1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 数学试题数学试题 一、单项选择题一、单项选择题 1. 设集合 2 |()|,1 ,Ax yxyBxyyx，则AB （） A.0,1B.1,1C. 0,0 , 1,1D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据A，B之中的元素所代表的含义即可求解 【详解】解：集合 ( , )|1Ax yxy 表示曲线1xy 上的点组成的集合 集合 2 ( , )|Bx yyx表示曲线 2 yx上的点组成的集合 2 1xy yx 解得： 1 1 x y ，所以(1,1)AB 故选：B 【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属
2、于基础题 2. 命题“ 1 0,1xlnx x ”的否定是（） A. 1 01xlnx x ,B. 1 01xlnx x , C. 1 01xlnx x ,D. 1 01xlnx x , 【答案】D 【解析】 【分析】 利用全称命题的否定是特称命题，即可直接得解. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“0 x ， 1 1lnx x ”的否定为“0 x ， 1 1lnx x ”. 故选：D. 【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 3. 已知函数 2 log,0 ( ) (2),0 x x f x f xx ，则
3、 1 32 ff （） A. -5B. 0C. 1 2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 带入数据计算 1 5 32 f ，再计算 5311ffff，计算得到答案. 【详解】 2 log,0 ( ) (2),0 x x f x f xx ， 2 11 log5 3232 f ， 2 311log 150ffff. 故选：B. 【点睛】本题考查了分段函数求值，意在考查学生的计算能力和应用能力，属于基础题型. 4. 自 2019 年 12 月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状 病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低 范
4、围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有 3 个不同的住户属在鄂返乡 住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有 4 名医生，现要求这 4 名医生都要分配出去，且 每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（） A. 12 种B. 24 种C. 36 种 D. 72 种 【答案】C 【解析】 【分析】 先将 4 名医生分成 3 组，其中 1 组有 2 人，共有 2 4 C种选法，然后将这 3 组医生分配到 3 个不 同的住户中去，有 3 3 A种方法，由分步原理可知共有 23 43 C A种. 【详解】不同分配方法总数为 23 43 C A36种. 故选：C 【点睛】此
5、题考查的是排列组合知识，解此类题时一般先组合再排列，属于基础题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 5. 在ABC 中,能使 sin A 3 2 成立的充分不必要条件是() A. A 0, 3 B. A 2 , 33 C. A , 3 2 D. A 5 , 26 【答案】C 【解析】 【分析】 利用正弦函数的单调性和充分必要条件的概念进行判断. 【详解】在ABC 中，A（0，） ，sinA 3 2 ，A 2 , 33 ，而当 A 2 , 33 时，sinA 3 2 ,即 A 2 , 33 是 sin A 3 2 的充要条件. 使 sin A 3 2 成立的充分不必
6、要条件是选项 C. 【点睛】若 p q ，则 p 是 q 的充分条件，若q p ，则 p 是 q 的必要条件.,根据“谁小谁充 分，谁大谁必要”的原则可判断. 6. 把 16 个相同的小球放到三个编号为 1，2，3 的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子 的编号数，则共有多少种放法（） A. 18B. 28C. 36D. 42 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意， 先在 1 号盒子里放 1 个球， 在 2 号盒子里放 2 个球， 在 3 号盒子里放 3 个球， 则原问题可以转化为将剩下的 10 个小球，放入 3 个盒子，每个盒子至少放 1 个的问题，由 挡板法分析可得答案 【详解】根据
7、题意，16个相同的小球放到三个编号为1 2 3，的盒子中，且每个盒子内的小球数 要多于盒子的编号数， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球， 则原问题可以转化为将剩下的10个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题， 将剩下的10个球排成一排， 有9个空位， 在9个空位中任选2个， 插入挡板， 有 2 9 8 9 36 2 C 种不同的放法， 即有36个不同的符合题意的放法； 故选：C 【点睛】本题考查排列、组合的应用，关键是将原问题转化为将10个球放入3个盒子，每个 盒子至少放1个的问题，属于基
