1、5.2导数的运算导数的运算 5.2.1基本初等函数的导数基本初等函数的导数 课标要求素养要求 1.能根据导数定义求函数 yc，yx，y x2，yx3，y1 x，y x的导数. 2.会使用导数公式表. 在利用导数的定义求基本初等函数的导 数的过程中，发展学生的数学运算素养. 新知探究 已知函数： (1)yf(x)c；(2)yf(x)x；(3)yf(x)x2； (4)yf(x)1 x；(5)yf(x) x. 问题 1函数 yf(x)c 的导数是什么？ 提示y x f（xx）f（x） x cc x 0， y 0 lim x y x0. 问题 2函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？ 提示由导
2、数的定义得(2)(x)1，(3)(x2)2x，(4) 1 x 1 x2，(5)( x) 1 2 x. 问题 3函数(2)(3)(5)均可表示为 yx(Q*)的形式，其导数有何规律？ 提示(2)(x)1x1 1，(3)(x2)2x21，(5)( x)(x1 2)1 2x 1 21 1 2 x，(x ) x 1. 1.几个常用函数的导数 原函数导函数 f(x)c(c 为常数)f(x)0 f(x)xf(x)1 f(x)x2f(x)2x f(x)1 x f(x) 1 x2 f(x) xf(x) 1 2 x 2.基本初等函数的导数公式 原函数导函数 f(x)c(c 为常数)f(x)0 f(x)x(Q*)
3、f(x)x 1 f(x)sin xf(x)cos_x f(x)cos xf(x)sin_x f(x)axf(x)axln_a(a0) f(x)exf(x)ex f(x)logaxf(x) 1 xln a(a0，且 a1) f(x)ln xf(x)1 x 拓展深化 微判断 1.若 y 2，则 y1 221.() 提示若 y 2，则 y0. 2.若 f(x)1 x3，则 f(x) 3 x4.() 3.若 f(x)4x，则 f(x)4xlog5e.() 提示若 f(x)4x，则 f(x)4xln 4. 微训练 1.已知 f(x)x2，则 f(3)等于() A.0B.2x C.6D.9 解析f(x)x
4、2，f(x)2x，f(3)6. 答案C 2.求下列函数的导数： (1)f(x)4x5；(2)g(x)cos 4；(3)h(x)3 x. 解(1)f(x)x5 4，f(x) 5 4x 1 4； (2)g(x)cos 4 2 2 ，g(x)0； (3)h(x)3xln 3. 微思考 1.如何求函数 f(x) 1 x4的导数？ 提示把 f(x) 1 x4化为 f(x)x 4，则 f(x)4x5. 2.如何求 f(x)2sin x 2cos x 2的导数？ 提示把 f(x)2sinx 2cos x 2化为 f(x)sin x，则 f(x)cos x. 题型一利用导数公式求函数的导数 【例 1】求下列函
5、数的导数： (1)ysin 3；(2)y 1 2 x ；(3)y 1 x；(4)y 4 x3； (5)ylog3x. 解(1)y0； (2)y 1 2 x ln 1 2 1 2 x ln 2； (3)y(x 1 2) 1 2x 3 2 1 2x x； (4)y( 4 x3)(x 3 4)3 4x 1 4 3 4 4 x ； (5)y(log3x) 1 xln 3. 规律方法求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁琐； (2)用导数公式求导， 可以简化运算过程，降低运算难度.解题时根据所给问题的特 征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 【训练 1】求下
6、列函数的导数： (1)yx13； (2)y 4 x； (3)ysin x； (4)y 1 5 x2 . 解(1)y(x13)13x13 113x12； (2)y( 4 x)(x 1 4)1 4x 1 41 1 4x 3 4； (3)y(sin x)cos x； (4)y 1 5 x2(x 2 5) 2 5x 2 5 12 5x 7 5. 题型二利用导数公式解决切线问题 角度 1求切线的方程 【例 21】函数 y1 x在点 1 2，2处的切线方程是() A.y4xB.y4x4 C.y4x4D.y2x4 解析y 1 x x 2， ky|x1 2 1 2 2 4， 切线方程为 y24 x1 2 ，
7、即 y4x4. 答案B 角度 2求参数值 【例 22】已知 ykx 是曲线 yln x 的一条切线，则 k_. 解析设切点坐标为(x0，y0)，由题意得 y|xx0 1 x0k，又 y 0kx0，而且 y0ln x0， 从而可得 x0e，y01，则 k1 e. 答案 1 e 角度 3曲线上的点到直线的最小距离问题 【例 23】设 P 是曲线 yex上任意一点，求点 P 到直线 yx 的最小距离. 解如图，设 l 是与直线 yx 平行，且与曲线 yex相切的直线，则切点到直线 yx 的距离最小. 设直线 l 与曲线 yex相切于点 P(x0，y0). 因为 yex，所以 ex01，所以 x00.
