1、第二章函数 第一节函数及其表示 复习要点1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域 2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数 3了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段) 知识点一函数的概念 定义：建立在两个_A 到 B 的一种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的_数 x，在集合 B 中都 有_的数 f(x)和它对应，记作：yf(x)，xA. 答案：非空数集任意一个唯一确定 知识点二函数的三要素 函数由定义域、_和值域三个要素构成，对函数 yf(x)，xA，其中 (1)定义域：_的取值构成的集合； (2)值域：函数值的集合_
2、，值域由定义域和对应法则确定 答案：对应关系(1)自变量 x(2)f(x)|xA 知识点三函数的表示法 表示函数的常用方法有：_、_、_. 答案：解析法列表法图象法 知识点四分段函数 若函数在定义域的不同子集上，因_不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数 答案：对应关系 知识点五函数的定义域 1求定义域的步骤 (1)写出使函数式有意义的不等式(组)； (2)解不等式(组)； (3)写出函数的定义域(注意用区间或集合的形式写出) 2基本初等函数的定义域 (1)整式函数的定义域为 R. (2)分式函数中分母_ (3)偶次根式函数被开方式为_ (4)一次函数、二次函数的定义域均为_
3、(5)函数 f(x)x0的定义域为_ (6)指数函数的定义域为_ (7)对数函数的定义域为_ 答案：2.(2)不为 0(3)非负数(4)R(5)x|x0 (6)R(7)(0，) 知识点六函数的值域 基本初等函数的值域 (1)ykxb(k0)的值域是_ (2)yax2bxc(a0)的值域是：当 a0 时，值域为_；当 a0，且 a1)的值域是_ (5)ylogax(a0，且 a1)的值域是_ 答案：(1)R(2) 4acb2 4a ，4acb 2 4a(3)y|y0(4)(0，)(5)R 链/接/教/材 1必修 1P25B 组 T2 改编若函数 yf(x)的定义域为 Mx|2x2，值域为 Ny|
4、0y2，则函数 y f(x)的图象可能是() 答案：B 2必修 1P25B 组 T1 改编函数 yf(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是_；值域是_； 其中只有唯一的 x 值与之对应的 y 值的范围是_ 答案：3,02,31,51,2)(4,5 易/错/问/题 1函数概念里的两个“允许”和两个“不允许”的理解 如图表示的是从集合 A 到集合 B 的对应，_是函数 答案： 2函数解析式的求法：配凑法、换元法的运用不熟练 已知 f(x1)x21，则 f(x)_. 答案：x22x 3换元法求解析式，反解忽视自变量的范围 已知 f 1 x x25x，则 f(x)_. 答案： 1 x2 5 x
5、(x0) 题型函数的概念 角度.函数关系的判断 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1多选2021 山东淄博模拟设集合 Mx|0 x2，Ny|0y2，那么下面的 4 个图形中，能表示从集 合 M 到集合 N 的函数关系的有() 答案BC解析A 不满足函数的定义域,不正确;BC 满足函数的定义域以及函数的值域，正确;D 不满足 函数的定义.故选 BC. 2已知 Ax|xn2，nN，给出下列关系式： f(x)x；f(x)x2；f(x)x3；f(x)x4；f(x)x21，其中能够表示函数 f：AA 的是_ 答案解析对于，当 x1 时，x21A，故错误，由函数定义可知均正确 32018 上
6、海卷设 D 是含数 1 的有限实数集，f(x)是定义在 D 上的函数，若 f(x)的图象绕原点逆时针旋转 6后 与原图象重合，则在以下各项中，f(1)的可能取值只能是() A 3B 3 2 C 3 3 D0 答案B解析A 选项，若 f(1) 3，将点(1， 3)依次旋转 6后可得到函数图象上的一些点，由图可知， 当 x1， 3，0 时，对应了两个 y 值，不符合函数定义， f(1) 3.同理，结合图象分析 B，C，D 选项，只有 B 选项符合函数定义，故选 B. 角度.同一函数的判断 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 42021 湖北武汉模拟下列五组函数中，表示同一函数的是_(填
