1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 20202021 学年度第一学期月考学年度第一学期月考 高二年级数学试题高二年级数学试题 一一 选择题选择题 1. 数列 3，3，15，21，则33是这个数列的第（ ） A. 8 项B. 7 项C. 6 项 D. 5 项 【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知中数列的前若干项，我们可以归纳总结出数列的通项公式，进而构造关于n的方程， 解方程得到答案 【详解】解：数列 3，3，15，21， 可化为：数列 3，9，15，21， 则数列的通项公式为：63 n an， 当6333 n an时，则6333n ， 解得：6n ， 故 33是
2、这个数列的第 6 项. 故选：C 【点睛】本题考查的知识点是数列的函数特性，数列的通项公式，其中根据已知归纳总结 出数列的通项公式，是解答的关键 2. 若数列 n a满足2n n a ，则数列 n a是（） A. 递增数列B. 递减数列 C. 常数列D. 摆动数列 【答案】A 【解析】 【分析】 作差可得 1nn aa 恒成立,所以 n a是递增数列. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 【详解】 1 1 2220 nnn nn aa ， 1nn aa ，即 n a是递增数列 故选:A 【点睛】本题考查了数列的单调性的判断,作差(或作商)是判断数列单调性的常用方法,
3、本题属 于基础题. 3. 等差数列 n a的前n项和 n S，若 13 2,12aS，则 6 a ( ) A. 8B. 10C. 12D. 14 【答案】C 【解析】 试 题 分 析 ： 假 设 公 差 为d, 依 题 意 可 得 1 3 23 212,2 2 dd . 所 以 6 2(6 1) 212a .故选 C. 考点：等差数列的性质. 4. 已知数列 n a为等差数列，若 1713 4aaa，则 212 tan aa（ ） A. 3 3 B. 3 C. 3 3 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 由等差数列的性质可得 a7= 4 3 ，而 tan（a2+a12）=tan（2a7）
4、 ，代值由三角函数公式化简可得 【详解】数列an为等差数列且 a1+a7+a13=4， a1+a7+a13=3a7=4，解得 a7= 4 3 ， tan（a2+a12）=tan（2a7） =tan 8 3 =tan（3 3 ）=tan 3 = 3 故选 D 【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及三角函数中特殊角的正切函数值的运算，属基础题 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 5. 在ABC中， 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2 sinabA ， 则B等于（） A.30或60B.45或60C.60或120D.30或 150 【答案】D 【解析】 【分析】 由于
5、ABC中，2 sinabA，利用正弦定理将等式两边的边化成相应角的正弦即可求解 【详解】解：ABC中，2 sinabA， 由正弦定理得：sin2sinsinABA， 又sin0A， 1 sin 2 B， 又B为三角形内角，30B或150 故选：D 【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，着重考查正弦定理的转化与应用，属于基 础题 6. 已知数列 n a为等差数列，其前 n 项和为 n S，2a7a85，则 S11为 A. 110B. 55 C. 50D. 不能确定 【答案】B 【解析】 数列 n a为等差数列，2a7a85， 688 5aaa, 可得 a6=5，S11= 111 11 2
6、aa = 6 11a=55 故选：B 7. 下列四个命题： 任何数列都有通项公式； 给定了一个数列的通项公式就给定了这个数列； 给出了数列的有限项就可唯一确定这个数列的通项公式； 数列的通项公式 n a是项数 n 的函数 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 其中正确的有（） A1 个B. 2 个 C. 3 个D. 4 个 【答案】B 【解析】 【分析】 根据数列的表示方法以及数列的通项公式的定义即可判断各命题的真假 【详解】对，根据数列的表示方法可知，不是任何数列都有通项公式，比如：的近似值 构成的数列3,3.1,3.14,3.141,，就没有通项公式，所以错误；
7、对，根据数列的表示方法可知，正确； 对，给出了数列的有限项，数列的通项公式形式不一定唯一，比如：1, 1,1, 1, L， 其通项公式既可以写成 1 1 n n a ，也可以写成 1 1 n n a ，错误； 对，根据数列通项公式的概念可知，正确 故选：B 【点睛】本题主要考查数列的表示方法以及数列的通项公式的定义的理解，属于基础题 8. 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 acosAbcosB，且 c2a2+b2ab， 则ABC 的形状为（） A. 等腰三角形或直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】 利
