1、习题课函数性质的综合问题 第三章函数的概念与性质 1.理解和掌握对称轴和对称中心满足的条件. 2.掌握函数性质的综合应用问题. 学 习 目 标 随堂演练课时对点练 一、函数图象的对称性 二、函数性质的综合应用 内容索引 一、函数图象的对称性 问题1当函数yf(x)的图象关于直线xa对称时，会满足怎样的条件呢？ 提示如图所示，在xa两边取对称的两个自变量的值，如ax，ax， 由对称性知它们的函数值相等，即f(ax)f(ax)； 反之，若对定义域内任意x都有f(ax)f(ax)， 则函数yf(x)的图象关于直线xa对称. 问题2当函数yf(x)的图象关于点(a,0)对称时，又会满足怎样的条件呢？
2、提示如图所示，在xa两边取对称的两个自变量的值，如ax，ax， 由对称性知它们的函数值互为相反数，即f(ax)f(ax)； 反之，若对定义域内任意x都有f(ax)f(ax)， 则函数yf(x)的图象关于点(a,0)对称. 知识梳理 1.函数图象关于直线对称 yf(x)在定义域 内恒满足的条件 yf(x)的图 象的对称轴 f(ax)f(ax)直线xa f(x)f(ax) f(ax)f(bx) 2.函数图象关于点对称 yf(x)在定义域 内恒满足的条件 yf(x)的图象 的对称中心 f(ax)f(ax)(a,0) f(x)f(ax) f(ax)f(bx) f(ax)f(bx)c 即f(1x)f(x
3、)0. 又yf(x)为偶函数，f(x)f(x)， f(1x)f(x)0，即f(1x)f(x)， 反思感悟解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法： 图象法，根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论. 性质法，根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决求值 和比较大小的问题. 注意：使用性质要规范，切不可自创性质！ 跟踪训练1若函数yf(x)在(0,2)上单调递增，函数yf(x2)是偶函数， 则下列结论正确的是 解析yf(x2)是偶函数，f(2x)f(2x). 故yf(x)的图象关于直线x2对称， 二、函数性质的综合应用 (2)用定义证明f(x)在(1,1)上是增函数. 证明任取x1，x2
4、(1,1)，且令x1x2， 1x1x21， f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)， f(x)在(1,1)上是增函数. (3)解不等式：f(t1)f(t)0. 解f(t1)f(t)f(t). f(x)在(1,1)上是增函数， 反思感悟奇偶性、单调性的综合应用 利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题， 在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应 用解题技巧，化简求值，解题时，一定要特别注意函数的定义域. 跟踪训练2已知函数f(x)的定义域为(2,2)，函数g(x)f(x1)f(32x). (1)求函数g(x)的定义域. (2)若f(x)为奇函数，并且
5、在定义域上是减函数，求不等式g(x)0的解集. 解由g(x)0，得f(x1)f(32x)0， 所以f(x1)f(32x). 因为f(x)为奇函数，所以f(x1)f(2x3). 而f(x)在(2,2)上是减函数， 1.知识清单： (1)函数的对称轴和对称中心. (2)函数奇偶性的综合应用. 2.方法归纳：数形结合，等价转化. 3常见误区：容易忽视奇函数中的隐含条件f(0)0. 课堂小结 随堂演练 1.下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是 1234 2.设f(x)是R上的偶函数，且在(0，)上单调递减，若x10，则 A.f(x1)f(x2) B.f(x1)f(x2) C.f(x1)f(x2
6、) D.f(x1)与f(x2)的大小关系不确定 1234 1234 3.已知定义在R上的奇函数f(x)，且当x0，)时，f(x)单调递增，则 不等式f(2x1)f(1)0的解集是 A.(，1) B.(1，) C.1，) D.(，1 解析因为函数f(x)是奇函数， 所以不等式f(2x1)f(1)0等价于f(2x1)f(1). 又当x0时，函数f(x)单调递增， 所以函数f(x)在R上为增函数， 所以f(2x1)f(1)等价于2x11， 解得x1. 4.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x 2)5的解集是_. (7,3) 1234 课时对点练 基础巩固 12
7、345678910 11 12 13 14 15 16 1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(2)的值是 A.0 B.1 C.2 D.4 解析由题意得f(02)f(2)f(0)0. 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.已知f(x)(m1)x22mx3为偶函数，则f(x)在区间(2,5)上 A.单调递增 B.单调递减 C.有增有减 D.增减性不确定 解析由f(x)是偶函数，即f(x)f(x)，得m0， 所以f(x)x23， 画出函数f(x)x23的图象(图略)知， 在区间(2,5)上单调递减. 12345678910 11 12 13 14
8、15 16 解析f(x)f(4x)， 又函数f(x)为奇函数， 4.已知偶函数yf(x)在区间0，)上单调递增，且图象经过点(1,0) 和(3,5)，则当x3，1时，函数yf(x)的值域是 A.0,5 B.1,5 C.1,3 D.3,5 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析偶函数yf(x)在区间0，)上单调递增， 则函数在3，1上单调递减， 且f(3)f(3)5，f(1)0， 故函数的值域为0，5. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析偶函数满足f(x)f(|x|)，根据这个结论， 12345678910 11 12 13 14 15 1
