 常用结论与微点提醒 1.若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点.函数的 零点不是一个“点”，而是方程 f(x)0 的实根. 2.由函数 yf(x)(图象是连续不断的)在闭区间a，b上有零点不 一定能推出 f(a)f(b)0，如图所示，所以 f(a)f(b)0 是 yf(x)在 闭区间a，b上有零点的充分不必要条件. 3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)函数 f(x)lg x 的零点是(1，0).() (2)图象连续的函数 yf(x)
3、(xD)在区间(a，b)D 内有零点，则 f(a)f(b)0.() (3)二次函数 yax2bxc(a0)在 b24ac0 时没有零点.() 解析(1)f(x)lg x 的零点是 1，故(1)错. (2)f(a)f(b)0 是连续函数 yf(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错. 答案(1)(2)(3) 2.(老教材必修 1P92A2 改编)已知函数 f(x)的图象是连续不断的， 且有如下对应值 表： x12345 f(x)42147 在下列区间中，函数 f(x)必有零点的区间为() A.(1，2)B.(2，3)C.(3，4)D.(4，5) 解析由所给的函数值的表格可以看出，x
4、2 与 x3 这两个数字对应的函数值 的符号不同，即 f(2)f(3)0， 得 f(x)在 R 上单调递增， 又 f(1)1 e30， 则 f(1)f(0)0.因此函数 f(x)有且只有一个零点. 答案B 4.(2020石家庄模拟)f(x)exx2 在下列哪个区间必有零点() A.(1，0)B.(0，1) C.(1，2)D.(2，3) 解析f(1)1 e 10，f(0)10，f(1)e30，因为 f(1)f(2)0，所以 f(x)在(1，2)内存在零点. 答案C 5.(2019全国卷)函数 f(x)2sin xsin 2x 在0，2的零点个数为() A.2B.3C.4D.5 解析2sin xs
5、in 2x0，得 sin x0 或 cos x1. 又 x0，2，由 sin x0，得 x0，2. 由 cos x1，得 x0，2. f(x)0 有三个实根 0，2，即 f(x)在0，2上有三个零点. 答案B 6.(2020日照调研)若二次函数 f(x)x22xm 在区间(0，4)上存在零点，则实数 m 的取值范围是_. 解析mx22x 在(0，4)上有解， 又x22x(x1)21，yx22x 在(0，4)上的值域为(8，1， 8m1. 答案(8，1 考点一函数零点所在区间的判定 【例 1】 (1)已知函数 f(x) 1 xa为奇函数，g(x)ln x2f(x)，则函数 g(x)的零点 所在区
6、间为() A.(0，1)B.(1，2) C.(2，3)D.(3，4) (2)设函数 yx3与 y 1 2 x2 的图象的交点为(x0，y0)，若 x0(n，n1)，nN， 则 x0所在的区间是_. 解析(1)由函数 f(x) 1 xa为奇函数，可得 a0， 则 g(x)ln x2f(x)ln x2 x. 又 g(2)ln 210， 所以 g(2)g(3)0. 故函数 g(x)的零点所在区间为(2，3). (2)设 f(x)x3 1 2 x2 ，则 x0是函数 f(x)的零点，在同一坐标系 下画出函数 yx3与 y 1 2 x2 的图象如图所示. 因为 f(1)1 1 2 1 10， 所以 f(
7、1)f(2)0，所以 x0(1，2). 答案(1)C(2)(1，2) 规律方法1.确定函数 f(x)的零点所在区间的常用方法： (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 yf(x)在区间a，b上的图象是否连 续，再看是否有 f(a)f(b)0.若有，则函数 yf(x)在区间(a，b)内必有零点. (2)数形结合法： 通过画函数图象， 观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判 断. 2.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件 时，一定要综合函数性质进行分析判断. 【训练 1】 (2020保定检测)函数 f(x)x4 1 2 x 的零点所在的区间是() A.(0，
