1、第第 2 节节命题及其关系、充分条件与必要条件命题及其关系、充分条件与必要条件 考试要求1.理解命题的概念，了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命 题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要 条件的含义. 知 识 梳 理 1.命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的 语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题. 2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性. 两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系. 3.充分条件、必要条件与充要条
2、件的概念 若 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件 pq 且 qp p 是 q 的必要不充分条件 pq 且 qp p 是 q 的充要条件pq p 是 q 的既不充分也不必要条件 pq 且 qp 常用结论与微点提醒 1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只 否定命题的结论. 2.区别A是B的充分不必要条件(AB且BA)， 与A的充分不必要条件是B(BA 且 AB)两者的不同. 3.A 是 B 的充分不必要条件綈 B 是綈 A 的充分不必要条件. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)“
3、x22x31 是 a1 b的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析若“ab1”，当 a2，b1 时，不能得到“a1 b”， 若“a1 b”，例如当 a1，b1 时，不能得到“ab1”， 故“ab1”是“a1 b”的既不充分也不必要条件. 答案D 3.(老教材选修 21P2 例 1 改编)下面有 4 个命题：集合 N 中最小的数是 1； 若a 不属于 N，则 a 属于 N；若 aN，bN，则 ab 的最小值为 2；x2 12x 的解可表示为1，1.其中真命题的个数为_. 解析为假命题，集合 N 中最小的数是 0；为假命题，如 a1 2不满足；为
4、假命题，如 a0，b1，ab1，比 2 小；为假命题，所给集合中的元素不 满足互异性. 答案0 4.(2017北京卷)能够说明“设 a，b，c 是任意实数.若 abc，则 abc”是假命 题的一组整数 a，b，c 的值依次为_. 解析abc，取 a2，b4，c5， 则 ab6a 是 q：2x3 的必要不充分条件，则实数 a 的取值 范围是_. 解析由已知，可得x|2xa，a2. 答案(，2 6.(2020青岛二中检测)直线 xyk0 与圆(x1)2y22 有两个不同交点的充 要条件是_. 解析直线 xyk0 与圆(x1)2y22 有两个不同交点等价于|10k| 2 2， 解得1k3. 答案1k
5、1，则 a21”的否命题是“若 a1，则 a21” B.“若 am2bm2，则 a4x0成立 D.“若 sin 1 2，则 6”是真命题 (2)(2018北京卷)能说明“若 f(x)f(0)对任意的 x(0，2都成立，则 f(x)在0，2 上是增函数”为假命题的一个函数是_. 解析(1)对于选项 A，“若 a1，则 a21”的否命题是“若 a1，则 a21”， A 错； 对于 B 项，若“am2bm2，则 ab”的逆命题为“若 ab，则 am23x，C 错； 对于 D 项，原命题的逆否命题为“若 6，则 sin 1 2”是真命题，故原命题是 真命题. (2)根据函数单调性的概念，只要找到一个定
6、义域为0，2的不单调函数，满足在 定义域内有唯一的最小值点，且 f(x)minf(0). 答案(1)D(2)f(x)sin x，x0，2(答案不唯一 ，再如 f(x) 0，x0， 1 x，0B 是 sin Asin B 的充要条件 D.命题“若anan 1 2 0，则 xa；命题 q：若 ma2，则 mBabsin Asin B. D 错，若an递减，则 an1ananan 1 2 a，则 x0，它是真命题时，a0.命题 q 的逆否命题 是：若 msin x，则 ma2 恒成立，它是真命题时 a21，解得 a0，b0，则“ab4”是“ab4”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充
7、分必要条件D.既不充分也不必要条件 (2)已知条件 p：x1 或 xx2，则綈 p 是綈 q 的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析(1)当 a0，b0 时，得 4ab2 ab，即 ab4，充分性成立；当 a4， b1 时，满足 ab4，但 ab54，不满足 ab4，必要性不成立，故“a b4”是“ab4”的充分不必要条件. (2)由 5x6x2，得 2x3，即 q：2x3. 所以 qp，pq，所以綈 p綈 q，綈 q綈 p， 所以綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，故选 A. 答案(1)A(2)A 规律方法充要条件的三种判断方法 (1)定义法
8、：根据 pq，qp 进行判断. (2)集合法：根据使 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其 逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题. 【训练 2】 (1)(2019天津卷)设 xR，则“x25x0”是“|x1|1”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 (2)“a0”是“函数 f(x)sin x1 xa 为奇函数”的_条件. 解析(1)由“x25x0”可得“0 x5”；由“|x1|1”可得“0 x2”.由 0 x5/ 0 x2；但 0 x20
