1、1 第一讲 函数切线及其应用 1导数的几何意义: 函数)(xf在点 0 x处的导数的几何意义就是曲线)(xfy 在点)(,( 0 xfx处的切线的斜率 注：（ tankfx） 2在点 00 (,)A xy处的切线方程： 000 ()()yf xfxxx 抓住关键： 00 0 () () yf x kfx ； 3过点 11 ( ,)A x y的切线方程：设切点为 00 (,)P xy，则斜率 0 ()kfx，过切点的切线方程为： 过点 11 ( ,)A x y， 10010 ()()yyfxxx然后解出 0 x的值 （ 0 x有几个值，就有几条切线，三次函数多解） 考点 1 切线及斜率问题 【例
2、 1.1】【例 1.1】已知函数 f x是偶函数，定义域为00，且0 x 时， 1 x x f x e ，则曲线 yf x 在点 11f，处的切线方程为 【解析】 21 , 1,10, x x fxff ee 曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为 1 1yx e ， 又 f x是偶函数，曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程与曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程 关于y轴对称，为 1 1yx e ，故答案为 1 1yx e 【例1.2】【例1.2】 (2019柳州一模)已知函数f(x)e2x 1， 直线l过点(0， e)且与曲线yf(x)相切， 则切点的横坐标为( ) A1B1 C
3、2De 1 解析设切点为(x0，e2x0 1)，f(x)2e2x1，2e2x01e2x0 1e x0 ，化简得 2x01e22x0.令 y2x1 e2 2x，则 y22e22x0.x1 时，y0，x01.故选 A. 答案A 【例 1.3】【例 1.3】设点P是曲线 3 3 3 5 yxx上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（） A 2 0 3 ，B 2 0 23 ， C 2 23 ，D 2 33 ， 【解析】 22 2 33tan333tan3 3 fxxx ，（为第二象限角）或 0,) （为第一象限角） 导数切线三部曲 2 2 【练习练习 1 1】 (2018全国卷)设函数 f(
4、x)x3(a1)x2ax.若 f(x)为奇函数， 则曲线 yf(x)在点(0,0)处的切线方程 为() Ay2xByx Cy2xDyx 解析：选 D法一：f(x)x3(a1)x2ax， f(x)3x22(a1)xa. 又f(x)为奇函数，f(x)f(x)恒成立， 即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax 恒成立， a1，f(x)3x21，f(0)1， 曲线 yf(x)在点(0,0)处的切线方程为 yx. 法二：易知 f(x)x3(a1)x2axxx2(a1)xa，因为 f(x)为奇函数，所以函数 g(x)x2(a1)xa 为偶函数，所以 a10，解得 a1，所以 f(x)x3x，所以 f(x
5、)3x21，所以 f(0)1，所以曲线 yf(x)在 点(0,0)处的切线方程为 yx.故选 D. 【练习练习 2 2】 若P是函数 1 ln1f xxx图象上的动点， 点1, 1A ， 则直线AP斜率的取值范围为 （） A1, B0,1 C 1, ee D 1 ,e 【解析】由题意可得： ln11fxx，结合函数的定义域可知，函数在区间 1 1, 1 e 上单调递减，在区间 1 1, e 上单调递增，且 11 11f ee ， 绘制函数图象如图所示，当直线与函数图象相切时直线的斜率取得最小值，设切点坐标为 000 ,1 ln1xxx，该点的斜率为 0 ln11kx，切线方程为： 0000 1
