1、第第 1 课时课时周期性与奇偶性周期性与奇偶性 课后训练课后训练巩固提升巩固提升 A组 1.对于函数 y=cos 2 -2? ,下列命题正确的是() A.周期为 2的偶函数B.周期为 2的奇函数 C.周期为的偶函数 D.周期为的奇函数 解析:因为函数 y=cos 2 -2? =sin 2x,所以周期为 T=2 2 =,且 y=sin 2x 是奇函数. 答案:D 2.下列函数是偶函数的是() A.y=sin 2xB.y=-sin x C.y=sin|x|D.y=sin x+1 解析:选项 A 和选项 B都是奇函数,选项 D是非奇非偶函数.因为 y=sin|x|的定义域为 R,且 f(-x)=si
2、n|- x|=sin|x|=f(x),所以 y=sin|x|是偶函数,选项 C 是偶函数. 答案:C 3.下列函数中,周期为 2的是() A.y=sin ? 2 B.y=sin 2x C.y= sin ? 2 D.y=|sin 2x| 解析:y=sin ? 2的周期为 T= 2 1 2 =4;y=sin 2的周期为 T=2 2 =; y= sin ? 2 的周期为 T=2;y=|sin 2x|的周期为 T= 2. 答案:C 4.给出下列函数:y=cos|2x|;y=|cos x|;y=cos 2? + 6 .其中最小正周期为的函数为() A.B.C.D. 解析:由图象(略)知,的最小正周期均为
3、;y=cos 2? + 6 的最小正周期为. 答案:A 5.已知函数 f(x)是定义域为 R,最小正周期为3 2 的函数.若 x - 2 , ,有 f(x)= cos?,- 2 ? 0, sin?,0 0)的最小正周期是 4,则=. 解析:因为函数 f(x)=sin ? + 3 (0)的最小正周期是2 ? =4,所以=1 2. 答案:1 2 8.已知函数 f(x)=ax3+bsin x+1,且 f(1)=5,则 f(-1)=. 解析:因为 f(1)=a+bsin 1+1=5,所以 a+bsin 1=4. 所以 f(-1)=-a-bsin 1+1=-(a+bsin 1)+1=-4+1=-3. 答
4、案:-3 9.若函数 f(x)=2cos ? + 3 的最小正周期为 T,且 T(1,3),求正整数的最大值. 解:因为函数 f(x)=2cos ? + 3 的最小正周期为 T=2 ?,又 T(1,3),所以 1 2 ? 3.所以2 3 0)的最小正周期不大于 2,则正整数 k 的最小值应是() A.10B.11C.12D.13 解析:由题意可知最小正周期 T= 2 ? 4 ? 8 ? 2,故 k4.又因为 kN*,所以 k 的最小值为 13,故选 D. 答案:D 3.关于函数 f(x)=4sin 2? + 3 (xR),有下列命题: 函数 y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos 2?-
5、6 ; 函数 y=f(x)是以 2为最小正周期的周期函数; 函数 y=f(x)的图象关于点 - 6 ,0 对称; 函数 y=f(x)的图象关于直线 x=- 6对称. 其中正确的是() A.B.C.D. 解析:f(x)=4sin 2? + 3 =4cos 2 ? 2? + 3 =4cos 6 -2? =4cos 2?- 6 ,故正确; 函数 f(x)的最小正周期为,故错误; 由 f - 6 =4sin 2 - 6 + 3 =0,可知函数 y=f(x)的图象关于点 - 6 ,0 对称,不关于直线 x=- 6对称,故 正确,错误. 答案:B 4.函数 y= sin 2? + 4 +2 的最小正周期是
6、. 解析:函数 y=sin 2? + 4 的最小正周期 T=, 函数 y= sin 2? + 4 +2 的最小正周期是 2. 答案: 2 5.设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x+2)=13.若 f(1)=2,则 f(99)=. 解析:因为 f(x)f(x+2)=13,所以 f(x+2)= 13 ?(?).所以 f(x+4)= 13 ?(?+2)=f(x). 所以 f(x)是以 4 为周期的函数. 所以 f(99)=f(244+3)=f(3)= 13 ?(1) ? 13 2 . 答案:13 2 6.已知定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,f(x)的最小正周期是
7、,且当 x 0, 2 时,f(x)=sin x. (1)求当 x-,0时,f(x)的解析式; (2)画出函数 f(x)在区间-,上的简图; (3)求当 f(x)1 2时 x 的取值范围. 解:(1)f(x)是偶函数, f(-x)=f(x). 当 x 0, 2 时,f(x)=sin x, 当 x - 2 ,0 时,f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sin x. 又当 x -,- 2 时,x+ 0, 2 ,f(x)的周期为, f(x)=f(+x)=sin(+x)=-sin x. 当 x-,0时,f(x)=-sin x. (2)画出函数 f(x)在区间-,上的简图如图. (3)在区间0,内,当
8、 f(x)=1 2时,x= 6或 x= 5 6 , 在区间0,内,当 f(x)1 2时,x 6 , 5 6 . 又 f(x)的周期为, 当 f(x)1 2时,x 的取值范围是k+ 6,k+ 5 6 ,kZ. 7.已知函数 y=5cos 2?+1 3 ?- 6 (其中 kN),对任意实数 a,在区间a,a+3上要使函数值5 4出现的次数 不少于 4 次且不多于 8 次,求 k 的值. 解:由 5cos 2?+1 3 ?- 6 ? 5 4, 得 cos(2?+1 3 x- 6)= 1 4. 因为函数 y=cos x 在每个周期内出现函数值为1 4有 2 次,而区间a,a+3的长度为 3,所以为了使长度为 3 的区间内出现函数值1 4不少于 4 次且不多于 8 次,必须使 3 不小于 2 个周期长度且不大于 4 个周期 长度,即 2 2 2?+1 3 3,且 4 2 2?+1 3 3. 所以3 2k 7 2.又 kN,所以 k=2,3.
