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1、实验设计与数据处理全册配套实验设计与数据处理全册配套 最完整精品课件最完整精品课件 实验设计与数据处理 顾名思义， “实验设计与数据处理” 课程是关于实验前的设计理论、知识、 方法、技能，以及实验后对实验数据 进行科学处理的理论、知识方法与技 能的课程。 ： 材料学科的特点材料学科的特点-必要性必要性 材料学科的毕业生去向材料学科的毕业生去向：绝大多数学生生毕业后绝大多数学生生毕业后 去大型科技企业，研究所、大学等科研学术机构，继去大型科技企业，研究所、大学等科研学术机构，继 续从事科研技术研发方面的工作。续从事科研技术研发方面的工作。 材料学科特点材料学科特点：需要常常做实验，确定最佳的技需

2、要常常做实验，确定最佳的技 术工艺条件，获得最佳的产品配方及对产品性能进行术工艺条件，获得最佳的产品配方及对产品性能进行 优化。优化。 几乎所有专业都开设了实验设计与数据处理这门课，几乎所有专业都开设了实验设计与数据处理这门课， 是必修课可见其重要性是必修课可见其重要性 课程度的性质：课程度的性质： 试验设计方法是一项通用技术，是当代科技和工试验设计方法是一项通用技术，是当代科技和工 程技术人员必须掌握的技术方法。程技术人员必须掌握的技术方法。 课程的任务：课程的任务： 让学生熟悉并掌握近代最常用、最有效的几种优让学生熟悉并掌握近代最常用、最有效的几种优 化试验设计方法的基本原理及其应用。化试

3、验设计方法的基本原理及其应用。 什么叫做（优化）试验设计方法？什么叫做（优化）试验设计方法？ 把数学上优化理论、技术应用于试验设计中，科学的安把数学上优化理论、技术应用于试验设计中，科学的安 排试验、处理试验结果的方法。排试验、处理试验结果的方法。 采用科学的方法去安排试验，处理试验结果，以最少的采用科学的方法去安排试验，处理试验结果，以最少的 人力和物力消费，在最短的时间内取得更多、更好的生产和人力和物力消费，在最短的时间内取得更多、更好的生产和 科研成果的最有效的技术方法。科研成果的最有效的技术方法。 优化试验设计方法起源优化试验设计方法起源 上世纪上世纪30年代，由于农业试验的需要，费歇

4、年代，由于农业试验的需要，费歇(R.A.Fisher)在试验设计在试验设计 和统计分析方面做出了一系列先驱工作，从此试验设计成为统计科学和统计分析方面做出了一系列先驱工作，从此试验设计成为统计科学 的一个分支。的一个分支。 上世纪上世纪40年代，在二次世界大战期间，美国军方大量应用试验设计方年代，在二次世界大战期间，美国军方大量应用试验设计方 法。随后法。随后F.Yates,R.C.Bose,O.Kempthome,W.G.Cochran,D.R.Cox 和和G.E.P.Box对试验设计都作出了杰出的贡献，使该分支在理论上日对试验设计都作出了杰出的贡献，使该分支在理论上日 趋完善，在应用上日趋

5、广泛。趋完善，在应用上日趋广泛。 50年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表 格化，在方法解说方面深入浅出为试验设计的更广泛使用作出了众所格化，在方法解说方面深入浅出为试验设计的更广泛使用作出了众所 周知的贡献。周知的贡献。 我国优化试验设计方法我国优化试验设计方法 60末期代，华罗庚教授在我国倡导与普及的“优选法”， 如黄金分割法、分数法和斐波那契数列法等。 数理统计学者在工业部门中普及 “正交设计”法 。 70年代中期，优选法在全国各行各业取得明显成效。 1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因 素的

6、试验，希望每个因素的水平数要多于10，而试验总数 又不超过50，显然优选法和正交设计都不能用，随后，方 开泰教授（中国科学院应用数学研究所）和王元院士提出 “均匀设计”法，这一方法在导弹设计中取得了成效。 优化试验设计试验设计在科学研究中的优化试验设计试验设计在科学研究中的 地位与意义地位与意义 ： 试验设计方法是一项通用技术，是当代科技和工程技术 人员必须掌握的技术方法。 科学地安排实验，以最少的人力和物力消费，在最短的 时间内取得更多、更好的生产和科研成果。简称为：多、快、 好、省。 可应用于：可应用于： 提高试验效率、优化产品设计、改进工艺技术、强化质量管 理。试验设计在工业生产和工程设

