1、第第 4 讲讲随机事件的概率随机事件的概率 一、选择题 1.有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、 西、北四个方向前进，任意两人不能同一个方向.事件“甲向南”与事件“乙 向南”是() A.互斥但非对立事件B.对立事件 C.相互独立事件D.以上都不对 解析由于任意两人不能同一个方向， 故“甲向南”意味着“乙向南”是不可 能的，故是互斥事件，但不是对立事件. 答案A 2.(2017合肥模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A抽到一等品， 事件 B抽到二等品，事件 C抽到三等品，且已知 P(A)0.65，P(B) 0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概
2、率为() A.0.7B.0.65C.0.35D.0.3 解析事件“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件， 由于P(A)0.65， 所以由对立事件的概率公式得“抽到的产品不是一等品”的概率为 P1 P(A)10.650.35. 答案C 3.在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2 张，若事件“2 张全是移动卡”的概率是 3 10，那么概率为 7 10的事件是( ) A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡 C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡 解析至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通 卡”两个事件，它是“2 张全是移动卡”的对立事件，因此“至
3、多有一张移动 卡”的概率为 7 10. 答案A 4.某袋中有编号为 1，2，3，4，5，6 的 6 个球(小球除编号外完全相同)，甲先 从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号， 则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是() A.1 5 B.1 6 C.5 6 D.35 36 解析设 a，b 分别为甲、乙摸出球的编号.由题意，摸球试验共有 36 种不同 结果，满足 ab 的基本事件共有 6 种.所以摸出编号不同的概率 P1 6 36 5 6. 答案C 5.掷一个骰子的试验，事件 A 表示“出现小于 5 的偶数点”，事件 B 表示“出 现小于 5 的点数”，若B表示 B 的
4、对立事件，则一次试验中，事件 AB发 生的概率为() A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.5 6 解析掷一个骰子的试验有 6 种可能结果. 依题意 P(A)2 6 1 3，P(B) 4 6 2 3， P(B)1P(B)12 3 1 3， B表示“出现 5 点或 6 点”的事件， 因此事件 A 与B互斥， 从而 P(AB)P(A)P(B)1 3 1 3 2 3. 答案C 二、填空题 6.给出下列三个命题，其中正确命题有_个. 有一大批产品，已知次品率为 10%，从中任取 100 件，必有 10 件是次品； 做 7 次抛硬币的试验，结果 3 次出现正面，因此正面出现的概率是3 7；随 机事件发
5、生的频率就是这个随机事件发生的概率. 解析错，不一定是 10 件次品；错，3 7是频率而非概率；错，频率不等 于概率，这是两个不同的概念. 答案0 7.已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%，现采用随机模拟的方法估计该 运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值 的随机数，指定 1，2，3，4 表示命中，5，6，7，8，9，0 表示不命中；再以 每三个随机数为一组， 代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下 20 组随机 数： 907966191925271932812458569683 431257393027556488730113537989 据此估计
6、，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_. 解析20 组随机数中，恰有两次命中的有 5 组，因此该运动员三次投篮恰有 两次命中的概率为 P 5 20 1 4. 答案 1 4 8.某城市 2017 年的空气质量状况如表所示： 污染指数 T3060100110130140 概率 P 1 10 1 6 1 3 7 30 2 15 1 30 其中污染指数 T50 时，空气质量为优；50T100 时，空气质量为良，100 T150 时，空气质量为轻微污染，则该城市 2017 年空气质量达到良或优 的概率为_. 解析由题意可知 2017 年空气质量达到良或优的概率为 P 1 10 1 6 1 3 3 5.
7、 答案 3 5 三、解答题 9.某班选派 5 人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下： 获奖人数012345 概率0.10.16xy0.2z (1)若获奖人数不超过 2 人的概率为 0.56，求 x 的值； (2)若获奖人数最多 4 人的概率为 0.96，最少 3 人的概率为 0.44，求 y，z 的值. 解记事件“在竞赛中， 有 k 人获奖”为 Ak(kN， k5)， 则事件 Ak彼此互斥. (1)获奖人数不超过 2 人的概率为 0.56， P(A0)P(A1)P(A2)0.10.16x0.56. 解得 x0.3. (2)由获奖人数最多 4 人的概率为 0.96，得 P(A5)1
8、0.960.04，即 z0.04. 由获奖人数最少 3 人的概率为 0.44，得 P(A3)P(A4)P(A5)0.44，即 y0.2 0.040.44. 解得 y0.2. 10.(2015陕西卷)随机抽取一个年份，对西安市该年 4 月份的天气情况进行统 计，结果如下： 日期123456789101112131415 天气晴 雨 阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴 日期 1 6 1 7 18192021222324252627282930 天气晴 阴 雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨 (1)在 4 月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率； (2)西安市某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续 2 天的
9、运动会， 估计运动 会期间不下雨的概率. 解(1)在容量为 30 的样本中，不下雨的天数是 26，以频率估计概率，4 月份 任选一天，西安市不下雨的概率为 P26 30 13 15. (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1 日与 2 日，2 日与 3 日等)，这 样，在 4 月份中，前一天为晴天的互邻日期对有 16 个，其中后一天不下雨的 有 14 个，所以晴天的次日不下雨的频率 f14 16 7 8. 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为7 8. 11.设事件 A，B，已知 P(A)1 5，P(B) 1 3，P(AB) 8 15，则 A，B 之间的关系 一定为() A.两个任意事
10、件B.互斥事件 C.非互斥事件D.对立事件 解析因为 P(A)P(B)1 5 1 3 8 15P(AB)，所以 A，B 之间的关系一定为 互斥事件. 答案B 12.如图所示的茎叶图表示的是甲、 乙两人在 5 次综合测评中的 成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均 成绩的概率是() A.2 5 B. 7 10 C.4 5 D. 9 10 解析设被污损的数字为 x，则x甲1 5(8889909192)90， x乙1 5(8383879990 x)， 若甲xx乙，则 x8. 若x甲x乙，则 x 可以为 0，1，2，3，4，5，6，7， 故 P 8 10 4 5. 答案C 13.抛掷一枚
11、均匀的正方体骰子(各面分别标有数字 1，2，3，4，5，6)，事件 A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件 B 表示“朝上一面的数不超过 2”，则 P(AB)_. 解析将事件 AB 分为：事件 C“朝上一面的数为 1，2”与事件 D“朝上一 面的数为 3，5”. 则 C，D 互斥，且 P(C)1 3，P(D) 1 3， P(AB)P(CD)P(C)P(D)2 3. 答案 2 3 14.(2017昆明诊断)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样， 样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下： 赔付金额(元)01 0002 0003 0004 000 车辆数(辆)500130100150120
12、(1)若每辆车的投保金额均为 2 800 元，估计赔付金额大于投保金额的概率； (2)在样本车辆中，车主是新司机的占 10%，在赔付金额为 4 000 元的样本车辆 中，车主是新司机的占 20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4 000 元的概率. 解(1)设 A 表示事件“赔付金额为 3 000 元”， B 表示事件“赔付金额为 4 000 元”，以频率估计概率得 P(A) 150 1 0000.15，P(B) 120 1 0000.12. 由于投保金额为 2 800 元，赔付金额大于投保金额对应的情形是 3 000 元和 4 000 元，所以其概率为 P(A)P(B)0.150.120.27. (2)设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4 000 元”，由已知，样本车辆中车 主为新司机的有 0.11 000100(辆)，而赔付金额为 4 000 元的车辆中，车主 为新司机的有 0.212024(辆)， 所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4 000 元的频率为 24 1000.24，由频率估计概率得 P(C)0.24.