6、 ln1ln11yxxxxx ，切线过点1, 1 ， 则： 0000 11 ln1ln111xxxx ，解得: 0 0 x ，切线的斜率 0 ln11 1kx ，综上 可得：则直线AP斜率的取值范围为1, 【练习练习 3 3】已知函数 f(x)xln x 在点 P(x0，f(x0)处的切线与直线 xy0 垂直，则切点 P(x0，f(x0)的坐标为 _ 解析f(x)xln x，f(x)ln x1，由题意得 f(x0)(1)1，即 f(x0)1，ln x011，ln x00， x01，f(x0)0，即 P(1,0) 答案(1,0) 【练习【练习 4 4】设P是函数1yx x图象上异于原点的动点，且
7、该图象在点P处的切线的倾斜角为，则的 取值范围是 3 【解析】由题意知 313131 tan23 222222 yxxx xxx 3 0, 2 考点 2 切线条数问题 【例例 2 2】过点,A m m与曲线 lnf xxx相切的直线有且只有两条，则m的取值范围是（） Ae，B+e，C 1 0 e ，D1+， 【解析】设切点为 00 xy，, ln1fxx,所以切线方程为: 0000 lnln1yxxxxx,代入,A m m,得 0000 lnln1mxxxmx,即这个关于 0 x的方程有两个解化简方程为 00 lnxmx,即 0 0 ln1x mx , 令 ln 0 x g xx x , 2
8、1ln x gx x , g x在0 e，上单调递增,在e ，上单调递减, 1 g e e ,x , 0g x ， 10g,所以 11 0 me ,所以me故选 B 【练习练习】设函数 23 3)(xxxf，若过点),2(n可作三条直线与曲线)(xfy 相切，则实数n的取值范围是（） A)4,5(B )0,5(C)0,4(D3,5( 【解析】法一： 32 3f xxx,则 2 36fxxx，设切点为 32 000 ,3xxx,则 2 000 36fxxx 过切点处的切线方程为 322 00000 336yxxxxxx，把点2 n，代入得： 322 00000 3362nxxxxx整理得： 32
9、 000 29120 xxxn 若过点2 n，可作三条直线与曲线 yf x相切,则方程 32 000 29120 xxxn有三个不同根（左图） 令 32 2912g xxxx， 则 2 61812612gxxxxx， 当12 +x ，时, 0gx；当12x，时, 0gx， g x的单调增区间为1，和2 +，；单调减区间为12， 当1x 时, g x有极大值为 15g； 当2x 时, g x有极小值为 24g由45n ，得54n 实数n的取值范围是54，故选A 法二： 32 3f xxx关于点1, 2中心对称， 2 3613fxxxf ，在对称中心的切线方程为 31,25yxxy 时， 24f
10、，故当点 2,n位于区域，有三条切线时，54n （如右图） 4 考点 3零点、交点、极值点问题 【例 3.1】【例 3.1】已知函数 lnf xxxax有两个极值点，则实数a的取值范围是（） A0 ，B 1 0, 2 C0,1D(0,) 【解析】函数 lnf xxxax，则 1 lnln21fxxaxxaxax x ， 令 ln210fxxax 得ln21xax，函数 lnf xxxax有两个极值点，等价于 ln21fxxax 有两个零点，等价于函数lnyx与21yax的图象有两个交点，在同一坐标系中作出它们的图象（如图） ， 当 1 2 a 时，直线21yax与lnyx的图象相切，由图可知，
11、当 1 0 2 a时，lnyx与21yax的 图象有两个交点，则实数a的取值范围是 1 0, 2 ，故选B 例 3.1 图例 3.2 图 【例 3.2】【例 3.2】设 lnf xx，若函数 g xf xax在区间 2 0,e上有三个零点，则实数a的取值范围（） A 1 0, e B 2 11 , ee C 2 22 , ee D 2 2 1 , ee 【解析】 令 0g xf xax， 可得 f xax 在坐标系内画出函数 lnf xx的图象 （如图 1 所示） 当1x 时， lnf xx由lnyx得 1 y x 设过原点的直线yax与函数yxln的图象切于点 00 ,lnA xx，则有 0