7、计及科学研究中能发挥重要的 作用，例如： n提高产量 n减少质量的波动，提高产品质量水准 n大大缩短新产品试验周期 n降低成本 n延长产品寿命 n多用在化工、电子、材料、建工、建材、石油、冶金、机械、 交通、电力 第一部分优选法第一部分优选法 典型事例典型事例1：长征：长征3号火箭定型试验，新研号火箭定型试验，新研 制的火箭，要检测其安全性稳定性。通过制的火箭，要检测其安全性稳定性。通过 高超设计的实验方案及数据处理技术，不高超设计的实验方案及数据处理技术，不 及苏联及美国一半的试验次数就完成了定及苏联及美国一半的试验次数就完成了定 型试验，大大节省了财力、物力和时间型试验，大大节省了财力、物

8、力和时间。 在材料研究过程中，广泛使用实验手段去探求和在材料研究过程中，广泛使用实验手段去探求和 掌握研究对象的规律，材料工艺开发过程更是这掌握研究对象的规律，材料工艺开发过程更是这 样。样。 面对大量的实验工作报，除了有关的专业知识和面对大量的实验工作报，除了有关的专业知识和 文献信息之外，还必须有一套科学的实验设计方文献信息之外，还必须有一套科学的实验设计方 法，才能花费尽量少的力气，获取最多的信息。法，才能花费尽量少的力气，获取最多的信息。 经过设计的实验，效果大大提高，与不经过设计经过设计的实验，效果大大提高，与不经过设计 的实验相比，情况大不相同。的实验相比，情况大不相同。 典型事例

9、典型事例2：高熵：高熵多主元多主元合金的研发与制备合金的研发与制备。 例如：Al100Co100Cr100Cu100Fe100Ni100合金系的成分优 化与设计。 0100之间，怎么设计与处理？ 典型典型-案类案类 1.1单因素问题的优选法单因素问题的优选法 优选法：根据生产和科研中的不同问题，利用数学原理，优选法：根据生产和科研中的不同问题，利用数学原理， 合理地安排试验点，减少试验次数合理地安排试验点，减少试验次数，以求迅速地找到，以求迅速地找到最佳最佳 点点的一类科学方法。如果只考虑改变对目标影响最大的某的一类科学方法。如果只考虑改变对目标影响最大的某 个因素，而其他因素保持不变，就是个

10、因素，而其他因素保持不变，就是单因素问题的优选方单因素问题的优选方 法。法。 适用于：适用于： 试验指标与因素间不能用数学形式表达试验指标与因素间不能用数学形式表达( (数据发散无数数据发散无数 学规律）学规律） 表达式很复杂（未知数的表达式很复杂（未知数的N N次方大于次方大于3 3以上）以上） 1.1.1 黄金分割法黄金分割法 黄金分割点是谁发现的？，黄金分割点是谁发现的？，它是古希腊著它是古希腊著 名哲学家、数学家毕达哥拉斯名哲学家、数学家毕达哥拉斯 。 黄金分割法的应用领域有哪些？黄金分割法的应用领域有哪些？ 绘画、雕塑、音乐、建筑、艺术、管理、绘画、雕塑、音乐、建筑、艺术、管理、 工

11、程设计等领域都有应用工程设计等领域都有应用。 请举例。请举例。 1.1.1 黄金分割法黄金分割法 基本命题基本命题 试验指标试验指标f(x)是定义区间是定义区间(a，b)的的单峰函数单峰函数 用尽量少的试验次数，来确定用尽量少的试验次数，来确定f(x)的的最大值的近似位置最大值的近似位置 x1x2abx3x4ab xx 变量取值是任意的变量取值是任意的 若若x1 x2 x，有，有f(x1) f(x2) f(x)， 若若x x3 x4， 有有 f(x4) f(x3) f(x)，则，则f(x) 最最 大大 则称则称： f(x) 为为 a, b上的单锋函数，反之称为单谷函数，上的单锋函数，反之称为单

12、谷函数， 单峰单谷函数统称单极值函数。峰值点称为极值点，单峰单谷函数统称单极值函数。峰值点称为极值点， 最大最大 值点和最小值点称为值点和最小值点称为最优点最优点 黄金分割法，亦称黄金分割法，亦称0.6180.618法，法， 0.618 0.618 是：是： 6180339887. 0 2 15 618. 0 在一般情况下，通过预实验或其它先验信息，确在一般情况下，通过预实验或其它先验信息，确 定了实验范围定了实验范围a，b，可以用黄金分割法设计实，可以用黄金分割法设计实 验，安排实验点位置。验，安排实验点位置。 黄金分割法，是把第一个实验点安排在实验范围黄金分割法，是把第一个实验点安排在实验

