1、2中学数学研究2019 年第 5 期 (上) 椭圆的极点极线性质及推论 北京化工大学附属中学 (100029)韩 毅 北京市朝阳区教育研究中心 (100028)蒋晓东 摘要本文聚焦椭圆的极点极线问题, 研究了椭圆的极 点极线性质以及推论, 对于性质以及推论进行了详细的证明 与阐述. 并且借助高考解析几何试题来揭示椭圆的极点极线 性质及其推论是如何在高考试题中体现的, 通过现象研究试 题的本质. 关键词 极点; 极线 1. 研究的缘起 在高考解析几何题当中, 经常会遇到求定值、 定点、 以及 共线等等问题. 这些问题的背后隐藏着更深层次的理论 极点极线理论. 极点极线是法国数学家笛莎格于 163
2、9 年在 射影几何学奠基之作 圆锥曲线论稿 中提出的. 初次接触极点极线理论是在王雅琪所写的 高观点下的 北京高考解析几何试题 一文中, 此文介绍了极点极线的定 义、 两个推论和以极点极线为背景的高考解析几何试题 1. 该文并没有对相关推论进行证明. 查阅资料发现范方兵、 王 芝平所写的文章 代数几何相转化相映成辉是一家 中, 借 助 2018 年北京高考的抛物线解答题, 探究了该题的命题理 论背景 极点极线理论, 并介绍了调和点列及调和线束等 概念 2. 张留杰的 基于抛物线的一条性质的类比推广 一 文中, 借助极点极线理论使得 2017 年北京高考理科的抛物 线解答题结论得以推广到一般的二
3、次曲线 3. 从以上文章中 不难看出, 以极点极线理论为背景命制的高考试题比较常见, 但是极点极线在椭圆中如何体现的呢? 它们的性质有哪些? 推论有哪些? 它们的推论以及性质是如何得到的呢? 这些性 质以及推论如何体现在高考试题当中呢? 这些细致的问题值 得研究与探讨. 2. 椭圆的切线以及切点弦直线 首先, 如果点 P (x0,y0) 在圆 O : x2+ y2= 1 上, 则过 点 P (x0,y0) 与圆 O 相切的直线为 x0 x + y0 y = 1. 那 么, 当点 P (x0,y0) 在椭圆 C : x2 a2 + y2 b2 = 1 上, 用隐函数求 导法、 判别式法或仿射变换
4、法, 易求得过 P (x0,y0) 的切线为 x0 x a2 + y0 y b2 = 1; 用仿射变换法求该切线方法如下: 证明设 x= x a , y= y b , 则椭圆 C 变换为 x2+ y2= 1, P (x0,y0) 变 换 为 P(x0,y0), 即 P (x0 a , y0 b ) .过 点 P (x0 a , y0 b ) 与圆x2+y2= 1相切的直线为x0 x+y0y= 1, 即 x0 x a2 + y0 y b2 = 1. 若 点 P (x0,y0) 在 椭 圆 C : x2 a2 + y2 b2 = 1 外, 如图 1, 则过 P 可以作椭圆 C 的两条切线, 切点为
5、 F,G, 那么直线 x0 x a2 + y0 y b2 = 1 是过两个切点 F,G 的直线, 俗称切 点弦直线. 证明如下: 图 1 证明 设 F (x1,y1),G(x2,y2) 在椭圆 C : x2 a2 + y2 b2 = 1 上, 因为 PF,PG 为椭圆的两条切线, 所以直线 PF,PG 方 程分别为 x1 x a2 + y1 y b2 = 1, x2 x a2 + y2 y b2 = 1, 又因为 点 P (x0,y0) 在直线 PF,PG 上, 所以 x1 x0 a2 + y1 y0 b2 = 1, x2 x0 a2 + y2 y0 b2 = 1, 进而可知点 F (x1,y
