1、 内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。 外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。 重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍。 垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。 （2019 年全国一卷理科）19 （12 分） 已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 3 2 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交 点为 P （1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程； （2）若3APPB ，求|AB| 19解：设直线 1122 3 :, 2 l yxt A x yB xy （1）由题设得 3 ,0 4 F ，故 12 3
2、| 2 AFBFxx，由题设可得 12 5 2 xx 由 2 3 2 3 yxt yx ，可得 22 912(1)40 xtxt，则 12 12(1) 9 t xx 从而 12(1)5 92 t ，得 7 8 t 所以l的方程为 37 28 yx （2）由3APPB 可得 12 3yy 由 2 3 2 3 yxt yx ，可得 2 220yyt 所以 12 2yy从而 22 32yy，故 21 1,3yy 代入C的方程得 12 1 3, 3 xx 故 4 13 | 3 AB （2019 年全国二卷理科）21（12 分） 已知点 A(2,0)，B(2,0)，动点 M(x,y)满足直线 AM 与
3、BM 的斜率之积为 1 2 .记 M 的轨迹 为曲线 C. （1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PEx 轴，垂足为 E，连 结 QE 并延长交 C 于点 G. （i）证明：PQG是直角三角形； （ii）求PQG面积的最大值. 21解：（1）由题设得 1 222 yy xx ，化简得 22 1(| 2) 42 xy x，所以 C 为中心 在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆，不含左右顶点 （2）（i）设直线 PQ 的斜率为 k，则其方程为(0)ykx k 由 22 1 42 ykx xy 得 2 2 12 x k 记
4、2 2 12 u k ，则( ,),(,),( ,0)P u uk QuukE u 于是直线QG的斜率为 2 k ，方程为() 2 k yxu 由 22 (), 2 1 42 k yxu xy 得 22222 (2)280kxuk xk u 设(,) GG G xy，则u和 G x是方程的解，故 2 2 (32) 2 G uk x k ，由此得 3 2 2 G uk y k 从而直线PG的斜率为 3 2 2 2 1 2 (32) 2 uk uk k ukk u k 所以PQPG，即PQG是直角三角形 （ii）由（i）得 2 | 21PQuk ， 2 2 21 | 2 uk k PG k ， 所
5、以PQG 的面积 2 22 2 1 8() 18 (1) | 1 2(12)(2) 12() k kk k SPQ PG kk k k 设 t=k+ 1 k ，则由 k0 得 t2，当且仅当 k=1 时取等号 因为 2 8 1 2 t S t 在2，+）单调递减，所以当 t=2，即 k=1 时，S 取得最大值，最大值 为 16 9 因此，PQG 面积的最大值为 16 9 （2019 年全国三卷理科）21已知曲线 C：y= 2 2 x ，D 为直线 y= 1 2 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B. （1）证明：直线 AB 过定点： （2）若以 E(0， 5 2 )为圆心的
6、圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积. 21解：（1）设 11 1 , 2 D tA x y ，则 2 11 2xy. 由于yx，所以切线DA的斜率为 1 x，故 1 1 1 1 2 y x xt . 整理得 11 22 +1=0. txy 设 22 ,B xy，同理可得 22 22 +1=0txy. 故直线AB的方程为2210txy . 所以直线AB过定点 1 (0, ) 2 . （2）由（1）得直线AB的方程为 1 2 ytx. 由 2 1 2 2 ytx x y ，可得 2 210 xtx . 于是 2 12121212 2 ,1,121xxtx
7、xyyt xxt ， 2 222 121212 |11421ABtxxtxxx xt. 设 12 ,d d分别为点D，E到直线AB的距离，则 2 12 2 2 1, 1 dtd t . 因此，四边形ADBE的面积 22 12 1 |31 2 SABddtt. 设M为线段AB的中点，则 2 1 , 2 M t t . 由于EMAB ， 而 2 ,2EMt t ，AB 与向量(1, ) t平行， 所以 2 20ttt. 解得t=0或1t . 当t=0时，S=3；当1t 时，4 2S . 因此，四边形ADBE的面积为3或4 2. （2018 年全国三卷理科）20. 已知斜率为 的直线 与椭圆交于 ，