7、序号) f(x)x1 与 g(x)x 21 x1 ； f(x)lg x2与 g(x)2lg x； f(x)x2，xR 与 g(x)x2，xZ； f(u) 1u 1u与 f(v) 1v 1v； yf(x)与 yf(x1) 答案解析中定义域不同；中两函数定义域不同；中两函数定义域不同；中两函数的对应 法则不同，故表示同一函数的只有. 解/题/感/悟(小提示，大智慧) (1)两个函数是同一函数的条件为：定义域、值域和对应关系都相同；不要误认为函数解析式相同就是同一函 数 (2)函数的自变量习惯上用 x 表示，但也可以用其他字母表示，如 f(x)3x2，g(m)3m2 是同一函数 题型函数的定义域 角
8、度.求已知函数的定义域 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 12021 山东菏泽模拟已知函数 f(x)log2x 的值域是1,2，则函数(x)f(2x)f(x2)的定义域为() A 2，2B2,4 C4,8D1,2 答案A解析f(x)的值域为1,2， 1log2x2，2x4， f(x)的定义域为2,4， (x)f(2x)f(x2) 满足 22x4， 2x24， 解得 2x2. (x)的定义域为 2，2，故选 A. 22021 福建永定模拟函数 y 1x2log2(tan x1)的定义域为_ 答案 4，1解析要使函数 y 1x2log2(tan x1)有意义，则 1x20，tan x
9、10，且 xk 2(k Z)，1x1 且 4kxk 2，kZ，可得 40，且 a1)要满足 f(x)0； (5)正切型 tanf(x)要满足 f(x) 2k，kZ. 角度.求抽象函数的定义域 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 3已知函数 f(x)的定义域为(1,0)，则函数 f(2x1)的定义域为() A(1,1)B 1，1 2 C(1,0)D 1 2，1 答案B解析由题意知12x10，则1x1 3 B12a0 C12a0Da1 3 答案B解析由题意可知 ax2ax30 对于一切实数都成立，当 a0 时，30，不等式成立；当 a0 时，要想 ax2ax30 对于一切实数都成立，只
10、需a24a(3)0，解得12a0. 综上，实数 a 的取值范围是120 对于 xR 恒成立，当 a 0 时，x10 不恒成立；当 a0 时，14a1 4. 题型函数值与解析式的求法 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 12021 名师原创已知函数 f(x)ex，实数 t0，下列与e 2t t2 不相等 的函数值是() Af(ln tt)f(t3ln t) Bf2(tln t) Cf(t)f(t2ln t) Df(tln t)2 答案A解析由 f(x)ex得 f2(tln t)f(2t2ln t)e2t 2ln te2t e2ln t e2t t2 ，f(2t2ln t)f(t)f(
11、t2ln t)f(t ln t)2，故 B，C，D 中的函数值均与e 2t t2 相等；而 f(ln tt)f(t3ln t)f(2ln t)t 2，与e2t t2 不相等故选 A. 2求下列函数的解析式： (1)已知 f(1sin x)cos2x，求 f(x)的解析式； (2)已知 f x21 x2x4 1 x4，求 f(x)的解析式； (3)已知 f(x)是一次函数且 3f(x1)2f(x1)2x17，求 f(x)的解析式； (4)定义在(1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)f(x)lg(x1)，求 f(x)的解析式 解(1)(换元法)设 1sin xt，t0,2， 则 sin x1
12、t， f(1sin x)cos2x1sin2x， f(t)1(1t)22tt2，t0,2， 即 f(x)2xx2，x0,2 (2)(配凑法) f x2 1 x2 x21 x2 22， f(x)x22，x2，) (3)(待定系数法)因为 f(x)是一次函数， 可设 f(x)axb(a0)， 3a(x1)b2a(x1)b2x17. 即 ax(5ab)2x17， a2， 5ab17， 解得 a2， b7. f(x)的解析式是 f(x)2x7. (4)(消去法)当 x(1,1)时， 有 2f(x)f(x)lg(x1) 以x 代替 x 得，2f(x)f(x)lg(x1) 由消去 f(x)得， f(x)2
13、 3lg(x1) 1 3lg(1x)，x(1，1) 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 求函数解析式的四种常用方法 1待定系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，则可用待定系数法 2配凑法 由已知条件 f(g(x)F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的式子，然后用 x 替代 g(x)，便得到 f(x)的解析式 3换元法 已知复合函数 f(g(x)的解析式，求 f(x)的解析式时可用换元法，即令 g(x)t，从中解出 x，代入已知解析式进 行换元，此时要注意新元的取值范围 4解方程组法 已知关于 f(x)与 f 1 x 或 f(x)的等式，可根据已知条件再构造出一个等式组