6、1),G(x2,y2) 在直线 x0 x a2 + y0 y b2 = 1, 所以直线 x0 x a2 + y0 y b2 = 1 为 过两个切点 F,G 的直线方程. 若点 P (x0,y0) 在椭圆内部, 但非中心 (0,0) 时, 依然可 以得到一条 x0 x a2 + y0 y b2 = 1 的直线. 那么这条直线与椭 圆的位置关系是什么呢? 分两种情况讨论一下: 1若 y0= 0, 带入 x0 x a2 + y0 y b2 = 1 可得: x = a2 x0 (x0= 0). 当 |x0| a, 直 线 x = a2 x0 与椭圆相离; 当 |x0| = a, P 在椭圆上, 由于
7、? ? ? ? a2 x0 ? ? ? ? = a, 直线 x = a2 x0 与椭圆相切; 当 |x0| a, P 在椭圆 外, 由于 ? ? ? ? a2 x0 ? ? ? ? a, 直线 x = a2 x0 与椭圆相交. 2若y0=0,联 立 直 线 与 椭 圆 方 程: x0 x a2 + y0 y b2 = 1, x2 a2 + y2 b2 = 1, 利 用 判 别 式= 4a2b6 y2 0 ( x2 0 a2 + y2 0 b2 1 ) ; 当 P 在椭圆内, 由于 x2 0 a2 + y2 0 b2 1 0, 0, 0, 直线 x0 x a2 + y0 y b2 = 1 与椭圆
8、相交. 上述讨论可以得到,1当点 P (x0,y0) 在椭圆 C : x2 a2 + y2 b2 = 1 上, 直线 x0 x a2 + y0 y b2 = 1 为过点 P (x0,y0) 的切线;2当点 P (x0,y0) 在椭圆 C : x2 a2 + y2 b2 = 1 外, 那 么直线 x0 x a2 + y0 y b2 = 1 是过两个切点的直线, 即切点弦 直线.3当点 P (x0,y0) 在椭圆 C : x2 a2 + y2 b2 = 1 内, 那么 直线 x0 x a2 + y0 y b2 = 1 在椭圆外. 3. 椭圆极点与极线 3.1 极点极线的定义 事 实 上, 点 P
9、(x0,y0) (不 是 原 点) 与 直 线 x0 x a2 + y0 y b2 = 1, 就是相对于椭圆 x2 a2 + y2 b2 = 1 的一对极点与 极线. 对于圆锥曲线的极点极线, 有统一的定义: 已知圆锥曲线 : Ax2+ By2+ 2Cx + 2Dy + E = 0, 则称点 P (x0,y0) 和直线 l : Ax0 x + By0y + C (x + x0) + D(y + y0) + E = 0 是圆锥曲线 的一对极点和极线 4. 3.2 椭圆的极点与极线的性质 在平面直角坐标系 xOy 中, 极点 P (x0,y0) (不是原点) 相对于椭圆 x2 a2 + y2 b2
10、 = 1 的极线为 x0 x a2 + y0 y b2 = 1; 有 如下性质: 1一个确定的极点, 有唯一确定的一条极线; 反之亦 然. 2如图 2, 若极点 P (x0,y0) 在椭圆内, 极线 x0 x a2 + y0 y b2 = 1 与椭圆相离, 该极线是椭圆中过 P 点的割线的两 端点处切线的交点轨迹. 如图 3, 若极点 P (x0,y0) 在椭圆上, 极线 x0 x a2 + y0 y b2 = 1 与椭圆相切于极点 P. 如图 4, 若极点 P (x0,y0) 在椭圆外, 极线 x0 x a2 + y0 y b2 = 1 与椭圆相交且为椭圆的切点弦直线 (已证). 图图 2图
11、图 3图图 4 3当极点 P(0,m) 在 y 轴上时, 极线为 y = b2 m 平行 于 x 轴; 当极点 P(n,0) 在 x 轴上时, 极线 x = a2 n 为平行于 y 轴; 特别的当极点 P(c,0) 为椭圆 C : x2 a2 + y2 b2 = 1 的焦 点时, 极线为 x = a 2 c 平行于 y 轴且为椭圆的准线. 4设极点 P (x0,y0) 不在坐标轴上, 则直线 OP 的 斜率为 kOP, 极线 f : x0 x a2 + y0 y b2 = 1, 其斜率为 k, 则 kOPk = y0 x0 ( b 2x0 a2y0 ) = b2 a2 . 特别的, 当极点 P