8、础题 7. 己知定义域为 R 的函数 fx是偶函数， 且对任意 1 x， 2 0,x ， 12 12 0 f xf x xx ， 设 3 2 af ， 37 bf log， 3 0.8cf，则() A.cbaB.cabC.bacD.acb 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数奇偶性和单调性之间的关系,再比较大小,即可得到结论. 【详解】解：由题意: 对任意 1 x, 2 0,x , 12 12 0 f xf x xx f x在0,上为减函数； 函数 fx是偶函数 f x关于 y 轴对称； 33 0.80.8cff 3 27 2 333 33 33 22 afflogflogf log 3
9、33 3 7270.8 2 loglog,bac 故选:C. 【点睛】本题考查利用函数的基本性质比较大小,利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 决本题的关键，综合考查函数性质的应用,属于基础题. 8. 若一位三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义 为“单重数”.例如：232，114 等，则不超过 200 的“单重数”中，从小到大排列第 22 个“单重数” 是（） A. 166B. 171C. 181 D. 188 【答案】B 【解析】 【分析】 根据所给条件进行分析，分别求出所有“单重数”，再找
10、到对应排序的“单重数”，即可得解. 【详解】由题意可得：不超过 200 的数， 两个数字一样同为 0 时，有 100，200 有 2 个， 两个数字一样同为 1 时，有 110，101，112，121，113，131，一直到 191，119，共 18 个， 两个数字一样同为 2 时，有 122，有 1 个 同理，两个数字一样同为 3，4，5，6，7，8，9 时各 1 个， 综上，不超过 200 的“单重数”共有2+18+8=28， 其中最大的是 200，较小的依次为 199，191，188，181，177，171， 故第 22 个“单重数”为 171， 故选：B. 【点睛】本题考查数字规律，考
11、查了对新概念的理解，同时考查了逻辑推理能力，属于基础 题. 二、多项选择题二、多项选择题 9. 下列结论正确的是（） A. 当0, 2 时， 1 sin sin 的最小值为 2B. 若 22 ab ，则 11 ab ； C. 若0ab，则lglgabD. 若0ab ，1ab，则 11 4 ab 【答案】ACD 【解析】 【分析】 对各选项逐一分析，对 A，由sin(0,1，结合基本不等式可判断正误；对 B，可令 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 2,1ab 判断正误；对 C，可由对数函数lgyx的单调性判断正误；对 D，可由 1111 ()()ab abab 化简
12、，再利用基本不等式判断正误. 【详解】对 A，由sin(0,1，则 1 sin sin 2，当且仅当sin1时，有最小值 2， 故 A 正确； 对 B，令2,1ab ，则 22 ab ，而 11 ab ，故 B 错误； 对 C，由0ab，lgyx在(0,)递增，则有lglgab，故 C 正确； 对 D，由0ab ， 1111 ()()ab abab 2 ba ab 224， 即 11 4 ab ，当且仅当 1 2 ab，等号成立，故 D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查了不等式的性质，基本不等式的应用，属于中档题. 10. 下列命题中不正确 的是（） A. 随机变量 2 3,2XN，若
13、23X，则 1D B. 已知随机变量服从正态分布 2 2,N，40.84P，则240.16P C. 若不等式 9 22xm x (0 x )恒成立，则m的取值范围是(,2) D. 以模型 kx yce去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设lnzy，将其变换后得到线 性方程0.34zx，则c，k的值分别是 4 e和 0.3. 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据正态分布、恒成立问题以及线性回归方程，逐个分析判断即可. 【详解】对 A， 2 3,2XN，若23X， 1 =1 4 DDX，故 A 正确； 对 B，由已知随机变量服从正态分布 2 2,N， 40.84P，则242(1(4)0.32PP
14、，故 B 错误； 对 C，由 9 22xm x (0 x )恒成立，可得： 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 9 2 9622xm x ，可得2m，故 C 错误； 对 D，由题意还原可得： 0.3440.3xx yeee ，故c，k的值分别是 4 e和 0.3 正确. 故选：BC. 【点睛】本题考查了命题的判断正误，考查了正态分布、恒成立以及线性回归方程等相关问 题，基本都是概念的考查，属于基础题. 11. 已知 2 1 () (0) n axa x 的展开式中第 5 项与第 7 项的二项数系数相等， 且展开式的各项系 数之和为 1024，则下列说法正确的是（）
15、A. 展开式中奇数项的二项式系数和为 256B. 展开式中第 6 项的系数最大 C. 展开式中存在常数项D. 展开式中含 10 x 项的系数为 210 【答案】BCD 【解析】 【分析】 由题意得， 46 nn CC，再由组合数的性质，求出10n ，再令1x 结合展开式的各项系数之 和为 1024 求出a，利用二项式的展开式的性质即可判断四个选项 【详解】解：因为 2 1 () (0) n axa x 的展开式中第 5 项与第七项的二项式系数相等； 46 10 nn CCn； 展开式的各项系数之和为 1024， 10 (1)1024a； 0a ； 1a= 原二项式为： 210 1 ()x x
