1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 南康区南康区 2019-20202019-2020 学年第二学期开学检测试卷（三）学年第二学期开学检测试卷（三） 高二数学（文）高二数学（文） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1.命题“任意的0 x ，0 1 x x ”的否定是（） A. 存在0 x ，0 1 x x B. 存在0 x ，0 1 x x C. 任意的0 x ，0 1 x
2、 x D. 任意的0 x ，0 1 x x 【答案】B 【解析】 【分析】 直接根据全称命题的否定为特称命题，即可得答案； 【详解】因为命题“任意的0 x ，0 1 x x ”， 所以否定是：存在0 x ，0 1 x x . 故选：B. 【点睛】本题考查全称命题的否定，考查对概念的理解，求解时注意将任意改成存在. 2.抛物线 2 2yx的焦点坐标是（） A. 1 ,0 2 B. 1 ,0 8 C. 1 0, 2 D. 1 0, 8 【答案】D 【解析】 【分析】 方程化成标准方程为 2 1 2 xy，得到p，利用焦点坐标公式，即得解. 【详解】方程化成标准方程为 2 1 2 xy，知 1 4
3、p ， 故抛物线的焦点坐标为 1 0, 8 . 故选：D 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标，考查了学生概念理解，数学运算的能力， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 属于基础题. 3.已知定义在区间3,3上的函数 2xfxm满足 26f，在3,3上任取一个实数 x，则使得 fx的值不大于 3 的概率为() A. 5 6 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 6 【答案】B 【解析】 【分析】 先由 26f解得2m ，进而由 3f x 解得0 x ，利用几何概型求解即可. 【详解】由 26f，得46m，2m ，故 22 x f x ， 由 3f x 得0
4、x ，因此所求概率为 31 332 .故选 B. 【点睛】本题主要考查了长度型几何概型的求解，属于基础题. 4.双曲线 2 2 1 2 y x 的焦点到渐近线的距离为（） A.1B. 2 C. 3 D.2 【答案】B 【解析】 【分析】 利用椭圆方程，求得焦点坐标，利用渐近线方程公式，得到渐近线，利用点到直线距离公式 即得解. 【详解】依题意得， 222 123cab ， 所以双曲线的右焦点坐标是3,0， 一条渐近线方程是2yx， 即20 xy， 因此焦点到渐近线的距离为 2 23 2 21 ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 故选：B 【点睛】本题考查了双曲线
5、的焦点坐标，渐近线方程，考查了学生概念理解，数学运算的能 力，属于基础题. 5.设xR，则“20 x”是“11x”的（） A. 充要条件B. 充分而不必要条件 C.必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 首先解两个不等式，再根据充分、必要条件的知识选出正确选项. 【详解】由20 x解得2x .由11x得111,02xx .所以“20 x”是 “11x”的必要而不充分条件 故选：C 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查绝对值不等式的解法，属于基础题. 6. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2,
6、 , 840 随机编号, 则抽取的 42 人中, 编号落入区间481, 720的人数为 （ ） A. 11B. 12C. 13D. 14 【答案】B 【解析】 试题分析：使用系统抽样方法，从 840 人中抽取 42 人，即从 20 人抽取 1 人 从编号 1480 的人中，恰好抽取 480/20=24 人， 接着从编号 481720 共 240 人中抽取 240/20=12 人 考点：系统抽样 7.过抛物线y 28x 的焦点，作倾斜角为 45的直线，则被抛物线截得的弦长为() A. 8B. 16C. 32D. 64 【答案】B 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -
7、4 - 【分析】 求出抛物线的焦点为 F（2，0） ，直线的斜率 k=tan45=1，从而得到直线的方程为 y=x2直 线方程与抛物线方程联解消去 y 得 x 212x+4=0，利用根与系数的关系可得 x 1+x2=12，再根据 抛物线的定义加以计算，即可得到直线被抛物线截得的弦长 【详解】抛物线方程为 y 2=8x，2p=8， 2 p =2，抛物线的焦点是 F（2，0） 直线的倾斜角为 45，直线斜率为 k=tan45=1 可得直线方程为：y=1（x2） ，即 y=x2 设直线交抛物线于点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联解 2 2 8 yx yx ，消去 y 得 x 212x+
