1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 3 节导数与函数的极值、最值 知 识 梳 理 1函数的极值与导数 (1)判断 f(x0)是极值的方法 一般地，当函数 f(x)在点 x0处连续且 f(x0)0， 如果在 x0附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极大值； 如果在 x0附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极小值 (2)求可导函数极值的步骤 求 f(x)； 求方程 f(x)0 的根； 检查 f(x)在方程 f
2、(x)0 的根的左右两侧的符号如果左正右负，那么 f(x)在这 个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值 2函数的最值与导数 (1)函数 f(x)在a，b上有最值的条件 如果在区间a，b上函数 yf(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和 最小值 (2)设函数 f(x)在a，b上连续且在(a，b)内可导，求 f(x)在a，b上的最大值和最小 值的步骤如下： 求 f(x)在(a，b)内的极值； 将 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最 小值 1若函数 f(x)的图象连续不断，则 f(x)在a，b内一定有最值 2若函数
3、 f(x)在a，b内是单调函数，则 f(x)一定在区间端点处取得最值 3若函数 f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的 最值点 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 4求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减 少失分的可能 5求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下 结论 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的() (2)函数的
4、极大值不一定比极小值大() (3)对可导函数 f(x)，f(x0)0 是 x0为极值点的充要条件() (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)函数在某区间上或定义域内的极大值不一定唯一；(3)x0为 f(x)的极值点 的充要条件是 f(x0)0，且 x0两侧导数符号异号 2(选修 22P32A4 改编)如图是 f(x)的导函数 f(x)的图象，则 f(x)的极小值点的 个数为() A1B2 C3D4 答案A 解析由题意知在 x1 处 f(1)0，且其左右两侧导数符号为左负右正 3函数 f(x)x33x1 有() A极小值1，极
5、大值 1B极小值2，极大值 3 C极小值2，极大值 2D极小值1，极大值 3 答案D 解析因为 f(x)x33x1，故有 y3x23，令 y3x230，解得 x 1， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 于是，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x(，1)1(1，1)1(1，) f(x)00 f(x)极小值极大值 所以 f(x)的极小值为 f(1)1，f(x)的极大值为 f(1)3. 4函数 f(x)ln xax 在 x1 处有极值，则常
6、数 a_ 答案1 解析f(x)1 xa，f(1)1a0，a1，经检验符合题意 5已知函数 f(x)3 2x 2(a4)x2ln x 在区间(1，2)上存在最值，则实数 a 的取值 范围是_ 答案(9，5) 解析f(x)3x(a4)2 x 3x2（a4）x2 x ，故可将题意等价的转化为 f(1)f(2)0，即(a5)(a9)0，解得9a5，故答案为(9，5) 6已知 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 yx1，且 f(x)ln x1，则函数 f(x)_，函数 f(x)的最小值为_ 答案xln x1 e 解析由 f(x)ln x1 得 f(x)xln xc， 又 f(1)0， 则 c0，
7、 所以 f(x)xln x 又 x 0，1 e 时，f(x)0，f(x)单调递增，则 f(x)minf 1 e 1 e. 考点一用导数解决函数的极值问题 【例 1】 求下列函数的极值： (1)f(x)x22x4ln x； (2)f(x)ax33x213 a(aR 且 a0) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解(1)f(x)的定义域为(0，)， f(x)2x24 x 2（x2） （x1） x ， 令 f(x)0 得 x2 或1(舍) 随着 x 的变化，f