16、；其展开式的通项公式为： 5 20 2 10 2 11010 1 ()() r rrrr r TCxC x x ； 展开式中奇数项的二项式系数和为： 1 1024512 2 ；故A错； 因为本题中二项式系数和项的系数一样， 且展开式有 11 项， 故展开式中第 6 项的系数最大，B 对； 令 5 2008 2 rr，即展开式中存在常数项，C对； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 令 5 20152 2 rr， 2 10 45C，D对； 故选：BCD 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给 二项式的x赋值，求展开式的系数和，
17、可以简便的求出答案，属于中档题 12. 高斯是德国著名的数学家， 近代数学奠基者之一， 享有“数学王子”的称号， 他和阿基米德、 牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用 x表示不超过x 的最大整数，则 yx称为高斯函数，例如：3.54 ，2.12.已知函数 1 ( ) 12 x x e f x e ，则关于函数 g xf x 的叙述中正确的是（ ） A. g x是偶函数 B. fx是奇函数 C. g x的值域是1,0 D. g x在R上是增函数 【答案】BC 【解析】 【分析】 利用 11gg， 11gg 可判断A错误， 而()( )fxf x ， 故B正确， 求出
18、 fx 的值域后利用高斯函数可求 g x，从而可判断 C 正确，D 错误. 【详解】根据题意知， e111 ( ) 1 e221 e x xx f x . e1 (1) (1)0 1e2 gf ， 11 ( 1) ( 1)1 12 gf e ， 11gg， 11gg ，函数 g x既不是奇函数也不是偶函数，A 错误； 111 ()( ) 1212 x xx e fxf x ee ， fx是奇函数，B 正确； 0 x e ，11 x e， 11 22 fx， g xf x 的值域 1,0，C 正确， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 由复合函数的单调性知 11 (
19、) 21 x f x e 在R上是增函数，则 g xf x 在R上是增函 数错误，D 错误. 故选：BC. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、值域，前者注意利用定义来判断，后者可根据函数的形式 决定合适的求值域的方法，本题属于中档题. 三、填空题三、填空题 13. 函数 2 ( )log1f xx的定义域为_ 【答案】2，+） 【解析】 分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 详解： 要使函数 fx有意义， 则 2 log10 x ， 解得2x ， 即函数 fx的定义域为2,). 点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题. 14. 某班上午有五节课，分
20、別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课.要求语文与化学 相邻，数学与物理不相邻，则不同排课法的种数是_ 【答案】24 【解析】 【分析】 根据题意，分 3 步进行分析：用捆绑法分析语文与化学，即将语文与化学看成一个整体， 考虑其顺序，将这个整体与英语全排列，分析排好后的空位数目，在 3 个空位中安排数 学、物理，分析每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案 【详解】根据题意，分 3 步进行分析： 要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有 2 2 2A 种情况， 将这个整体与英语全排列，有 2 2 2A 种顺序，排好后，有3个空位， 数学与物理不相邻，有3个空位可选，
21、有 2 3 6A 种情况， 则不同排课法的种数是2 2 624 种； 故答案为：24. 【点睛】本题考查元素位置有限制的排列问题，注意特殊问题如相邻问题与不能相邻问题的处 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 理方法，属于常考题型. 15. 已知 ,1 35,1 a x f xx axax 在 , 上是减函数，则a的取值范围是 _. 【答案】0,2 【解析】 【分析】 根据函数单调性的定义和性质即可得到结论 【详解】解：因为 ,1 35,1 a x f xx axax 在 , 上是减函数， 所以 0 30 35 a a aaa 解得02a，即0,2a 故答案为：0,
22、2 【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质是解决本题的关键， 属于基础题 16. 数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.函 数 1, ( ) 0, x D x x 为有理数 为无理数 ，称为狄里克雷函数.则关于 D x有以下结论: D x的值域为01 ，; ,xR DxD x ; ,TR D xTD x ; (1)( 2)( 3)( 2020)45;DDDD 其中正确的结论是_(写出所有正确的结论的序号) 【答案】 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 【分析】 根据新定义，结合实数的性质即可判
23、断，由定义求得比 2020小的有理数个数，即可 确定. 【详解】对于，由定义可知，当x为有理数时 1D x ；当x为无理数时 0D x ，则值 域为0,1，所以错误； 对于，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以满足 ,xR DxD x ，所以正确； 对于，因为TR，当x为无理数时，xT可以是有理数，也可以是无理数，所以 ,TR D xTD x 错误； 对于，由定义可知(1)( 2)( 3)( 2020)DDDD 2 (1)( 4)( 9)( 16)( 25)( 44 )( 2)( 3)( 2020)DDDDDDDDD 44，所以错误； 综上可知，正确的为. 故答案为：.