8、4=0， x1+x2=12， 根据抛物线的定义，可得|AF|=x1+ 2 p =x1+2，|BF|=x2+ 2 p =x2+2， |AB|=x1+x2+4=12+4=16，即直线被抛物线截得的弦长为 16 故选 B 【点睛】本题给出经过抛物线的焦点的直线倾斜角为 45，求直线被抛物线截得的弦长着 重考查了抛物线的定义与标准方程、一元二次方程根与系数的关系、直线与圆锥曲线的位置 关系等知识，属于中档题 8.已知函数 2 f xx5x2lnx，则函数 f x的单调递减区间是() A. 1 0, 2 和1,B.0,1和2,C. 1 0, 2 和2,D. 1 ,2 2 【答案】D 【解析】 【分析】
9、求导，通过导函数小于零求得单调递减区间. 【详解】函数 2 52lnfxxxx ，其定义域0 x x 则 2 1252 25 2 x xx fx x x 令 0fx ，可得 1 1 2 x ， 2 2x 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 当 1 ,2 2 x 时， 0fx 函数 fx的单调递减区间为： 1 ,2 2 本题正确选项：D 【点睛】本题考查利用导数求解函数单调区间，属于基础题. 9.若点 P 是曲线 2 yx1nx上任一点，则点 P 到直线y x1的最小距离是() A. 2 B. 1C. 2 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 对曲线y进行求导
10、，求出点p的坐标，分析知道过点p直线与直线yx1 平行且与曲线相 切于点p，从而求出p点坐标，根据点到直线的距离进行求解； 【详解】解：点P是曲线yx 2lnx 上的任意一点，求点P到直线yx1 的最小距离， y2x 1 x （x0） ， 令y2x 1 x 1，解得x1 或x 1 2 （舍去） ， x1， 当x1，y1，点p（1，1） ， 此时点p到直线yx1 的最小距离dmin 1 1 12 22 故选C 【点睛】此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了 导数与斜率的关系，是基础题. 10.从区间 0,1随机抽取2n个数 1 x, 2 x， n x， 1 y，
11、2 y， n y，构成 n 个数对 11 ,x y， 22 ,x y，, nn x y，其中两数的平方和小于 1 的数对共有m个，则用随机模拟的方法得 到的圆周率的近似值为 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - A. 4n m B. 2n m C. 4m n D. 2m n 【答案】C 【解析】 此题为几何概型数对( ,) ii x y落在边长为 1 的正方形内，其中两数的平方和小于 1 的数落在 四分之一圆内，概型为 4 1 m P n ，所以 4m n 故选 C 11.已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，O
12、AF是 边长为 2 的等边三角形（O为原点） ，则双曲线的方程为（） A. 22 1 412 xy B. 22 1 124 xy C. 2 2 1 3 x yD. 2 2 1 3 y x 【答案】D 【解析】 【分析】 根据OAF为等边三角形可以得到3 b a 以及2c ，求出, a b后可得标准方程. 【详解】不妨设A在第一象限，c为双曲线的半焦距， 双曲线过第一象限和第三象限的渐近线方程为 b yx a . 因为OAF是边长为 2 的等边三角形，故 3 2 b a c ，所以 1 3 a b . 故双曲线的标准方程为： 2 2 1 3 y x . 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线标准方程
13、的求法以及双曲线的几何性质，求标准方程，一般有定义 法和待定系数法，前者可根据定义求出基本量的大小，后者可根据条件得到关于基本量的方 程组，解这个方程组可得基本量. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 12.已知 1 F、 2 F是椭圆的两个焦点，满足 12 0MF MF 的点M总在椭圆内部，则椭圆离心 率的取值范围是 A.(0,1)B. 1 (0, 2 C. 2 (0,) 2 D. 2 ,1) 2 【答案】C 【解析】 设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为, ,a b c因为 12 0MF MF 所以点 M 的轨迹为以原 点为圆心， 半径为c的圆 与因为点 M 在
14、椭圆的内部， 所以,ca cb， 所以 2222 cbac， 所以 2 222 2 1 2 2 c cae a ，所以 2 (0,) 2 e，故选 C 【点睛】求离心率的值或范围就是找, ,a b c的值或关系由 12 0MF MF 想到点 M 的轨迹为 以原点为圆心，半径为c的圆再由点 M 在椭圆的内部，可得,ca cb，因为ab所 以由cb得 2222 cbac，由 , a c关系求离心率的范围 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分，把正确答案填在题中横线上）分，把正确答案填在题中横线上） 13.右图的矩形，长为