8、(x)与 f(x)的变化情况如下表： x(0，2)2(2，) f(x)0 f(x)极小值 f(x)有极小值 f(2)4ln 2，无极大值 (2)由题设知 a0，f(x)3ax26x3ax x2 a . 令 f(x)0 得 x0 或2 a. 当 a0 时，随着 x 的变化，f(x)与 f(x)的变化情况如下表： x(，0)00，2 a 2 a 2 a， f(x)00 f(x)极大值极小值 f(x)极大值f(0)13 a， f(x)极小值f 2 a 4 a2 3 a1. 当 a1 2，则当 x 1 a，2时，f(x)0. 所以 f(x)在 x2 处取得极小值 若 a1 2，则当 x(0，2)时，x
9、20，ax1 1 2x10. 所以 2 不是 f(x)的极小值点 综上可知，a 的取值范围是 1 2，. (2)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a x 2x 1 x a x2 2x . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 当 a0 时，f(x)0， 此时 f(x)在(0，)上单调递减，所以不存在极小值 当 a0 时，令 f(x)0 可得 x 4 a2， 当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表： x0， 4 a2 4 a2 4 a2， f(
10、x)0 f(x)极小值 所以 f(x)在 0， 4 a2上单调递减，在 4 a2，上单调递增， 所以极小值为 f 4 a22ln 4 a2， 所以 2ln 4 a22，解得 a2. 考点二用导数解决函数的最值问题 【例 2】 已知函数 f(x)ln xax2bx(其中 a， b 为常数且 a0)在 x1 处取得极 值，且 f(x)在(0，e上的最大值为 1，求 a 的值 解因为 f(x)ln xax2bx，所以 f(x)的定义域为(0，)， 又函数 f(x)在 x1 处取得极值，则 f(1)0. 因为 f(x)1 x2axb，则 f(1)12ab0，b2a1， f(x) ln x ax2 (2
11、a 1)x ， 求 导 得 f(x) 2ax2（2a1）x1 x （2ax1） （x1） x (x0)， 令 f(x)0，得 x11，x2 1 2a， 因为 f(x)在 x1 处取得极值，所以 x2 1 2ax 11. 当 a0，即 1 2a0，即 x2 1 2a0 时， 若 1 2a1，f(x)在 0， 1 2a ，1，e上单调递增，在 1 2a，1上单调递减，所以最大值 可能在 x 1 2a或 xe 处取得，而 f 1 2a ln 1 2aa 1 2a 2 (2a1) 1 2aln 1 2a 1 4a 10， 令 f(e)ln eae2(2a1)e1，解得 a 1 e2. 若 1 1 2a
12、e，f(x)在(0，1)， 1 2a，e上单调递增， 在 1， 1 2a 上单调递减， 所以最大值可能在 x1 或 xe 处取得， 而 f(1)ln 1a(2a1)0， 令 f(e)ln eae2(2a1)e1， 解得 a 1 e2，与 1x 2 1 2ae 矛盾 若 x2 1 2ae，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，e上单调递减，所以最大值可能在 x1 处取得，而 f(1)ln 1a(2a1)0. (1)记 f(x)的极小值为 g(a)，求 g(a)的最大值； (2)若对任意实数 x，恒有 f(x)0，求 f(a)的取值范围 解(1)函数 f(x)的定义域是(，)，f(x)exa.
13、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 令 f(x)0，得 xln a， 易知当 x(ln a，)时，f(x)0，当 x(，ln a)时，f(x)0， 所以函数 f(x)在 xln a 处取极小值， g(a)f(x)极小值f(ln a)eln aaln aaaln a. g(a)1(1ln a)ln a， 当 0a0，g(a)在(0，1)上单调递增； 当 a1 时，g(a)0)恒成立 当 x0 时，由 f(x)0，即 exax0，得 ae x x . 令 h(
14、x)e x x ，x(0，)， 则 h(x)e xxex x2 e x（x1） x2 ， 当 0 x1 时，h(x)1 时，h(x)0， 故 h(x)的最小值为 h(1)e，所以 ae， 故实数 a 的取值范围是(0，e f(a)eaa2，a(0，e，f(a)ea2a， 易知 ea2a0 对 a(0，e恒成立， 故 f(a)在(0，e上单调递增， 所以 f(0)1f(a)f(e)eee2， 即 f(a)的取值范围是(1，eee2 感悟升华此类问题，关键是确定极值点、极值表达式，再用函数、导数来解决 【训练 3】 已知函数 f(x)2x3ax22. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 0a