8、用正弦定理将边化角转化 acosAbcosB，逆用余弦定理转化 c2a2+b2ab，即可判断三角 形形状. 【详解】因为 acosAbcosB，故可得sinAcosAsinBcosB，即22sin Asin B， 又,0,A B，故可得AB或 2 AB ； 又 c2a2+b2ab，即 1 2 cosC ，又0,C，故可得60C . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 综上所述，60ABC. 故三角形ABC是等边三角形. 故选：D. 【点睛】本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，属综合基础题. 9. 已知ABC的三个内角之比为:3:2:1A B C ，那么对应的三边之
9、比: :a b c等于（ ） A.3:2:1B. 3:2:1 C. 3:2 :1 D.2: 3:1 【答案】D 【解析】 已知ABC 的三个内角之比为:3:2:1A B C ,有2 ,3BC AC,再由ABC, 可得 6 C ， 故三内角分别为 236 ABC 、. 再由正弦定理可得三边之比 3 1 : :1:2:3:1 22 a b csinA sinB sinC ， 故答案为2: 3:1 点睛：本题考查正弦定理的应用，结合三角形内角和等于，很容易得出三个角的大小，利 用正弦定理即出结果 10. 已知数列 n a首项 1 2a ，且当 * Nn 时满足 1 2 nn aa ，若ABC的三边长
10、分别为 4 a、 5 a、 6 a，则ABC最大角的余弦值为（） A. 9 16 B. 5 8 C. 3 4 D. 1 8 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意得数列 n a为等差数列，则可求出 4 a、 5 a、 6 a，然后利用余弦定理求解最大角的余弦 值. 【详解】当 * Nn 时满足 1 2 nn aa ，则数列 n a为首项是2公差为2的等差数列， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 则 4 a、 5 a、 6 a分别为8，10，12，则最大角的余弦值为 222 810121 cos 2 8 108 ， 故选：D. 【点睛】本题考查余弦定理的运用，考查等
11、差数列的概念及通项的运用，较简单. 11. 一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 分钟后 到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B 处观察灯 塔，其方向是北偏东 65，那么 B，C 两点间的距离是（） A. 10 2海里 B. 10 3海里 C. 20 3海里 D. 20 2海里 【答案】A 【解析】 【分析】 先确定CAB 和ACB,然后由正弦定理可直接求解. 【详解】如图所示，易知，在ABC 中，AB20，CAB30，ACB45， 根据正弦定理得 sin30 BC sin45 AB ， 解得 B
12、C10 2 (海里) 故选：A 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题. 12. 已知数列 n a的通项公式为22 n an， 将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记 n b 为数阵从左至右的n列， 从上到下的n行共 2 n个数的和， 则数列 n n b 的前 2020 项和为 （） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - A. 1011 2020 B. 2019 2020 C. 2020 2021 D. 1010 2021 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意，设每一行的和为 i c，可得 11 .(21) iiini caaan ni ，继而可求解 2
13、 12 .2(1) nn bcccn n，表示 1 2 (1) n n bn n ，裂项相消即可求解. 【详解】由题意，设每一行的和为 i c 故 1 11 () .(21) 2 ini iiini aan caaan ni 因此： 2 12 .(3)(5).(21)2(1) nn bcccn nnnnn n 11 11 () 2 (1)21 n n bn nnn 故 2020 11111111 (1.)(1) 22232020202122021 S 1010 2021 故选：D 【点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的 能力，属于中档题. 二二 填空题
