1、 5 5. .3 3 诱导公式诱导公式 第五章第五章 三角函数三角函数 任意角三角函数的定义任意角三角函数的定义 设设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)， 那么：那么： （1）正弦正弦sin （2）余弦余弦cos （3）正切正切tan x y y x 一.复习回顾 x y O P(x,y) 公式（一）公式（一） sin(360 )sin cos(360 )cos tan(360 )tan k k k kZ 其中 sin(2)sin cos(2)cos tan(2)tan k k k kZ 其中 实质：终边相同，三角函数值相等实质：终边相同，三角
2、函数值相等 用途：用途：“大大”角化角化“小小”角角 1.终边相同的角的同一三角函数值有什么关系终边相同的角的同一三角函数值有什么关系? 2.角角 - -与与的终边的终边 有何位置关系有何位置关系? 3.角角 - -与与的终边的终边 有何位置关系有何位置关系? 4.角角 +与与的终边的终边 有何位置关系有何位置关系? 相等相等 终边关于终边关于x轴对称轴对称 终边关于终边关于y轴对称轴对称 终边关于原点对称终边关于原点对称 思思 考考1 已知任意角已知任意角的终边与单位圆相交于点的终边与单位圆相交于点P(x, y),请请 同学们思考回答点同学们思考回答点P关于原点、关于原点、x轴、轴、y轴对称
3、的三个轴对称的三个 点的坐标是什么点的坐标是什么? 思思 考考2 siny 1r cosx tan y x sin()y - - cos()x - - tan() yy xx - - - - sin()sin - - cos()cos - - tan()tan 探究一 形如形如 的三角函数值与的三角函数值与 的三角函数值之间的关系的三角函数值之间的关系 我们再来研究角与我们再来研究角与 的三角函数值之的三角函数值之 间的关系间的关系 - 探究二 - - siny 1r cosx tan y x sin()y - - - cos()x - tan() yy xx - - - - - sin()s
4、in - - - - cos()cos - - tan()tan - - - - - 由上面两组公式的推导方法， 你能同理推导出 角与的三角函数值之间的关系吗？ - - - - tan)tan( cos)cos( sin)sin( - - - - - - - - - - tan)(tan cos)cos( sin)sin( 探究三 公式四 - - siny 1r cosx tan y x sin()y- cos()x- - - tan() yy xx - - - - - sin()sin - - cos()cos - - - - tan()tan- - - - - - - - - - - -
5、- tan)tan( cos)cos( sin)sin( )Zk( tan)2ktan( cos)2kcos( sin)2ksin( - - - - tan)tan( cos)cos( sin)sin( - - - - - - - - - - tan)tan( cos)cos( sin)sin( 公式一：公式一：公式二：公式二： 公式三：公式三： 公式四公式四： 简记为简记为“函数名不变，符号看象限函数名不变，符号看象限” 、)k(2kz、- 的三角函数值，等于的三角函数值，等于 的同名三角函数值前面加上把的同名三角函数值前面加上把 看作锐角时原函数值的看作锐角时原函数值的 符号。符号。 发现
6、规律：发现规律： 公式一、二、三、四公式一、二、三、四, ,都叫做诱导公式都叫做诱导公式 例例1.1.求下列三角函数值求下列三角函数值 225cos) 1 ()45180cos(-45cos 2 2 - 3 8 sin)2( ) 3 2 2sin( 3 2 sin 2 3 -) 3 16 sin()3( 3 16 sin - - ) 3 5sin( - - ) 3 sin( - - - 2 3 -)2040tan()4(2040tan- )1203606tan(- 120tan)60180tan(- -60tan 3- ）（ 3 sin - 3 sin 思考思考3：通过例题，你对诱导公式一、二