9、6 6.(多选)若函数yf(x)是偶函数，定义域为R，且该函数图象与x轴的交 点有3个，则下列说法正确的是 A.3个交点的横坐标之和为0 B.3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关 C.f(0)0 D.f(0)的值与函数解析式有关 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(4,4)，且在(4,0上的图 象如图所示，则关于x的不等式f(x)g(x)0的解集是_. (4，2)(0,2) 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设h(x)f(x)g(x)， 则h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)
10、h(x)， 所以h(x)是奇函数， 由图象可知，当4x0，g(x)0， 即h(x)0， 当0 x2时，f(x)0，即h(x)0， 所以h(x)0的解集为(4，2)(0,2). 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.设f(x)是定义在R上的奇函数，且yf(x)的图象关于直线x 对称，则 f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)_.0 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析f(x)是定义在R上的奇函数， f(0)0. 12345678910 11 12 13 14 15 16 即f(x)f(1x). f(2)f(11)f(1)f(1)0， f(3
11、)f(12)f(2)f(2)0， 同理，f(4)f(5)0. f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)0. 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)1 . (1)求f(2)的值. 解根据题意，得函数f(x)为奇函数， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)用定义法判断yf(x)在区间(，0)上的单调性. 在(，0)上任取x1，x2，且x1x2， 又由x110，x210， 可得f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2). 由定义可知，函数yf(x)在区间(，0)上单调递减. 12345
12、678910 11 12 13 14 15 16 (3)求当x0时，f(x)的解析式. 由函数f(x)为奇函数知f(x)f(x)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.已知函数f(x)x2mx(m0)在区间0,2上的最小值为g(m). (1)求函数g(m)的解析式； 12345678910 11 12 13 14 15 16 即00时，h(x) g(x).若h(t)h(4)，求实数t的取值范围. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解因为当x0时，h(x)g(x)， 易知函数h(x)在(0，)上单调递减， 因为定义在(，0)(0，)上的函数
13、h(x)为偶函数，且h(t)h(4)， 所以0|t|4， 解得4t0或0t4. 综上所述，实数t的取值范围为(4,0)(0,4). 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析函数yf(x2)为偶函数， 则函数yf(x2)的图象关于y轴对称， 函数yf(x)的图象关于直线x2对称， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12.若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2R，有f(x1x2)f(x1) f(x2)1，则下列说法一定正确的是 A.f(x)1为奇函数 B.f(x)1为偶
14、函数 C.f(x)1为奇函数 D.f(x)1为偶函数 解析对任意x1，x2R有f(x1x2)f(x1)f(x2)1， 令x1x20，得f(0)1. 令x1x，x2x，得f(0)f(x)f(x)1. f(x)1f(x)1f(x)1， f(x)1为奇函数. 12345678910 11 12 13 14 15 16 13.设定义在R上的奇函数f(x)在(0，)上单调递增，且f(1)0，则不 等式xf(x)f(x)0的解集为 A.x|1x1B.x|x1或0 x1 C.x|x1D.x|1x0或0 x1 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析奇函数f(x)在(0，)上单调递增，
15、 f(x)f(x)， xf(x)f(x)0，xf(x)0， 又f(1)0，f(1)0， 从而有函数f(x)的图象如图所示. 则不等式xf(x)f(x)0的解集为 x|1x0或0 x1. 14.已知函数f(x) 若f(x1)0，则x0， f(x)(x)22xx22xf(x)， 同理可得，当x0时，函数f(x)单调递增， 所以不等式f(x1)f(2x1)等价于|x1|0，解得x0或x2. 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 15.已知函数f(x)是R上的偶函数，且对任意的xR有f(x3)f(x)，当 x(
16、3,0)时，f(x)2x5，则f(8)等于 A.1 B.9 C.5 D.11 解析根据题意，函数f(x)满足f(x6)f(x)， 则f(8)f(2)， 由函数f(x)为偶函数，得f(2)f(2). 当x(3,0)时，f(x)2x5，则f(2)2(2)59. 则f(8)f(2)f(2)9. 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.定义在(，0)(0，)上的函数yf(x)满足f(xy)f(x)f，且 函数f(x)在(，0)上单调递减. (1)求f(1)，并证明函数yf(x)是偶函数； 12345678910 11 12 13 14 15 16 得f(1)f(x)f(x)0， 再令x1，y1，可得f(1)f(1)f(1)， 得2f(1)f(1)0， 所以f(1)0， 令y1，可得f(x)f(x)f(1)f(x)， 又该函数的定义域关于原点对称， 所以f(x)是偶函数，即证. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解因为f(2)1，又该函数为偶函数，所以f(2)1. 因为函数f(x)在(，0)上单调递减， 所以函数f(x)在(0，)上单调递增. 解得2x3或1x2. 本课结束 更多精彩内容请登录：