24、 【点睛】本题考查了新定义函数的综合应用，正确理解题意是解决此类问题的关键，属于中 档题. 四、解答题四、解答题 17. 设命题 P：实数 x 满足 22 430 xmxm ；命题 q：实数 x 满足31x. （1）若1m ，且 p，q 都为真，求实数 x 的取值范围； （2）若0m ，且 q 是 p 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围. 【答案】 （1）2,3)； （2） 4 ,2 3 . 【解析】 【分析】 （1）根据一元二次不等式和绝对值不等式的解法，分别求得命题 , p q，再结合命题, p q都为 真时，即可求解实数的取值范围； （2）根据一元二次不等式和绝对值不等式的解法，分
25、别求得命题 , p q，由q是p的充分不必 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 要条件，转化为集合的包含关系，即可求解. 【详解】 （1）由不等式 22 430 xmxm ，可得30 xmxm， 当1m 时，解得13x，即 p 为真时，13x， 由31x，可得131x ，解得24x，即 q 为真时，24x， 若 , p q都为真时，实数 x 的取值范围是2,3). （2）由不等式 22 430 xmxm ，可得30 xmxm， 因为0m ，所以3mxm，即 p 为真时，不等式的解集为( ,3 )mm， 又由不等式31x，可得24x，即 q 为真时，不等式的解集为2
26、,4， 设( ,3 ),2,4Amm B， 因为q是p的充分不必要条件，可得集合B是A的真子集，则 2 34 m m ，解得 4 2 3 m， 所以实数 m 的取值范围是 4 (,2) 3 . 【点睛】本题主要考查了根据复数命题的真假，以及必要不充分条件求解参数的取值范围， 以及一元二次不等式和绝对值不等式的求解， 其中解答中熟记不等式的解法， 求得命题 , p q是 解答的关键，着重考查推理与运算能力. 18. 2020 年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生 在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取 120 名学生对线上教育进行调查，其中男生与女 生的人数
27、之比为 1113，其中男生 30 人对于线上教育满意，女生中有 25 人表示对线上教育 不满意. （1）完成22列联表，并回答能否有 90%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”； （2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取 7 名学生，再在 7 名学生中抽 取 3 名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取女生的个数为，求的分布列及期望值.参 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 考公式：附： 2 2 () ()()() n adbc K ab adcd 【答案】 （1）填表见解析；没有； （2）分布列见解析；期望为 12 7 . 【解析】 【分析】
28、 （1）完善列联表，计算0.5992.706k ，得到答案. （2）根据比例关系得到男生抽3人，女生抽 4 人，的可能取值为0,1,2,3，服从超几何分 布，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】 （1）男生人数为： 11 12055 11 13 ，所以女生人数为1205565， 于是可完成22列联表，如下： 满意不满意总计 男生302555 女生402565 合计7050120 根据列联表中的数据，得到 2 K 的观测值： 2 120 (30 2525 40)600 0.5992.706 55 65 50 701001 k ， 所以没有 90%的把握认为“线上教育是否满意与性
29、别有关”. （2）根据分层抽样比例关系可知男生抽 30 73 70 人，女生抽 4 人， 依题可知的可能取值为0,1,2,3，并且服从超几何分布， 3 43 3 7 ()(0,1,2,3) kk C C Pkk C ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 即 03 43 3 7 1 (0) 35 C C P C ， 12 43 3 7 12 (1) 35 C C P C 21 43 3 7 18 (2) 35 C C P C ， 30 43 3 7 4 (3) 35 C C P C 可得分布列为 0123 P 1 35 12 35 18 35 4 35 可得 11
30、218412 ( )0123 353535357 E . 【点睛】本题考查了独立性检验，列联表，分布列和数学期望，意在考查学生的计算能力， 理解能力和综合应用能力，是常考题型. 19. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于 人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有 100 户农民，且都从事水果种植，据了 解，平均每户的年收入为 3 万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从 事水果加工，据估计，若能动员(0)x x 户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植 的农民平均每户的年收入有望提高2 %x，而从事水果加工的农民平均每户