13、范围 距左端点距左端点a为区间全长的为区间全长的0.618处。处。 第一个实验点第一个实验点X1= a（ba）0.618 第二个实验点第二个实验点X2= b（ba）0.618 或或 X2= 大大+小中（中指已经做过的试验点）小中（中指已经做过的试验点） 比较试验结果比较试验结果y1=f(x1)和和y2=f(x2)的大小。如果的大小。如果f(x1)大，就去掉大，就去掉 ( a，x2 )部分，留下的范围里形成新的含优区间部分，留下的范围里形成新的含优区间( x2 ，b)继续继续 试验。试验。 例：例：要熔炼某种钢，为了提高其强度而加入某种微量元素，含优要熔炼某种钢，为了提高其强度而加入某种微量元素

14、，含优 区间为区间为1000,20001000,2000。为了寻求最大值点，分别在。为了寻求最大值点，分别在x x1 1点和点和x x2 2点做点做 二次试验，其中：二次试验，其中： x1= a(ba)0.618=1000+(2000-1000) 0.618=1618克克 x2= b(ba)0.618=2000(2000-1000) 0.618=1382克克 然后把加入量然后把加入量1618g和和1382g的实验结果进行比较，如果的实验结果进行比较，如果x2点的强度点的强度 大于大于x1点的强度，则把点的强度，则把x1b部分去掉，在余下的空间里又形成了部分去掉，在余下的空间里又形成了 一个缩小

15、的含优空间一个缩小的含优空间a, a, x1 。继续试验再求下一个试验点。继续试验再求下一个试验点x x3 3。 。 x3= x1 (x1 a)0.618=1618(1618-1000) 0.618=1236克克 再比较再比较x3和和x2点的强度，点的强度， 若若x2点的强度大于点的强度大于x3点的强度，则把点的强度，则把a x3部分去掉，在余下的部分去掉，在余下的 x3, , x1 区间继续求另一个对称点区间继续求另一个对称点 x4=1472克？克？。再对。再对x2和和x4进行比较，如此不断缩小含优区间，进行比较，如此不断缩小含优区间， 直到获得满意的结果直到获得满意的结果。 。 x2x1a

16、b x3 x4 下面通过实例，说明黄金分割法设计实验的具体步骤。下面通过实例，说明黄金分割法设计实验的具体步骤。 例例 目前目前，合成乙苯主要采用乙烯与苯烷基化的方法。合成乙苯主要采用乙烯与苯烷基化的方法。为了因为了因 地制宜，对于没有石油乙烯的地区，我们开发了乙醇和苯在分子筛催化地制宜，对于没有石油乙烯的地区，我们开发了乙醇和苯在分子筛催化 下一步合成乙苯的新工艺：下一步合成乙苯的新工艺： 筛选了多种组成的催化剂，其中效果较好的一种催化剂的最佳反应温筛选了多种组成的催化剂，其中效果较好的一种催化剂的最佳反应温 度，就是用黄金分割法通过实验找出的。度，就是用黄金分割法通过实验找出的。 初步实验

17、找出，反应温度范围在初步实验找出，反应温度范围在 340420之间。之间。在苯与乙醇的摩在苯与乙醇的摩 尔比为尔比为 5：1，重量空速为，重量空速为 11.25h-1的条件下的条件下,苯的转化率苯的转化率 XB是是: 340 10.98% 420 15.13% 第一个实验点位置是第一个实验点位置是: (420-340)0.618+340=389.4 取决于取决于 390实验结果是实验结果是:XB=16.5%。 第二个实验点的位置是第二个实验点的位置是: 420+340-390=370 实验测得实验测得,370下下, XB=15.4%。 比较两个实验点的结果比较两个实验点的结果,因因 390的的

18、 XB大于大于 370的的 XB,删去删去 340-370一段一段, 在在 370到到 420范围内再优选。范围内再优选。第三个实验点位置是第三个实验点位置是: 420+370-390=400 实验测得实验测得 400下下,XB=17.07%。 因因 400的的 XB大于大于 390的的 XB,再删去再删去 370-390一段一段,在在 390-420范围内再优范围内再优 选。选。第四个实验点的位置是第四个实验点的位置是: 420+390-400=410 在在 410下测得下测得 XB=16.00%,已经小于已经小于 400的结果。的结果。故此故此,实验的最佳温度确定为实验的最佳温度确定为 4