8、1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4) 解析函数 f(x)x4 1 2 x 在 R 上的图象连续不间断. 又 f(1)120，f(1)f(2)1， 2x 11，x1， 则函数 f(x)的零 点个数为() A.0B.1C.2D.3 (2)(2020惠州质检)函数 f(x)|x2|ln x 在定义域内的零点的个数为() A.0B.1C.2D.3 解析(1)当 x1 时，令 f(x)ln(x1)0，得 x2. 当 x1 时，令 f(x)2x 110，得 x1. 函数 f(x)的零点为 x1 与 x2，有 2 个零点. (2)由题意可知 f(x)的定义域为(0，)，在同一直角坐标系 中画出函数
9、 y|x2|(x0)，yln x(x0)的图象，如图所示. 由图可知函数 f(x)在定义域内的零点个数为 2. 答案(1)C(2)C 规律方法函数零点个数的判断方法： (1)直接求零点，令 f(x)0，有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理，要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0 的零点个数为() A.3B.2C.1D.0 (2)函数 f(x) xcos x 在0，)内() A.没有零点B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点 解析(1)法一由 f(x)0 得 x0， x2x20或 x0， 1ln x0， 解得 x2 或 xe. 因此函数 f(
10、x)共有 2 个零点. 法二函数 f(x)的图象如所示， 由图象知函数 f(x)共有 2 个零点. (2)当 x(0，1时，因为 f(x) 1 2 xsin x， x0，sin x0， 所以 f(x)0，故 f(x)在0，1上单调递增，且 f(0)10，所 以 f(x)在0，1内有唯一零点.当 x1 时，f(x) xcos x0，故函数 f(x)在0， )上有且仅有一个零点. 答案(1)B(2)B 考点三函数零点的应用多维探究 角度 1根据函数零点个数求参数 【例 31】 (2020九江联考)已知 f(x) 1 2 |x| （x1）， x24x2（x1）， 若关于 x 的方程 af(x)恰有两
11、个不同实根，则实数 a 的取值范围是() A. ，1 2 1，2)B. 0，1 2 1，2) C.(1，2)D.1，2) 解析依题意直线 ya 与 yf(x)的图象有两个交点. 作出 ya，yf(x)的图象，如图所示. 又当 x1 时，f(x) 1 2 |x| (0，1； 当 x1 时，f(x)x24x2(x2)22， 当 x2 时，f(x)有最大值 f(2)2. 结合图象，当 a 0，1 2 1，2)时，两图象有 2 个交点. 此时，方程 af(x)有两个不同实根. 答案B 角度 2根据零点的范围求参数 【例 32】 (1)方程 2x3xk 的解在1，2)内，则 k 的取值范围是_. (2)
12、(2020合肥模拟)已知 a，b，c，d 都是常数，ab，cd.若 f(x)2 020(xa)(x b)的零点为 c，d，则下列不等式正确的是() A.acdbB.abcd C.cdabD.cabd 解析(1)令函数 f(x)2x3xk，则 f(x)在 R 上是增函数.当方程 2x3xk 的解 在(1，2)内时，f(1)f(2)0，即(5k)(10k)0，解得 5kcdb. 答案(1)5，10)(2)A 规律方法1.已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方 程(不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值. 2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数