31、收入将为 9 3(0) 50 x aa 万元. （1）若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从 事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围； （2）在（1）的条件下，要使这 100 户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事 水果种植的农民的总收入，求a的最大值. 【答案】 （1）050 x； （2）9. 【解析】 【分析】 （1）由题意可得：(100) 3 (12 %) 3 100 xx ，化简解得x范围 （2） 9 3()(100) 3 (12 %) 50 x axxx ，化为： 4100 1 25 ax x 在0,50 x上恒 成立利用基本不等式
32、的性质即可得出 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 【详解】解： （1）由题意(100) 3 (12 %)3 100 xx 2 1 0 50 xx得050 x， 由0 x 可得050 x. 答：x的取值范围为050 x. （2）由题意得 9 3()(100) 3 (12 %) 50 x axxx ， 所以 4100 1 25 ax x 在0,50 x上恒成立， 又 41004 1210019 2525 x x ， （当且仅当25x 时取“=”） ， 所以9a . 答：a的最大值为 9. 【点睛】本题考查了函数模型、分离参数法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计
33、算 能力，属于中档题 20. 某公司年会举行抽奖活动，每位员工均有一次抽奖机会.活动规则如下：一只盒子里装有 大小相同的 6 个小球，其中 3 个白球，2 个红球，1 个黑球，抽奖时从中一次摸出 3 个小球， 若所得的小球同色，则获得一等奖，奖金为 300 元；若所得的小球颜色互不相同，则获得二 等奖，奖金为 200 元；若所得的小球恰有 2 个同色，则获得三等奖，奖金为 100 元. （1）求小张在这次活动中获得的奖金数X的概率分布及数学期望； （2）若每个人获奖与否互不影响，求该公司某部门 3 个人中至少有 2 个人获二等奖的概率. 【答案】 （1）见解析（2） 27 125 【解析】 分
34、析： （1）X的所有可能取值为 100，200，300，分别求出对应的概率即可； （2）设 3 个人中获二等奖的人数为Y，则 3 3, 10 YB ，分别求出23P YP Y，即 可. 详解： （1）小张在这次活动中获得的奖金数X的所有可能取值为 100，200，300. 3 3 3 6 1 300 20 C P X C ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 111 321 3 6 63 200 2010 C C C P X C ， 2121 3324 3 6 9413 100 2010 C CC C P X C ， （或1001200300P XP XP X
35、13 20 ） 所以奖金数X的概率分布为 X100200300 P 13 20 3 10 1 20 奖金数X的数学期望 1331 100200300 201020 E X 140（元）. （2）设 3 个人中获二等奖的人数为Y，则 3 3, 10 YB ， 所以 3 3 37 1010 kk k P YKC 0,1,2,3k ， 设该公司某部门 3 个人中至少有 2 个人获二等奖为事件A， 则 23P AP YP Y 23 23 33 37327 101010125 CC . 答：该公司某部门 3 个人中至少有 2 个人获二等奖的概率为 27 125 . 点睛：利用独立重复试验概率公式可以简化
36、求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否 满足公式 P(Xk)Cpk(1p)n k的三个条件：在一次试验中某事件 A 发生的概率是一个常 数 p；n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独 立的；该公式表示 n 次试验中事件 A 恰好发生了 k 次的概率 21. .函数 1 2 ( ) 2 x x m f x n 是 R 上的奇函数，m、n 是常数. （1）求 m，n 的值； （2）判断 ( )f x的单调性并证明； （3）不等式33920 xxx f kf对任意Rx恒成立，求实数 k 的取值范围. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1
37、7 - 【答案】 （1） 2 1 m n ； （2） ( )f x在R上递增；证明见解析； （3） 2 21k . 【解析】 【分析】 （1）由 1 2 ( ) 2 x x m f x n 是R上的奇函数，可得 (0)0 ( 1)(1) f ff ，即可求解； （2） ( )f x在R上递增，用定义法可证； （3）由题意得：3392932 xxxxx f kff 对任意xR恒成立又( )f x是 R 上的增函数，所以3932 xxx k 即 2 3(1) 320 xx k对任意xR恒成立，令 3 (0) x tt，即 2 (1)20tkt，对0t 恒成立，构造函数 2 ( )(1)2g ttk
38、t，求 2 ( )(1)2g ttkt的最小即可得解. 【详解】 （1） 1 2 ( ) 2 x x m f x n 是R上的奇函数， (0)0 ( 1)(1) f ff 2 1 m n 1 224 ( )2 2121 x xx f x . （2） ( )f x在R上递增 证明：设 12 ,x xR，且 12 xx，则 12 1212 12 4422 ( )()224 2121(21)(21) xx xxxx f xf x 12 xx 12 220 xx 又 1 210 x ， 2 210 x ， 12 0f xf x， 即 12 fxfx， ( )f x是R上的增函数. （3）由题意得：33