19、00。在此温度下进行反应在此温度下进行反应,获得成功获得成功,通过了鉴定。通过了鉴定。 1.1.2 1.1.2 0.618法的数学依据和来源法的数学依据和来源 2000 2000多年前多年前, ,古希腊雅典学派的第三大算学古希腊雅典学派的第三大算学 家欧道克萨斯首先提出黄金分割。美国家欧道克萨斯首先提出黄金分割。美国J.J.基弗在基弗在 19531953年首先提出年首先提出0.6180.618法。法。 中国的数学家华罗庚中国的数学家华罗庚 推广了优选法在工厂和企业的大规模应用。推广了优选法在工厂和企业的大规模应用。 为什么选为什么选0.6180.618，又为什么是对称取点？，又为什么是对称取点

20、？ 假设第一个试验点取在含优区间假设第一个试验点取在含优区间a, ba, b内的内的x x1 1点位置是合点位置是合 适的，则适的，则x x1 1在在a, ba, b内应有合适的比例位置：内应有合适的比例位置： ab ax1 (1-1) 为了知道为了知道x1的好坏，根据对等原则必须再选对称的选一个点的好坏，根据对等原则必须再选对称的选一个点x2 x2-a=b-x1 (1-2) 假定假定x2比比x1好，余下的含优区间为好，余下的含优区间为a, x1, 则应满足：则应满足： (1-3) ab ax ax ax 1 1 2 (1-4) 12 xbax )()( 2 2 1 axabax 联立联立(1

21、-2)和和(1-3)式子，即满足联立方程：式子，即满足联立方程： 解方程解方程 (1-4)，有：，有： 2 15 )( 12 axax 2 15 )( 1 abax 因为因为x1是是a, b内的点，内的点，x2是是a, x1内的点，所以可知内的点，所以可知 0 2 15 1.1.3 分数法 1202年，意大利数学家斐波那契 （Fibonacci）出版了他的珠算原理 。 他在书中提出了一个关于兔子繁殖的问题： 如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在他出生后的第三个月 里，又能开始生一对小兔，假定在不发生死亡的情況下，由一对出生的小兔开始， 50个月后会有多少对兔子？ 在第一个月时

22、，只有一对小兔子，过了一个月，那对兔子成熟 了，在第三个月时便生下一对小兔子，这时有两对小兔子。再过一个多月，成熟的 兔子再生一对小兔子，而另一对小兔子长大，有三对小兔子。如此推算下去，我们 便发现一个规律： 时间（月） 初生兔子（对） 成熟兔子（对) 兔子总数（对） .2 分数试验法分数试验法 为了介绍分数试验法,先介绍一个优选数列,历史上称为菲波那契数列 Fn: 表 5-1 菲波那契数列 Fn F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 1 1 2 3 5 8 13 21 34 这个优选数列存在如下规律: Fn=Fn-1+Fn-2 例如：F5=F4+F3=5+3=8，F6=F5+

23、F4=8+5=13 数学上可以证明: 1 lim n n n F F 2 15 0.618 利用这个数列，建立起的分数实验数据如表 5-2 所示： 表 5-2 分数实验优选数据表 实验次数实验次数 1 2 3 4 5 6 等分实验范围分数等分实验范围分数 Fn+1 2 3 5 8 13 21 第一实验点位置第一实验点位置 Fn/Fn+1 1/2 2/3 3/5 5/8 8/13 13/21 2 2 有一些实验的试验点只能取整数，不可能是0.618的倍数，也有的实 验预先规定了实验的总次数，这个时候运用分数法比0.618法更方便。 这个数值称为黃金分割比，它正好是方程式 x2+x-1=0 的一個

24、根 利用这个数列，建立起的分数实验数据如表 2 所示 分数法的具体使用例子分数法的具体使用例子1： 卡那霉素发酵液生物测定，当培养温度为卡那霉素发酵液生物测定，当培养温度为371度时，培养时间在度时，培养时间在16小时小时 以上，为缩短培养时间，决定优选培养温度，试验范围定在以上，为缩短培养时间，决定优选培养温度，试验范围定在29b)。见下图。第一批试验就安排在。见下图。第一批试验就安排在 2n+1个分点上。根据第一批试验结果，在好点左右分别留下一个分点上。根据第一批试验结果，在好点左右分别留下一 个个a区和区和b区。然后把新含优区间区。然后把新含优区间a+b中的中的a段分成段分成2n+2份，

25、使相份，使相 邻两段为邻两段为a1和和b1(a1b1)，并使，并使a1=b，令，令 ) 1)() 1)( 11 1 11 1 1 1 naa a nba a a b a b ) 1)(1( 1 n 01) 1() 1( 2 nn (2-1) 式中 可由(2-1)式根据每批试验次数求出，例如，若每批做三 个试验，把含有区间a,b长度定为1，则n=1,由(2-1)式， =0.366 若每批做五个试验，则n=2, =0.264 用上述方法安排 试验，一直进行下去，直到得到满意结果为止。见下图。 比例分割法第一批试验点示意图（试验次数为奇数时） 比例分割法第二批试验点示意图（试验次数为奇数时） 每批实

