1、华中师范大学琼中附中 2021-2022 学年第 1 学期高三年级第一次考试 数学试卷 命题人：做题人： 一、单选题（每小题一、单选题（每小题 5 分，共分，共 40 分）分） 1已知集合已知集合 AxZ|1x5， ，Bx|0 x2，则，则 AB（） Ax|1x2 Bx|0 x5 C0，1，2 D1，2 2设命题设命题p：xR ， 2 11x ，则 ，则 p 为（为（） AxR ， 2 11x BxR ， 2 11x C 0 xR， 2 0 11x D 0 xR， 2 0 1 1x 3设设 x0，yR，则，则“xy”是是“x|y|”的的() A充要条件充要条件B必要不充分条件必要不充分条件 C
2、充分不必要条件充分不必要条件D既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件 4 3 1 ,0 ( ) 3 log,0 x x f x x x ，则，则 1 9 ff （） A9 9B-3-3C-9-9D-2-2 5下列命题为真命题的是（下列命题为真命题的是（） A若若ab，则，则 22 ab B若若0ab，则，则 22 acbc C若若ab，0c ，则，则acbcD若若0ab，0c ，则，则 cc ab 6已知已知1x ，求函数，求函数 1 1 yx x 的最小值是（的最小值是（） A4B1C2D3 7函数函数 2 1 3 log4f xxx 的单调递增区间为的单调递增区间为 A,2B2,C,0D
3、 4, 8已知已知 f x是定义在是定义在R上的偶函数，上的偶函数， f x在在0, 上是增函数，且上是增函数，且 10f，则不等式，则不等式 2 log0fx 的解集为（的解集为（） A 1 0,2, 2 B 1 ,12, 2 C 1 0, 2 D2, 二、多选题（全选对得二、多选题（全选对得 5 分，选不全得分，选不全得 2 分）分） 9下列所给出的四个选项能推出下列所给出的四个选项能推出 11 ab 的有（的有（） A0abB 0baC0abD0ba 10.10.下列函数中，满足下列函数中，满足“ 1 x， 2 0 x，都有，都有 12 12 ()() 0 f xf x xx ”的有（的
4、有（） A 1f xxB( )31f xx C 2 43f xxxD 2 f x x 11设设 a1，b1 且且 ab(ab)1，那么，那么() Aab 有最小值有最小值 22 2Bab 有最大值有最大值 22 2 Cab 有最小值有最小值 32 2Dab 有最大值有最大值 1 2 12 已知定义在已知定义在R上的函数上的函数 yf x满足条件满足条件 2f xf x ， 且函数且函数1yf x为奇函数为奇函数， 则（则（） A函数函数 yf x是周期函数是周期函数B函数函数 yf x的图象关于点的图象关于点1,0对称对称 C函数函数 yf x为为R上的偶函数上的偶函数D函数函数 yf x为为
5、R上的单调函数上的单调函数 三、填空题三、填空题 13已知正数已知正数a，b满足满足1ba，则，则 ba b1 的最小值为的最小值为 14设设 ( )f x是定义在 是定义在R上的偶函数，当上的偶函数，当0 x 时，时， 2 ( )2f xxx，则，则( 1)f _ 15已知函数已知函数 ( )f x是 是R上的偶函数，若对于上的偶函数，若对于0 x ，都有，都有(2)( )f xf x，且当，且当 0 2x， 时，时， 2 ( )log (1)f xx，则，则( 2 010)(2 011)ff的值为的值为_ 16已知函数已知函数 1,0 (1)e ,0 x axx f x ax 为为R上的单
6、调递增函数，则实数上的单调递增函数，则实数 a 的取值范围为的取值范围为_. 四、解答题四、解答题 17 （10 分）分）已知等差数列已知等差数列aan 中，中，a a2=3，a4+a6=18 （1）求数列）求数列aan 的通项公式；的通项公式； （2）若数列）若数列 bn 满足：满足：b bn+1=2bn，并且，并且 b b1=a5，试求数列，试求数列 bn 的前的前 n n 项和项和 S Sn 18 （12 分）分）已知已知ABC的内角的内角A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c，3( cos)sinaCbaC. . （）求角）求角A； （）若）若 2 7a ， 4b ，求，求c及及