15、0，则当 x(，0) a 3，时，f(x)0， 当 x 0，a 3 时，f(x)0， 故 f(x)在(，0)， a 3，单调递增，在 0，a 3 单调递减； 若 a0，则 f(x)在(，)单调递增； 若 a0， 当 x a 3，0时，f(x)0， 故 f(x)在 ，a 3 ，(0，)单调递增，在 a 3，0单调递减 (2)当 0a3 时， 由(1)知， f(x)在 0，a 3 单调递减， 在 a 3，1单调递增， 所以 f(x)在0， 1的最小值为 f a 3 a 3 272，最大值为 f(0)2 或 f(1)4a. 于是 ma 3 272，M 4a，0a2， 2，2a3. 所以 Mm 2aa
16、 3 27，0a2， a3 27，2a3. 当 0a2 时，可知 y2aa 3 27单调递减， 所以 Mm 的取值范围是 8 27，2. 当 2a0.令 f(x)0，得 x1；令 f(x)0，得 0 x1.f(x) 在 x1 处取得极小值也是最小值，且 f(1)1 2ln 1 1 2. 3(2018全国卷)函数 yx4x22 的图象大致为() 答案D 解析当 x0 时，y2，排除 A，B.由 y4x32x0，得 x0 或 x 2 2 ， 结合三次函数的图象特征，知原函数在(1，1)上有三个极值点，所以排除 C， 故选 D. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期
17、待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 4若 x2 是函数 f(x)(x2ax1)ex 1 的极值点，则 f(x)的极小值为() A1B2e 3 C5e 3 D1 答案A 解析f(x)x2(a2)xa1ex 1， 则 f(2)42(a2)a1e 30a1， 则 f(x)(x2x1)ex 1，f(x)(x2x2)ex1， 令 f(x)0，得 x2 或 x1， 当 x1 时，f(x)0， 当2x1 时，f(x)0， 则 f(x)的极小值为 f(1)1. 5若函数 f(x)1 3x 3x22 3在区间(a，a5)上存在最小值，则实数
18、a 的取值范围 是() A5，0)B(5，0)C3，0)D(3，0) 答案C 解析由题意，f(x)x22xx(x2)，故 f(x)在(，2)，(0，)上是增函 数，在(2，0)上是减函数，作出其图象如图所示 令 1 3x 3x22 3 2 3得，x0 或 x3，则结合图象可知， 3a0， 解得 a3，0)，故选 C. 6若函数 f(x)ax 2 2 (12a)x2ln x(a0)在区间 1 2，1内有极大值，则 a 的取值 范围是() A. 1 e，B(1，) C(1，2)D(2，) 答案C 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新
19、人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析f(x)ax(12a)2 x ax2（2a1）x2 x (a0， x0)， 若 f(x)在区间 1 2，1 内有极大值， 即 f(x)0 在 1 2，1内有解，且 f(x)在区间 1 2，1内先大于 0，后小于 0， 则 f 1 2 0， f（1）0， a（2a1）20， 解得 1a0，f(x)在1，e上为增函数，有 f(x)min f(1)m4，m4，舍去若 m0，令 f(x)0，则 xm，且当 xm 时，f(x)m 时，f(x)0，f(x)单调递增若m1，即 m1 时，f(x)minf(1)m1，不可能等于 4；
20、若 1me，即eme， 即 me 时， f(x)minf(e)1m e ， 令 1m e 4， 得 m3e， 符合题意 综 上所述，m3e. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 9 (2020浙江名师预测卷三)可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关， 如果函数 的导函数在某个区间上单调递增，那么在这个区间上函数是向下凹的，反之则是 向上凸的，曲线上凹凸性的分界点称为曲线的拐点，则函数 f(x)x 3 3 x21 的极 大值点为_，拐点为_ 答案x0 1，1
21、3 解析由题意可知 f(x)x22xx(x2)，故函数 f(x)在(，0)上单调递增，在 (0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，故其极大值在 x0 处取到，所以 f(x) 的极大值点为 x0，由 f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所 以其拐点为 1，1 3 . 10设函数 f(x) x33x，xa， 2x，xa. (1)若 a0，则 f(x)的最大值为_； (2)若 f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围是_ 答案(1)2(2)(，1) 解析(1)当 a0 时，f(x) x33x，x0， 2x，x0. 若 x0，则 f(x)3x233(x21) 由 f(x)0 得 x