26、验个数每一批试验点图示 三 0.134, 0.5, 0.634 0.366, 0.5, 0.866 五 0.069, 0.333, 0.402, 0.666, 0.735 0.264,0.333,0.597,0.666,0.930 七 表 每批奇数个试验个数 每批实验个数每一批试验点图示 三0.134, 0.5, 0.634 0.366, 0.5, 0.866 五0.069, 0.333, 0.402, 0.666, 0.735 0.264,0.333,0.597,0.6 66,0.930 七作业（给出9个试验 点） 00.134 0.510.634 第一章第一章 完完 大连理工大学材料学院铸

27、造工程研究中心313室 2 正交设计方法 卢一平 E-mail： 对于单因素或两因素试验，因其因素少对于单因素或两因素试验，因其因素少 ， 试验的设计试验的设计 、实施与分析都比较简单、实施与分析都比较简单 。但在实。但在实 际工作中际工作中 ，常常需要同时考察，常常需要同时考察 3个或个或3个以上的个以上的 试验因素试验因素 ，若进行全面试验，若进行全面试验 ，则试验的规模将，则试验的规模将 很大很大 ，往往因试验条件的限制而难于实施，往往因试验条件的限制而难于实施 。正。正 交试验设计就是利用一种规格化的表交试验设计就是利用一种规格化的表-“正交正交 表表”，合理安排多因素试验，合理安排多

28、因素试验 、只做较少次实验、只做较少次实验 便可判断出较优组合便可判断出较优组合 的一种高效率试验设计方的一种高效率试验设计方 法。法。 例如，例如，Super304钢生产过程中，要考察保温排气钢生产过程中，要考察保温排气 时间、添加的微量元素的量和钢液冷却速度对其强度硬度时间、添加的微量元素的量和钢液冷却速度对其强度硬度 的影响。每个因素设置的影响。每个因素设置3个水平进行试验个水平进行试验 。 A因素是保温，设因素是保温，设A1、A2、A3 3个水平；个水平；B因素是因素是 某种微量元素的添加量，设某种微量元素的添加量，设B1、B2、B3 3个水平；个水平；C因因 素为冷却速度，设素为冷却

29、速度，设C1、C2、C3 3个水平。这是一个个水平。这是一个3因因 素素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能组合有水平的试验，各因素的水平之间全部可能组合有27 种种 。 全面试验：可以分析各因素的效应全面试验：可以分析各因素的效应 ，交互作用，也，交互作用，也 可选出最优水平组合。可选出最优水平组合。但全面试验包含的水平组合数较多，但全面试验包含的水平组合数较多， 工作量大工作量大 ，在很多情况下无法完成，在很多情况下无法完成 。 2.1 指标、因素和水平指标、因素和水平 L9（34）4因素因素3水平正交试验，共做水平正交试验，共做9 次试验，而全面试验要做次试验，而全面试验要做 34=8

30、1 次，减少次，减少 了了72次。次。 L25（56） 6因素因素5水平正交试验，共做水平正交试验，共做 25次试验，而全面试验要做次试验，而全面试验要做 56=15625 次，次， 减少了减少了15600次。次。 可以看出使用正交表可大大减少试验次数，可以看出使用正交表可大大减少试验次数， 提高实验效率。提高实验效率。 若试验的主要目的是寻求若试验的主要目的是寻求最优水平组合最优水平组合，则，则 可利可利 用正交表来设计安排试验。用正交表来设计安排试验。 2.1.2 试验安排原则试验安排原则 正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合）正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合） 中挑选出有代表

31、性的部分试验点（水平组合）来进行中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行 试验。上图中标有试验号的九个试验。上图中标有试验号的九个“(。)”，就是利用正，就是利用正 交表交表L9(34)从从27个试验点中挑选出来的个试验点中挑选出来的9个试验点。个试验点。 即：即： (1)A1B1C1 (2)A2B1C2 (3)A3B1C3 (4)A1B2C2 (5)A2B2C3 (6)A3B2C1 (7)A1B3C3 (8)A2B3C1 (9)A3B3C2 上述选择上述选择 ，保证了，保证了A因素的每个水平与因素的每个水平与B因素、因素、 C因素的各个水平在试验中各搭配一次因素的各个水平在试验中各搭配