39、92932 xxxxx f kff 对任意xR恒成立又( )f x是 R 上的增函数， 3932 xxx k 即 2 3(1) 320 xx k对任意xR恒成立， 令3 (0) x tt，即 2 (1)20tkt，对0t 恒成立，令 2 ( )(1)2g ttkt，对称轴 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - 为 1 2 k t ，当 1 0 2 k 即1k 时，( )g t在(0,)为增函数， ( )(0)20g tg成立，1k 符合， 当 1 0 2 k 即1k 时，( )g t在 1 0, 2 k 为减， 1, 2 k 为增， 22 min 1(1)(1) (
40、 )20 242 kkk gtg 解得 2 212 21k ， 12 21k . 综上 2 21k . 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，考查了利用单调性解不等式，同时考查了恒成 立问题和转化思想以及分类讨论思想，有一定的计算量，属于中档题. 22. 随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民的生活水平逐步提高，为了进一步改善民 生，2019 年 1 月 1 日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括： （1）个税 起征点为 5000 元； （2）每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点专项附加扣除； （3） 专项附加扣除包括赡养老人费用子女教育费用继续教育费用大病医疗费用等.
41、 其中前两项的扣除标准为：赡养老人费用：每月扣除 2000 元子女教育费用：每个子女每 月扣除 1000 元.新个税政策的税率表部分内容如下： 级数一级二级三级四级 每月应纳税所 得额（含税） 不超过 3000 元的部分 超过 3000 元 至 12000 元的 部分 超过 12000 元 至 25000 元的 部分 超过 25000 元 至 35000 元的 部分 税率(%)3102025 （1）现有李某月收入 29900 元，膝下有一名子女，需要赡养老人，除此之外，无其它专项附 加扣除.请问李某月应缴纳的个税金额为多少？ （2）为研究月薪为 20000 元的群体的纳税情况，现收集了某城市
42、500 名的公司白领的相关资 料，通过整理资料可知，有一个孩子的有 400 人，没有孩子的有 100 人，有一个孩子的人中 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 19 - 有 300 人需要赡养老人，没有孩子的人中有 75 人需要赡养老人，并且他们均不符合其它专项 附加扣除（受统计的 500 人中，任何两人均不在一个家庭）.若他们的月收入均为 20000 元， 依据样本估计总体的思想，试估计在新个税政策下这类人群缴纳个税金额X的分布列与期望. 【答案】 （1）2970 元； （2）分布列见解析；期望为1011元. 【解析】 【分析】 （1）根据题中条件，逐级计算，即可求出结果
43、； （2）根据题中条件，先分别求出这类人群对应的缴纳个税金额，得出X的可能取值为990， 1190，1390，1590，求出对应的概率，即可得出分布列，从而可得出期望. 【详解】 （1）李某月应纳税所得额（含税）为：299005000 1000200021900元， 不超过 3000 的部分税额为3000 3%90元； 超过 3000 元至 12000 元的部分税额为9000 10%900元， 超过 12000 元至 25000 元的部分税额为9900 20%1980元， 所以李某月应缴纳的个税金额为90900 19802970元； （2）有一个孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：2000
44、050001000200012000 元， 月应缴纳的个税金额为：90900990 元； 有一个孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：200005000100014000 元， 月应缴纳的个税金额为：909004001390 元； 没有孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：200005000200013000 元， 月应缴纳的个税金额为：909002001190 元； 没有孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000500015000 元， 月应缴纳的个税金额为：909006001590 元； 即X的可能取值为990，1190，1390，1590， 因此 3 990 5 P X ， 3 1190 20 P X ， 1 1390 5 P X ， 1 1590 20 P X ， 所以随机变量X的分布列为： X990119013901590 P 3 5 3 20 1 5 1 20 因此期望为 331 119013 1 9905901011 20 901 5205 E X . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 20 - 【点睛】本题主要考查求离散型随机变量的分布列和期望，属于常考题型.