8、 代入 yex，得 y01，所以 P(0，1). 所以点 P 到直线 yx 的最小距离为|01| 2 2 2 . 规律方法利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数. (2)如果已知点不是切点， 则应先设出切点， 再借助两点连线的斜率公式进行求解. 【训练 2】(1)求曲线 y x在点 B(1，1)处的切线方程； (2)求曲线 yln x 的斜率等于 4 的切线方程. 解(1)设所求切线的斜率为 k. y( x)1 2x 1 2，ky|x1 1 2， 曲线 y x在点 B(1，1)处的切线方程为 y11 2(x1)，即 x2y10. (
9、2)设切点坐标为(x0，y0). y1 x，曲线 yln x 在点(x 0，y0)处的切线的斜率等于 4， y|xx0 1 x04，得 x 01 4，y 0ln 4， 切点为 1 4，ln 4， 所求切线方程为 yln 44 x1 4 ， 即 4xy1ln 40. 题型三导数公式的实际应用 【例 3】某城市近 10 年间房价年均上涨率为 10%，房价 p(单位：万元)与时间 t(单位：年)有如下函数关系：p(t)p0(110%)t，假定 p01，那么在第 5 个年头， 房价上涨的速度大约是多少(精确 0.01 万元/年)？(参考数据：1.151.611，ln 1.1 0.095) 解由题意得
10、p(t)1.1tln 1.1 所以 p(5)1.15ln 1.11.6110.0950.15(万元/年) 所以在第 5 个年头，该市房价上涨的速度大约是 0.15 万元/年. 规律方法由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度， 就是求相关函数在某点处的导数. 【训练 3】从时刻 t0 开始的 t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公 式 qcos t 表示. 求第 5 秒和第 7 秒时的电流强度(单位：安) 解由 qcos t 得 qsin t， 所以 q(5)sin 5，q(7)sin 7， 即第 5 秒，第 7 秒时的电流强度分别是sin 5 安，sin 7 安
11、. 一、素养落地 1.通过学习导数公式及应用导数公式求基本初等函数的导数，提升数学运算素养. 2.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运 用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归. 3.有些函数可先化简再应用公式求导. 如求 y12sin2 x 2的导数.因为 y12sin 2x 2cos x，所以 y(cos x)sin x. 二、素养训练 1.函数 yxe的导数是() A.yxeB.yexe 1 C.yexeD.yln x 解析由(x)x 1 得，yexe 1. 答案B 2.若 f(x)sin x，则 f 6 () A.1 2 B.
12、3 2 C.1 2 D. 3 2 解析f(x)cos x，f 6 cos 6 3 2 . 答案D 3.已知 f(x)x2，g(x)x.若 m 满足 f(m)g(m)3，则 m 的值为_. 解析f(x)g(x)2x1，f(m)g(m)2m13，故 m1. 答案1 4.曲线 y1 x在点 M 3，1 3 处的切线方程是_. 解析y1 x2，在点 M 3，1 3 处的斜率 k1 9， 在点 3，1 3 的斜率为1 9的切线方程为： y1 3 1 9(x3)，即 x9y60. 答案x9y60 5.曲线 yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_. 解析y(ex)ex，在点(2，e2)处
13、的切线斜率为 ke2， 曲线在点(2，e2)处的切线方程为 ye2e2(x2)， 即 ye2xe2.当 x0 时，ye2，当 y0 时，x1. S1 21 |e2|1 2e 2. 答案 1 2e 2 基础达标 一、选择题 1.函数 y3x在 x2 处的导数为() A.9B.6 C.9ln 3D.6ln 3 解析y(3x)3xln 3，故所求导数为 9ln 3. 答案C 2.下列结论中，不正确的是() A.若 y 1 x3，则 y 3 x4 B.若 y 3 x，则 y 3 x 3 C.若 y 1 x2，则 y2x 3 D.若 f(x)3x，则 f(1)3 解析由(xn)nxn 1 知， 选项 A
14、，y 1 x3x 3，则 y3x43 x4； 选项 B，y 3 xx 1 3，则 y1 3x 2 3 3 x 3 ； 选项 C，y 1 x2x 2，则 y2x3； 选项 D，由 f(x)3x 知 f(x)3， f(1)3. 选项 A，C，D 正确.故选 B. 答案B 3.设正弦曲线 ysin x 上一点 P，以点 P 为切点的切线为直线 l，则直线 l 的倾斜 角的范围是() A. 0， 4 3 4 ， B.0，) C. 4， 3 4D. 0， 4 2， 3 4 解析(sin x)cos x， klcos x，1tan 1，又0，)， 0， 4 3 4 ， . 答案A 4.函数 f(x)x3的
15、斜率等于 1 的切线有() A.1 条B.2 条 C.3 条D.不确定 解析f(x)3x2，设切点为(x0，y0)，则 3x201，得 x0 3 3 ，即在点 3 3 ， 3 9 和 点 3 3 ， 3 9 处有斜率为 1 的切线.所以有 2 条切线. 答案B 5.若曲线 yx4的一条切线 l 与直线 x4y80 垂直，则 l 的方程为() A.4xy30B.x4y50 C.4xy30D.x4y30 解析由题意，知切线 l 的斜率 k4.设切点坐标为(x0，y0).y4x3，k4x30 4，解得 x01，切点为(1，1)，l 的方程为 y14(x1)，即 4xy30. 答案A 二、填空题 6.