32、一次 。对于。对于A、B、 C 3个因素来说个因素来说 ， 是在是在27个全面试验点中选择个全面试验点中选择9 个试验点个试验点 ，仅，仅 是全面试验的是全面试验的 三分之一。三分之一。 从上图中可以看到从上图中可以看到 ，9个试验点在选优区中个试验点在选优区中 分布是均衡的，在立方体的每个平面上分布是均衡的，在立方体的每个平面上 ，都恰是，都恰是3个个 试验点；在立方体的每条线上也恰有一个试验点。试验点；在立方体的每条线上也恰有一个试验点。 9个试验点均衡地分布于整个立方体内个试验点均衡地分布于整个立方体内 ，有很，有很 强的代表性强的代表性 ， 能能 够比较全面地反映选优区内的基够比较全面

33、地反映选优区内的基 本情况。本情况。 2.1.3 用正交表安排试验及直观分析法用正交表安排试验及直观分析法 S N Lq 正交表的记号及含义正交表的记号及含义 记号及含义记号及含义 正交表的列数正交表的列数 （最多能安排的因素个数，（最多能安排的因素个数， 包括交互作用、误差等）包括交互作用、误差等） S 正交表的行数正交表的行数 （需要做的试验次数）（需要做的试验次数） N 正交表正交表的代号的代号 L 如如 7 8 2L 表示表示 7 8 2L表示各因素的表示各因素的水平数水平数为为2， 做做8次试验次试验，最多考虑，最多考虑7个个 因素因素（含交互作用）的（含交互作用）的正正 交表交表。

34、 正交表的特点正交表的特点 表示：在试验安排中，所挑选出来的水平组合是均匀表示：在试验安排中，所挑选出来的水平组合是均匀 分布的（每个因素的各水平出现的次数相同）分布的（每个因素的各水平出现的次数相同） 均衡分散性均衡分散性 2、正交表中任意两列，把同行的两个数字看成有序数、正交表中任意两列，把同行的两个数字看成有序数 对时，所有可能的数对出现的次数相同。对时，所有可能的数对出现的次数相同。 表示：任意两因素的各种水平的搭配在所选试验中出现表示：任意两因素的各种水平的搭配在所选试验中出现 的次数相等的次数相等 整齐可比性整齐可比性 这是设计正交试验表的基本准则这是设计正交试验表的基本准则 1、

35、正交表中任意一列中，不同的数字出现的次数相等；、正交表中任意一列中，不同的数字出现的次数相等； 正交表的两条重要性质：正交表的两条重要性质： （1）每列中不同数字出现的次数是相等的，）每列中不同数字出现的次数是相等的， 如如 L9（34），），每列中不同的数字是每列中不同的数字是1，2，3。它。它 们各出现三次。（们各出现三次。（书上书上117页页） （2）在任意两列中，将同一行的两个数字）在任意两列中，将同一行的两个数字 看成有序数对时，每种数对出现的次数是相等看成有序数对时，每种数对出现的次数是相等 的，如如的，如如 L9（34），有序数对共有），有序数对共有9个：（个：（1， 1），（）

36、，（1，2），（），（1，3），（），（2，1），（），（2， 2），（），（2，3），（），（3，1），（），（3，2），（），（3， 3），），它们各出现一次它们各出现一次。 正交试验设计的基本步骤正交试验设计的基本步骤 2. 选用合适的正交表；选用合适的正交表； 3. 按选定的正交表设计表头，确定试验方案；按选定的正交表设计表头，确定试验方案； 4. 组织实施试验；组织实施试验； 5. 试验结果分析。试验结果分析。 1. 确定目标、选定因素（包括交互作用）、确定水平；确定目标、选定因素（包括交互作用）、确定水平； 例例1 轴承退火实验。轴承圈退火是把工件加热到临界温度以轴承退火实验。轴承

37、圈退火是把工件加热到临界温度以 上上30-50度，保持一段时间，再缓慢冷却下来，其目的是用度，保持一段时间，再缓慢冷却下来，其目的是用 于消除工件的内应力，降低硬度，增加韧性。于消除工件的内应力，降低硬度，增加韧性。 因素因素 加热温度加热温度 （度）（度） 保温时间保温时间 （小时）（小时） 出炉温度出炉温度 （度）（度） 一水平一水平8006400 二水平二水平8208500 （a）制定试验计划并进行试验。（）制定试验计划并进行试验。（1）明确实验目的，规）明确实验目的，规 定考察目标。定考察目标。 （2）选因素并定出各因素的水平。（）选因素并定出各因素的水平。（3）选）选 用合适的正交表

