1、12.2 1 圆的方程圆的方程 圆的标准方程圆的标准方程 上海市七宝中学上海市七宝中学-王奎彩王奎彩 一一、情情景景引引入入 提提出出 问问题题 22 20 44 (0.01). AB CP A B 圆圆拱拱桥桥的的一一孔孔圆圆拱拱如如图图所所示示，该该圆圆拱拱的的跨跨度度米米， 拱拱高高米米，在在建建造造时时每每隔隔米米需需用用一一个个支支柱柱支支撑撑， 求求支支柱柱的的长长度度 精精确确到到米米 C 二二、自自主主探探究究 ( )(0)C a br r 探探究究一一 求求以以， 为为圆圆心心， 半半径径为为的的圆圆的的方方程程. . ( )M x y设设， 是是所所求求圆圆上上任任意意一一
2、点点， 列列式式： 化化简简： ( , )Cx y可可得得：圆圆 上上的的任任意意一一点点的的坐坐标标都都是是方方程程 的的解解 设设点点： 22 ()(),xaybr代代入入坐坐标标， 得得 222 ()().xaybr即即 |,MCr 则则 建建系系： y x O 代代入入： 二二、自自主主探探究究 2C问问题题 以以方方程程 的的解解为为坐坐标标的的点点都都在在圆圆 上上吗吗？ 222 ()() () . , a br xab C yr 即即以以为为圆圆心心，以以 为为半半径径的的圆圆 的的方方程程为为 11 (,)Px y设设点点的的坐坐标标是是方方程程的的解解，则则 222 11 (
3、)(),xaybr 22 |,CPrCPr即即， ( , ) Pa brC所所以以，点点 在在以以为为圆圆心心，以以为为半半径径的的圆圆 上上. . 证证明明： M C 00 (,)M x yC点点在在圆圆 上上 222 00 ()().xaybr 00 (,)M x yC点点在在圆圆 内内 222 00 ()().xaybr 00 (,)M x yC点点在在圆圆 外外 222 00 ()().xaybr y x O 二二、自自主主探探究究 ( ) (0)C a br r 以以， 为为圆圆心心，以以为为半半径径的的圆圆的的方方程程： 222 ()().xaybr 圆圆的的标标准准方方程程 (0
4、,0)O特特别别地地，当当圆圆心心在在原原点点时时， 圆圆的的标标准准方方程程为为： 222. xyr 二二、自自主主探探究究 练练一一练练 1. 指指出出下下列列方方程程表表示示的的圆圆的的圆圆心心坐坐标标和和半半径径. . 22 222 (1)(5)(2)9; (2)(3)(0). xy xym m 2. . 写写出出下下列列圆圆的的标标准准方方程程. . ,3; (2)(2, 3),5 (1) .C 以以原原点点为为圆圆心心 半半径径为为 以以点点为为圆圆心心 半半径径为为 三三、应应用用巩巩固固 12:2(350)Clxy 求求以以，为为圆圆心心, ,且且和和直直线线 相相切切的的圆圆
5、的的方方程程. . Cl圆圆 与与直直线线 相相切切，解解： 22 (1)(2)13.xy 所所求求圆圆的的标标准准方方程程是是 |2 ( 1)3 25| 13 13 C r 圆圆心心 到到直直线线的的距距离离为为圆圆的的半半径径，即即 =. =. 例例1 三三、应应用用巩巩固固 222 2129 ()( 22 xy) )，(0)y ABxABy以以弦弦所所在在的的直直线线为为 轴轴， 弦弦的的中中垂垂线线为为 轴轴，建建立立如如图图所所示示 的的平平面面直直角角坐坐标标系系, , MAM圆圆弧弧的的圆圆心心为为，联联结结，则则 222 29 10(4),=. 2 rrr 由由勾勾股股定定理理
6、得得： 得得 AB圆圆弧弧的的方方程程为为： ( 1010 0)xy， 解解： C , r设设圆圆的的半半径径为为 2 (0,4)( 10,0)( 2,0),PAA则则, 21 (0,), 2 M 问问题题 22 20 44 (0.01). AB CP A B 圆圆拱拱桥桥的的一一孔孔圆圆拱拱如如图图所所示示，该该圆圆拱拱的的跨跨度度米米， 拱拱高高米米，在在建建造造时时每每隔隔 米米需需用用一一个个支支柱柱支支撑撑， 求求支支柱柱的的长长度度 精精确确到到米米 y x O M 三三、应应用用巩巩固固 解解： 问问题题 222 0 2129 ( 2)()() 22 y， 00 3.8612.4