22、1，由 f(x)0 得1x0. f(x)在(，1)上单调递增；在(1，0)上单调递减，当 x0 时， f(x)f(1)2. 若 x0，则 f(x)2x 单调递减， 所以 f(x)f(0)0. 所以 f(x)的最大值为 2. (2)函数 yx33x 与 y2x 的图象如图 显然当 a1 时，f(x)有最大值，为 2 与 a33a 中较大的值 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 当 a1 时，y2x 在 xa 时无最大值，且2a2. 所以 a1. 三、解答题
23、11已知函数 f(x)ex(x2ax1)，aR(e 为自然对数的底数) (1)若 xe 是 f(x)的极值点，求实数 a 的值； (2)求 f(x)的单调递增区间 解(1)f(x)exx2(a2)xa1 ex(x1)(xa1)， 由 f(e)0，得 ae1，此时 xe 是 f(x)的极小值点 (2)由 f(x)0，得 x1 或 xa1. 当 a0 时，a11， f(x)的单调递增区间是(，)； 当 a1， f(x)的单调递增区间是(，1)，(a1，)； 当 a0 时，a11， f(x)的单调递增区间是(，a1)，(1，) 12(2020北京卷)已知函数 f(x)12x2. (1)求曲线 yf(
24、x)的斜率等于2 的切线方程； (2)设曲线 yf(x)在点(t， f(t)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 S(t)， 求 S(t) 的最小值 解(1)f(x)2x， 令 f(x)2，得2x2，解得 x1，f(1)12111， 所以切点为(1，11)， 切线方程为 y112(x1)，即 2xy130. (2)二次函数 f(x)12x2为偶函数，其图象是开口向下的抛物线，且关于 y 轴对 称，故只需考虑一侧的情形即可 不妨考虑 x0 时的情形 设切点为(t，12t2)，t0，由(1)知 f(x)2x，可求得切线方程为 y(12t2)2t(xt)， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ
25、 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 得 y2txt212， 所以切线与坐标轴的交点分别为 A(0，t212)， B t212 2t ，0 ， S(t)1 2|OA|OB| 1 2 t212 2t (t212)t 424t2144 4t ， S(t)3t 424t2144 4t2 3（t 212） （t24） 4t2 ， 当 t 变化时，S(t)，S(t)的变化情况如下表所示： t(0，2)2(2，) S(t)0 S(t)极小值 故当 t2 时，S(t)取得最小值，为 S(2)32. 能力提升题组
26、13已知 e 为自然对数的底数，设函数 f(x)(ex1)(x1)k(k1，2)，则() A当 k1 时，f(x)在 x1 处取到极小值 B当 k1 时，f(x)在 x1 处取到极大值 C当 k2 时，f(x)在 x1 处取到极小值 D当 k2 时，f(x)在 x1 处取到极大值 答案C 解析当 k1 时，f(x)exx1，f(1)0. x1 不是 f(x)的极值点 当 k2 时，f(x)(x1)(xexex2)， 显然 f(1)0，且 x 在 1 的左边附近 f(x)0， f(x)在 x1 处取到极小值故选 C. 14(2020浙江二联)已知函数 f(x)eln x 和 g(x)x1 的图象
27、与直线 ym 的交 点分别为 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1x2的取值范围是() A1，)B2，) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 C. 1 2，D. 3 2， 答案A 解析由题意知 f(x1)g(x2)，所以 eln x1x21，即 x2eln x11，则 x1x2x1 eln x11， x10.令h(x)xeln x1(x0)， 则 h(x)1e x xe x .当xe时， h(x)0， 当 0 xe 时，h(x)0，所以 h(x)在
28、(0，e)上单调递减，在(e，)上单调递增，所 以 h(x)minh(e)1.又当 x 0 时，h(x)，当 x时，h(x)，所以 h(x)在(0，)上的值域为1，)，所以 x1x2的取值范围为1，) 15(2021南京、盐城模拟)设正实数 x，则 f(x)ln 2 x xln x 的值域为_ 答案 0，1 e 解析令 ln xt，则 xet，g(t) t2 et2， 令 t2m，m0，h(m)m em， h(m)e m（1m） e2m ，令 h(m)0，解得 m1， 当 0m0，函数 h(m)单调递增， 当 m1 时，h(m)0，函数 h(m)单调递减， h(m)maxh(1)1 e， f(