14、成方程组，通过解方程组求出 f(x) 题型分段函数及应用 角度.已知分段函数解析式求值 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 12021 广东梅州质检设函数 f(x) 1log22x，x1， 2x 1，x1. 则 f(2)f(log212)_. 答案9解析21， f(2)1log22(2)3， f(log212)2log212 12log266. f(2)f(log212)9. 22018 江苏卷函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2,2上，f(x) cosx 2 ，0 x2， |x1 2|，20， 2x1 2，x0， 存在实数 m 满足 2f(f(m)12f(
15、m) 1，则 () Af(m)0Bf(m)可能大于 0 Cm(，1Dm(，1(0，e2 答案AD解析本题考查函数与方程的综合应用若 f(m)0，由 2f(f(m)12f(m) 1， 可得 f(f(m)2f(m)1 2， 则 lnf(m)22f(m)1 2. ln xx1,2xx， ln x2x3，x12x12x1 2， ln x2x3x10 时，由 f(m)ln m20，解得 0me2. 综上所述，当 m(，1(0，e2时，f(m)0，满足 2f(f(m)12f(m) 1.故选 AD. 42021 湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”联考已知函数 f(x) 1 2 x7，x0， log2x1
16、，x0， 若 f(a)1，则 实数 a 的取值范围是() A(，3)0,1)B(3,0)(0,1) C(3,1)D(，3)(1，) 答案C解析解法一：当 a0 时， 1 2 a73，3a0；当 a0 时，log2(a1)1， 即 0a12，0a1. 综上，可得3a1，故选 C. 解法二：画出函数 yf(x)的图象以及直线 y1，如图所示： 直线 y1 与 yf(x)的图象的交点坐标为 A(3,1)，B(1,1)，结合图象知，f(x)1 的解集为(3,1)， 即 a(3,1) 解/题/感/悟(小提示，大智慧) 有关分段不等式问题，关键是由定义写出函数表达式，此过程常对自变量的取值范围加以分段讨论
17、 角度.应用分段函数的性质，求解参数问题 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 5多选2021 山东顶级名校模拟已知函数 f(x) log22x，0 xk， x33x23，kxa， 若存在实数 k，使得函数 f(x)的值 域为1,1，则实数 a 可取的值为() A3 2 B2 C1 3D3 答案BC解析ylog2(2x)在0，k)上是单调递减函数，当 x0 时，y1；当 x3 2时，y1， 所以 0k3 2. 令 g(x)x33x23，则 g(x)3x26x， 令 g(x)0，解得 x0 或 x2， 当 x2 时，函数取得极小值1， 当 x33x231 时，解得 x11， x21 3
18、，x31 30(舍)， 所以 2a1 3，故选 BC. 62021 广东珠海质检已知函数 f(x) 12ax3a，x0，且 a1， 解得1a1 2，故选 C. 解/题/感/悟(小提示，大智慧) (1)已知分段函数解析式求参数，需对参数的范围属于哪段分类讨论，当出现 f(f(a)的形式时，由内向外依次求 值且进行讨论 (2)若已知函数的值域和定义域求参数，最好应用数形结合法 提醒 完成限时跟踪检测(三) 第二节函数的单调性与最值 复习要点1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义 2会运用基本初等函数的图象分析函数的单调性 知识点一函数的单调性 1单调函数的定义 增函数减函数 定义 一般地，
19、设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个 自变量的值 x1，x2 当 x1x2时， 都有_， 那么就说函 数 f(x)在区间 D 上是增函数 当 x1x2时， 都有_， 那么就说函 数 f(x)在区间 D 上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是_自左向右看图象是_ 2.单调性、单调区间的定义 若函数 yf(x)在区间 D 上是_或_，则称函数 yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 yf(x)的单调区间 答案：1.f(x1)f(x2)上升的下降的 2增函数减函数 知识点二函数的最值 前提设函数 f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M