12、 (x0,y0) 在椭圆内, 用点差法易证明极线 f 平行于以 P 为中点的弦所 在直线 EF. 直线 OP 与椭圆相交于点 D, 过点 D 作椭圆的 切线 i, 则以 P 为中点的弦所在直线 EF、 过点 D 的切线 i, 极点 P 的极线 f, 三线相互平行, 如图 5. 图图 5图图 6 5设点 P 的极线为 lP, 点 Q 的极线为 lQ, 如图所示, 若 lQ过点 P, 则 lP过点 Q, 如图 6. 证明如下: 设点P (xP,yP),则相应的极线为lP: xP x a2 + yP y b2 = 1, 点 Q(xQ,yQ), 相应的极线为 lQ: xQ x a2 + yQ y b2
13、 = 1. 因 为 lQ过点 P, 则 P 点坐标满足方程 xQ x a2 + yQ y b2 = 1, 那 么 xQ xP a2 + yQ yP b2 = 1; 即 点 Q 坐 标 满 足 方 程 xP x a2 + yP y b2 = 1, 也就是 lP过点 Q. 由此可得结论, 如图 7, 共线点的极线必然共点 (A、 G、 D、 E 四点共线, 它们的极线 a、 g、 d、 e 共交点 F) ; 共点线的 极点必然共线 (直线 a、 g、 d、 e 共交点 F, 它们的极点 A、 G、 D、 E 四点共线). 图图 7图图 8 3.3 椭圆的极点与极线的推论 推论 1 如图 8, 射线
14、 OP 与椭圆交于点 D, 与点 P 的极 线交于点 C, 则 |OP| |OC| = |OD|2; 当点 P 在 x 轴上时, |OP| |OC| = a2; 当点 P 在 y 轴上时, |OP| |OC| = b2. 证明设点 P (x0,y0), 则其极线为 x0 x a2 + y0 y b2 = 1, 当 点 P 不 在 x 轴 上 时, 直 线 OP 的 方 程 为 y = y0 x0 x.联 立 方 程 组: y = y0 x0 x, x0 x a2 + y0 y b2 = 1, 解 得 4中学数学研究2019 年第 5 期 (上) C ( a2b2x0 b2x2 0+ a2y20
15、 , a2b2y0 b2x2 0+ a2y20 ) . 联立方程组: y = y0 x0 x, x2 a2 + y2 b2 = 1, 解得 |OD|2= a2b2x2 0 b2x2 0+ a2y20 + a2b2y2 0 b2x2 0+ a2y20 , 所以 |OP| |OC| = OP OC =x0 a2b2x0 b2x2 0+ a2y20 + y0 a2b2y0 b2x2 0+ a2y20 = |OD|2; 易知当点 P 在 x 轴上时, |OP| |OC| = a2; 当点 P 在 y 轴 上时, |OP| |OC| = b2. 椭圆 x2 a2 + y2 b2 = 1 的极点极线的几何
16、意义: 如图 9, 点 P (x0,y0) 不在椭圆上, 过 P 作椭圆的两条割线, 分别交椭 圆于 A、 B、 C、 D, 在线段 AB, CD 分别取一点 M、 N, 使得 |PA| |PB| = |MA| |MB|, |PC| |PD| = |NC| |ND|(内分比 = 外分比) , 则直线 MN 就是极点 P (x0,y0) 关于椭圆 x2 a2 + y2 b2 = 1 的极线. 满 足 |PA| |PB| = |MA| |MB| 的四个点 P、 A、 M、 B 为一组调和点列; 满足 |PC| |PD| = |NC| |ND| 的四个点 P、 C、 N、 D 为另一组调和点 列.