12、0 0 1 lnxax a x ， 解得 0 1 xe a e 所以当直线yax与函数lnyx的图象切时 1 a e 又当直线yax经过点 2 B,2e 时，有 2 2a e，解得 2 2 a e 结合图象可得当直线yax与函数 lnf xx的图象有 3 个交点时，实数a的取 值范围是 2 21 , ee 即函数 g xf xax在区间 2 0,e上有三个零点时，实数a的取值范围是 2 21 , ee 故选 D 【练习】【练习】对任意的0 x ，总有 lg0f xaxx，则a的取值范围是（） A lglg lgee ，B1，C1 lglg lgee ，Dlglg lgee ， 5 【解析】原问
13、题即lgxxa 在区间0,上恒成立，考查临界情况， 即函数 lgg xx与 h xxa 相切时的情形，如图， 很明显切点横坐标位于区间0,1内，此时， 1 lg , ln10 g xx gx x ， 由 1gx 可得： 1 lg ln10 xe ，则切点坐标为：lg , lg lgee， 切线方程为：lg lglgyexe，令0 x 可得纵截距为：lglg lgee， 结合如图所示的函数图象可得则a的取值范围是 lglg lgee ，故选 A 考点 4参数范围问题 【例【例 4 4】已知函数 lnf xxx x，若kZ，且 2k xf x对任意的2x 恒成立，则k的最大值为（） (参考数据：l
14、n20.6931,ln31.0986) A3B4C5D6 【解析】设直线2yk x与曲线 yf x相切时的切点为 ,m f m，此时 0 2 f m fm m ， 即 ln 2ln 2 mm m m m ，化简得42ln0mm，设 42ln0g mmm，因为 22 80g ee， 33 100g ee，所以 23 eme，所以切线斜率2lnm的取值范围为4,5， 所以整数k的最大值为4，故选B 【练习练习】已知, a b为正实数，直线yxa与曲线lnyxb相切，则 2 2 a b 的取值范围为 【解析】由题意知 1 1y xb ,1xb ,切点为1,0b,代入yxa,得1ab, , a b为正
15、实数,0,1a ,则 22 23 aa ba ,令 2 3 a g a a ,则 2 6 0 3 aa ga a , 则函数 g a为增函数, 2 1 0, 22 a b 考点 5 距离问题和平行切线问题 【例【例 5.15.1】设点P在曲线 1 2 x ye上，点Q在曲线ln 2yx上，则PQ最小值为（） A1ln2B2 1ln2C1ln2D2 1ln2 【解析】两函数互为反函数，即图像关于yx对称，函数 1 2 x ye上的点 1 2 x xe ，到直线yx的距离为 1 2 2 x ex ，设函数 11 1 22 xx g xexgxe，得 min1ln2g x ，所以 min 1ln2
16、2 d ，由图像关于yx 对称得：PQ的最小值为 min 22 1ln2d 6 【例【例 5.25.2】直线ym分别与曲线21yx，与lnyxx交于点,A B，则AB的最小值为（） A 3 2 4 B2C3 D 3 2 【解析】由题意可知，当过点B的切线与21yx平行时，AB取得最小值为此对lnyxx进行求导得 1 1y x ，令 2y ，解得1x ，代入lnyxx，知1y ，所以当BC取到最小值时，1m ，所以 1 11 1 2 AB ， ，易知 13 1 22 AB ，故选 D 【练习练习 1 1】已知函数 02 x f xfex ，点P为曲线 yf x在点 00f，处的切线l上的一点，点
17、Q在 曲线 x ye上，则PQ的最小值为 【解析】由 02 x fxfe ，令0 x 可得 01 f ，所以 2 x f xex ，所以切线的斜率 01k f ， 又 01f ， 故切线方程为10 xy 由题意可知与直线10 xy 平行且与曲线 x ye相切的切点到直线 10 xy 的距离即为所求设切点为 t Q te，则 1 1 t ke，故0t ，即01Q，该点到直线10 xy 的距离为 2 2 2 d 【练习练习 2 2】函数 2 1 x f xexx与 g x的图象关于直线230 xy对称，PQ、分别是函数 f xg x、 图象上的动点，则PQ的最小值为（） A 5 5 B5C 2 5