8、 两点，线 段的中点为 （1）证明：； （2）设 为 的右焦点， 为 上一点,且证明：，成等差数 列，并求该数列的公差 【答案】 （1） （2）或 【解析】分析： （1）设而不求，利用点差法进行证明。 （2） 解出 m,进而求出点 P 的坐标， 得到,再由两点间距离公式表示出， 得到直 的 方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解。 详解： （1）设，则. 两式相减，并由得 . 由题设知，于是 . 由题设得，故. （2）由题意得，设，则 . 由（1）及题设得. 又点P在C上，所以，从而，. 于是 . 同理. 所以. 故，即成等差数列. 设该数列的公差为d，则 . 将代入得. 所以l的方程为，
9、代入C的方程，并整理得. 故，代入解得. 所以该数列的公差为或. （2018 年全国二卷理科） 19. 设抛物线的焦点为 ， 过 且斜率为的直线 与 交于 ， 两点， （1）求 的方程； （2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程 【答案】(1)y=x1,(2)或 【解析】分析：(1)根据抛物线定义得，再联立直线方程与抛物线方程，利 用韦达定理代入求出斜率，即得直线 的方程； （2）先求 AB 中垂线方程，即得圆心坐标关系， 再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系， 解方程组可得圆心坐标以及半径， 最后写出圆 的标准方程. 详解： （1）由题意得F（1，0） ，l的方程为y=k（x1） （k
10、0） 设A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由得 ，故 所以 由题设知，解得k=1（舍去） ，k=1 因此l的方程为y=x1 （2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2） ，所以AB的垂直平分线方程为 ，即 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0） ，则 解得或 因此所求圆的方程为 或 点睛：确定圆的方程方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 (2)待定系数法 若已知条件与圆心和半径 有关， 则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程 组，从而求出的值； 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、 E、F的方程组，进而求出D、E
11、、F的值 （2018 年全国一卷理科）19. 设椭圆的右焦点为 ，过 的直线 与 交于两 点，点的坐标为. （1）当 与 轴垂直时，求直线的方程； （2）设 为坐标原点，证明：. 【答案】(1)AM的方程为或. (2)证明见解析. 【解析】分析：(1)首先根据 与 轴垂直，且过点，求得直线l的方程为x=1，代入椭 圆方程求得点A的坐标为或，利用两点式求得直线的方程； (2)分直线l与x轴重合、l与x轴垂直、l与x轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况 比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结 果. 详解： （1）由已知得，l的方程为x=1. 由已知可得，
12、点A的坐标为或. 所以AM的方程为或. （2）当l与x轴重合时，. 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以. 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为， 则，直线MA，MB的斜率之和为. 由得 . 将代入得 . 所以，. 则. 从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以. 综上，. 点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与 椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的 时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需 要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组
13、，之后韦达定 理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论. 17 年北京理科 （18） （本小题 14 分） 已知抛物线C：y 2=2px 过点P（1，1）.过点（0， 1 2 ）作直线l与抛物线C交于不同的 两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点. （）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （）求证：A为线段BM的中点. 解： （）由抛物线C： 2 2ypx 过点P（1，1） ，得 1 2 p . 所以抛物线C的方程为 2 yx. 抛物线C的焦点坐标为（ 1 4 ，0） ，准线方程为 1 4 x . （）由题意，设直线l的方程为
14、1 2 ykx（0k ） ，l与抛物线C的交点为 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy. 由 2 1 2 ykx yx ，得 22 4(44)10k xkx . 则 12 2 1k xx k ， 12 2 1 4 x x k . 因为点P的坐标为（1，1） ，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为 11 ( ,)x y. 直线ON的方程为 2 2 y yx x ，点B的坐标为 21 1 2 ( ,) y y x x . 因为 21122112 11 22 2 2 y yy yy yx x yx xx 122112 2 11 ()()2 22 kxxkxxx x x 1221 2 1