17、图图 9图图 10 证 明如 图 10, 过 点 P (x0,y0) (不 在 椭 圆 上) 作 椭 圆 的 两 条 割 线, 分 别 交 椭 圆 x2 a2 + y2 b2 =1 于 A、 B、 C、 D 四 点, 设 PA= PB, PC= PD, A(x1,y1),B (x2,y2),C (x3,y3),D (x4,y4).因 为 PA = PB, 所以 (x1 x0,y1 y0) = (x2 x0,y2 y0), 即 x1 x2= (1 )x0(1) y1 y2= (1 )y0(2) 又因为 A、 B 在椭圆 x2 a2 + y2 b2 = 1 上, 即有 b2x2 1+ a 2y2
18、1= a 2b2 (3) b2x2 2+ a 2y2 2= a 2b2 (4) 由 (3) (4) 2得: b2 (x2 1 2x2 2 ) + a2 (y2 1 2y2 2 ) = a2b2 (1 2); 整理得: b2(x1+ x2)(x1 x2) + a2(y1+ y2)(y1 y2) = a2b2(1 + )(1 )(5) 将(1),(2)代入(5)b2(x1+ x2)(1)x0+ a2(y1+ y2)(1 )y0=a2b2(1 + )(1 );即: b2(x1+ x2)x0+ a2(y1+ y2)y0= a2b2(1 + ); 两边同 除以 a2b2(1 + ) 得: x0 ( x1
19、+x2 1+ ) a2 + y0 ( y1+y2 1+ ) b2 = 1.设 点 M ( x1+ x2 1 + , y1+ y2 1 + ) , 从 上 式 可 以 看 出 点 M ( x1+ x2 1 + , y1+ y2 1 + ) 恰 好 在 直 线 x0 x a2 + y0 y b2 =1 上.又 因 为 A(x1,y1), B(x2,y2), 所 以 点 M ( x1+ x2 1 + , y1+ y2 1 + ) 为 AB 的定比分点, 即 AM = MB. 所以有 | PA| | PB| = | AM| | MB| , 且点 M 恰好在点 P 关于椭 圆的极线上. 同理, 在线段
20、CD 上可以找到一个点 N, 使得 | PC| | PD| = | NC| | ND| , 且点 N 恰好在点 P 关于椭圆的极线上. 所 以 |PA| |PB| = |MA| |MB| 且 |PC| |PD| = |NC| |ND| (内分比 = 外分比) , 则 直线 MN 就是极点 P (x0,y0) 关于椭圆 x2 a2 + y2 b2 = 1 的极 线. 如图 11, 不仅点 M、 N 在极点 P (x0,y0) 的极线上, 直线 AD、 BC 的交点 Q, 以及直线 AC、 BD 的交 点 R, 也都在该极线上. 证明这个 需要了解两个著名的定理: 梅涅劳 图 11 斯定理以及塞瓦
21、定理. 梅捏劳斯定理如图 12, 13, 若一条不过 A、 B、 C 三点 的直线与 ABC 的边 AB、 BC、 AC 所在直线分别交于 D、 E、 F, 则 AD DB BE EC CF FA = 1. 图图 12图图 13 塞瓦定理如图 14, 15, 已知平面上 ABC 和点 D (点 D 不在 ABC 的三边上) , 直线 AD,BD,CD 分别交直线 BC、 CA、 AB 于 F、 G、 E, 则 AE EB BF FC CG GA = 1. 图图 14图图 15 推论 2如图 16, 在完全四边形 ABCD 中, DB 与 CA 的的延长线相交于 R, BA 与 DC 的的延长线
22、相交于 P, 直 线 AD 与 BC 相交于 Q, 若 PA PB = MA MB 且 PC PD = NC ND (内 2019 年第 5 期 (上)中学数学研究5 分比 = 外分比) , 则点 M、 N 在直线 QR 上. 图图 16图图 17 证明 先证明点 N 在直线 QR 上, 如图 17, 连接 QR 交 PD 于点 N, 在 RCD 中, 因为 RN,CB,DA 共点 Q, 由 塞瓦定理得: RB BD DN NC CA AR = 1; 又因为 P,A,B 共线, 由 梅涅劳斯定理得: RB BD DP PC CA AR = 1; 比较以上两式即有 PC PD = NC ND .
