1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 3 节空间点、直线、平面之间的位置关系 知 识 梳 理 1平面的基本性质 (1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 (2)公理 2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 (3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点 的公共直线 2空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线直线与平面平面与平面 平 行 关 系 图形 语言 符号 语言 aba 相 交
2、 关 系 图形 语言 符号 语言 abAaAl 独 有 关 系 图形 语言 符号 语言 a，b 是异面直线a 3.平行公理(公理 4)和等角定理 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4异面直线所成的角 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，把 a 与 b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所
3、成的角(或夹角) (2)范围： 0， 2 1 异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”， 实质上 两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交 2直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内” 3 两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时， 容易忽视这个三角形的内角 可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)两个平面， 有一个公共点 A， 就说， 相交于过 A 点的任意一条直线 () (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面() (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合() (4)若直线 a
4、不平行于平面，且 a，则内的所有直线与 a 异面() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 公共直线，故错误 (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误 (4)由于 a 不平行于平面，且 a，则 a 与平面相交，故平面内有与 a 相交的 直线，故错误 2(必修 2P52B1(2)改编)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成的角的大小为() A30B45 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加
5、入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 C60D90 答案C 解析连接 B1D1，D1C，则 B1D1EF，故D1B1C 为所求的角又 B1D1B1C D1C，D1B1C60. 3在下列命题中，不是公理的是() A平行于同一个平面的两个平面相互平行 B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面 内 D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共 直线 答案A 解析选项 A 是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的 4已知直线 a，b 分别在两个不
6、同的平面 ，内，则“直线 a 和直线 b 相交” 是“平面和平面相交”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案A 解析由题意知 a，b，若 a，b 相交，则 a，b 有公共点，从而，有公 共点，可得出，相交；反之，若，相交，则 a，b 的位置关系可能为平行、 相交或异面因此“直线 a 和直线 b 相交”是“平面和平面相交”的充分不必 要条件 5若直线 ab，且直线 a平面，则直线 b 与平面的位置关系是_ 答案b 与相交或 b或 b 6如图所示，平面，两两相交，a，b，c 为三条交线，且 ab，则 a 与 c 的位置关系是_；b 与 c 的位置关系是_
7、答案acbc 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 考点一平面的基本性质及应用 【例 1】 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AB，AA1的中 点求证： (1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE，D1F，DA 三线共点 证明(1)如图，连接 EF，CD1，A1B.E，F 分别是 AB，AA1的中点，EFA1B. 又 A1BCD1，EFCD1， E，C，D1，F 四点共面 (2)EFCD1，EFCD1， CE 与 D1F 必
8、相交， 设交点为 P， 则由 PCE，CE平面 ABCD，得 P平面 ABCD.同理 P平面 ADD1A1. 又平面 ABCD平面 ADD1A1DA，P直线 DA.CE，D1F，DA 三线共点 感悟升华(1)证明线共面或点共面的常用方法 直接法，证明直线平行或相交，从而证明线共面 纳入平面法，先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内 辅助平面法，先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最 后证明平面，重合 (2)证明点共线问题的常用方法 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 4831