18、 5 D2 5 【解析】由题意得当P点处切线平行直线230 xy，Q为P关于直线230 xy对称点时，PQ取最小 值 21 x fxex， 2121202 xx fxexexP ，PQ的最小值为 023 22 5 14 ，故选 D 考点 6两点间距离平方问题 【例【例 6 6】已知实数ab、满足 2 25ln0aabcR，则 22 acbc的最小值为（） A 1 2 B 3 2 C 3 2 2 D 9 2 【解析】考查 22 acbc的最小值：x代换a，y代换b，则xy，满足： 2 25ln0 xxy，即 7 2 25ln0yxx x，以x代换c，可得点xx，满足0yx因此求 22 acbc的
19、最小值即为 求曲线 2 25ln0yxx x上的点到直线0yx的距离的最小值 设直线0yxmy+x+m=0 与曲线 2 25ln0yf xxx x相切于点 00 P xy， 5 4fxx x ，则 00 0 5 41fxx x ，解得 0 1x ，切点为12P，点P到直线0yx的距离 33 2 22 d ，得： 22 acbc的最小值为 9 2 【练习练习】已知 22 lnSxaxaaR，则S的最小值为（） A 2 2 B 1 2 C2D2 【解析】设lnA xxB a a，则问题化为求平面上两动点lnA xxB a a，之间距离的平方的最小值的 问题，也即求曲线 lnf xx上的点到直线yx
20、的点的距离最小值问题因 1 fx x ，设切点 lnP tt，则 切线的斜率 1 k t ，由题设当 1 1 t ，即1t 时，点10P，到直线yx的距离最近，其最小值为 min 1 2 d，所 以所求S的最小值为 min 1 2 S，故选 B 8 第二讲 函数公切线问题 与是否有公切线，决定它们公切线条数的是由函数凹凸性和共单调区间交点。 凹凸性相同的两曲线，在两个曲线时，两个函数均为凹函数，且时均 在递增区间，如图 1，若 ( ) yfx=与 ( ) yg x=无交点，可以类比圆的外公切线，当小圆内含于大圆时，无公切 线； 若 ( ) yfx=与 ( ) yg x=有唯一交点时，如图 2，
21、可以类比于当小圆与大圆内切时，有唯一的外公切线； 若 ( ) yfx=与 ( ) yg x=有两个交点时，如图 3，可以类比于当小圆与大圆相交时，有两条外公切线； 图 1 无公切线图 2 有一条公切线图 3 两条公切线 图 4 无公切线图 5 有一条公切线图 6 有两条公切线 同理，凹凸性不同的两条曲线，在两个曲线为凹函数，为凸函数时，且 均在递增区间，如图 4，若 ( ) yfx=与 ( ) yg x=有两个交点，可以类比圆的内公切线，当两圆相交时，无内公 切线；若 ( ) yfx=与 ( ) yg x=有唯一交点时，如图 5 所示，可以类比于当两圆外切时，有唯一的内公切线 若 ( ) yf
22、x=与 ( ) yg x=无交点时，如图 6 所示，可以类比于当两圆相离时，有两条内公切线 公切线定理代数表达： 当 yfx 与 yg x具有公切线时，设直线与 yf x 切于点 11 ,xf x 与 yg x 切于点 22 ,x g x 当 yf x 与 yg x 切于同一点，设切点为 00 ,P xy，则有 00 00 fxgx f xg x 当 yf x 与 yg x 为平行曲线，即 g xf xab ，则有 12 12 12 f xf xbb fxfx xxa 公切线方程的等量关系，求参数取范围或者切点的取值范围 9 考点 1切线与一曲线的切点已知，且与另一曲线相切，求另一曲线方程 【