7、7().yy 或或舍舍 222 2129 ()( 22 xy) )，(0)y y x O 202 ( 2,),ByB 设设的的坐坐标标为为由由点点在在圆圆上上得得 M 22 3.86.A B可可得得，支支柱柱的的长长度度约约为为米米 22 20 44 (0.01). AB CP A B 圆圆拱拱桥桥的的一一孔孔圆圆拱拱如如图图所所示示，该该圆圆拱拱的的跨跨度度米米， 拱拱高高米米，在在建建造造时时每每隔隔 米米需需用用一一个个支支柱柱支支撑撑， 求求支支柱柱的的长长度度 精精确确到到米米 三三、应应用用巩巩固固 222 29 () 2 xy， |. rABy yOOPr 设设圆圆弧弧的的半半径
8、径为为 , ,如如图图所所示示，以以弦弦的的中中垂垂线线为为 轴轴， 在在 轴轴上上取取点点 作作为为原原点点，使使得得，建建立立平平面面直直角角坐坐标标系系 AB圆圆弧弧的的方方程程为为 2129 () 22 y 解解： 问问题题 y x O C 22 20 44 (0.01). AB CP A B 圆圆拱拱桥桥的的一一孔孔圆圆拱拱如如图图所所示示，该该圆圆拱拱的的跨跨度度米米， 拱拱高高米米，在在建建造造时时每每隔隔 米米需需用用一一个个支支柱柱支支撑撑， 求求支支柱柱的的长长度度 精精确确到到米米 AO联联结结，则则由由勾勾股股定定理理得得： 222 29 10(4),=. 2 rrr解
9、解得得 202 ( 2,),ByB 设设的的坐坐标标为为由由点点在在圆圆上上得得 222 0 29 ( 2)() 2 y， 220 21 3.86() 2 A By得得米米 21 , 2 OC 2 21 ( 2,). 2 A 得得 数形结合 条条件件 圆圆心心坐坐标标、半半径径 直直径径端端点点坐坐标标 圆圆心心坐坐标标、圆圆的的一一条条切切线线方方程程 圆圆心心坐坐标标、圆圆的的面面积积 三三个个不不共共线线的的点点的的坐坐标标 圆圆心心及及圆圆上上的的一一个个点点的的坐坐标标圆圆心心 半半径径 四四、思思考考延延伸伸 3问问题题 请请设设定定适适当当的的条条件件，圆圆的的标标使使之之能能求
10、求出出准准方方程程. . 222 00 (, ): M xyCxyrM Cl 探探究究二二 已已知知为为圆圆上上一一点点， 求求过过点点 的的圆圆 的的切切线线 的的方方程程. . 00 ,),OMllOMxy 的的法法向向量量是是（ 0000 ()()0( ),xxxyyy 可可得得切切线线的的点点法法向向式式方方程程 22 0000 ,x xy yxy 解解： 2 00 ) . (* x xy yr l 由由化化简简得得切切线线 的的方方程程为为 00 ()M xy， y x O l 四四、思思考考延延伸伸 222 00 . MC xyr 点点在在圆圆 上上， ,OMl 由由 0 0 1
11、, OM x k kk y 得得， 解解： 0 00 0 (), x yyxx y l 的的方方程程为为： 四四、思思考考延延伸伸 222 00 (, ): M xyCxyrM Cl 探探究究二二 已已知知为为圆圆上上一一点点， 求求过过点点 的的圆圆 的的切切线线 的的方方程程. . lk斜斜线线率率切切存存在在 k斜斜率率 不不存存在在 00 ()M xy， y x O l 0, lxx 切切线线的的方方程程为为： 0 (0)y 0 (0)y 2 00 .x xly yr 由由得得切切线线的的方方程程为为： 2 00 . x xy yrl 化化简简得得切切线线的的方方程程为为： 222 0
12、0 ()xyrM xy过过圆圆上上一一点点， 的的圆圆 的的切切线线方方程程为为 四四、思思考考延延伸伸 2 00 x xy yr 2 x xy yr 思思考考与与延延伸伸 222 00 2( ):(0) M x yCxyr r MCl . .已已知知， 为为圆圆外外一一点点， 求求过过点点的的圆圆 的的切切线线 的的方方程程. . 四四、思思考考延延伸伸 y x O M 4问问题题 ：对对于于探探究究二二，你你还还能能提提出出一一般般性性的的问问题题吗吗？ 222 00 1.( ):()()(0) M x yCxaybr r MCl 已已知知, ,为为圆圆上上一一点点， 求求过过点点的的圆圆 的的切切线线 的的方方程程. . 222 00 3( ):()()(0) M x yCxaybr r MCl . .已已知知， 为为圆圆外外一一点点， 求求过过点点的的圆圆 的的切切线线 的的方方程程. . M M y xO C y xO C 圆的标圆的标 准方程准方程 圆的两个几何要素圆的两个几何要素 确定圆的标准方程确定圆的标准方程 五五、小小结结作作业业 知知识识结结构构 思思想想方方法法 从特殊到一般从特殊到一般 数形结合数形结合 转化与化归转化与化归 点与圆的位置关系及点与圆的位置关系及 过过圆上圆上一点一点的的圆圆的切线方程的切线方程 类比类比