15、 (22)() 2 kx xxx x 22 2 11 (22) 42 k k kk x 0， 所以 21 11 2 2 y y yx x . 故A为线段BM的中点. 17 年全国一卷理科 20.（12 分）定点问题 已知椭圆C： 22 22 =1 xy ab （ab0） ，四点P1（1,1） ，P2（0,1） ，P3（1， 3 2 ） ，P4（1， 3 2 ）中恰有三点在椭圆C上. （1）求C的方程； （2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为 1，证明：l过定点. 20.（12 分）解： （1）由于 3 P， 4 P两点关于y轴对称，故由题设知C经
16、过 3 P， 4 P两点. 又由 2222 1113 4abab 知，C不经过点P1，所以点P2在C上. 因此 2 22 1 1 13 1 4 b ab ，解得 2 2 4 1 a b . 故C的方程为 2 2 1 4 x y. （2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2， 如果l与x轴垂直， 设l：x=t， 由题设知0t ， 且| | 2t ， 可得A，B的坐标分别为 （t， 2 4 2 t ） ， （t， 2 4 2 t ）. 则 22 12 4242 1 22 tt kk tt ，得2t ，不符合题设. 从而可设l：ykxm（1m ）.将ykxm代入 2 2 1 4 x y得
17、222 (41)8440kxkmxm 由题设可知 22 =16(41)0km .（切记） 设A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则x1+x2= 2 8 41 km k ，x1x2= 2 2 44 41 m k . 而 12 12 12 11yy kk xx 12 12 11kxmkxm xx 1212 12 2(1)()kx xmxx x x . 由题设 12 1kk ，故 1212 (21)(1)()0kx xmxx. 即 2 22 448 (21)(1)0 4141 mkm km kk . 解得 1 2 m k . 当且仅当1m 时，0 ，欲使l： 1 2 m yxm ，即 1 1(2
18、) 2 m yx ， 所以l过定点（2，1） （消去参量的影响） 17 年全国卷二 20. （12 分） 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 2 2 1 2 x y上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足2NPNM . (1) 求点 P 的轨迹方程； (2) 设点 Q 在直线 x=-3 上， 且1OP PQ .证明： 过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦 点 F. 20.解 （1）设 P（x,y）,M（x0,y0）,设 N（x0,0）, 00 ,0,NPxxyNMy 由2NPNM 得 00 2 = , 2 xx yy 因为 M（x0,y0）在 C 上，所以
19、 22 1 22 xy 因此点 P 的轨迹方程为 22 2xy （2）由题意知 F（-1,0）.设 Q（-3，t）,P(m,n),则 3,1,33t OQ, PFmnOQ PFmtn ， ,3,OPm,nPQm,tn 由1OP PQ 得 22 -31mmtnn，又由（1）知 22 +=2mn，故 3+3m-tn=0 所以0OQ PF ，即OQPF .又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 17 年全国卷三理科 20（12 分） 已知抛物线C：y 2=2x，过点（2,0）的直线 l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径 的圆 （1
20、）证明：坐标原点O在圆M上； （2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程 20.解 （1）设 1122 2A x ,y,B x ,y,l : xmy 由 2 2 2 xmy yx 可得 2 12 240 则4ymy,y y 又 2 22 12 12 1212 =故= 224 y yyy x,x,x x=4 因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为 12 12 -4 =-1 4 yy xx 所以 OAOB 故坐标原点 O 在圆 M 上. （2）由（1）可得 2 121212 +=2+=+4=24yym,xxm yym 故圆心 M 的坐标为 2+2， mm，圆 M 的半径 2 22 2r
21、mm 由于圆 M 过点 P（4，-2） ，因此0AP BP ,故 1212 44220 xxyy 即 12121212 4+2200 x xxxy yyy 由（1）可得 121 2 =-4，=4y yx x， 所以 2 210mm ，解得 1 1或 2 mm . 当 m=1 时，直线 l 的方程为 x-y-2=0，圆心 M 的坐标为（3,1） ，圆 M 的半径为10，圆 M 的方程为 22 3110 xy 当 1 2 m 时，直线 l 的方程为240 xy，圆心 M 的坐标为 91 ， - 42 ，圆 M 的半径为 85 4 ，圆 M 的方程为 22 9185 + 4216 xy 17 年全国
