1、第第 3 讲讲导数的简单应用导数的简单应用 全国卷 3 年考情分析 年份全国卷全国卷全国卷 2019 求切线方程T13 利用导数讨论函数的单 调性及公切线问题T20 已知切线方程求参数T6 利用导数研究函数 的极值点T20 利用导数讨论函数的单调性及最 值问题T20 2018 奇函数的定义及利 用导数的几何意义 求切线方程T5 利利用导数的几何意义 求切线方程T13 利用导数的几何意义求参数值T14 利用导数讨论函数 的单调性T21(1) 2017 利用导数讨论函数 的单调性T21(1) 导数的运算、利用导数 求函数极值T11 利用导数研究函数单调性求参 数T21(1) (1)高考对导数的几何
2、意义的考查，多在选择题、填空题中出现，难度较小，有时出现 在解答题第一问 (2)高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在 选择、填空的后几题中出现，难度中等；有时也出现在解答题第一问 (3)近几年全国课标卷对定积分及其应用的考查极少，题目一般比较简单，但也不能忽 略 考点一考点一导数的几何意义导数的几何意义 例 1(1)(2019福州市第一学期抽测)曲线 f(x)xln x 在点(1， 1)处的切线与坐标轴围 成的三角形的面积为() A.2B.3 2 C.1 2 D.1 4 (2)(2019全国卷)已知曲线 yaexxln x 在点(1，ae)处的切线方程为 y
3、2xb，则 () Aae，b1B.ae，b1 Cae 1，b1 D.ae 1，b1 (3)(2019成都市第二次诊断性检测)已知直线 l 既是曲线 C1： yex的切线， 又是曲线 C2： y1 4e 2x2的切线，则直线 l 在 x 轴上的截距为( ) A.2B.1 C.e2D.e2 1(2019武汉市调研测试)设曲线 C：y3x42x39x24，在曲线 C 上一点 M(1，4) 处的切线记为 l，则切线 l 与曲线 C 的公共点个数为() A1B2 C3D4 2(2019全国卷)曲线 y3(x2x)ex在点(0，0)处的切线方程为_ 3(2019广州市综合检测(一)若函数 f(x)ax3
4、x的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2， 4)，则 a_ 考点二考点二利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性 题型一求函数的单调区间或判断函数的单调性 例 2已知函数 f(x)ln(x1) ax2x （x1）2，且 1a2，试讨论函数 f(x)的单调性 题型二已知函数的单调性求参数 例 3已知函数 f(x)1 2x 22aln x(a2)x. (1)当 a1 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)是否存在实数 a，使函数 g(x)f(x)ax 在(0，)上单调递增？若存在，求出 a 的 取值范围；若不存在，说明理由 1已知函数 f(x)ex(exa)a2x，讨论 f(x)的单调
5、性 2(2019河北省九校第二次联考)已知函数 f(x)exaxln x. (1)当 a1 时，求曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程； (2)证明：a(0，e)，函数 f(x)在区间 a e，1上单调递增 考点三考点三利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的极值(最值最值)问题问题 题型一求已知函数的极值(最值) 例 4(2019合肥市第一次质检)已知函数 f(x)exln(x1)(e 为自然对数的底数) (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若 g(x)f(x)ax，aR，试求函数 g(x)极小值的最大值 题型二由函数的极值(最值)确定参数值(范围) 例 5(2019全国卷)已知函数
6、 f(x)2x3ax2b. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)是否存在 a， b， 使得 f(x)在区间0， 1的最小值为1 且最大值为 1？若存在， 求出 a， b 的所有值；若不存在，说明理由 1.(2019广州市调研测试)已知函数 f(x)xexa(ln xx) (1)若 ae，求 f(x)的单调区间； (2)当 a0 时，x2； f(x)0 时，1x0，曲线 f(x)3x24ax 与曲线 g(x)2a2ln xb 有公共点， 且在公共点处的切线相同，则实数 b 的最小值为() A0B.1 e2 C2 e2 D.4 e2 6 若函数 f(x)ex(m1)ln x2(m1)x1 恰有两