23、 又因为 PC PD = NC ND , 所以 NC ND = NC ND , 即 点 N,N重合. 再证明点 M 在直线 QR 上, 如图 18: 连接 QR 交线段 AB 于点 M, 在 AQB 中, 因为 QR,AR,BR 共点 R, 由 塞瓦定理得: AM MB BC CQ QD DA = 1; 因为 P,C,D 共线, 由 梅涅劳斯定理得: AP PB BC CQ QD DA = 1; 比较以上两式即有 PA PB = MA MB . 又因为 PA PB = MA MB , 所以 MA MB = MA MB , 即 点 M,M重合. 综上所述: M、 N 点在直线 QR 上. 图图
24、18图图 19 推论 2 的意义在于给出了画极点 P 所对应的极线的快 速方法. 如图 19, 过点 P (x0,y0) (不在椭圆上) 作椭圆的两条 割线, 分别交椭圆 x2 a2 + y2 b2 = 1 于 A、 B、 C、 D 四点, 在完全 四边形 ABCD 中, 直线 AD、 BC 相交点 Q, 以及直线 AC、 BD 相交点 R, 则直线 QR 即为点 P (x0,y0) 的极线. 推论 3如图 20, 若 P、 A、 M、 B 为一组调和点列 (即满 足 PA PB = MA MB ), 则 1 PA + 1 PB = 2 PM . 证明若 PA PB = MA MB , 则 M
25、A PA = MB PB MA PA MB PB = 0 1+1+ MA PA MB PB = 2 PA PA + MA PA + PB PB MB PB = 2 PM PA + PM PB = 2, 所以 1 PA + 1 PB = 2 PM . 推论 4 设完全四边形 ABCD 为椭圆的内接四边形, 且 AB CD = P, AD BC = Q, BD AC = R, 则点 P 的极线为 RQ; 点 Q 的极线为 RP; 点 R 的极线为 PQ, 称 PQR 为自极三角形, 如图 21. 图图 20图图 21 推论 5如图 22, 设四边形 ABCD 为椭圆的内接梯形, AC/BD, AD
26、 BC = Q, 则点 P 的极线过 Q, 且与直线 AC、 BD 平行. 特别的如图 23, 若 BC/AD/y 轴时, 点 P 的极线平行 y 轴, 且与 x 轴的交点 R 也是 AC、 BD 交点, 根 据推论 1 有 |OR| |OP| = |OF|2= a2. 图图 22图图 23 4. 极点极线理论在高考试题中的体现 例题1 (2008年高考安徽卷理科)设椭圆C : x2 a2 + y2 b2 = 1(a b 0) 过点 M(2,1), 且着焦点为 F1(2,0). (I) 求椭圆 C 的方程; (II) 当过点 P(4,1) 的动直线 l 与 椭圆 C 相交于两不同点 A,B 时
27、, 在线段 AB 上取点 Q, 满足 | AP| | QB| = | AQ| | PB|, 证明: 点 Q 总在某定直线上. 背景分析(II) 因为 | AP| | QB| = | AQ| | PB|, 所以 PQ 调和分割 AB (即 P、 Q 两点为线段 AB 的内外分点). 所 以点 Q 在点 P 的极线上, 而点 P 的极线为 2x + y 2 = 0, 所以点 Q 总在 2x + y 2 = 0 上. 例题 2(2010 年高考江苏卷) 在平面直角坐标系 xOy 中, 如图 24, 已知椭圆 x2 9 + y2 5 = 1 的左、 右顶点为 A、 B, 右 焦点为 F. 设过点 T(
28、t,m) 的直线 TA、 TB 与椭圆分别交于 点 M(x1,y1)、 N(x2,y2), 其中 m 0, y1 0,y2 0), 设 fn(x) 为 fn1(x) 的导数, n N. (1)略; (2)证 明:对 任 意 的 nN, 等 式 ? ? ?nf n1 ( 4 ) + 4 fn ( 4 )? ? ? = 2 2 都成立. 解(1) 略; (2) 由已知, 得 xf0(x) = sinx, 等式两边分 别对 x 求导, 得 f0(x)+xf0(x) = cosx, 即 f0(x)+xf1(x) = cosx = sin ( x + 2 ) , 类似可得 2f1(x) + xf2(x)