22、一卷文科 20（12 分） 设A，B为曲线C：y= 2 4 x 上两点，A与B的横坐标之和为 4. （1）求直线AB的斜率； （2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的 方程. 21（12 分） 17 年全国二卷文科 20.（12 分） 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C: x2 2 + y2= 1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满 足 2NPNM (1)求点 P 的轨迹方程； (2)设点Q在直线3x 上，且1OP PQ .证明过点 P 且垂直于 OQ 的直线l过 C 的左焦 点 F. 【答案】 （1）?2+ ?2= 2（2）见解
23、析 17 年全国三卷文科 20 （12 分） 在直角坐标系xOy中，曲线y=x 2+mx2 与 x轴交于A，B两点，点 C 的坐标为(0,1).当 m变化时，解答下列问题： （1）能否出现ACBC的情况？说明理由； （2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 【答案】 （1）不会； （2）详见解析 19 （12 分） 已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 3 2 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交 点为 P （1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程； （2）若3APPB ，求|AB| 19解：设直线 1122 3 :, 2 l yxt A x
24、yB xy （1）由题设得 3 ,0 4 F ，故 12 3 | 2 AFBFxx，由题设可得 12 5 2 xx 由 2 3 2 3 yxt yx ，可得 22 912(1)40 xtxt，则 12 12(1) 9 t xx 从而 12(1)5 92 t ，得 7 8 t 所以l的方程为 37 28 yx （2）由3APPB 可得 12 3yy 由 2 3 2 3 yxt yx ，可得 2 220yyt 所以 12 2yy从而 22 32yy，故 21 1,3yy 代入C的方程得 12 1 3, 3 xx 故 4 13 | 3 AB 离心率问题 11. 已知，是椭圆 的两个焦点， 是 上的一
25、点，若，且，则 的 离心率为 A.B.C.D. 【答案】D 【解析】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心 率. 详解：在中， 设，则， 又由椭圆定义可知 则离心率， 故选 D. 点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆， 二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角 形”是椭圆问题中的常考知识点， 在解决这类问题时经常会用到正弦定理， 余弦定理以及椭 圆的定义. . 1 （2011浙江）已知椭圆浙江）已知椭圆 C1： =1（ab0）与双曲线）与双曲线 C2：x2=1 有公共的焦有公共的焦 点，点，C2
26、的一条渐近线与以的一条渐近线与以 C1的长轴为直径的圆相交于的长轴为直径的圆相交于 A，B 两点若两点若 C1恰好将线段恰好将线段 AB 三等分，则（三等分，则（ ） Aa2=Ba2=3Cb2=Db2=2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由题意，C2的焦点为（，0） ，一条渐近线方程为 y=2x，根据对称性易知 AB 为圆的直径且 AB=2a C1的半焦距 c=，于是得 a2b2=5 设 C1与 y=2x 在第一象限的交点的坐标为（x，2x） ，代入 C1的方程得： ， 由对称性知直线 y=2x 被 C1截得的弦长=2x， 由题得：2x=，所以 由得 a2=11b2 由得 a2=5.5，b
27、2=0.5 故选 C 视频 2已知已知F1、F2是椭圆的两个焦点是椭圆的两个焦点，满足满足MF1 ? MF2 ? = 0 的点的点 M 总在椭圆内部总在椭圆内部，则椭圆离心则椭圆离心 率的取值范围是率的取值范围是 A(0,1)B(0, 1 2 C(0, 2 2 )D 2 2 ,1) 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为 a,b,c。因为MF1?MF2?= 0 所以点 M 的轨迹为以原 点为圆心， 半径为 c 的圆。 与因为点 M 在椭圆的内部， 所以 c a,c b， 所以c2 b2= a2 c2， 所以 2c2 a2e2= c2 a2 1 2 ，所以 e
28、(0, 2 2 ) ，故选 C。 【点睛】求离心率的值或范围就是找 a,b,c 的值或关系。由MF1?MF2?= 0 想到点 M 的轨迹 为以原点为圆心，半径为 c 的圆。再由点 M 在椭圆的内部，可得 c a,c b，因为 a b 。 所以由 c b 得c2 b 0)的左，右焦点，的左，右焦点，A 是是 C 的左顶点，点的左顶点，点 P 在在 过过 A 且斜率为且斜率为 3 6 的直线上，的直线上，PF1F2为等腰三角形，为等腰三角形，F1F2P = 120，则，则 C 的离心率为的离心率为 A2 3 B1 2 C1 3 D1 4 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 分析：先根据条件得 P