7、个极值点， 则实数 m 的取值范围为 () A(e2，e)B. ，e 2 C. ，1 2D.(，e1) 二、填空题 7已知直线 2xy10 与曲线 yaexx 相切(其中 e 为自然对数的底数)，则实数 a 的值是_ 8函数 f(x)x2ln x 的最小值为_ 9若函数 f(x)xaln x 不是单调函数，则实数 a 的取值范围是_ 三、解答题 10(2019江西七校第一次联考)已知函数 f(x)ex(x22xa)(其中 aR，a 为常数，e 为自然对数的底数) (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)设曲线 yf(x)在(a，f(a)处的切线为 l，当 a1，3时，求直线 l 在 y 轴上
8、截距的取 值范围 11(2019重庆市学业质量调研)已知函数 f(x)(x1)exax2b1 2. (1)若 a1，求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)为增函数，且 f(x)的图象与直线 ybx 有 3 个交点，求 b 的取值范围 12(2019长春市质量监测(一)已知函数 f(x)ln xax2(2a1)x(其中常数 a0) (1)当 a1 时，求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)在 x1 处取得极值，且在(0，e上的最大值为 1，求实数 a 的值 B 组 1已知函数 f(x)ln xax2x，aR. (1)当 a0 时，求曲线 yf(x)在点(e，f(e)处的切线方
9、程； (2)讨论 f(x)的单调性 2已知函数 f(x)a（x1） x2 ，其中 a0. (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若直线 xy10 是曲线 yf(x)的切线，求实数 a 的值； (3)设 g(x)xln xx2f(x)，求 g(x)在区间1，e上的最小值(其中 e 为自然对数的底数) 3设函数 f(x)ln(xa)x. (1)若直线 l：y2 3xln 3 2 3是函数 f(x)的图象的一条切线，求实数 a 的值； (2)当 a0 时，关于 x 的方程 f(x)x210 3 xm 在区间1，3上有解，求 m 的取值范围 4已知常数 a0，f(x)aln x2x. (1)当 a
10、4 时，求 f(x)的极值； (2)当 f(x)的最小值不小于a 时，求实数 a 的取值范围 第第 4 讲讲导数的综合应用导数的综合应用 全国卷 3 年考情分析 年份全国卷全国卷全国卷 2019 利用导数研究函数的极 值、零点问题T20 利用导数研究函数的单调 性、零点以及曲线的公切 线问题T20 利用导数研究函数的单调 性、最值问题T20 2018 利用导数研究函数的单调 性、函数极值与不等式证 明T21 函数的单调性、不等式的 证明、 函数的零点问题T21 导数在研究不等式及极值 问题的应用T21 2017 利用导数研究函数的单调 性、函数的零点问题T21 利用导数研究函数的单调 性及极值
11、、函数的零点、 不等式的证明T21 导数在研究函数单调性中 的应用、 不等式的放缩T21 导数日益成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高 考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程等的交汇命题，是高考的热点和难点 解答题的热点题型有： (1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值；(2)利用导数证明不等式或探讨方程根； (3)利用导数求解参数的范围或值 第第 1 课时课时导数与不等式导数与不等式 考点一考点一单变量不等式的证明单变量不等式的证明 例 1(2019湖北部分重点中学高三测试)设函数 f(x)ax2aln x，g(x)1 x 1 ex 1， 其中 aR，e
12、2.718为自然对数的底数 (1)讨论 f(x)的单调性； (2)证明：当 x1 时，g(x)0； (3)如果 f(x)g(x)在区间(1，)内恒成立，求实数 a 的取值范围 1已知函数 f(x)xln x，g(x)(x21)(为常数) (1)若曲线 yf(x)与曲线 yg(x)在 x1 处有相同的切线，求实数的值； (2)若1 2，且 x1，证明：f(x)g(x) 2已知函数 f(x)aexbln x，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y 1 e1x1. (1)求 a，b； (2)证明：f(x)0. 考点二考点二双变量不等式的证明双变量不等式的证明 例 2已知函数 f(x)l
13、n x1 2ax 2x，aR. (1)当 a0 时，求函数 f(x)的图象在(1，f(1)处的切线方程； (2)若 a2，正实数 x1，x2满足 f(x1)f(x2)x1x20，证明：x1x2 51 2 . (2019昆明市诊断测试)已知函数 f(x)2ln xx1 x. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 a0，b0，证明： ab ab ln aln b ab a . 考点三考点三不等式的恒成立问题不等式的恒成立问题 例 3已知函数 f(x)xln x，若对于所有 x1 都有 f(x)ax1，求实数 a 的取值范 围 (2019江西省五校协作体试题)已知函数 f(x)ln x1 2a(