7、、三、四通过例题，你对诱导公式一、二、三、四 有什么进一步的认识？你能归纳任意角的三角函有什么进一步的认识？你能归纳任意角的三角函 数化为锐角三角函数的步骤吗？数化为锐角三角函数的步骤吗？ 上述过程体现了由未知到已知的上述过程体现了由未知到已知的化归化归思想。思想。 任意负角的任意负角的 三角函数三角函数 任意正角的任意正角的 三角函数三角函数 20 三角函数三角函数 的的锐角的三锐角的三 角函数角函数 用用公式公式 三或一三或一 用公式一用公式一 用用公式公式 二或四二或四 例例2 化简：化简： )180cos()180tan( )360sin()180cos( 00 00 - 解：)180
8、tan( - )180(tan - )180tan( -tan- )180cos(- )180(cos- )180cos(- cos- 所以， cos )cos)(tan( sincos - - - 原式 探究四：作P（x,y)关于直线 的对称点P1, 以OP1为终边的角 与角 有什么关系？角 与角 的三角函数值之间有什么关系？ y x O y=x P(x,y) 2 - P1(y,x) xy )(), 2 (2Zkk- ),(P 1 xy ) 2 sin(cos -) 2 cos(sin - sincos, 2 cossin. 2 - - 公式五公式五 y x 0 1 -1 -1 1 P(x,
9、y) P5 探究五：作点P（x,y)关于y轴的对称点P5，又能得到什么 结论？ 轴对称的终边关于与角角y 2 sin) 2 cos( cos) 2 sin( - ）（yx,P 5 - 公式六：公式六： 思考思考4 4：你能概括一下公式五、六的共同特点和你能概括一下公式五、六的共同特点和 规律吗？规律吗？ 的正弦的正弦(余弦余弦)函数值函数值,分别等于分别等于的的 余弦余弦(正弦正弦)函数值函数值,前面加上一个把前面加上一个把看成锐角看成锐角时时 原函数值的符号原函数值的符号. 2 sin()sin cos()cos tan()tan - - - - sin(2 )sin cos(2 )cos
10、tan(2 )tan k k k sin()sin cos()cos tan()tan - - - - - - - - - - sin()cos 2 cos()sin 2 - - sin()cos 2 cos()sin 2 - - sin()sin cos()cos tan()tan - - - - - - - - - - 思考思考5 5：诱导公式可统一为诱导公式可统一为 的三角函数与的三角函数与的三角函数之间的关系，你有什么办的三角函数之间的关系，你有什么办 法记住这些公式？法记住这些公式？ )Zk( 2 k 口诀：奇变偶不变，符号看象限口诀：奇变偶不变，符号看象限 口诀口诀的的意义意义：
11、2 1 2 kkZ k k （）的三角函数值 ）当 为偶数时，等于 的同名三角函数值，前面加上 一个把 看作锐角时原三角函数值的符号； ）当 为奇数时，等于 的异名三角函数值，前面加上 一个把 看作锐角时原三角函数值的符号； 例例3 3 证明证明 : : 3 1 sinsin 22 - 3 1 sincos; 2 3 2 cossin. 2 - - - - sin 2 - cos- 证明： 3 2 coscos 22 - cos 2 - sin - 例例4 4 化简化简 11 sin 2coscoscos 22 9 cossin 3sinsi . n 2 - - sincossincos 5
12、2 = cossinsinsin 4 2 - - 原式 2 sincoscos 2 = cossinsinsin 2 - - - sin =tan cos - - 解： 例5 已知 ，且 ，求 的值。 5 1 )53sin(- -90270 )37sin( 解：设 。，- 3753 ，那么 90 ，从而- 90 于是，.cos)90sin(sin- 因为，.90270 -所以，.323143 180143, 0 5 1 sin得由 所以，. 5 62 ) 5 1 (1sin1cos 22 - 所以， 。 5 62 sin)37sin(- 达标检测 【答案】 D 三角函数的简化过程图：三角函数的简化过程图： 小结小结 任意负角的任意负角的 三角函数三角函数 任意正角的任意正角的 三角函数三角函数 三角函数三角函数 的的锐角的三锐角的三 角函数角函数 用用公式公式 三或一三或一 用公式一用公式一 用用公式公式 二或四或二或四或 五或六五或六 三角函数的简化过程口诀：负化正，正化三角函数的简化过程口诀：负化正，正化 小，化到锐角为终了小，化到锐角为终了 诱导公式记忆口诀：诱导公式记忆口诀： 公式一公式一公式二公式二公式三公式三公式四公式四公式五公式五公式六公式六