38、，排表头，列出实验方案。用合适的正交表，排表头，列出实验方案。 本实验可选本实验可选 正交表，每一因素恰好占一正交表，每一因素恰好占一 列位置，见下表列位置，见下表 )2( 3 4 L j I jII 1（A） 2（B） 3（C） 硬度合格率 试验 号 加热温 度 保温时 间 出炉温 度 （Ya,100%） 11(800)1(6)1(400)90 21(800)2 (8)2(500)85 32(820)1(6)2(500)45 42(820)2 (8)1(400)70 Ij175135160a=1,2,3,4, j=1,2,3 IIj115155130 87.567.580 57.577.56

39、5 极差301015 1.首先要直观分析，直接比较可以得出那个实验条件下比较好首先要直观分析，直接比较可以得出那个实验条件下比较好 2.综合比较，看那个因素影响大，找出合适的水平，找出合适综合比较，看那个因素影响大，找出合适的水平，找出合适 的水平搭配的水平搭配 从上图中可以看出，温度的极差值最大，出炉温度次之，保从上图中可以看出，温度的极差值最大，出炉温度次之，保 温时间最小。最佳实验条件为加热温度温时间最小。最佳实验条件为加热温度800度，保温时间为度，保温时间为8 小时，出炉温度为小时，出炉温度为400度。度。 因素因素 水平水平 加热温度加热温度 (A)度度加碱量加碱量(B)公斤公斤

40、催化剂种类催化剂种类(C) 一水平一水平8035甲甲 二水平二水平8548乙乙 三水平三水平9055丙丙 )3( 4 9 L j I jII jIII 因素1（A）2（B）3（C）试验指标收 率（%） 试验号加热温度保温时间出炉温度（Ya） 11(80)1(35)1(甲)51 21(80)2(48)2(乙)71 31(80)3(55)3(丙)58 42(85)1(35)2(乙)82 52(85)2(48)3(丙)69 62(85)3(55)1(甲)59 73(90)1(35)3(丙)77 83(90)2(48)1(甲)85 93(90)3(55)2(乙)84 Ij180210195a=1,2,

41、3.9 j=1,2,3 IIj210225237 IIIj246201204 607065 707579 826768 极差22814 1 I =1/3(y1+y2+y3)=60 2 I=1/3(y1+y4+y7)=70 3 I =1/3(y1+y6+y8)=65 综合分析。根据极差值的大小，可知反应温度综合分析。根据极差值的大小，可知反应温度 对指标影响最大、温度取三水平效果最好，催对指标影响最大、温度取三水平效果最好，催 化剂次之，取二水平最好，碱的影响不大，从化剂次之，取二水平最好，碱的影响不大，从 计算结果来看应取二水平，但是为了降低成本计算结果来看应取二水平，但是为了降低成本 也可以

42、取一水平。也可以取一水平。 因此综合分析后，可以取因此综合分析后，可以取A3B2C2或或A3B1C2， ，这 这 两种组合都是没试验过的，因此还需要具体实两种组合都是没试验过的，因此还需要具体实 验，具体实验后发现，这两种组合的收率分别验，具体实验后发现，这两种组合的收率分别 是是92.5%和和91%均高于均高于8号试验收率号试验收率85%。这两。这两 种组合最后取那种，还要看生产实践具体要求。种组合最后取那种，还要看生产实践具体要求。 （碱贵了就取（碱贵了就取A3B1C2） 2.2 正交表的统计分析正交表的统计分析 分清各因素及其交互作用的主次顺序，分清哪个是分清各因素及其交互作用的主次顺序

43、，分清哪个是 主要因素，哪个是次要因素；主要因素，哪个是次要因素； 判断因素对试验指标影响的显著程度；判断因素对试验指标影响的显著程度； 找出试验因素的优水平和试验范围内的最优组合，找出试验因素的优水平和试验范围内的最优组合， 即试验因素各取什么水平时，试验指标最好；即试验因素各取什么水平时，试验指标最好； 分析因素与试验指标之间的关系，即当因素变化时，分析因素与试验指标之间的关系，即当因素变化时， 试验指标是如何变化的。找出指标随因素变化的规试验指标是如何变化的。找出指标随因素变化的规 律和趋势，为进一步试验指明方向；律和趋势，为进一步试验指明方向； 了解各因素之间的交互作用情况；了解各因素

44、之间的交互作用情况； 估计试验误差的大小。估计试验误差的大小。 直观分析法不能知道分析的精度，及实验测定当中直观分析法不能知道分析的精度，及实验测定当中 的误差大小。的误差大小。 二、方差分析的含义二、方差分析的含义 方差是描述变异的一种指标，方差分析是一种假方差是描述变异的一种指标，方差分析是一种假 设检验的方法。方差分析也就是对变异的分析。设检验的方法。方差分析也就是对变异的分析。 是是对总变异进行分析。看总变异是由哪些部分组对总变异进行分析。看总变异是由哪些部分组 成的，这些部分间的关系如何。成的，这些部分间的关系如何。 三、方差分析的基本思想三、方差分析的基本思想 根据变异的来源，将全