16、曲线 yln x 在 xa 处的切线倾斜角为 4，则 a_. 解析y1 x，y| xa1 a1.a1. 答案1 7.若 y10 x，则 y|x1_. 解析y10 xln 10，y|x110ln 10. 答案10ln 10 8.已知函数 yx2(x0)的图象在点(ak， a2k)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak1， 其 中 kN*，若 a116，则 a1a3a5的值是_. 解析y2x，yx2(x0)的图象在点(ak，a2k)处的切线方程为 ya2k2ak(x ak).又该切线与 x 轴的交点为(ak1，0)，ak11 2a k，即数列ak是首项 a116， 公比 q1 2的等比数列，a 3
17、4，a51，a1a3a521. 答案21 三、解答题 9.求下列函数的导数： (1)y 5 x3；(2)y1 x4；(3)y2sin x 2 12cos2x 4 ；(4)ylog2x2log2x. 解(1)y( 5 x3)(x 3 5)3 5x 3 5 13 5x 2 5 3 5 5 x2 . (2)y 1 x4(x 4)4x414x54 x5. (3)y2sinx 2(12cos 2x 4) 2sin x 2 2cos2 x 412sin x 2cos x 2sin x， y(sin x)cos x. (4)ylog2x2log2xlog2x， y(log2x) 1 xln 2. 10.已知
18、两条曲线 y1sin x，y2cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得 在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 解不存在，理由如下： 因为 y1sin x，y2cos x， 所以 y1cos x，y2sin x. 设两条曲线的一个公共点为点 P(x0，y0)，则两条曲线在点 P(x0，y0)处的切线斜率 分别为 k1cos x0，k2sin x0. 若两条切线互相垂直，则 cos x0(sin x0)1， 即 sin x0cos x01， 所以 sin 2x02，显然不成立， 所以这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点处的两条切线互相垂直. 能力提升 11.如图所示，水波
19、的半径以 1 m/s 的速度向外扩张，当半径为 5 m 时，这水波面 的圆面积的瞬时膨胀率是_m2/s. 解析因为水波的半径以 v1 m/s 的速度向外扩张，水波面的圆面积 Sr2 (vt)2t2. 所以利用瞬时变化率，可求水波面的圆面积在时刻 t0时的瞬时膨胀率 S|tt0 2t0. 当半径为 5 m 时，t5 s，所以 S|t52510， 即半径为 5 m 时，这水波面的圆面积的瞬时膨胀率是 10 m2/s. 答案10 12.已知点 A 1 2，1，B(2，1)，函数 f(x)log2x. (1)过坐标原点 O 作曲线 yf(x)的切线，求切线方程. (2)在曲线 yf(x) 1 2x2上
20、是否存在点 P，使得过点 P 的切线与直线 AB 平行？ 若存在，求出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由. 解(1)设切点为(m，log2m)(m0). 因为 f(x)log2x，所以 f(x) 1 xln 2. 由题意可得 1 mln 2 log2m m ，解得 me， 所以切线方程为 ylog2e 1 eln 2(xe)，即 y 1 eln 2x. (2)过点 A 1 2，1，B(2，1)的直线的斜率为 kAB4 3. 假设存在点 P，使得过点 P 的切线与直线 AB 平行，设 P(n，log2n)，1 2n2， 则有 1 nln 2 4 3，得 n 3 4ln 2. 又1 2ln e
21、ln 2ln e1， 所以3 4 3 4ln 2 3 2， 所以在曲线 yf(x) 1 2x2上存在点 P， 使得过点 P 的切线与直线 AB 平行，且点 P 的横坐标为 3 4ln 2. 创新猜想 13.(多选题)以下运算正确的是() A. 1 x 1 x2 B.(cos x)sin x C.(2x)2xln 2D.(lg x) 1 xln 10 解析对于 A， 1 x 1 x2，所以 A 不正确；对于 B，因为(cos x)sin x，故 B 正确；对于 C，因为(2x)2xln 2，所以 C 正确；对于 D，因为(lg x) 1 xln 10，所 以 D 不正确. 答案BC 14.(多空题)已知 P 为曲线 yln x 上的一动点，Q 为直线 yx1 上的一动点，则 当 P 的坐标为_时，PQ 最小，此时最小值为_. 解析如图，当直线 l 与曲线 yln x 相切且与直线 yx1 平行时，切点到直线 yx1 的距离即为 PQ 的最小值.易知(ln x)1 x，令 1 x1，得 x1，故此时点 P 的坐标为(1，0)，所以 PQ 的最小值为|101| 2 2. 答案(1，0)2