9、x5，所以“x25x0”是“|x1|10 或 1m2， 1m10， m9，又因为 S 为非空集合， 所以 1m1m，解得 m0， 综上，实数 m 的取值范围是9，). 规律方法充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需 注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间 的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范 围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解 的现象. 【训练 3】 (2020湖南雅礼中学月考)若关于 x 的不等式|x1|
10、a 成立的充分条件 是 0 x4，则实数 a 的取值范围是() A.(，1B.(，1) C.(3，)D.3，) 解析|x1|a1ax1a，因为不等式|x1|a 成立的充分条件是 0 xb，a，b，cR，则下列命题为真命题的是() A.ac2bc2B.a b1 C.acbcD.a2b2 解析对于选项 A，ab，若 c0，则 ac2bc2，故 A 错；对于选项 B，ab，若 a0，b0，则a bb，则 acbc，故 C 正确；对于 选项 D，ab，若 a，b 均小于 0，则 a2b，则 ac2bc2”，以及它的逆命题、否命题、 逆否命题中，真命题共有() A.0 个B.1 个C.2 个D.4 个
11、解析原命题：若 c0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假； 逆命题为：设 a，b，cR，若“ac2bc2，则 ab”.由 ac2bc2知 c20，由不等 式的基本性质得 ab，逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真， 真命题共有 2 个. 答案C 6.已知命题 p：x22x30；命题 q：xa，且綈 q 的一个充分不必要条件是 綈 p，则 a 的取值范围是() A.1，)B.(，1 C.1，)D.(，3 解析由 x22x30， 得 x3 或 x1， 由綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p， 可知綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，等价于 q 是 p 的充分不必要条件.故 a1
12、. 答案A 7.(2018浙江卷)已知平面， 直线 m， n 满足 m， n， 则“mn”是“m” 的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析若 m，n，mn，由线面平行的判定定理知 m.若 m，m， n，不一定推出 mn，直线 m 与 n 可能异面，故“mn”是“m”的充分 不必要条件. 答案A 8.下列结论错误的是() A.命题“若 x23x40，则 x4”的逆否命题为“若 x4，则 x23x40” B.“x4”是“x23x40”的充分条件 C.命题“若 m0，则方程 x2xm0 有实根”的逆命题为真命题 D.命题“若 m2n20，则 m0 且
13、 n0”的否命题是“若 m2n20，则 m0 或 n0” 解析C 项命题的逆命题为“若方程 x2xm0 有实根， 则 m0”.若方程有实 根，则14m0， 即 m1 4，不能推出 m0.所以不是真命题. 答案C 二、填空题 9.(2017北京卷改编)设 m，n 为非零向量，则“存在负数，使得 mn”是 “mn0”的_条件. 解析存在负数，使得 mn，则 mnnn|n|20；反之 mn|m|n|cosm， n0cosm，n0m，n 2，当m，n 2，时，m，n 不 共线.故“存在负数，使得 mn”是“mnb，则 a2b2”的否命题；“若 xy0，则 x，y 互为相反数”的逆命 题；“若 x24，
14、则2x2”的逆否命题. 其中真命题的序号是_. 解析原命题的否命题为“若 ab，则 a2b2”，错误；原命题的逆命题为 “若 x，y 互为相反数，则 xy0”，正确；原命题的逆否命题为“若 x2 或 x2，则 x24”，正确. 答案 11.已知不等式|xm|1 成立的充分不必要条件是1 3x 1 2，则 m 的取值范围是 _. 解析解不等式|xm|1，得 m1x2S5d0，所 以“d0”是“S4S62S5”的充要条件. 答案C 14.(2020合肥模拟)已知偶函数 f(x)在0， )上单调递增， 则对实数 a， b， “a|b|” 是“f(a)f(b)”的() A.充分不必要条件B.必要不充分
15、条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析因为 f(x)是偶函数，所以 f(x)f(|x|). 又 yf(x)在0，)上单调递增， 若 a|b|，则 f(a)f(|b|)f(b)，即充分性成立； 若 f(a)f(b)，则等价为 f(|a|)f(|b|)，即|a|b|， 即 a|b|或 a|b|”是“f(a)f(b)”的充分不必要条件. 答案A 15.已知 p：实数 m 满足 3am0)，q：方程 x2 m1 y2 2m1 表示焦点在 y 轴 上的椭圆，若 p 是 q 的充分条件，则 a 的取值范围是_. 解析由 2mm10，得 1m3 2，即 q：1m 3 2.因为 p 是 q 的充分条件，所以 3a1， 4a3 2， 解得1 3a 3 8. 答案 1 3， 3 8 16.(2019华南师大附中月考)设 p：ln(2x1)0，q：(xa)x(a1)0，若 q 是 p 的必要而不充分条件，则实数 a 的取值范围是_. 解析p 对应的集合 Ax|yln(2x1)0 x|1 2b，则1 ab，则1 a 1 b为真命题，则 1 a 1 b ba ab b，ba0. 故当 a0，bb，则1 a0，b0)