29、F2=2c,再利用正弦定理得 a,c 关系，即得离心率. 详解：因为PF1F2为等腰三角形，F1F2P = 120，所以 PF2=F1F2=2c, 由 AP 斜率为 3 6 得，tanPAF2= 3 6 ,sinPAF2= 1 13 ，cosPAF2= 12 13， 由正弦定理得PF2 AF2 = sinPAF2 sinAPF2, 所以 2c a+c = 1 13 sin( 3PAF2) = 1 13 3 2 12 13 1 2 1 13 = 2 5 a = 4c,e = 1 4，选 D. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a,b,c 的方程 或不等式， 再
30、根据 a,b,c 的关系消掉 b 得到 a,c 的关系式， 而建立关于 a,b,c 的方程或不等式， 要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 5 （2017 新课标全国卷新课标全国卷文科文科）已知椭圆已知椭圆 C：x 2 a2 + y2 b2 = 1(a b 0)的左的左、右顶点分别为右顶点分别为 A1， A2，且以线段，且以线段 A1A2为直径的圆与直线为直径的圆与直线 bx ay + 2ab = 0 相切，则相切，则 C 的离心率为的离心率为 A 6 3 B 3 3 C 2 3 D1 3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点0,0，半径
31、为r = a，圆的方程 为x2+ y2= a2， 直线bx ay + 2ab = 0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d = 2ab a2+b2 = a， 整理可得a2= 3b2，即a2= 3 a2 c2,即2a2= 3c2， 从而e2= c2 a2 = 2 3，则椭圆的离心率 e = c a = 2 3 = 6 3 ， 故选 A. 【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就 是确立一个关于a,b,c的方程或不等式，再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的 关系式，而建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几 何性质、点的坐标的范围等. 6已知
32、椭圆已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的右焦点为的右焦点为F短轴的一个端点为短轴的一个端点为M，直线，直线 :340lxy交椭圆交椭圆E于于,A B两点两点若若4AFBF，点点M到直线到直线l的距离不小于的距离不小于 4 5 ， 则椭圆则椭圆E的离心率的取值范围是（的离心率的取值范围是（ ） A 3 (0, 2 B 3 (0, 4 C 3 ,1) 2 D 3 ,1) 4 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 试题分析：设 1 F是椭圆的左焦点，由于直线:340lxy过原点，因此,A B两点关于原点 对称，从而 1 AFBF是平行四边形，所以 1 4BFBFAFBF，即24a
33、 ，2a ， 设(0, )Mb，则 4 5 b d ，所以 44 55 b ，1b，即12b，又 2222 4cabb ，所 以0 3c ， 3 0 2 c a 故选 A 考点：椭圆的几何性质 【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得 , a c关系或范围，解题的关键是利 用对称性得出AFBF就是2a，从而得2a ，于是只有由点到直线的距离得出b的范 围，就得出c的取值范围，从而得出结论在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想 到椭圆的定义 7已知椭圆已知椭圆 C：x 2 a2 + y2 b2 = 1(a b 0)的左右焦点为的左右焦点为 F1,F2离心率为离心率为 3 3 ，过，
34、过 F2的直线的直线 l 交交 C 与与 A,B 两点，若两点，若AF1B 的周长为的周长为 4 3，则，则 C 的方程为的方程为( ) Ax 2 3 + y2 2 = 1Bx 2 3 + y2= 1Cx 2 12 + y2 8 = 1Dx 2 12 + y2 4 = 1 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 试题分析： 若AF1B 的周长为 4 3可知 4a = 4 3a =3e = c a = 3 3 c = 1b2= 2， 所以方程为x 2 3 + y2 2 = 1 考点：椭圆方程及性质 8 已已知知 M(x0,y0)是双曲是双曲线线C： x2 2 y2= 1 上的一点上的一点， F1，
35、 F2是是C 的两个焦点的两个焦点， 若若MF1?MF2? 0， 则则y0的取值范围是（的取值范围是（） A( 3 3 , 3 3 )B( 3 6 , 3 6 )C( 2 2 3 , 2 2 3 )D( 2 3 3 , 2 3 3 ) 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 由题知F1( 3,0),F2( 3,0)， x0 2 2 y0 2 = 1，所以 MF1 ? MF2 ?=( 3 x0, y0)( 3 x0, y0)=x0 2 + y0 2 3 = 3y0 2 1 0， 解得 3 3 y0 b 0)的左焦点为的左焦点为 F，右顶点为右顶点为 A，点点 B 在椭圆上在椭圆上，且且 BFx 轴