23、例【例 1 1】 已知函数xxyln1在点)2 , 1 (A处的切线l， 若直线l与二次函数1)2( 2 xaaxy的图象也相切， 则实数a的取值为（） A12B8C0D4 【解析】xxyln1的导数为 x y 1 1，曲线xxyln1在1x处的切线斜率为2k，则曲线 xxyln1在1x处的切线方程为222xy，即xy2由于切线与曲线1)2( 2 xaaxy相切， 1)2( 2 xaaxy可联立xy2，得01 2 axax，又0a，两线相切有一切点，所以有04 2 aa， 解得4a故选 D 考点 2两曲线公共点公切线问题 【例【例 2 2】（2018攀枝花） 若曲线 2 yax与曲线ylnx在
24、它们的公共点处具有公共切线，则实数a的值为 （） A 1 2e B 1 2 CeD 1 e 【解析】 2 yax，2yax ，ylnx， 1 y x ，曲线 2 yax与曲线ylnx在它们的公共点设为( , )P s t 处具有公共切线， 1 2as s ， 2 tas，tlns， 1 2 t ，se， 1 2 a e ，故选A 考点 3 两曲线公切线存在性判断和参数取值范围问题 【例【例 3 3】 （2018邹城期中）若直线ykxb是曲线3ylnx的切线，也是曲线(2)yln x的切线，则实 数b的值是（） A 2 2 3 ln B26lnC2 6lnD 3 2 2 ln 【解析】根据题意，
25、设ykxb与3ylnx的切点为 1 (x， 1 3)lnx ，与(2)yln x的切点为 2 (x， 2 (2)ln x ； 对于3ylnx，其导数 1 y x ，则切线的斜率 1 1 1 |x xy x ，切线的方程为 11 1 1 (3)()ylnxxx x ， 即 1 1 1 (3)1yxlnx x ；对于(2)yln x，其导数 1 2 y x ，则切线的斜率 2 2 1 | 2 x x y x ， 12 11 2xx ， 则 12 2xx，则 2 2 2 2 x x ；解可得 2 4 3 x ， 1 2 3 x ；则 1 2 (3)12 3 blnxln ；故选A 【例【例 4 4】
26、 （2018高安期末）若曲线 2 1: 0Cyaxa 与曲线 2: x Cye（其中无理数2.718)e 存在公切线，则 整数a的最值情况为（） A最大值为 2，没有最小值B最小值为 2，没有最大值 C既没有最大值也没有最小值D最小值为 1，最大值为 2 【解析】由 2 yax，得2yax ，由 x ye，得 x ye ，曲线 2 1: Cyax与曲线 2: x Cye存在公共切线， 设公切线与曲线 1 C切于点 1 (x， 2 1) ax，与曲线 2 C切于点 2 (x， 2) x e，则 2 2 2 1 1 21 2 x x eax axe xx ，可得 21 22xx， 10 1 1 2
27、 1 2 x e a x ，记 1 2 ( ) 2 x e f x x ，则 1 2 2 (2) ( ) 4 x ex fx x ，当(,2)x 时，( )0fx，( )f x递减； 当(2,)x时，( )0fx，( )f x递增当2x 时， 2 ( ) 4 min e f xa的范围是 2 4 e ，)， 则整数a的最小值为 2，无最大值故选B 图 9图 10 秒杀解法：由于 2 1: 0Cyaxa 与曲线 2: x Cye均为凹函数，故根据图 9 和图 10 可知，先求出 1 C与 2 C公共 点的公切线，即，若 1 C与 2 C要有两个交点，则抛物线开口越小时成立，开 口大时将没有交点，
28、与题意不符合，故 2 4 e a ，故选 B 【练习【练习 1 1】 （2017太原一模）设函数 2 3 2(0) 2 f xxax a 与 2 g xa lnxb有公共点，且在公共点处的切线方 程相同，则实数b的最大值为（） A 2 1 2e B 2 1 2 eC 1 e D 2 3 2e 【解析】设公共点坐标为 00 ,xy,则 2 32 , a fxxa gx x ,所以有 00 fxgx，即 2 0 0 32 a xa x , 解出 0 xa( 0 3xa 舍去),又 000 yf xg x,所以有 22 000 3 2ln 2 xaxaxb , 故 22 000 3 2ln 2 bx