9、22854 期待你的加入与分享 基本性质法，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质 3 证明这些点都在这两个平面的交线上 纳入直线法，选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上 【训练 1】 如图所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形，BC 綉 1 2AD，BE 綉 1 2FA， G，H 分别为 FA，FD 的中点 (1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2)C，D，F，E 四点是否共面？为什么？ (1)证明由已知 FGGA，FHHD，可得 GH 綉 1 2AD.又 BC 綉 1 2AD， GH 綉 BC， 四边形 BCHG 为平行四边形 (2)解B
10、E 綉 1 2AF，G 为 FA 的中点，BE 綉 FG， 四边形 BEFG 为平行四边形，EFBG. 由(1)知 BG 綉 CH，EFCH，EF 与 CH 共面 又 DFH，C，D，F，E 四点共面 考点二判断空间两直线的位置关系 【例 2】 (1)(一题多解)若直线 l1和 l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l 是平面与平面的交线，则下列命题正确的是() Al 与 l1，l2都不相交 Bl 与 l1，l2都相交 Cl 至多与 l1，l2中的一条相交 Dl 至少与 l1，l2中的一条相交 (2)如图，G，H，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH， 本资料分享
11、自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 MN 是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号) 答案(1)D(2) 解析(1)法一由于 l 与直线 l1，l2分别共面，故直线 l 与 l1，l2要么都不相交， 要么至少与 l1，l2中的一条相交 若 ll1，ll2，则 l1l2，这与 l1，l2是异面直线矛盾 故 l 至少与 l1，l2中的一条相交 法二如图 1，l1与 l2是异面直线，l1与 l 平行，l2与 l 相交，故 A，B 不正确；如 图 2，l1与 l2是异面
12、直线，l1，l2都与 l 相交，故 C 不正确 (2)在图中，直线 GHMN； 在图中，G，H，N 三点共面，但 M平面 GHN，NGH，因此直线 GH 与 MN 异面； 在图中，连接 GM，GMHN，因此 GH 与 MN 共面； 在图中，G，M，N 共面，但 H平面 GMN，GMN， 因此 GH 与 MN 异面所以在图中 GH 与 MN 异面 感悟升华(1)异面直线的判定方法 反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发， 经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面 定理： 平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面 直线
13、 (2)点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型， 以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系 【训练 2】 (1)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 BC1，CD1的 中点，则下列判断错误的是() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 AMN 与 CC1垂直 BMN 与 AC 垂直 CMN 与 BD 平行 DMN 与 A1B1平行 (2)已知 a， b， c 表示不同的直线， M 表示平面， 给出
14、四个命题： 若 aM， bM， 则 ab 或 a，b 相交或 a，b 异面；若 bM，ab，则 aM；若 ac，bc， 则 ab；若 aM，bM，则 ab.其中正确的为() ABCD 答案(1)D(2)A 解析(1)如图，连接 C1D， 在C1DB 中，MNBD，故 C 正确； CC1平面 ABCD，BD平面 ABCD，CC1BD， MNCC1，故 A 正确； ACBD，MNBD，MNAC，故 B 正确； A1B1与 BD 异面，MNBD， MN 与 A1B1不可能平行，故选项 D 错误 (2)对于，当 aM，bM 时，则 a 与 b 平行、相交或异面，为真命题中， bM，ab，则 aM 或
15、aM，为假命题命题中，a 与 b 相交、平行或异 面，为假命题由线面垂直的性质知命题为真命题，所以，为真命题 考点三异面直线所成的角 【例 3】 (1)如图所示，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，D 是 AC 的中点，AA1AB 21，则异面直线 AB1与 BD 所成的角为_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)已知平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A， 平面CB1D1， 平面ABCD m，平面 ABB1A1n，则 m，n 所成角的正弦值为(