15、 5 m，宽为 2 m，在矩形内随机地撒 300 颗黄豆，数得落在阴影部分的 黄豆数为 138 颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为； 【答案】4.6 【解析】 解：根据题意：黄豆落在阴影部分的概率是 138 300 ,矩形的面积为 10，设阴影部分的面积为 138 10300 s 14.若命题“存在实数1,2x,使得 2 30 x exm ”是假命题,则实数m的取值为 _ 【答案】,4e 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 【解析】 【分析】 根据命题与特称命题的否定真假不一致原则，可转化为求 m 的最值；根据导数判断单调性， 进而求得 m 的取值范围 【详解】因
16、为命题“存在实数 x01,2,使得 e x+x2+3-m0”是假命题 所以命题的否定形式为“对于任意实数 x01,2,使得 e x+x2+3-m0”恒成立是真命题 由 e x+x2+3-m0 可得 2 3 x mex 在1,2上恒成立 设 2 ( )3 x f xex ( )2 x fxex在1,2上大于 0 恒成立， 所以 2 ( )3 x f xex在1,2为单调递增函数 所以 min ( )(1)1 34f xfee 所以4me 即 m 的取值范围为,4e 【点睛】本题考查了特称命题的否定形式和恒成立问题，导数在研究最值问题中的应用，属 于中档题 15.函数 2 ln2f xxxx过原点
17、的切线方程为_ 【答案】32ylnx 【解析】 【分析】 假设切点坐标，利用斜率等于导数值，并利用原点和切点表示出斜率，从而构造出方程，求 出切点坐标，从而求得斜率，最终得到切线方程. 【详解】设切点,m f m，可得 2ln1fxxx 所以切线斜率 2 ln2 2ln1 mmm kmm m 整理得 2 20mm ，解得2m ，1m （舍） 切线的斜率为：3 ln2 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 所以函数 fx图象上的点2,6 2ln2P处的切线方程为3 ln2yx 本题正确结果：3 ln2yx 【点睛】本题考查导数的几何意义，解题关键是求解过非切点的切线时，
18、首先假设切点，利 用切线斜率构造出方程，从而求解出切线斜率，得到结果. 16.已知三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，且分别长为 2、4、4，则三棱锥PABC外 接球的表面积为_. 【答案】36 【解析】 【分析】 利用补形法，将三棱锥PABC的外接球看成长方体的外接球，从而得到球的半径，即可求 得球的表面积. 【详解】三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直， 可看作长方体的一角， 其外接球直径即为长方体的体对角线长，为 4 16 166 ， 外接球的半径为 3， 4936S 球 . 故答案为：36. 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求解，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时 注意补形法的应用.
19、 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 个大题，共个大题，共 7070 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.已知 222 :650, :2100p xxq xxmm (1)若2m ,且p q 为真,求实数x的取值范围; (2)若p是q充分不必要条件,求实数m的取值范围 【答案】 （1）1,3； （2）4, 【解析】 【分析】 (1)解不等求得 p，根据 m 的值求得 q；根据 p q 为真可知 p、q 同时为真，可求得 x 的取值 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 范围 (2)先求得 q根据
20、 p 是 q 的充分不必要条件，得到不等式组，解不等式组即可得到 m 的取值 范围 【详解】(1)由 x 2-6x+50,得 1x5,p:1x5. 当 m=2 时,q:-1x3. 若 pq 为真,p,q 同时为真命题, 则 15, -13, x x 即 1x3. 实数 x 的取值范围为1,3. (2)由 x 2-2x+1-m20,得 q:1-mx1+m. p 是 q 的充分不必要条件, 0, 1-1, 15, m m m 解得 m4. 实数 m 的取值范围为4,+). 【点睛】本题考查了复合命题的简单应用，充分必要条件的关系，属于基础题 18.某城市100户居民的月平均用电量（单位：度） ，以
21、160,180，180,200，200,220， 220,240，240,260，260,280，280,300分组的频率分布直方图如图 （1）求直方图中的值； （2）求月平均用电量的众数和中位数； （3）在月平均用电量为220,240，240,260，260,280，280,300的四组用户中， 用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在220,240的用户中应抽取多少户？ 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 【答案】 （1）0.0075； （2）230，224； （3）5 【解析】 【详解】 试题分析： （1） 由直方图的性质可得 （0.002+0.0095