29、axaxb, 所以有 22 1 ln 2 baaa ,对b求导有21lnbaa ， 故b关于a的函数在 1 0, e 为增函数,在 1 , e 为减函数，所以当 1 a e 时b有最大值 2 1 2e ,故选 A. 【练习练习 2 2】已知曲线 x a ye 与 2 yx恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围是（） A2ln22+，B2ln2+，C2ln22，D2ln22， 【解析】 2 yx的导数2 x a yxye ，的导数为 x a ye ，设与曲线 x a ye 相切的切点为 2 mnyx，相 切的切点为st，则有公共切线斜率为2 m a tn se sm ，又 2+m a tsne，
30、即有 2 2 2 ss s sm ， 即为1 2 s sm，即有 2 0 2 s ms ，则有2 m a es ，即为 2 ln20 2 s ass ，恰好存在两条公切线， 11 即s有两解， 令 2 ln20 2 x f xxx ，则 11 2 fx x ，当2x 时， 0fxf x ，递减， 当02x时， 0fxf x，递增，即有2x 处 f x取得极大值，也为最大值，且为2ln22， 由恰好存在两条公切线可得ya与 yf x有两个交点，结合函数的图象与单调性可得a的范围是 2ln22a ，故选D 【练习【练习 3 3】 （2018北京模拟）若两曲线 2 1yx与1yalnx存在公切线，则
31、正实数a的取值范围是 【解析】两曲线 2 1yx与1yalnx存在公切线， 2 1yx的导数2yx ，1yalnx的导数为 a y x ， 设 2 1yx相切的切点为 2 ( ,1)n n 与曲线1yalnx相切的切点为( ,1)m alnm ， 2 (1)2 ()ynn xn， 即 2 21ynxn，(1)() a yalnmxm m ，即： 1 a yxaalnm m 2 2 11 a n m naalnm 2 2 4 a aalnm m ，0a ， 2 1 4 a lnm m ，即 2(1 ) 4 a mlnm有解即可， 令 2 ( )(1)g xxlnx， 2 1 2 (1)()(12
32、)0yxlnxxxlnx x ，可得xe， ( )g x在(0,)e是增函数；( e，)是减函数，( )g x的最大值为：() 2 e ge ，又(0)0g， 0 42 ae ，02ae 故答案为(0，2 e 图 11 图 12 秒杀解法：如图 11，找到 2 1yx与1yalnx相切于同一点的情况，即， 由于两函数是一凹一凸，故类比于两圆的内公切线原理，两曲线相离时，有两条公切线，如图 12 所示，故曲 线1yalnx要更加平缓，根据几何性质即可知道 通常，曲线越陡，则系数a越大，曲线越缓，则系数a越小，类比二次函数图像即可得知 12 第三讲 指、对数切线放缩 一、一、由由exx+1引出的放
33、缩引出的放缩 xex 1 （用1x替换x，切点横坐标是1x） ，通常表达为exex 1 axe ax （用ax 替换x，切点横坐标是ax） ，平移模型，找到切点是关键 1lnxxxex （用xxln替换x，切点横坐标满足0lnxx） ，常见的指对跨阶改头换面模型，切线的 方程是按照指数函数给予的 )0( 4 22 2 xxx e ex（用 2 x 替换x，切点横坐标是2x） ；通常有)0( x n x een x 的构造模型 【例【例 1 1】 （2019济宁二模）已知a，b为正实数，直线2yxa与曲线1 x b ye 相切，则 11 ab 的最小值为 （） A1B2 C4D8 【解析】根据
34、1 xex ，则12 x b exbxa ，故2ba，故 2 111111 ()()( 11) 22 ab abab 2，当且仅当1ab时等号成立，此时取得最小值 2故选B 【例例 2 2】已知函数 x eaxaxxf ) 1 2 1 ()( 2 ，a 为实数. (1)当 a2 时，求 f(x)的单调递增区间； (2)如果对任意 x0，f(x)x1 恒成立，求 a 的取值范围. 解(1)当 a2 时，f(x)(x22x1)e x， f(x)(2x2)e x(x22x1)ex(x1)(x1)ex， 由 f(x)0，得1x1， 所以 f(x)的单调递增区间为(1,1). (2)f(x)x11 2a