16、) A. 3 2 B. 2 2 C. 3 3 D.1 3 答案(1)60(2)A 解析(1)取 A1C1的中点 E，连接 B1E，ED，AE， 在 RtAB1E 中，AB1E 为异面直线 AB1与 BD 所成的角 设 AB1，则 A1A 2，AB1 3，B1E 3 2 ，cosAB1EB1E AB1 1 2，故AB 1E 60. (2)根据平面与平面平行的性质， 将 m， n 所成的角转化为平面 CB1D1与平面 ABCD 的交线及平面 CB1D1与平面 ABB1A1的交线所成的角 设平面 CB1D1平面 ABCD m1. 平面平面 CB1D1，m1m. 又平面 ABCD平面 A1B1C1D1
17、， 且平面 CB1D1平面 A1B1C1D1B1D1， B1D1m1，B1D1m. 平面 ABB1A1平面 DCC1D1， 且平面 CB1D1平面 DCC1D1CD1，同理可证 CD1n. 因此直线 m 与 n 所成的角即直线 B1D1与 CD1所成的角 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，CB1D1是正三角形， 故直线 B1D1与 CD1所成角为 60，其正弦值为 3 2 . 感悟升华(1)求异面直线所成的角常用方法
18、是平移法，平移方法一般有三种类型： 利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补 形平移 (2)求异面直线所成角的三个步骤 作：通过作平行线，得到相交直线的夹角 证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角 求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的 角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角 【训练 3】 (2021台州期末评估)在长方体 ABCDA1B1C1D1中， ABBC1， AA1 3，则异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为() A.1 5 B. 5 6 C. 5 5 D. 2 2 答案C 解析法一如图，连接 BD1，交 DB
19、1于 O，取 AB 的中点 M，连接 DM，OM. 易知 O 为 BD1的中点，所以 AD1OM，则MOD 为异面直线 AD1与 DB1所成角 (或其补角)因为在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1 3， AD1 AD2DD212， DMAD2 1 2AB 2 5 2 ， DB1AB2AD2DD21 5.所以 OM1 2AD 11，OD1 2DB 1 5 2 ，于是在 DMO 中，由余弦定理， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 得 co
20、sMOD 12 5 2 2 5 2 2 21 5 2 5 5 ，即异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为 5 5 . 法二以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空 间直角坐标系，如图所示由条件可知 D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0， 3)， B1(1，1， 3)，所以AD1 (1，0， 3)，DB1 (1，1， 3)则 cosAD1 ， DB1 AD1 DB1 |AD1 |DB1 | 2 2 5 5 5 ，即异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为 5 5 . 基础巩固题组 一、选择题 1已知 l1，l2表示空间中的两条直线，若
21、p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交， 则() Ap 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 Bp 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 Cp 是 q 的充分必要条件 Dp 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 答案A 解析直线 l1，l2是异面直线，一定有 l1与 l2不相交，因此 p 是 q 的充分条件； 若 l1与 l2不相交，那么 l1与 l2可能平行，也可能是异面直线，所以 p 不是 q 的必 要条件故选 A. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 4831
22、22854 期待你的加入与分享 2已知直线 a 和平面，l，a，a，且 a 在，内的射影分别为 直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是() A相交或平行B相交或异面 C平行或异面D相交、平行或异面 答案D 解析依题意，直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面，选 D. 3给出下列说法：梯形的四个顶点共面；三条平行直线共面；有三个公共 点的两个平面重合；三条直线两两相交，可以确定 1 个或 3 个平面其中正确 的序号是() ABCD 答案B 解析显然命题正确 由于三棱柱的三条平行棱不共面，错 命题中，两个平面重合或相交，错 三条直线两两相交，可确定 1 个或 3 个平面，则
23、命题正确 4已知 a，b，c 是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是() A若直线 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 异面 B若直线 a，b 相交，b，c 相交，则 a，c 相交 C若 ab，则 a，b 与 c 所成的角相等 D若 ab，bc，则 ac 答案C 解析若直线 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 相交、平行或异面；若 a，b 相交， b，c 相交，则 a，c 相交、平行或异面；若 ab，bc，则 a，c 相交、平行或异 面；由异面直线所成的角的定义知 C 正确故选 C. 5已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 BB1，CC1的中点，那么异面 直线