22、+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025） 20=1，解方程可得； （2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在220， 240）内，设中位数为 a，解方程（0.002+0.0095+0.011）20+0.0125（a-220）=0.5 可得； （3）可得各段的用户分别为 25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数 试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.0020.00950.0110.0125x0.005 0.0025)201 得： x0.0075，所以直方图中 x 的值是 0.0075. - 3 分 (2)月平均用电量的众数是 220240 2 23
23、0. - 5 分 因为(0.0020.00950.011)200.450.5，所以月平均用电量的中位数在220,240)内， 设中位数为 a， 由(0.0020.00950.011)200.0125(a220)0.5 得：a224，所以月平均用电量的中位数是 224. - 8 分 (3)月平均用电量为220,240)的用户有 0.01252010025 户， 月平均用电量为240,260)的用户有 0.00752010015 户， 月平均用电量为260,280)的用户有 0. 0052010010 户， 月平均用电量为280,300的用户有 0.0025201005 户， -10 分 抽取比例
24、 11 25 15 105 1 5 ，所以月平均用电量在220,240)的用户中应抽取 25 1 5 5 户- 12 分 考点：频率分布直方图及分层抽样 19.如图，在四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD为正方形，侧棱 1 AA 底面ABCD， E为棱 1 AA的中点，3AB ， 1 4AA 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - （）求证： 1 BDAC； （）求三棱锥ABDE的体积 【答案】 （）详见解析； （）3. 【解析】 【分析】 （）由侧棱 1 AA 底面ABCD，得 1 AABD，再由底面ABCD为正方形，得ACBD， 利用线面垂直的判定
25、得BD 平面 11 ACC A， 从而得到 1 BDAC；（） 由已知可得 2AE ， 即三棱锥EABD的高为 2，然后利用等积法求三棱锥ABDE的体积 【详解】 （）证明：侧棱 1 AA 底面ABCD，BD 底面ABCD， 1 AABD， 底面ABCD为正方形，ACBD， 1 AAACA，BD 平面 11 ACC A， 1 AC 平面 11 ACC A， 1 BDAC； （）侧棱 1 AA 底面ABCD于A，E为棱 1 AA的中点，且 1 4AA ， 2AE ，即三棱锥EABD的高为 2， 由底面正方形的边长为 3，得 19 3 3 22 ABD S ， 1 3 3 A BDEE ABDAB
26、D VVSAE 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的应用，考查棱锥体积的求法，考查空间 想象能力和计算能力，属于基础题. 20.刘老师是一位经验丰富的高三理科班班主任，经长期研究，他发现高中理科班的学生的数 学成绩（总分 150 分）与理综成绩（物理、化学与生物的综合，总分 300 分）具有较强的线 性相关性，以下是刘老师随机选取的八名学生在高考中的数学得分x与理综得分y（如下表） ： 学生编号12345678 数学分数x52648796105123132141 理综分数y11213217719021823925727
27、5 参考数据及公式： 1122 2222 12 ,1.83,100,200 nn n x yx yx ynxy yabx bxy xxxnx （1）求出y关于x的线性回归方程； （2）若小汪高考数学 110 分，请你预测他理综得分约为多少分？（精确到整数位） ； （3）小金同学的文科一般，语文与英语一起能稳定在 215 分左右如果他的目标是在 高考总分冲击 600 分，请你帮他估算他的数学与理综大约分别至少需要拿到多少分？（精确 到整数位） 【答案】 （1） 17 1.83yx ； （2）218 分； （3）130 分与 255 分 【解析】 试题分析： （1）将, x y代入1 .83yax
28、 ,得到y关于x的线性回归方程； （2）根据y关于 x的线性回归方程预测理综得分；（3） 预测他的数学与理综分别至少需要拿到 130 分与 255 分. 试题解析： （1）将, x y代入1 .83yax ，解得17a ，171.83yx； （2）将110 x 代入，171.8 3218.3218yx ，预测他理综得分约为 218 分； （3） 368 215600130,255 2 .83 xyxy， 故他的数学与理综分别至少需要拿到 130 分与 255 分 点睛：求解回归方程问题的三个易误点： 易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关 高考资源网（）您身边
