1、第五章第五章 振动过程的时域和频域描述振动过程的时域和频域描述 赵均海 教授 5.1 常见振动类型 1. 简谐振动 简谐振动方程为： 周期： 式中：A振幅， 初相角， 角频率，T周期， 频率 振动曲线如图5-1所示 sin()xAt 12 T f f （5-1） 12 T f 图图5.1 5.1 简谐振动的曲线简谐振动的曲线 / A t ： 1 T T 0 xdt x 1 T 0 T n xdt 平均绝对值 ： = 均值 = x 2. 周期振动 周期振动方程为： x(t)=x(t+kT) （5-2） 式中k为整数，T周期 峰值 av x av x p x 周期振动的傅里叶频谱 傅里叶频谱包括幅
2、值谱和相位谱 rms x rms x 2 0 1 T T x dt f F c F f F rms av x x c F p rms x x n cf n f 有效值（也称均方根值）： = 和波峰系数 波形系数 ： = ， = 为幅值谱，为相位谱 由x(t)=x(t+kT) 令 1 =2/T，则将x(t)展成傅里叶三角级数为 011 1 ( )(cossin) nn n x taantbn t （5-3） T/2 0 -T/2 1 T axdt T/2 1 -T/2 2 cosn T n axtdt T/2 1 -T/2 2 sinn T n bxtdt 其中： ， （n=1，2，3） ， 0
3、1n 1 ( )csin(n ) n n x tct 00 ca 22 nnn c = a +b n n n b =arctan a 上式也可写成 （5-4） ， 周期函数的频谱是离散谱。 其中： （n=1，2，3） T 2 0 1 ( ) T Px t dt rms x 2 rms Px 周期振动的功率谱 周期信号x(t)在一个周期内的平均功率为： （5-5） 定义，有依据有效值 3. 随机振动 随机振动的振动曲线如图5-2所示： ( )x t t 图图5.2 随机振动的振动曲线图随机振动的振动曲线图 0T 1 lim( ) T T x E xx t dt 222 0T 1 lim( ) T
4、 T x E xx t dt T 2 2 0T 1 lim( ) T xx x tdt 均值、均分值和方差 均值： 均分值： 方差： (5-8) (5-6) (5-7) 的极限称为该信号在 概率密度函数和概念分布函数 密度函数 ( )p x ( ,)x xx x 00 T T /Tprob( ) ( )limlim x xx xx txx p x xx T /T x ( ,)x xx 是信号瞬时值落在指定区间 内的概率对比值的极限。即： 式中， 区间的概率。 (5-9) ( )P x x T ( )( )lim T x T P xprob x tx ( )p x( )P x ( ) ( ) d
5、P x p x dx 0 ( )( )P xp x dx 概率分布函数表示信号瞬时值低于某 的概率，即： (5-10) 与概率分布函数 的关系： (5-11) 一给定值 概率密度函数 ， x y i x i y ( )x t 和 ( )y t 设一次试验中，测得某两个变量 和。 和 对于各态历经过程，可定义时间变量 的互协方差函数为： ( ) xy C ( )() xy Ex ty t 0 1 lim( )() T xy T x ty tdt T ( ) xyxy R 的若干成对的 (5-12) 测量数据 0 1 ( )lim( ) () T xy T Rx t y tdt T 其中：，称为x
6、(t)和y(t)的 称为时延。互相关函数。 相关函数 在平稳随机过程中，如果任何单个样本的时间平均值 都等于全体样本的采集平均值，则该过程称为各态历经 过程。 当 tt yx时，得自协方差函数为： T 0 1 ( )lim( )() T xxx T Cx tx tdt 2 ( ) xx R (5-13) 式中， 0 1 ( )lim( ) () T T x T Rx t x tdt ，称为x(t)的 自相关函数。 TT T 1 ( )lim( )( ) T x SfXfXf T ( )( ) jz f T XfXt ed T ( )( ) jz f T XfXt ed 自功率谱密度函数 (5-
7、14) 2 T T 1 lim( ) T ( ) jzf x Xf Red 式中： T T 1 ( )lim( )( ) T xyT SfYfXf ( ) jz f xy Red 互动率谱密度函数 (5-15) 第六章第六章 振动系统对激励的响应振动系统对激励的响应 赵均海 教授 6.1 振动系统阻尼比振动系统阻尼比 使系统发生振动的外部条件称为激励，系 统所发生的振动称为系统对激励的响应。 系统对激励的响应如图6-1所示。 x i X 1i X 2i X t d T 1 , 2 t c A e m 衰减系数 图图6-1 系统对激励的响应图系统对激励的响应图 n f n n 1k f = 22