20、 满足 条件 对于任意的 xI，都有_； 存在 x0I，使得_ 对于任意的 xI，都有_； 存在 x0I，使得_ 结论则 M 是 yf(x)的最大值则 M 是 yf(x)的最小值 答案：f(x)Mf(x0)Mf(x)Mf(x0)M 知识点三利用定义判断函数单调性的步骤 1取值；2.作差；3.化简判断；4.下结论 链/接/教/材 1必修 1P44A 组 T9已知函数 f(x)4x2kx8 在5,20上具有单调性，则实数 k 的取值范围是_ 答案：k|k40 或 k160解析：函数 f(x)的图象的对称轴是直线 xk 8. 当k 85 或 k 820，即 k40 或 k160 时，f(x)在5,2
21、0上具有单调性 所以，实数 k 的取值范围为k|k40 或 k160 2必修 1P39B 组 T1 改编函数 f(x)ln(x22x8) 的单调递增区间是() A(，2)B(，1) C(1，)D(4，) 答案：D解析：由 x22x80，得 x4 或 x0，得2x3，故函数的定义域为(2,3)， 令 tx2x6，则 ylog1 2t，易知其为减函数， 由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数 tx2x6 在(2,3)上的单调递减区间 利用二次函数的性质可得 tx2x6 在定义域(2,3)上的减区间为 1 2，3.故选 A. 2抽象函数单调性问题，不可忽视定义域 已知函数 f(x)是定义在区间0
22、，)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足 f(2x1)f 1 3 的 x 的取值范围 是() A 1 3， 2 3B 1 3， 2 3 C 1 2， 2 3D 1 2， 2 3 答案：D解析：不等式可转化为 2x10， 2x11 3， 解得1 2x 2 3.故选 D. 通/性/通/法 1常见函数的单调性：一次函数、二次函数、反比例函数 函数 f(x)x22x 的单调递增区间是_；函数 y1 x的单调递减区间是_ 答案：(，1(，0)，(0，)解析：根据二次函数、反比例函数的单调性可得 2复合函数的单调性：同增异减 函数 f(x)log1 2(x 21)的单调递增区间是_ 答案：(，1)解析：
23、函数 f(x)的定义域为(，1)(1，)，所求区间即为内层函数在定义域上 的单调递减区间，即(，1) 题型函数的单调性 角度.单调区间的判断 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1yx22|x|1 的单调递增区间为_，单调递减区间为_ 答案(，1)和(0,1)1,0和1，) 解析y x22x1，x0， x22x1，x0， 即 y x122，x0， x122，x0. 画出函数图象如图所示 则其单调递增区间为(，1)和(0,1)，单调递减区间为1,0和1，) 2函数 y x2x6的单调递增区间为_，单调递减区间为_ 答案2，)(，3 角度.含参函数单调性的讨论 试/题/调/研(题题精选
24、，每题都代表一个方向) 3已知函数 f(x)ae2x(a2)exx，讨论 f(x)的单调性 解f(x)的定义域为(，)， f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1) 若 a0，则 f(x)0， 所以 f(x)在(，)上单调递减 若 a0，则由 f(x)0， 得 xlna. 当 x(，ln a)时，f(x)0； 当 x(lna，)时，f(x)0. 所以 f(x)在(，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增 解/题/感/悟(小提示，大智慧) 用导数讨论函数的单调性，需观察参数出现的位置，导数因式分解后，常要讨论两根大小关系，含参零点与定 义域的关系等 角度.已知函数的单调性求参
25、数 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 4 多选2021 山东潍坊模拟已知函数 f(x) x24a3x3a，x0，且 a1)， 则满足函数 f(x)在 R 上单调递减的 a 的取值为() A1 3 B1 2 C3 4 D1 答案ABC解析由分段函数 f(x)在 R 上单调递减，可得 0a1 是 R 上的减函数， 则实数 a 的取值范围是() A(0,3)B(0,3 C(0,2)D(0,2 答案D解析本题考查分段函数的单调性及其应用因为函数 f(x)为 R 上的减函数， 所以 a30， a3152a 1 ， 解得 00， 2a 2，且 42a3a0， a4,4故选 D. 方/法/指/