45、部观察值根据变异的来源，将全部观察值总的离总的离 均差平方和均差平方和及及自由度自由度分解为两个或多个分解为两个或多个 部分，除随机误差外，其余每个部分的部分，除随机误差外，其余每个部分的 变异可由某些特定因素的作用加以解释。变异可由某些特定因素的作用加以解释。 通过比较不同来源变异的方差（也叫均通过比较不同来源变异的方差（也叫均 方方MS），借助），借助F分布做出统计推断，从分布做出统计推断，从 而判断某因素对观察指标有无影响。而判断某因素对观察指标有无影响。 2.2.1 单因素方差分析单因素方差分析 一、单因素方差分析的几个概念 因素：影响研究对象的某一指标、变量。 水平：因素变化的各种状

46、态或因素变化所 分的等级或组别。 单因素试验：考虑的因素只有一个的试验 叫 单因素试验。 单因素方差分析单因素方差分析：对单因素试验结果进行分 析，检验因素对试验结果有无显著性影响的 方法叫单因素方差分析。单因素方差分析是 两个样本平均数比较的引伸，它是用来检验 多个平均数之间的差异，从而确定因素对试 验结果有无显著性影响的一种统计方法。 二、单因素方差分析的基本原理二、单因素方差分析的基本原理 工艺条件工艺条件 试验号试验号 1234合计合计平均值平均值 （ ） A1y11=68y12=6477y14=5926867 A2 Y21=4259365519248 A3Y31=5362636224

47、060 A4Y41=5053414018446 A5Y51=7043476822857 A6Y61=6763567025664 y 上面的每个实验结果：真值上面的每个实验结果：真值+误差误差 因为实验数据围绕着真值上下波动，所以误差也因为实验数据围绕着真值上下波动，所以误差也 就围绕着真值上下起伏波动，因此把他们加起来就围绕着真值上下起伏波动，因此把他们加起来 的时候，误差在很大程度上就抵消了。的时候，误差在很大程度上就抵消了。 注意：注意：平均值不是真值，而是接近真值平均值不是真值，而是接近真值 工艺条件工艺条件 试验号试验号 1234合计合计 A1Y11-y1=1-310-80 A2Y21

48、-y2=611-1270 A372320 A447-5-60 A51314-10110 A63-15660 14126.3(1)y.)y 2222 646 2 111 ）（ 误 yyS 误 误 f Sm v S误 误：误差的偏差平方和； ：误差的偏差平方和； V误 误：误差的平均偏差平方； ：误差的平均偏差平方； f误 误：误差的自由度 ：误差的自由度 应该去除应该去除6个约束条件：个约束条件： ?24/1412 f Sm 误 误 v 0)8(10)3(1)y.()y( 141111 yy(1) (2)? (3)? (4)? (5)? (6)? f误误=各条件下（数据个数各条件下（数据个数-1

49、）之和）之和 b.因素水平变化的分析：因素水平变化的分析： 根据各实验条件下数据的平均值，可以算出全数据的总平均值根据各实验条件下数据的平均值，可以算出全数据的总平均值 57).( 6 1 ).( 24 1 621641211 yyyyyyy 由此可以写出各水平下数据的平均值（由此可以写出各水平下数据的平均值（y1, y2, y6), 与总平均值之间的差值，对各差值平方求和，记为：与总平均值之间的差值，对各差值平方求和，记为： 14407.9(10 4)y.)y 4 2222 6 2 1 ）（yyS A 它反映了由因素它反映了由因素A的水平变动（的水平变动（A1，A2，.A6）所）所 引起的波

50、动。我们把引起的波动。我们把SA叫做因素叫做因素A的变动平方和。该的变动平方和。该 值仍然受到因素值仍然受到因素A的水平个数的影响，因此用平均变的水平个数的影响，因此用平均变 动平方和动平方和VA来表示：来表示： fA称为因素称为因素A的自由度，因素的自由度，因素A的六个水平满足一个约束条件：的六个水平满足一个约束条件： 070)11(3)9(10)y.)y 61 yy（ 所以，所以， fA=6-1=5。因此，因素。因此，因素A的平均变动平方和应用：的平均变动平方和应用： 288) 16/(1440 f SA A A v SA与与 fA可按下面的叙述规则进行计算：可按下面的叙述规则进行计算：