14、x1)(aR) (1)若 a2，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)若不等式 f(x)0 对任意的 x(1，)恒成立，求实数 a 的取值范围 考点四不等式能成立问题 例 4已知函数 f(x)xaln x，g(x)a1 x (aR)若在1，e上存在一点 x0，使得 f(x0)x22. 2设函数 f(x)2ln xmx21. (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)当 f(x)有极值时，若存在 x0，使得 f(x0)m1 成立，求实数 m 的取值范围 3(2019贵阳模拟)已知函数 f(x)x 2mx1 ex (m0)，其中 e 为自然对数的底数 (1)讨论函数 f(x)的
15、单调性； (2)若 m(1，2)，证明：当 x1，x21，m时，f(x1)x211 e恒成立 4(2019武汉市调研测试)已知函数 f(x)ex 1aln(ax)a(a0) (1)当 a1 时，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)若关于 x 的不等式 f(x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围 第第 2 课时课时导数与函数的零点问题导数与函数的零点问题 考点一考点一确定函数零点的个数确定函数零点的个数 例 1(2019全国卷)已知函数 f(x)sin xln(1x)，f(x)为 f(x)的导数证明： (1)f(x)在区间 1， 2 存在唯一极大值点； (2)f(x)有且仅
16、有 2 个零点 (2019广东省七校联考)已知函数 f(x)ln xax. (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)当 a0 时，求函数 f(x)的零点个数 考点二考点二根据函数零点的个数确定参数的取值范围根据函数零点的个数确定参数的取值范围 例 2已知函数 f(x)xex1 2a(x1) 2. (1)若 ae，求函数 f(x)的极值； (2)若函数 f(x)有两个零点，求实数 a 的取值范围 (2019江西八所重点中学联考)已知函数 f(x)1 2axa1 ln x x (其中 a 为常数， 且 aR) (1)若函数 f(x)为减函数，求实数 a 的取值范围； (2)若函数 f(x)有两个
17、不同的零点，求实数 a 的取值范围，并说明理由 考点三考点三函数零点性质的探索与证明函数零点性质的探索与证明 例 3(2019陕西榆林一模)已知函数 f(x)x22. (1)已知函数 g(x)f(x)2(x1)aln x 在区间(0，1)上单调，求实数 a 的取值范围； (2)函数 h(x)ln(1x2)1 2f(x)k 有几个零点？ 已知函数 f(x)(x1)exmx22，其中 mR，e2.718 28为自然对数的底数 (1)当 m1 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)当常数 m(2，)时，函数 f(x)在0，)上有两个零点 x1，x2(x1ln4 e. 【课后专项练习】【课后专项练习
18、】 1(2019济南市模拟考试)已知函数 f(x)a 2(x1) 2xln x(a0) (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 1ae，试判断 f(x)的零点个数 2函数 f(x)axxln x 在 x1 处取得极值 (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 yf(x)m1 在定义域内有两个不同的零点，求实数 m 的取值范围 3 (2019南昌市第一次模拟测试)已知函数 f(x)ex(ln xaxab)(e 为自然对数的底数)， a， bR，直线 ye 2x 是曲线 yf(x)在 x1 处的切线 (1)求 a，b 的值 (2)是否存在 kZ，使得 yf(x)在(k，k1)上有唯一零点？若存在，求出 k 的值；若不 存在，请说明理由 4(2019福州市质量检测)已知函数 f(x)aln xxa1 x (aR) (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)当 ea2e时，关于 x 的方程 f(ax)a1 ax 有两个不同的实数解 x1，x2，求证：x1 x24x1x2. 5.已知函数 f(x)eln xax(aR) (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 ae 时，证明：xf(x)ex2ex0.