26、导(来自课堂的最有用的方法) 复合函数单调性的判断方法 (1)将复合函数 yf(g(x)分解为两个函数 yf(u)与 ug(x) (2)确定复合函数的定义域 (3)判断函数 yf(u)与 ug(x)的单调性 (4)确定结论 (5)若两函数在对应的区间上的单调性相同，则函数 yf(g(x)在该区间上为增函数；若两函数在对应的区间上 的单调性相反，则函数 yf(g(x)在该区间上为减函数 复合函数的单调性可概括为“同增异减” 题型单调性的应用 角度.比较函数值的大小 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 12019 全国卷设 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且在(0，)单调递减，则()
27、 答案C解析因为 f(x)是定义域为 R 的偶函数，所以 f log31 4 f(log34)f(log34) 22021 湖南长沙明德中学月考已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f(x)x33x，则 af(2 3 2)， bf log3 1 27 ，cf( 2)的大小关系为() AabcBacb CbacDbca 答案C解析根据函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，得 bf log3 1 27 f(3)f(3)，又由 0 223 2 2 2f(2 3 2)f( 2)，即 bac，故选 C. 解/题/感/悟(小提示，大智慧) 利用函数的单调性比较函数值大小的求解思路 比
28、较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质转化到同一个单调区间内，只 需比较自变量的大小，再根据单调性比较函数值大小 角度.解函数不等式 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 3已知函数 f(x)ln x2x，若 f(x24)2，则实数 x 的取值范围是_ 答案( 5，2)(2， 5)解析因为函数 f(x)ln x2x在定义域(0，)上单调递增，且 f(1)ln 1 22，所以由 f(x24)2 得，f(x24)f(1)，所以 0 x241，解得 5x2 或 2x0，x1x2，且 f(a2a)f(2a2)，则实数 a 的取值范围 为_ 答案0,1) 解/题/
29、感/悟(小提示，大智慧) 利用函数的单调性解函数不等式 解函数不等式的关键是利用函数的单调性脱去函数符号“f”，变函数不等式为一般不等式去掉“f”时，要注意 函数的定义域的限制 题型求函数的最值(值域) 角度.常见函数的值域 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1求下列函数的值域： (1)y5x1 4x2，x3，1； (2)y2x 12x； (3)yx4 9x2； (4)y2x 24x7 x22x3 ； (5)ylog3xlogx31. 解(1)由 y5x1 4x2可得 y 5 4 7 42x1. 3x1， 7 20 7 42x1 7 4， 8 5y3，即 y 8 5，3. (2)
30、(代数换元法)令 t 12x(t0)， 则 x1t 2 2 . yt2t1 t1 2 25 4(t0) 当 t1 2，即 x 3 8时，y 取最大值，y max5 4，但 y 无最小值， 函数的值域为 ，5 4 . (3)(三角换元法)令 x3cos ，0， 则 y3cos 43sin 3 2sin 4 4. 0， 4 4 5 4 ， 2 2 sin 4 1. 1y3 24， 函数的值域为1,3 24 (4)(判别式法)观察函数式，将已知的函数式变形为 yx22yx3y2x24x7， 整理得(y2)x22(y2)x3y70.显然 y2(运用判别式法之前，应先讨论 x2的系数) 将上式看作关于
31、x 的一元二次方程 易知原函数的定义域为 R，则上述关于 x 的一元二次方程有实根，所以2(y2)24(y2)(3y7)0. 解不等式得9 2y2.又 y2， 原函数的值域为 9 2，2. (5)ylog3xlogx31 变形得 ylog3x 1 log3x1. 当 log3x0，即 x1 时， ylog3x 1 log3x1211， 当且仅当 log3x1，即 x3 时等号成立 当 log3x0，即 0 x0，且 a1)在1,1上的最大值是 14，那么 a 的 值为_ 答案3 或1 3 解析本题考查指数型复合函数的最值及二次函数的性质设 tax0，则 yt22t1，图 象的对称轴方程为 t1