13、形结合法将其转化为两个函数的图 象的交点问题， 需准确画出两个函数的图象， 利用图象写出满足条件的参数范围. 【训练 3】(1)(角度 1)(2017全国卷)已知函数 f(x)x22xa(ex 1ex1)有唯 一零点，则 a() A.1 2 B.1 3 C.1 2 D.1 (2)(多填题)(角度2)已知f(x)是定义在R上的偶函数， 且f(x2)f(2x)， 当x 2，0时，f(x) 2 2 x 1，则 f(3)_；若在(2，6)内关于 x 的方程 f(x) loga(x2)0(a0 且 a1)有且只有 4 个不同的根，则实数 a 的取值范围是 _. 解析(1)f(x)(x1)21a(ex 1
14、e1x)，则 f(2x)(2x1)21ae2x1 e1 (2x)(1x)21a(ex1e1x)f(x)，即 f(x)的图象关于直线 x1 对称. 若 f(x)有唯一的零点，则只有 f(1)0，a1 2. 或：作出 ya(ex 1ex1)与 yx22x 的图象. 结合函数的最值求解(读者自行完成). (2)由 f(x2)f(2x)，得 f(x)f(4x)，即函数 yf(x)的图象关于直线 x2 对 称.又 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以 f(4x)f(x)f(x)，即 f(4x)f(x)， 则 f(x)是以 4 为周期的函数.则 f(3)f(34)f(1) 2 2 1 1 21.画出函
15、数 f(x)与函数 yloga(x2)在(2， 6)上的图象如图所示.要使函数 f(x)与 yloga(x 2)的图象有 4 个不同的交点，则有 a1， loga（62）1，解得 a8，即实数 a 的 取值范围是(8，). 答案(1)C(2) 21(8，) 直观想象解嵌套函数的零点问题 函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三 次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零 点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的 图象、性质求解. 类型 1嵌套函数零点个数的判断 【例 1】 已知 f(x) |lg x|，x0
16、， 2|x|，x0， 则函数 y2f(x)23f(x)1 的零点个数是 _. 解析由 2f(x)23f(x)10 得 f(x)1 2或 f(x)1， 作出函数 yf(x)的图象如图所示. 由图象知 y1 2与 yf(x)的图象有 2 个交点，y1 与 yf(x)的图象有 3 个交点. 因此函数 y2f(x)23f(x)1 的零点有 5 个. 答案5 【例 2】 已知函数 f(x) 2x2 2 ，x1， |log2（x1）|，x1， 则函数 F(x)f(f(x)2f(x)3 2的 零点个数是() A.4B.5C.6D.7 解析令 f(x)t， 则函数 F(x)可化为 yf(t)2t3 2， 则函
17、数 F(x)的零点问题可转 化为方程 f(t)2t3 20 的根的问题. 令 yf(t)2t3 20，则 f(t)2t 3 2. 分别作出 yf(t)和 y2t3 2的图象，如图，由图象可得有两个交点，横坐标设 为 t1，t2(不妨设 t1t2)，则 t10，1t22； 由图，结合图象，当 f(x)0 时，有一解，即 x2； 当 f(x)t2时，结合图象，有 3 个解. 所以 yff(x)2f(x)3 2共有 4 个零点. 答案A 思维升华1.上述两个题目涉及嵌套函数零点个数的判断.求解的主要步骤：(1) 换元解套，转化为 tg(x)与 yf(t)的零点.(2)依次解方程，令 f(t)0，求
18、t，代入 tg(x)求出 x 的值或判断图象交点个数. 2.抓住两点：(1)转化换元.(2)充分利用函数的图象与性质. 类型 2求嵌套函数零点中的参数 【例 3】 函数 f(x) ln（x1），xt1)，则 t11，t21. 当 t11，则函数 f(x)的零点为( ) A.1 2，0 B.2，0C.1 2 D.0 解析当 x1 时，令 f(x)2x10，解得 x0； 当 x1 时，令 f(x)1log2x0，解得 x1 2， 又因为 x1，所以此时方程无解. 综上，函数 f(x)的零点只有 0. 答案D 2.若 abc，则函数 f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点