8、m n cc = 2m2 mk 单自由度的固有频率 : (6-1) 式中：c-阻尼器的阻尼系数 阻尼比 : (6-2) 对数减幅系数 : 1 ln i i X X 1 =ln n i i n X X = 2 或者 (6-3) 。 阻尼比 6.2 振动系统分析振动系统分析 ( )( )( )X fH fF f ( )( )( )x th tf t ( )H f ( )h t ( )F f ( )f t ( )h t ( )H f ( )f t 激励系统响应 振动系统如图6-2所示： 图图6-2 振动系统示意图振动系统示意图 冲激响应函数 频响系数 单位脉冲激励 上图中： 激励、响应及系统特性三者
9、的关系示 意图如图6-3所示： 图图6-3 激励、响应及系统特性关系图激励、响应及系统特性关系图 ( )x t 典型模态试验系统框图如图6-4所示： 图图6-4 典型模态试验系统框图典型模态试验系统框图 6.3 模态参数计算模态参数计算 用峰值法估计结构的模态参数。 单模态分析法（SDOF法）和多模态 分析法（MDOF法）。 图图6-5 SDOF法和法和MDOF法法 幅频特性曲线中，序号为r的某一峰值对 应的频率，认为就是第r阶模态无阻尼固有频 率。并认为小阻尼情况下 。 dr r drr 单模态分析法： 模态频率 : 两个点称为半功率点， 2 附近总可找到两个频率： 在 与 r r 1 2
10、12r 12 1 ()()() 2 lplplpr HHH ( ) ep H 1 21 2 rr 21 2 r r 和 模态阻尼比 （）。有 ， 曲线上这 之差称为半 ，所以 (6-4) 功率带宽。 可以证明： () r H f 3 f 2 f 1 f 1 () 2 r H f 频响 幅值 频率（Hz） 图图6-6 r K 1 2() r rlpr K H r M 2 r r r K M r C2 rrrr CM r 模态刚度 ： 模态质量 ： 模态阻力系数 ： 模态振型：对模态振型 画于图中即可。（一阶振型，二阶） 正则化。 6.4 实例实例 例如三层框架实验示意图如图6-7所示： 图图6-
11、7 三层框架实验示意图三层框架实验示意图 该三层框架的计算简图： 图图6-8 三层框架计算简图三层框架计算简图 111221 2222332 33333 000 00 000 mxcccx mxccccx mxccx 12211 223322 3333 0( ) ( ) 0( ) kkkxf t kkkkxf t kkxf t ( )mxcxkxf t 该系统的运动方程为： 简写为： (6-6) (6-5) 123 mmmm 123 cccc 123 kkkk c 当， 时，阻尼矩阵 比与刚度矩阵成正比例，因而具有实模态振型。 与刚度矩阵成正 依据求特征值问题的一般方法，可求出系统的各 1 0
12、.0708 k f m 2 0.1985 k f m 3 0.2868 k f m Z H ， ， ，单位是。 阶无阻尼固有频率和。 1 x 1 1 1.802 2.247 2 1 0.445 0.802 3 1 1.247 0.555 向坐标归一化的模态振型为 ， 图图6-9 T 1 11 9.296Mmm T 2 22 1.841Mmm T 3 33 2.863Mmm 各阶模态质量为： 实验步骤： 以锤击法为例， 选择适当的锤头，装上力传感器和锤头帽。 在模型的某一质量块（比如底层）上安装加 速度传感器，按上图接好测量线路。 按力传感器和加速度传感器的灵敏度设置电 荷放大器的归一化度盘，并
13、设置适当的低通， 高通和增益。 设置FFT分析仪的主要测量状态： 测量类型：频响函数，相干函数； 分析频带：上限略高于模型的最高模态频率， 一般采用基带分析，即下限频率为零。 输入量程：以仪器不过载为前提，尽可能选用 较高的灵敏度。 触发条件：采用CHI自信号触发，最好采用负 延时触发（也称前触发）采样，以求在测量窗 内捕捉到完整的脉冲。 加窗：一般采用矩形窗。最好对力信号加载短 矩形窗，对响应信号加指数衰减窗。 平均：采用线性谱平均，取平均次数4到8即可。 从以上曲线中采用拟合法，估计出试验模型的 模态参数。包括 、 、 、 、 、 进行频响函数测量。依次在三个质量块上沿测 量方向用力锤敲击，通过FFT分析仪测出频响 函数 1p H 2p H 3p H 、，其中p为测振坐标序号。同时 测量相干函数，以检查频响函数的测量可靠性。 1p H 2p H 3p H 依FFT分析仪具有的功能，驱动x-y记录仪或数 字绘图仪，绘出 、 和 的幅频特性、相 频特性及相应的相干函数曲线。 dr f r r r M r C r K(1,2,3)r 。