29、0)0，当 m时，h(m)0， f(x)ln 2x xln x的值域为 0，1 e . 16已知实数 x，y 满足 4x9y1，则 2x 13y1 的取值范围是_ 答案(2， 13 解析由 4x9y1 得 22x32y1，3y 122x，其中 22x(0，1)，所以 2x(0， 1)，所以 2x 13y122x33y22x3 122x，令 t2x，则 f(t)2t 3 1t2(0t1)，则 f(t)2 3t 1t2，令 f(t)2 3t 1t20 得 t 2 13 13 ，所以函 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数
30、学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 数f(t)在 0，2 13 13上单调递增， 在 2 13 13 ，1 上单调递减， 且f(0)3， f 2 13 13 13， f(1)2，所以 2x 13y1 的取值范围为(2， 13 17(2019北京卷)已知函数 f(x)1 4x 3x2x. (1)求曲线 yf(x)的斜率为 1 的切线方程； (2)当 x2，4时，求证：x6f(x)x. (3)设 F(x)|f(x)(xa)|(aR)，记 F(x)在区间2，4上的最大值为 M(a)当 M(a)最小时，求 a 的值 (1)解由 f(x)1 4x 3x2x 得 f(x)3 4x
31、 22x1. 令 f(x)1，即 3 4x 22x11，得 x0 或 x8 3. 又 f(0)0，f 8 3 8 27， 所以曲线 yf(x)的斜率为 1 的切线方程是 yx 与 y 8 27x 8 3，即 yx 与 yx 64 27. (2)证明令 g(x)f(x)x，x2，4 则 g(x)1 4x 3x2，g(x)3 4x 22x，x2，4 令 g(x)0 得 x0 或 x8 3. 当 x 变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下： x2(2，0)00，8 3 8 3 8 3，4 4 g(x)00 g(x)6064 27 0 所以 g(x)的最小值为6，最大值为 0. 故6g(x)0，即
32、x6f(x)x. (3)解由(2)知， 当 a3； 当 a3 时，M(a)F(2)|g(2)a|6a3； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 当 a3 时，M(a)3； 综上，当 M(a)最小时，a3. 18(2020浙江名师预测卷二)已知函数 f(x)ln x，g(x)2x2a x，aR. (1)证明：f(x)x1； (2)若 f(x)g(x)在 1 2，上恒成立，求 a 的取值范围； (3)是否存在实数 a，使函数 h(x)f(x)g(x)2x2在(0
33、，e2上有最小值 4？若存在， 求出 a 的值；若不存在，请说明理由 (1)证明令 F(x)x1ln x，x0， 又 F(x)11 x x1 x 0 x1， 则 F(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增， 则 F(x)F(1)0，所以 x1ln x，即 f(x)x1. (2)解由 f(x)g(x)得 ln x2x2a xa2x 3xln x， 令 k(x)2x3xln x，则 k(x)6x2ln x1， 由(1)知，当 x 1 2，时， 6x2x0，x1ln x， 所以 k(x)6x2ln x1x1ln x0， 所以 k(x)在 1 2，上单调递增， 则 k(x)k 1 2 1 4
34、 1 2ln2， 所以 a1 4 1 2ln2. (3)解令 h(x)f(x)g(x)2x2a xln x， h(x) a x2 1 x xa x2 ，x0， 当 a0 时，h(x)0 恒成立，h(x)在(0，e2上单调递增，h(x)无最小值，不符 合题意； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 当 a0 时，令 h(x)0 得 xa， 令 h(x)0 得 xa，令 h(x)0 得 xa， h(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增 若 0ae2， 则 h(x)在(0， e2上的最小值为 h(a)ln a1， 由 ln a14 得 ae3， 不满足 0ae2，舍去； 若 ae2，则 h(x)在(0，e2上单调递减， h(x)minh(e2)a e2ln e 2a e22， 由 a e224 得 a2e 2，满足 ae2. 综上所述，存在实数 a2e2，使函数 h(x)f(x)g(x)2x2在(0，e2上有最小值 4.