19、分 别位于区间() A.(a，b)和(b，c)内B.(，a)和(a，b)内 C.(b，c)和(c，)内D.(，a)和(c，) 解析ab0， f(b)(bc)(ba)0， 由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数 f(x) 是二次函数，最多有两个零点，因此函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)， (b，c)内. 答案A 3.函数 f(x)2x2 xa 的一个零点在区间(1，2)内，则实数 a 的取值范围是( ) A.(1，3)B.(1，2) C.(0，3)D.(0，2) 解析因为函数 f(x)2x2 xa 在区间(1，2)上单调递增，又函数 f(x)2
20、 x2 xa 的一个零点在区间(1，2)内，则有 f(1)f(2)0， 所以(a)(41a)0，即 a(a3)0，所以 0a0 (aR)，若函数 f(x)在 R 上有两个零点，则 a 的 取值范围是() A.(，1)B.(，1) C.(1，0)D.1，0) 解析当 x0 时，f(x)3x1 有一个零点 x1 3. 因此当 x0 时，f(x)exa0 只有一个实根， aex(x0)，则1a0. 答案D 5.已知 f(x)是奇函数且是 R 上的单调函数， 若函数 yf(2x21)f(x)只有一个 零点，则实数的值是() A.1 4 B.1 8 C.7 8 D.3 8 解析令 yf(2x21)f(x
21、)0，则 f(2x21)f(x)f(x)，因为 f(x) 是 R 上的单调函数， 所以 2x21x，又函数 yf(2x21)f(x)只有一个零点，所以 2x2x1 0 只有一个实根，则18(1)0，解得7 8. 答案C 6.已知函数 f(x)2xx1，g(x)log2xx1，h(x)log2x1 的零点依次为 a， b，c，则() A.abcB.acb C.bcaD.bac 解析令函数 f(x)2xx10，可知 x0，即 a0； 令 g(x)log2xx10，则 0 x1，即 0b1； 令 h(x)log2x10，可知 x2，即 c2.显然 ab1(aR)，若关于 x 的方程 f(x)2a 恰
22、有两个不同的实根，则实数 a 的取值范围为() A. 1 2，1B. 1 2 C. 3 8， 1 2 (1，)D.R 解析作出函数 f(x)的图象如图： 因为关于 x 的方程 f(x)2a 恰有两个不同实根， 所以 y2a 与函数 yf(x)的图象恰有两个交点，结合图象， 得 2a2 或3 41 或3 8a 1 2. 答案C 8.已知函数 f(x) ln（x1）（x0）， x33x（x0）， 若函数 yf(x)k 有三个不同的零点， 则实数 k 的取值范围是() A.(2，2)B.(2，1)C.(0，2)D.(1，3) 解析当 x0 时，f(x)x33x，则 f(x)3x23， 令 f(x)0
23、，所以 x1(舍去正根)， 故 f(x)在(，1)上单调递增，在(1，0)上单调递减， 又 f(x)ln(x1)在0，)上单调递增， 则函数 f(x)的图象如图所示. 当 x0 时，f(x)极大值f(1)2，且 f(0)0， 故当 k(0，2)时，yf(x)k 有三个不同的零点. 答案C 二、填空题 9.已知函数 f(x) 2 3x1a 的零点为 1，则实数 a 的值为_. 解析依题意，f(1) 2 31a0，a 1 2. 答案1 2 10.(2018全国卷)函数 f(x)cos 3x 6 在0，的零点个数是_. 解析由题意知，cos 3x 6 0，所以 3x 6 2k，kZ，所以 x 9 k
24、 3 ， kZ，当 k0 时，x 9；当 k1 时，x 4 9 ；当 k2 时，x7 9 ，均满足题意， 所以函数 f(x)在0，的零点个数为 3. 答案3 11.(2020济南质检)若 x1是方程 xex1 的解，x2是方程 xln x1 的解，则 x1x2等 于_. 解析x1，x2分别是函数 yex，函数 yln x 与函数 y1 x的图象的交点 A，B 的 横坐标，所以 A x1，1 x1，B x2，1 x2两点关于 yx 对称，因此 x1x21. 答案1 12.函数 f(x) ln（x）a，x0， f（x1），x0 (aR)，当 0 x1 时，f(x)1x，则 f(x) 的零点个数为_