24、 AE 与 D1F 所成角的余弦值为() A.4 5 B.3 5 C.2 3 D.5 7 答案B 解析连接 DF，则 AEDF， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 D1FD 为异面直线 AE 与 D1F 所成的角或其补角 设正方体棱长为 a， 则 D1Da，DF 5 2 a，D1F 5 2 a， cosD1FD 5 2 a 2 5 2 a 2 a2 2 5 2 a 5 2 a 3 5. 6(2021镇海中学模拟)设 m，n 是两条异面直线，则下列命题中正
25、确的是() A过 m 且与 n 垂直的平面有且只有一个 B过 m 且与 n 平行的平面有且只有一个 C过空间一点 P 与 m，n 都平行的平面有且只有一个 D过空间一点 P 与 m，n 都垂直的平面有且只有一个 答案B 解析当直线 m 与直线 n 不垂直时，不存在过直线 m 的平面与直线 n 垂直， 故 A 错误；过直线 m 上一点作直线 n 的平行线 l，则过直线 l 和直线 m 的平面与直线 n 平行，故 B 正确；当点 P 在 B 所述的平面内时，此时不存在平面与直线 m，n 都平行，故 C 错误；因为 m，n 为异面直线，所以不存在平面与直线 m，n 都垂 直，故 D 错误综上所述，故
26、选 B. 二、填空题 7.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，则： (1)直线 BN 与 MB1是_直线(填“相交”或“平行”或“异面”)； (2)直线 MN 与 AC 所成的角的大小为_ 答案(1)异面(2)60 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析(1)M，B，B1三点共面，且在平面 MBB1中，但 N平面 MBB1，BMB1，因 此直线 BN 与 MB1是异面直线(2)连接 D1C，因为 D1C
27、MN，所以直线 MN 与 AC 所成的角就是 D1C 与 AC 所成的角，且角为 60. 8如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且 ABCD，则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_ 答案4 解析取CD的中点H， 连接EH， FH.在正四面体CDEF中， 由于CDEH， CDHF， 且 EHFHH，所以 CD平面 EFH，所以 AB平面 EFH，则平面 EFH 与正 方体的左右两侧面平行，则 EF 也与之平行，与其余四个平面相交 9(2020全国卷改编)设有下列四个命题： p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面
28、p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行 p4：若直线 l平面，直线 m平面，则 ml. 则上述命题中的真命题是_(只填代号) 答案p1，p4 解析p1是真命题，两两相交不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个 交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有 且只有一个平面”，可知 p1为真命题；p2是假命题，因为空间三点在一条直线上 时，有无数个平面过这三个点；p3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们 可能平行，也可能异面；p4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂 直于平面内的所有直线 10直三棱柱 ABCA1B1C1中，BCA90，M，N 分别
29、是 A1B1，A1C1的中点， BCCACC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为_ 答案 30 10 解析如图所示，取 BC 中点 D，连接 MN，ND，AD. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 M，N 分别是 A1B1，A1C1的中点， MN 綉 1 2B 1C1.又 BD 綉 1 2B 1C1， MN 綉 BD，则四边形 BDNM 为平行四边形，因此 NDBM， AND 为异面直线 BM 与 AN 所成的角(或其补角) 设 BC2，则 BMND
30、6，AN 5，AD 5， 在ADN 中，由余弦定理得 cosANDND 2AN2AD2 2NDAN 30 10 . 故异面直线 BM 与 AN 所成角的余弦值为 30 10 . 三、解答题 11.如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 A1B1，B1C1的中点问： (1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由； (2)D1B 和 CC1是否是异面直线？说明理由 解(1)AM，CN 不是异面直线理由：连接 MN，A1C1，AC. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 4831
31、22854 期待你的加入与分享 因为 M，N 分别是 A1B1，B1C1的中点，所以 MNA1C1. 又因为 A1A 綉 C1C，所以四边形 A1ACC1为平行四边形， 所以 A1C1AC， 所以 MNAC， 所以 A，M，N，C 在同一平面内， 故 AM 和 CN 不是异面直线 (2)直线 D1B 和 CC1是异面直线 理由：因为 ABCDA1B1C1D1是正方体，所以 B，C，C1，D1不共面假设 D1B 与 CC1不是异面直线， 则存在平面，使 D1B平面，CC1平面， 所以 D1，B，C，C1， 这与 B，C，C1，D1不共面矛盾所以假设不成立， 即 D1B 和 CC1是异面直线 12