29、的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能 是伴随关系 回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过, x y点，可 能所有的样本数据点都不在直线上 利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望 值) 21.已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左右焦点分别为 1 F， 2 F，点 2,2A在椭圆上，且 12 4 2.PFPF 1求椭圆的方程； 2过0, 2作与 x 轴不垂直的直线l与椭圆交于 B，C 两点，求OBC面积的最大值及l的 方程 【答案】(1 2
30、2 )1( 84 xy ，2 2 )2 2 yx 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆定义得到a，将A代入椭圆方程可求得b，从而求得椭圆方程； （2）假设直线 :2l ykx， 代 入 椭 圆 方 程 ， 写 出 韦 达 定 理 的 形 式 ； 根 据 弦 长 公 式 表 示 出 2 2 8 1 12 k BCk k ， 利 用 点 到 直 线 距 离 公 式 表 示 出 点O到 直 线BC的 距 离 ： 2 2 1 d k ，从而可表示出所求面积S，利用基本不等式求出最值和取得最值时k的值，从 而求得结果. 【详解】 （1）由题意可得 22 24 2 42 1 a ab ，解得 2 2a ，2
31、b 故椭圆的方程为 22 1 84 xy 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - （2）由题意可知：直线l的斜率存在，设直线l的方程为2ykx 设 11 ,B x y， 22 ,C xy 联立 22 2 1 84 ykx xy ，化为： 22 1280kxkx 由韦达定理可知： 12 2 8 12 k xx k ， 12 0 x x 222 1212 2 8 1()41 12 k BCkxxx xk k 点O到直线BC的距离 2 2 1 d k OBC面积 2 22 2 84112 1 221212 1 kk SBC dk kk k 44 2 1 1 2 22 k k
32、 k k 当且仅当 1 2 k k ，即 2 2 k 时取等号 此时直线方程为 2 2 2 yx 故OBC面积的最大值为 2，直线l的方程为 2 2 2 yx 【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中与面积有关的最值和范围的求解问题.涉及到椭 圆中的多边形面积问题，通常将所求面积利用韦达定理来表示为关于变量的函数关系式，再 借用函数值域的求解方法或者基本不等式求解得到最值或范围，属于重点题型. 22.已知函数 1f xaxlnx ，aR ()讨论函数 fx的单调区间； ()若函数 fx在1x 处取得极值，对0,x ， 2f xbx恒成立，求实数 b 的取值范围 高考资源网（）您身边的高考专家
33、版权所有高考资源网 - 16 - 【答案】 (1) 当0a 时，( ) f x的单调递减区间是(0,)， 无单调递增区间； 当 0a 时，( ) f x 的单调递减区间是 1 0, a ，单调递增区间是 1 , a (2) 2 1 1b e 【解析】 【详解】分析： （1）求导 fx ，解不等式 0fx ，得到增区间，解不等式 0fx ， 得到减区间； （2）函数 f（x）在 x=1 处取得极值，可求得 a=1，于是有 f（x）bx21+ 1 x lnx x b， 构造函数 g（x）=1+ 1 x lnx x ，g（x）min即为所求的 b 的值 详解： （1）在区间0,上， 11ax fxa
34、 xx ， 当0a 时， 0fx 恒成立， fx在区间0,上单调递减； 当0a 时，令 0fx 得 1 x a ， 在区间 1 0, a 上， 0fx ，函数 fx单调递减， 在区间 1 , a 上， 0fx ，函数 fx单调递增. 综上所述：当0a 时， fx的单调递减区间是0,，无单调递增区间； 当0a 时， fx的单调递减区间是 1 0, a ，单调递增区间是 1 , a （2）因为函数 fx在1x 处取得极值， 所以 10 f ，解得1a ，经检验可知满足题意 由已知 2f xbx，即1 ln2xxbx ， 即 1ln 1+ x b xx 对0,x 恒成立， 令 1ln 1 x g x
35、 xx ， 则 222 11 lnln2xx gx xxx ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - 易得 g x在 2 0,e 上单调递减，在 2, e 上单调递增， 所以 2 2 min 1 1g xg e e ，即 2 1 1b e . 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题： （1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题； （2）若( )0f x 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 min ( )0f x，若( )0f x 恒成立，转化为 max ( )0f x; （3）若( )( )f xg x恒成立，可转化为 minmax ( )( )f xg x 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 -