25、. 解析当 x0 时，必存在 x0e a0，使得 f(x0)0，因此对任意实数 a，f(x) 在(，0)内必有一个零点；当 x0 时，f(x)是周期为 1 的周期函数，且 0 x0)的最小值为8， 则实数a所在的区间是() A.(5，6)B.(7，8)C.(8，9)D.(9，10) 解析由于 f(x)在0，)上是增函数，在(，0)上是减函数， f(x)minf(0)alog2a8. 令 g(a)alog2a8，a0. 则 g(5)log2530， 又 g(a)在(0，)上是增函数， 实数 a 所在的区间为(5，6). 答案A 14.(2019天津卷)已知函数 f(x) 2 x，0 x1， 1
26、x，x1. 若关于 x 的方程 f(x)1 4x a(aR)恰有两个互异的实数解，则 a 的取值范围为() A. 5 4， 9 4B. 5 4， 9 4 C. 5 4， 9 4 1D. 5 4， 9 4 1 解析画出函数 yf(x)的图象，如图. 方程 f(x)1 4xa 的解的个数，即为函数 yf(x)的图象与直 线 l：y1 4xa 的公共点的个数. 当直线 l 经过点 A 时，有 21 41a，a 9 4； 当直线 l 经过点 B 时，有 11 41a，a 5 4； 由图可知，a 5 4， 9 4 时，函数 yf(x)的图象与 l 恰有两个交点. 另外，当直线 l 与曲线 y1 x，x1
27、 相切时，恰有两个公共点，此时 a0. 联立 y1 x， y1 4xa， 得1 x 1 4xa，即 1 4x 2ax10， 由a241 410，得 a1(舍去负根). 综上，a 5 4， 9 4 1. 答案D 15.已知函数 f(x)exe x4，若方程 f(x)kx4(k0)有三个不同的实根 x1，x2， x3，则 x1x2x3_. 解析易知 yexe x 为奇函数， 且其图象向上平移 4 个单位， 得 yf(x)的图象. 所以 yf(x)的图象关于点(0，4)对称， 又 ykx4 过点(0，4)且关于点(0，4)对称. 方程 f(x)kx4 的三个根中有一个为 0，且另两根之和为 0.因此
28、 x1x2x3 0. 答案0 16.已知函数 f(x) x2，0 x1， |ln（x1）|，x1，若方程 f(x)kx2 有两个不相等的实数 根，则实数 k 的取值范围是_. 解析由题意知函数 f(x)的图象与恒过定点(0， 2)的直线 ykx2 有两个交点， 作出 yf(x)与 ykx2 的图象，如图所示. 当直线 ykx2 过点(1，1)时，k3. 结合图象知，当 k3 时，直线与 yf(x)图象有两个交点. 答案3，) C 级创新猜想 17.(新定义题)已知 a，bR，定义运算“”：ab a，ab1， b，ab1. 设函数 f(x) 2x 1(24x)，xR.若函数 yf(x)c 的图象
29、与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是() A.(0，1)B.(0，2)(2，3) C.(0，2)D.(0， 31)( 31，2) 解析若 2x 1(24x)1，则(2x)222x30，即 2x1，解得 x0；若 2x 1(24x)1， 则(2x)222x30， 解得 2x1 或 2x3(舍去)， 即 x0.f(x) 2x 1，x0， 24x，x0.作出函数 f(x)的图象和 yc 的图象如图所示.yf(x)c 有两个 零点，f(x)c 有两个解，0c1.故选 A. 答案A 18.(多填题)(2018浙江卷)已知R，函数 f(x) x4，x， x24x3，x. (1)当2 时，不等式 f(x)0 的解集是_. (2)若函数 f(x)恰有 2 个零点，则的取值范围是_. 解析(1)若2， 当 x2 时， 令 x40， 得 2x4； 当 x2 时， 令 x24x30， 解得 1x2.综上可知，1x4，所以不等式 f(x)0 的解集为(1，4). (2)令 f(x)0，当 x时，x4， 当 x时，x24x30， 解得 x1 或 x3. 因为函数 f(x)恰有 2 个零点， 结合如图函数的图象知， 14. 答案(1)(1，4)(2)(1，3(4，)