7、 ABC 的面积的面积. . 19.（1212 分分）某医药研究所开发的一种新药某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用如果成年人按规定的剂量服用，据监测据监测，服药后每毫升服药后每毫升 血液中的含药量血液中的含药量 y(微克微克)与时间与时间 t(小时小时)之间近似满足如图所示的曲线之间近似满足如图所示的曲线 (1)写出第一次服药后写出第一次服药后 y 与与 t 之间的函数关系式之间的函数关系式 yf(t)； (2)据进一步测定据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时治疗疾病有效微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有求服药一次后治疗疾
8、病有 效的时间效的时间 20（12 分分） 已知三棱柱已知三棱柱 111 ABCABC中中， 1 222AAABAC，90BAC， 1 120BAA. （1）求证：）求证：AB 平面平面 1 ABC； （2）若）若 11 BCAA，求平面，求平面 11 ABC与平面与平面 1 BCB所成二面角的余弦值所成二面角的余弦值. 21 （12 分）分）某大学某大学“统计初步统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生的情况，具体数据如下课程的教师随机调查了选该课程的一些学生的情况，具体数据如下 表：表： 非统计专业非统计专业统计专业统计专业合计合计 男男8436120 女女324880 合计合计1
9、1684200 （1）能否在犯错误的概率不超过）能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为的前提下认为“修统计专业与性别有关系修统计专业与性别有关系”？ （2） 用分层抽样方法在上述用分层抽样方法在上述 80 名女生中按照名女生中按照“非统计专业非统计专业”与与“统计专业统计专业”随机抽取随机抽取 10 名名， 再从抽到再从抽到 的这的这 10 名女生中抽取名女生中抽取 2 人，记抽到人，记抽到“统计专业统计专业”的人数为的人数为，求随机变量，求随机变量的分布列和数学期望的分布列和数学期望. 参考公式：参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc k ab cd ac bd
10、 ，其中，其中nabcd ； 临界值表：临界值表： 2 0 ()P Kk0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001 0 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 22 （12 分）分）已知椭圆已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的离心率为的离心率为 2 2 ，短轴长为，短轴长为2 2. （1）求椭圆的标准方程）求椭圆的标准方程. （2） 已知椭圆的左顶点为已知椭圆的左顶点为A， 点点M在圆在圆 22 8 9 xy上上， 直线直线AM与椭圆交于另一点与椭圆交于另一点B， 且且AOB 的面积是的面积是AOM的面积的的面积的2倍
11、，求直线倍，求直线AB的方程的方程. 高三数学第一次月考试题答案 1D 2C 3.答案答案B 解析解析由由 xy 推不出推不出 x|y|，由，由 x|y|能推出能推出 xy，所以，所以“xy”是是“x|y|”的必要不充分条件的必要不充分条件 4A 由题意，函数 3 1 ,0 ( ) 3 log,0 x x f x x x ，则 1 9 3 1 ( )log2 9 f ， 所以 2 11 ( ( )( 2)( )9 93 f ff ，故选 A. 5D A取1,2ab ，此时ab， 22 14ab ，故为假命题； B当0c =时， 22 0acbc，故为假命题； C因为,0ab c，所以a cb