32、.若 a1，x1,1，则 tax 1 a，a，当 ta 时，y 取得最大值，ymaxa22a1 14，解得 a3 或 a5(舍去)若 0a0 时，f(x)1. (1)求 f(0)的值，并证明 f(x)在 R 上是单调增函数； (2)若 f(1)1，解关于 x 的不等式 f(x22x)f(1x)4. 解(1)令 xy0，得 f(0)1. 在 R 上任取 x1x2， 则 x1x20，f(x1x2)1. 又 f(x1)f(x1x2)x2f(x1x2)f(x2)1f(x2)， 所以，函数 f(x)在 R 上是单调增函数 (2)由 f(1)1，得 f(2)3，f(3)5. 由 f(x22x)f(1x)4
33、， 得 f(x2x1)f(3)， 又函数 f(x)在 R 上是增函数， 故 x2x13， 解得 x1， 故原不等式的解集为x|x1 2函数 f(x)的定义域为(0，)，且对一切 x0，y0 都有 f x y f(x)f(y)，当 x1 时，有 f(x)0. (1)求 f(1)的值； (2)判断 f(x)的单调性并证明； (3)若 f(6)1，解不等式 f(x5)f 1 x 2. 解(1)f(1)f x x f(x)f(x)0. (2)f(x)在(0，)上是增函数 证明如下： 任取 x1，x2(0，)且 x11，则 f x2 x1f(x2)f(x1)0 即 f(x1)f(x2)， 从而 f(x)
34、在(0，)单增 (3)因为 f(6)f 36 6 f(36)f(6)，又 f(6)1， 所以 f(36)2，原不等式化为 f(x25x)0， 1 x0， x25x36， 解得 0 x1 时，f(x)1 时，f(x)0f(x)单调递增 (2)f(ab)f(a)f(b) 若 x0 时，f(x)1f(x)单调递增 若 x0 时，0f(x)0 时， f(x)x24x3， 则函数 f(x)的解析式为_ 答案：f(x) x24x3，x0， 0，x0， x24x3，x0， 又x0 时，f(x)ex1， f(ln 2)eln 21211， f ln 1 2 1.故选 B. 52021 贵州贵阳一中月考设函数
35、f(x)3x 1x22 x1 2x1的最大值为 M，最小值为 N，则 MN 的值是 () A3B2 C6D4 答案C解析本题考查奇函数的性质 令 g(x)x 1x22 x1 2x1， 由 1x20， 得1x1.g(x)x 1x22 x1 2 x1x 1x 212 x 12xx 1x 22 x1 12xg(x)， 则函数 g(x)是定义域为1,1的奇函数， 所以 g(x)maxg(x)min0， 所以 MNg(x)max3g(x)min36.故选 C. 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 利用函数奇偶性求值的方法 (1)求 f(a)f(a)的值通常可将函数 f(x)拆分成 f(x)g(x)
36、k其中 g(x)为奇函数，k 为常数的形式，所以 f(a) f(a)g(a)g(a)2k2k. (2)奇函数在关于原点对称的区间上的最大值与最小值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数；偶函数 在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，且取最值时的自变量互为相反数 角度.利用奇偶性求分段函数的解析式 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 6已知 f(x)是 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x3ln(1x)，则当 x0 时，f(x)() Ax3ln(1x)Bx3ln(1x) Cx3ln(1x)Dx3ln(1x) 答案C解析当 x0， 则 f(x)f(x) (x)3ln(1x)
37、 x3ln(1x) 解/题/感/悟(小提示，大智慧) 严格定义，转化自变量，将之化到已知区间内，从而求得在未知区间上的解析式 角度.由奇偶性求参数 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 72021 广东广州调研已知函数 f(x) 2x 2x1a 为奇函数，则实数 a_. 答案1 2 82021 广东佛山模拟已知 f(x)2x a 2x为奇函数，g(x)bxlog 2(4x1)为偶函数，则 f(ab)() A17 4 B5 2 C15 4 D3 2 答案D解析解法一：由 f(x)2x a 2x为奇函数，得 f(x)f(x)0， 即 2x a 2x 2 xa 2 x 0， 可得 a1；