36、，轴， 直线直线 AB 交交 y 轴于点轴于点 P若若AP ? ? = 2PB ? ?，则椭圆的离心率是（，则椭圆的离心率是（ ） A 3 2 B 2 2 C1 3 D1 2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 试题分析： 试题分析： 由于 BFx 轴， 故xB= c,yB= b2 a ， 设 P(0,t)， 由AP ? ? = 2PB ? ?得( a,t) = 2( t, b2 a t)a = 2ce = 2 考点：椭圆的简单性质 12 （5 分）从椭圆分）从椭圆上一点上一点 P 向向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1， A 是椭圆与是椭圆与 x 轴正半轴的交点，
37、轴正半轴的交点，B 是椭圆与是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且轴正半轴的交点，且 ABOP（O 是坐标原是坐标原 点点） ，则该椭圆的离心率是（，则该椭圆的离心率是（） ABCD 【答案】【答案】C 【解析】【解析】依题意，设 P（c，y0） （y00） ， 则+=1， y0=， P（c，） ， 又 A（a，0） ，B（0，b） ，ABOP， kAB=kOP，即=， b=c 设该椭圆的离心率为 e，则 e2=， 椭圆的离心率 e= 13椭圆椭圆 C： x2 4 + y2 3 = 1 的左右顶点分别为的左右顶点分别为A1,A2，点点 P 在在 C 上且直线上且直线 PA2斜率的取值范围是斜率的取值
38、范围是 2, 1，那么直线，那么直线 PA1斜率的取值范围是（斜率的取值范围是（ ） A 1 2 , 3 4 B 3 8 , 3 4 C 1 2 ,1D 3 4 ,1 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 设 P 点坐标为(x0,y0)，则x0 2 4 + y02 3 = 1，kPA2= y0 x02，kPA1 = y0 x0+2， 于是kPA1kPA2= y0 2 x0 222= 33 4x0 2 x0 24 = 3 4，故kPA1 = 3 4 1 kPA2. kPA2 2, 1kPA1 3 8 , 3 4 .故选 B. 【考点定位】直线与椭圆的位置关系 14 已知椭圆已知椭圆 22 22
39、:1(0) xy Cab ab 的离心率为的离心率为 3 2 .双曲线双曲线 22 1xy的渐近线与椭圆的渐近线与椭圆 C有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆，则椭圆C的方程为的方程为 A 22 1 82 xy B 22 1 126 xy C 22 1 164 xy D 22 1 205 xy 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 试题分析：由题意，双曲线 22 1xy的渐近线方程为y x ， 以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，故边长为 4， （2，2）在椭圆 C： 22 22 10 xy ab ab 上， 22 4
40、4 1 ab ， 3 2 e ， 22 2 3 4 ab a ， 22 4ba ， 22 205ab， 椭圆方程为： 22 1 205 xy . 故选 D. 考点：椭圆的标准方程及几何性质；双曲线的几何性质. 15已知已知F1，F2是椭圆是椭圆 C 的两个焦点的两个焦点，P 是是 C 上的一点上的一点，若若 PF1PF2，且且PF2F1= 60， 则则 C 的离心率为的离心率为 A1 3 2 B2 3C 31 2 D 3 1 【答案】【答案】D 【解析】【解析】分析：设|PF2| = m，则根据平面几何知识可求|F1F2|,|PF1|，再结合椭圆定义可求 离心率. 详解：在F1PF2中，F1P
41、F2= 90,PF2F1= 60 设|PF2| = m，则 2c = |F1F2| = 2m,|PF1| =3m， 又由椭圆定义可知 2a = |PF1| + |PF2| = ( 3 + 1)m 则离心率 e = c a = 2c 2a = 2m ( 3+1)m =3 1， 故选 D. 点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆， 二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角 形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭 圆的定义. 16已知椭圆已知椭圆 22 22 1 xy ab （a
42、b0）的离心率为）的离心率为 1 2 ，则，则 Aa2=2b2B3a2=4b2 Ca=2bD3a=4b 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 【分析】 由题意利用离心率的定义和, ,a b c的关系可得满足题意的等式. 【详解】 椭圆的离心率 222 1 , 2 c ecab a ,化简得 22 34ab , 故选 B. 【点睛】 本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识基本运算能力的考查. 17如图，中心均为原点如图，中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点，的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N 是双曲线的两顶点是双曲线的两顶点.若若 M， O，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是 A3B2C 3D 2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 M，N 是双曲线的两顶点，M，O，N 将椭圆长轴四等分 椭圆的长轴长是双曲线实轴长的 2 倍 双曲线与椭圆有公共焦点， 双曲线与椭圆的离心率的比值是 2 故答案选 B