12、c ，所以acbc，故为假命题； D因为0ab，所以 11 0 ab ，又因为0c ，所以 cc ab ，故为真命题， 6B 由1x ，即10 x ， 所以 111 11211 1 111 yxxx xxx ， 当且仅当 1 1 1 x x ，即0 x 时取“=”. 7C 【解析】【解析】 函数的定义域为函数的定义域为04， 令令 2 4txx ，则，则 1 3 ylog t 2 4txx 在在0 ，上单调递减，在上单调递减，在4,上单调递增，上单调递增， 又又 1 3 ylog t 在定义域上单调递减，根据在定义域上单调递减，根据“同增异减同增异减”可知：可知： 函数函数 2 1 3 log
13、4f xxx 的单调递增区间为的单调递增区间为,0 故选：故选：C C 8A 因为函数因为函数 f（x）是定义在）是定义在 R 上的偶函数，上的偶函数， 所以不等式所以不等式 2 log0fx 等价为等价为 2 log0fx ， ， 因为函数因为函数 f（x）在）在 0，+ +）上是增函数，且）上是增函数，且 f（1）=0， 所以所以 2 logf 1fx （），即 ，即 2 log1x， ， 即即 2 log1x或 或 2 log1x， ， 解得解得 1 0 2 x 或或 x2 故选：故选：A 二、多选题（全选对得二、多选题（全选对得 5 分，选不全得分，选不全得 2 分）分） 9ACD 对
14、 A，若0ab，则 11 ab ，故 A 正确； 对 B，若0ba，则 11 ab ，故 B 错误； 对 C，若0ab，则 11 ab ，故 C 正确； 对 D，若0ba，则 11 ab ，故 D 正确. 故选：ACD. 10BD 因为 1 x， 2 0,x ，都有 12 12 ()() 0 f xf x xx ，故 f x应为0,上的减函数. 对于 A，当1x ， 1f xx，则 f x在 1,上为增函数，故 A 错误. 对于 B，( )31f xx 在0,上为减函数，故 B 正确. 对于 C，对称轴20 x ，故 2 43f xxx在0,上为增函数，故 C 错误. 对于 D， 2 f x
15、x 在0,上为减函数，故 D 正确. 故选：BD 11.AC11.AC ab1(ab) 2 ) 2 ( ba (当且仅当 ab1 时取等号)， 即(ab) 24(ab)40 且 ab2，解得 ab22 2， ab 有最小值 22 2，知 A 正确； 由 ab(ab)1，得 ab1ab2 ab(当且仅当 ab1 时取等号)， 即 ab2 ab10 且 ab1，解得 ab32 2， ab 有最小值 32 2，知 C 正确 12ABC 【详解】 因为 2f xf x ，所以 42f xf xf x ，即 4T ，故 A 正确； 因为函数1yf x为奇函数，所以函数1yf x图像关于原点成中心对称，所
16、以 B 正确； 又函数1yf x为奇函数， 所以11fxf x ， 根据 2f xf x ， 令1x 代x 有11f xf x ， 所以11f xfx ， 令1x 代x有 fxf x， 即函数 f x 为R上的偶函数，C 正确； 因为函数1yf x为奇函数，所以10f ，又函数 f x为R上的偶函数， 10f，所 以函数不单调，D 不正确. 故选：ABC. 三、填空题三、填空题 13.314.1151161,2 15.【详解】 当0 x 时， 都有(2)( )f xf x，函数的周期 2T ， 又 ( )f x是R上的偶函数， 且当0 2x， 时， 2 ( )log (1)f xx， ( 2
17、010)(2 011)(2 010)(2 011)ffff 22 (0)(1)log 1 log (1 1)1ff. 故答案为：1 161,2 函数 fx为R上的单调递增函数， 0 0 10 0 1(1)e a a aa ， 解得12a. 四、解答题四、解答题 17 （1）21 n an； （2）9 29 n n S （1）设数列an的公差为 d，根据题意得： 1 1 3 2818 ad ad 解得： 1 1 2 a d 通项公式为 an=a1+（n-1）d=2n1 （2） ）bn+1=2bn， bn是公比为 2 的等比数列 b1=a5=25-1=9， 1 n 19 1 2 99 2 11 2
18、 nn n aq S q 18 （） 2 3 A （）2c ，2 3 ABC S （）由题意及正弦定理可得3 sin cossinsin sinACBAC ABC， BAC， 3 sin cossinsin sinACACAC ， 即 3cos sinsin sinACAC ， 又sin0C ， tan 3A ， 0A， 2 3 A （）由余弦定理可得 222 2cosabcbcA ， 即 222 1 (2 7)424() 2 cc ， 整理得 2 4120cc ， 解得2c 或6c （舍去）. 12 4 2sin2 3 23 ABC S 19.解(1)由题图，设 y kt，0t1， 1 2