29、 = sinx = sin(x + ), 3f2(x) + xf3(x) = cosx = sin ( x + 3 2 ) , 4f3(x) + xf4(x) = sinx = sin(x + 2). 下面用数学归纳 法证明等式 nfn1(x) + xfn(x) = sin ( x + n 2 ) 对所有的 n N都成立. 1当 n = 1 时, 由上可知等式成立. 2假 设 当 n = k 时 等 式 成 立 (有 效 增 设) , 即 kfk1(x) + xfk(x) = sin ( x + k 2 ) . 3因为 kfk1(x) + xfk(x)= kf k1(x) + fk(x) +
30、xf k(x) = (k + 1)fk(x) + xfk+1(x), sin ( x + k 2 ) = cos ( x + k 2 ) ( x + k 2 ) = sin x + (k + 1) 2 , 所以 (k + 1)fk(x) + xfk+1(x) = sin x + (k + 1) 2 . 例题 3 (2011 年高考四川卷) 如图 25, 椭圆有两顶点 A(1,0)、 B(1,0), 过其焦点 F(0,1) 的直线 l 与椭圆交于 C、 D 两点, 并与 x 轴交于点 P, 直线 AC 与直线 BD 交于点 Q. 图 25 (I) 当 |CD| = 3 2 2 时, 求直线 l
31、的方程; (II) 当点 P 异于 A、 B 两点时, 求证: OP OQ 为定值 背景分析(II) 设 P(t,0), 则点 P 的极线过 Q. 因为椭 圆方程为 y2 2 + x2= 1, 所以点 P(t,0) 的极线为 x = 1 t , 即 Q ( 1 t ,yQ ) . 所以 OP OQ = xPxQ+yPyQ= t1 t +0yQ= 1. 例题 4(2012 年高考北京卷理科) 已知曲线 C : (5 m)x2+ (m 2)y2= 8 (m R) (I) 若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆, 求 m 的取值范围; (II) 设 m = 4, 曲线 C 与 y 轴的交点为 A,B
32、(点 A 位于 点 B 的上方) , 直线 y = kx + 4 与曲线 C 交于不同的两点 M、 N, 直线 y = 1 与直线 BM 交于点 G 求证: A,G,N 三 点共线 背景分析(II) 如图 26, 直 线 AN 与 BM 的 交 点 必 在 点 P(0,4) 的极线上, 而点 P(0,4) 的 极线为 y = 1. 所以直线 AN、 直 线 BM、 直线 y = 1 共点, 所以 A,G,N 三点共线. 图 26 5. 小结 许多高考解析几何试题的命制都是以极点极线理论作 为指导的, 因此对于极点极线理论的了解, 有助于把握命题 者的意图, 明确解决问题的方向, 优化运算. 探究极点极线性 质、 推论有较高的教育教学价值, 因此作为一线教师可以有 所了解. 参考文献 1 王雅琪. 高观点下的北京高考解析几何试题 J. 数学通报, 2016, 55(11): 2830. 2 范方兵, 王芝平. 代数几何相转化 相映成辉是一家 J. 数学通报, 2018, 57(7): 5558. 3 张留杰. 基于抛物线的一条性质的类比推广 J. 数学通报, 2018, 57(7): 5961. 4 周兴和. 高等几何 M. 北京: 科学出版社, 2003. *项目支持: 江苏省高等教育教改项目:“综合性大学开展卓越中学数学教师培养的探索与实践 (2017JSJG236) ” .