32、.如图所示， 在三棱锥 PABC 中， PA底面 ABC， D 是 PC 的中点 已知BAC 2，AB2，AC2 3，PA2.求： (1)三棱锥 PABC 的体积； (2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值 解(1)SABC1 222 32 3， 三棱锥 PABC 的体积为 V1 3S ABCPA1 32 32 4 3 3. (2)如图，取 PB 的中点 E，连接 DE，AE，则 EDBC，所以ADE 是异面直线 BC 与 AD 所成的角(或其补角) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 4
33、83122854 期待你的加入与分享 在ADE 中，DE2，AE 2，AD2， 则 cosADE2 222（ 2）2 222 3 4.故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 3 4. 能力提升题组 13以下四个命题中， 不共面的四点中，其中任意三点不共线； 若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C，E 共面，则点 A，B，C，D，E 共面； 若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面； 依次首尾相接的四条线段必共面 正确命题的个数是() A0B1C2D3 答案B 解析假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与 四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线
34、，所以正确从条件看出两平面有 三个公共点 A，B，C，但是若 A，B，C 共线，则结论不正确；不正确；不 正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形 14若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4，满足 l1l2，l2l3，l3l4，则 下列结论一定正确的是() Al1l4 Bl1l4 Cl1与 l4既不垂直也不平行 Dl1与 l4的位置关系不确定 答案D 解析如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，记 l1DD1，l2DC，l3DA.若 l4 AA1，满足 l1l2，l2l3，l3l4，此时 l1l4，可以排除选项 A 和 C. 若取 C1D 为 l4，则
35、 l1与 l4相交；若取 BA 为 l4，则 l1与 l4异面；取 C1D1为 l4，则 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 l1与 l4相交且垂直 因此 l1与 l4的位置关系不能确定 15如图，正方形 ACDE 与等腰直角三角形 ACB 所在的平面互相垂直，且 AC BC2，ACB90，F，G 分别是线段 AE，BC 的中点，则 AD 与 GF 所成的角 的余弦值为_ 答案 3 6 解析取 DE 的中点 H，连接 HF，GH.由题设，HF 綉 1 2A
36、D. GFH 为异面直线 AD 与 GF 所成的角(或其补角) 可求得 HF 2， GFGH 6，cosHFG 266 2 2 6 3 6 . 16已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，半径为 2. (1)设圆锥的母线长为 4，则圆锥的体积为_； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)设 PO4，OA，OB 是底面半径，且AOB90，M 为线段 AB 的中点，如图， 则异面直线 PM 与 OB 所成的角的正切值为_ 答案(1)8 3 3 (2) 17
37、解析(1)易得圆锥的高为 2 3，则 V1 342 3 8 3 3 . (2)取 OA 中点为 N， 即求PMN， MN1， PN 17， 所成角大小的正切值为 17. 17.如图，三棱锥 ABCD 中，ABACBDCD3，ADBC2，点 M，N 分 别是 AD，BC 的中点，求异面直线 AN，CM 所成的角的余弦值 解如图所示，连接 DN，取线段 DN 的中点 K，连接 MK，CK. M 为 AD 的中点，MKAN， KMC 为异面直线 AN，CM 所成的角(或其补角) ABACBDCD3，ADBC2，N 为 BC 的中点，由勾股定理求得 AN DNCM2 2， MK 2. 在 RtCKN
38、中，CK （ 2）212 3. 在CKM 中，由余弦定理，得 cosKMC（ 2） 2（2 2）2（ 3）2 2 22 2 7 8. 故异面直线 AN，CM 所成角的余弦值为7 8. 18.如图，在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，OA底面 ABCD，OA2，M 为 OA 的中点 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)求四棱锥 OABCD 的体积； (2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值 解(1)由已知可求得正方形 ABCD 的面积 S4， 所以四棱锥 OABCD 的体积 V1 342 8 3. (2)如图，连接 AC，设线段 AC 的中点为 E，连接 ME，DE，又 M 为 OA 中点， MEOC， 则EMD(或其补角)为异面直线 OC 与 MD 所成的角，由已知可得 DE 2，EM 3，MD 5， ( 2)2( 3)2( 5)2， DEM 为直角三角形， tanEMDDE EM 2 3 6 3 . 异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值为 6 3 .