38、由 g(x)bxlog2(4x1)为偶函数， 得 g(x)g(x)， 即 bxlog2(4x1)b(x)log2(4 x1)， 可得 b1，则 ab1， f(ab)f(1)2 11 2 13 2，故选 D. 解法二：由 f(x)是定义域为 R 的奇函数，得 f(0)0， a1，经检验符合题意， 又由 g(x)为偶函数可知 g(1)g(1)，可得 b1， 经检验符合题意 ab1，f(ab)f(1)2 11 2 13 2，故选 D. 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 由奇偶性求参数的方法 1特殊值法 偶函数可取特值1，由 f(1)f(1)求参数，奇函数可取特值1 或 0，由 f(1)f(1
39、)或 f(0)0 求参数，这样 求参数较快捷 2定义法 偶函数f(x)f(x)0 恒成立；奇函数f(x)f(x)0 恒成立 题型函数的奇偶性与单调性的综合应用 角度.利用奇偶性、单调性比较大小 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 12021 辽宁大连一中模拟已知函数 f(x)log2(x2e|x|)，设 af 1 2 0.3 ，bf 5 4 0.2 ，cf log1 2 5 4 ，则 a，b，c 的大小关系为() AbcaBcab CcbaDba0 时， f(x)log2(x2e|x|)log2(x2ex)在区间(0， )上单调递增 因 为 cf log1 2 5 4 f log2
40、5 4 f log25 4 ，且 0log25 41，1 2 1 2 0.31，所以 log25 4 1 2 0.3 5 4 0.2.故 cab. 2多选已知函数 f(x)e xex 2 ，g(x)e xex 2 ，则 f(x)，g(x)满足() Af(x)f(x)，g(x)g(x) Bf(2)f(3)，g(2)g(3) Cf(2x)2f(x)g(x) Df(x)2g(x)21 答案ABC解析f(x)e xex 2 e xex 2 f(x)，g(x)e xex 2 g(x)，故选项 A 正确； f(x)为增函数，则 f(2)f(3)，g(2)e 2e2 2 ，g(3)e 3e3 2 ，易得 g
41、(2)0， fx10， 即 x0， 2x10 或 x0， 0 x12， 解得1x0 或 1x3.故选 D. 4已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增若实数 a 满足 f(2|a 1|)f( 2)，则 a 的 取值范围是_ 答案 1 2， 3 2解析因为 f(2|a 1|)f( 2)f( 2)， 又由已知可得 f(x)在(0， )上单调递减， 所以 2|a1| 2 2 1 2，所以|a1|1 2，所以 1 2a0，则 a 的取值范围为( ) A 1，1 2B 1 2，0 C 1 2，1D 1 2， 答案B解析对于函数 f(x)ln 1x 1xx， 由1x 1x0，解得
42、1x0f(a)f(a1)f(a)f(a1)， 则有 aa1， 1a1， 1a11， 解得1 2a1，f(x)0. (1)求 f(1)及 f(1)的值； (2)判断函数 f(x)的奇偶性； (3)求解不等式 f(x)f x3 2 0. 解(1)由题意得，令 x1x21， 代入 f(x1x2)f(x1)f(x2)， 得 f(1)f(1)f(1)， 解得 f(1)0，令 x1x21， 代入 f(x1x2)f(x1)f(x2)， 得 f(1)f(1)f(1)， 解得 f(1)0. (2)取 x11，x2x，代入 f(x1x2)f(x1)f(x2)， 得 f(x)f(x)， 又函数的定义域为(，0)(0
43、，)， 函数 f(x)是偶函数 (3)任取 x1，x2(0，)，且 x11， 由题设有 f x2 x10， f(x2)f(x1)f x2 x1x 1 f(x1)f x2 x1f(x1)f(x1)f x2 x10， f(x2)0，且 a1) (2)f(xy)f(x)f(y)可看作是 f(x)kx 的抽象表达式 (3)f(xy)f(x)f(y)可看作是 f(x)ax的抽象表达式(a0，且 a1) (4)f(xy)f(xy)2f(x)f(y)可看作是 f(x)cos x 的抽象表达式 注意可以借助这些熟悉的函数探究抽象函数问题的解题方向以及抽象函数的性质 题型函数的周期性 角度.利用周期性求值 试/
44、题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1 多选2021 福建泉州毕业班适应性线上测试已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(1x)f(1x)， 若 f(1)1， 则() Af(x)是周期函数 B当 n 为偶数时，f(n)0 Cf(1)22f(2)32f(3)62f(6)16 Df(1)22f(2)32f(3)(4n2)2f(4n2)8n28n1 答案ABD解析因为 f(x)是奇函数， 所以 f(x)f(x) 又 f(1x)f(1x)， 所以 f(x2)f(x)f(x)， 所以 f(x4)f(x2)f(x)， 可得函数 f(x)的周期为 4，选项 A 正确； f(2)f(2)f(0)