35、x 2ax1(x1)ex(x1)ex1 2ax 2ax10， 令 g(x)(x1)ex1 2ax 2ax1， 则 g(x)(x2)exaxa， 令 h(x)g(x)，则 h(x)(x3)exa， 令(x)h(x)，则(x)(x4)ex， 易知，当 x0 时，(x)(x4)ex0， 从而 h(x)(x)在0，)上单调递增， h(0)3a，h(0)2a，g(0)0， 13 当 a2 时，h(0)3a0， 由 h(x)在0，)上单调递增可知，h(x)3a0， 所以 h(x)，即 g(x)在0，)上单调递增， 所以 g(x)g(0)2a0，故 g(x)在0，)上单调递增， 从而 g(x)g(0)0 恒
36、成立； 当 2a3 时，h(0)3a0， 由 h(x)在0，)上单调递增可知，h(x)3a0， 所以 g(x)在0，)上单调递增，因为 g(0)2a0， 所以存在 x10，使 g(x1)0， 当 0 xx1时，g(x)0， 此时 g(x)单调递减，g(x1)g(0)0，与题意不符； 当 a3 时，h(0)3a0，由 h(x)在0，)上单调递增可知， 存在 x20，使 h(x2)0， 当 0 xx2时，h(x)0，即 g(x)单调递减， 从而 g(x)g(0)2a0，从而 g(x)在(0，x2)上单调递减， 此时 g(x2)g(0)0，与题意不符. 综上，a 的取值范围是(，2. 【练习【练习】
37、 （2019山东模拟）设函数 2 ( )(1) x f xea x （1）讨论( )f x的单调性; （2）若( )0f x 对xR恒成立，求a的取值范围 【解析】 （1）由函数的解析式可得： 2 ( )2 x fxea，当 a0 时，( )0fx，( )f x在R上单调递增， 当0a 时，由( )0fx可得 1 22 a xln，则 1 ( )( )0( ) 22 a xlnfxf x ，单调递减， 1 ( )( )0 ,( ) 22 a xlnfxf x ，单调递增 （2）法一：由题意可得： 2 (1)0 x ea x， 2 (1) x ea x恒成立，很明显0a 不合题意，当 a0 时，
38、原问题 等价于指数函数 2 ()xye的图象恒在(1)ya x的上方，直线(1)ya x恒过定点( 1,0)，考查函数 2 ()xye 过( 1,0)的切线方程：易知切点坐标为 0 2 0 (,) x x e，切线斜率为 0 2 2 x ke，故切线方程为： 00 22 0 2() xx yeexx， 切线过( 1,0)，故 00 22 0 02( 1) xx eex ，解得： 0 21 0 12 ,22 2 x xkee e ，综上可得，实数a的取值范围 14 是 2 0, ) e 法二：构造函数，显然恒成立，当仅当 0 x 时等号成立，要使 2 (1) x ea x恒成立， 很明显0a 不
39、合题意， 令 xt2 ， 即， 当仅当 1t 取得相切等号， 故 二二、 由由 lnx x -1（也可以记为（也可以记为 lnex x，切点为（，切点为（1,0） ）引起的放缩）引起的放缩 最常见的就是 xx ) 1ln( ，由1ln xx向左平移一个单位来理解，或者将 1 xex 两边取对数而来 e x x ln （用 e x 替换x，切点横坐标是ex ） ，表示过原点与xxfln)(的切线为 e x y x x 1 1ln （用 x 1 替换x，切点横坐标1x） ，或者记为1lnxxx xxx 2 ln （由1lnxx 及xxx 2 1切点横坐标是1x） ，或者记为1 ln x x x )