19、ta，t1， 当 t1 时，由 y4 得 k4， 由 1 2 1a4 得 a3. 所以 y 4t，0t1， 1 2 t3，t1. (2)由 y0.25 得 0t1， 4t0.25， 或 t1， 1 2 t30.25， 解得 1 16t5. 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是 5 1 16 79 16(小时) 201）答案见解析.（2） 42 7 【详解】 （1） 1 120BAA , 1 60ABB . 在 1 ABB中, 11 1,2ABBBAA, 由余弦定理得 222 1111 2cos3ABABBBAB BBABB, 222 11 BBABAB, 1 ABAB. 又90BAC , AC
20、AB, 又 1 ACABA, AB 平面 1 ABC. （2）由（1） 1 3AB ，1AC 又 11 2BCAA 在 1 ABCV中，可得 1 22 1 2 ABAAAC 1 ABAC 又 1 ABAB 1 AB 平面ABC； 由（1）得AB 平面 1 ABC， 又90BAC 以A为坐标原点，以AB为x轴，以AC为y轴，以 1 AB为z轴，建立空间直角坐标系， 如图： 则 1(0 0,00,0 , 3),1,0,(0,1,0)0 ,BCAB 1( , , ) C x y z 11 BBCC , 又 1( 1,0, 3)BB ( 1,0, 3) ( ,1, )x yz 解得： 1 1 3 x
21、y z ，故 1 ( 1,1, 3)C 11 1 (0,0, 3),( 1,1, 3),( 1,1,0),( 1,0, 3)ABACBCBB 设平面 11 ABC法向量为 1111 ,nx y z 由 1 11 1 nAB nAC ，可得 11 11 0 0 nAB nAC 故： 1 111 30 30 z xyz 取 1 1y ，则 1 (1,1,0)n 设平面 1 BCB法向量为 2222 ,nxy z 由 2 21 nBC nBB ，可得 2 21 0 0 nBC nBB 故： 2 2 22 0 30 xy xz 取 2 1x 可得： 22 3 1, 3 yz 2 3 1,1, 3 n
22、12 2 12 1 2 cos, 1 21 1 3 n n n n nn 22 7714 2 33 42 平面 11 ABC与平面 1 BCB所成二面角的余弦值 42 7 . 21.【详解】 解： （1）根据表中数据， 计算 2 2 200844836 323600 17.7347.879 116 84 120 80203 K ， 因为 2 7.8790.005P K 所以能在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为“修统计专业与性别有关系” （2）用分层抽样方法在上述 80 名女生中按照“非统计专业”与“统计专业”随机抽取 10 名，那么 抽到“非统计专业”4 名，抽到“统计专业”6 名
23、 20 46 2 10 2 0 15 C C P C ， 11 46 2 10 8 1 15 C C P C ， 02 46 2 10 1 2 3 C C P C 所以的分布列为 012 P 2 15 8 15 1 3 2816 012 151535 E 22 （1） 22 1 42 xy ； （2） 220 xy. 【详解】 （1）根据条件可知： 222 2 2 22 2 c a b abc ，所以 2 2 4 2 a b ，所以椭圆的标准方程为： 22 1 42 xy ； （2）因为AOB的面积是AOM的面积的2倍，所以M为AB的中点， 设 00 ,M xy，又2,0A ，所以 00 22,2Bxy，因为M在圆上且B在椭圆上， 所以有 22 00 22 00 8 9 222 1 42 xy xy ，所以 2 00 918160 xx且 0 2 22 2 33 x ， 解得： 0 2 3 x ，所以 0 2 3 y ，所以 2 0 1 3 2 2 2 3 AB k 或 2 0 1 3 2 2 2 3 AB k ， 所以 1 :2 2 AB lyx ，即220 xy.