45、0， 即 f(2)f(2)f(0)， 又因为函数 f(x)的周期为 4， 所以当 n 为偶数时，f(n)0，选项 B 正确； 因为 f(1)f(1)1，周期 T4， 所以 f(1)22f(2)32f(3)62f(6)1325217，所以选项 C 是错的； f(1)22f(2)32f(3)(4n2)2f(4n2) 132527292112(4n1)2 1(5232)(9272)(4n1)2(4n1)2 123579(4n1)(4n1) 122n34n1 2 12n(4n4)8n28n1， 所以选项 D 正确，故选 ABD. 2 2021 山西长治模拟定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x6)
46、f(x)， 当3x1 时， f(x)(x2)2， 当1x3 时，f(x)x，则 f(1)f(2)f(3)f(2 020)() A336B337 C338D339 答案C解析f(x6)f(x)， 当3x1 时，f(x)(x2)2， 当1x3 时，f(x)x， f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1， f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0， f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)1， f(x6)f(x)， f(x)的周期为 6， 又 2 02033664， f(1)f(2)f(3)f(2 020)336f(1)f(2)f(3)f(4)338.故选 C. 解/题/
47、感/悟(小提示，大智慧) 由周期性求值，关键在于把自变量转化到已知区间内，从而求值；对条件的转化是要点，对于周期为 T 的奇函 数，则有 f T 2 0. 角度.利用周期性求参数 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 32021 江苏南京四校联考设 f(x)是定义在 R 上且周期为 4 的函数，且在区间(2,2上，其函数解析式为 f(x) xa，2x0， |1x|，0 x2， 其中 aR.若 f(5)f(5)，则 f(2a)的值是_ 答案1解析f(x)是周期为 4 的函数且 f(5)f(5)， f(1)f(1)，1a0， a1. f(x) x1，2x0， |1x|，0 x2， f(2
48、a)f(2)1. 42021 河北石家庄模拟已知 f(x)是定义在 R 上，以 3 为周期的偶函数，若 f(1)1，f(5)2a3 a1 ，则实数 a 的 取值范围为_ 答案(1,4)解析f(x)是定义在 R 上，以 3 为周期的偶函数， f(5)f(56)f(1)f(1)， 由 f(1)1，f(5)2a3 a1 ， 得 f(5)2a3 a1 1， 即2a3 a1 1a4 a10， 解得1a0，则下列结论正确的是() Af(1)f(2)f(3)f(2 019)0 B直线 x5 是函数 yf(x)图象的一条对称轴 C函数 yf(x)在7,7上有 5 个零点 D函数 yf(x)在7，5上为减函数
49、答案ABD解析由题意得 yf(x)为奇函数，且 f(2x)f(x)f(2)， 令 x2，则 f(0)2f(2)0， f(2)0，f(2x)f(x)， yf(x)的图象关于 x1 对称， 又yf(x)的图象关于(0,0)对称， yf(x)为周期函数且 T4， 易知 f(1)f(0)f(1)f(2)0， x1，x20,1且 x1x2，都有fx1fx2 x1x2 0， yf(x)在0,1上为增函数 对于 A，f(1)f(2)f(3)f(2 019)5040f(1)f(2)f(3)0，正确 对于 B，x1 是函数 f(x)图象的一条对称轴，且 yf(x)的周期为 4，x5 也是对称轴，正确 对于 C，
50、由奇函数的图象关于(0,0)对称且 yf(x)的周期为 4 可知函数 yf(x)在7,7上有 7 个零点，不正确 对于 D，当 x1,3时，yf(x)单调递减， yf(x)在7，5上为减函数，正确 2多选2021 山东泰安模拟已知定义在 R 上的连续奇函数 f(x)满足 f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函 数，则下列命题中正确的是() A函数 f(x)的图象关于直线 x4k2(kZ)对称 B函数 f(x)的单调递增区间为8k6,8k2(kZ) C函数 f(x)在区间(2 018,2 018)上恰有 1 008 个极值点 D若关于 x 的方程 f(x)m0 在区间8,8上有根，则所有根的