40、 1( 2 1 ln 2 xx（由) 1( 2 1 1ln 2 xxx） ，即在点)0 , 1 (处三曲线相切 【例【例 1 1】 （2019江苏）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线ylnx上，且该曲线在点A处的切线经过点 1e，(e为自然对数的底数） ，则点A的坐标是 【解析】设 0 (A x， 0) lnx，由ylnx，得 1 y x ， 0 0 1 |x xy x ，则该曲线在点A处的切线方程为 00 0 1 ()ylnxxx x ，切线经过点(, 1)e， 0 0 11 e lnx x ， 即 0 0 e lnx x ， 则 0 xeA点坐标为( ,1)e 故 答案为：( ,1)e
41、注意：此题可以想到过原点与xxfln)(的切线为 e x y ，且过点( e，1)，故切点为( ,1)e 【例【例 2 2】 （2018雁江月考）设函数( )2f xlnxx （1）讨论( )f x的单调性及零点个数 （2）证明，当(1,)x时，1xxlnx ； 【解析】 （1）函数( )2f xlnxx的定义域为(0,)，其导函数 11 ( )1 x fx xx ，由( )0fx， 可得01x；由( )0fx，可得1x ( )f x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减 当1x 时，( )f x取得极大值为(1)10f ，又 22 11 ()0f ee ， 22 ()40f ee，(
42、)f x有两个零点； （2）法一：证明：要证1xxlnx ，即证10 xlnxx ，设( )1g xxlnxx，(1,)x，则( )g xlnx， (1,)x，0lnx( )0g x，( )g x在(1,)单调递增，又(1)0g，( )0g x，即10 xlnxx ， 1xxlnx 15 法二： （对数单身狗）要证1xxlnx ，即证 1 1lnx x ，构造函数 1 ( )1g xlnx x ， 22 111 ( ) x g x xxx 显然(1,)x，( )0g x，( )g x在(1,)单调递增，又(1)0g，( )0g x，1xxlnx 【练习练习 1 1】 （2019湖北期中）已知函
43、数 2 ( )(2)f xalnxxax恰有两个零点，则实数的取值范围是（） A( 1 , 0)B( 1 ,) C( 2 , 0)D( 2 ,1) 【解析】法一：由 2 (2)0alnxxax得 2 2xx a xlnx ，令 2 2 ( ) xx g x xlnx ，则 2 (1)(22) ( ) () xxlnx g x xlnx ， 2 2 ( ) xx g x xlnx ，在(0,1)上递减，在(1,)上递增，所以( )(1) min g xg1 ，又当(0,1)x时， 2 20 xx， 2 2 ( )0 xx g x xlnx ，所以实数的取值范围是( 1,0)故选A 法二：由于，切
44、点为（1,0） ，根据题意 (2)lnxxa xa 有两交 点，如图，直线的零点一定满足 12 a ，且直线必为单调递增，故 01a 时一定有两交点， 当 0a 时， 直线和曲线仅有一个交点， 故选A 【练习练习 2 2】 （2019湖南模拟）已知函数 2 ( )2 x e f xklnxkx x ，若2x 是函数( )f x的唯一极值点，则实数k的 取值范围是（） A 2 (, 4 e B(, 2 e C2,0(D),2 【解析】法一函数( )f x的定义域是(0,)， 2 33 (2)2()(2) ( ) xx exkekxx fxk xxx ， 2x 是函数( )f x的唯一一个极值点，2x是导函数( )0fx的唯一根， 2 0 x ekx在(0,)无变号零点， 即 2 x e k x 在0 x 上无变号零点， 令 2 ( ) x e g x x ， 因为 3 (2) ( ) x ex g x x ， 所以( )g x在(0,2)上单调递减， 在2x 上 单调递增所以( )g x的最小值为(2)g 2 4 e ，所以必须 2 4 e k ，故选A 法二 （同构式切线放缩法） ： 222 ( )2 xxx eee f xklnxkxkln xxx ， 令 2 x e t x ， 显然，当仅当 2x 时等号成立，故时，无解，所以必须 2 4 e k ， 故选A