14、填空题 13. 已知ABC中，2 2,2 3,60abB，那么A _ 【答案】45 【解析】 【分析】 直接利用正弦定理即可得解 【详解】解：由正弦定理可得： sin2 2sin602 sin 22 3 aB A b ， 即 2 sin 2 A ， 又因为2 2,2 3,60abB， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 即ab，则AB， 所以45A o. 故答案为：45 【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形，属于基础题 14. 已知等差数列的前n项和为 n S，且 1213 0,0SS，则使 n S取得最大n为 _ 【答案】6 【解析】 【分析】 由 1213 0
15、,0SS结合 等差数列的前n项和公式得到第七项小于 0， 第六项和第七项的和大于 0，得到第六项大于 0，这样前 6 项的和最大 【详解】因为等差数列中， 1213 0,0SS， 所以 1267137 60,130SaaSa， 677 0,0aaa， 67 0,0aa， n S达到最大值时对应的项数n的值为 6 故答案为：6 【点睛】一般地，如果 n a为等差数列， n S为其前n项和，则有性质： （1）若, , ,*,m n p qNmnpq，则 mnpq aaaa ； （2） 1 ,1,2, 2 knk n n aa Skn 且 21 21 nn Sna ； （3） 2 n SAnBn且
16、n S n 为等差数列； （4） 232 , nnnnn SSSSS为等差数列. 15. 设数列 n a的前n项和为 n S，且21 n an，则数列 n S n 的前n项和为_ 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 【答案】 2 2 nn ； 【解析】 【分析】 根据数列 n a满足21 n an，得到数列 n a是等差数列，求得 n S，进而得到 n S n n ，再 利用等差数列的前 n 项和公式求解. 【详解】因为数列 n a满足21 n an， 所以数列 n a是等差数列， 所以 12 121 22 n n n aann Sn ， 所以 n S n n ，
17、所以数列 n S n 的前n项和为 1 2 n nn S ， 故答案为： 2 2 nn 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及前 n 项和公式的运算，属于基础题. 16. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC 的 三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 S，则“三斜求积”公式为 S 2 222 22 1 42 acb a c .若 a2sinC4sinA，(ac)212b2，则用“三斜求积”公式求得 ABC的面积为_. 【答案】 3 【解析】 【分析】 利用正弦定理的边角互化可得 ac4，代入(ac)212b2，从而可得答案. 【详解
18、】根据正弦定理及 a2sinC4sinA，可得 ac4， 由(ac)212b2，可得 a2c2b24， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 所以 ABC S 2 222 22 1 42 acb a c 1 1643 4 . 故答案为： 3 【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化，考查了考生的基本运算求解能力，属于基础题. 三三 解答题解答题 17. 在ABC中，120A ， 3 7 ca. （1）求sinC的值； （2）若7a ，求ABC的面积. 【答案】 （1） 3 3 14 ； （2） 15 3 4 . 【解析】 【分析】 （1）根据正弦定理可求得sinC的值；
19、 （2） 根据同角的三角函数的关系求出cosC， 再根据诱导公式以及两角和正弦公式求出sinB， 利用三角形面积公式计算即可 【详解】 （1）因为 3 7 ca，所以由正弦定理得 333 3 sinsinsin120 7714 CA ； （2）若7a ，则3c ， CA， 22 sincos1CC ，又由（1）可得 13 cos 14 C ， 31313 35 3 sinsinsin coscos sin 21421144 BACACAC ， 115 315 sin7 33 22144 ABC SacB 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、两角和的正弦公 式以及三
20、角形的面积公式，属于基础题目. 18. 已知数列 n a满足 1 2a ， 1 2 2 n n n a a a . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - （1）数列 1 n a 是否为等差数列？请说明理由； （2）求数列 n a的通项公式. 【答案】 （1）数列是以 1 2 为首项，以 1 2 为公差的等差数列，理由见解析； （2） 2 n a n . 【解析】 【分析】 （1）由 1 2 2 n n n a a a 可得 1 111 2 nn aa ，则可证明出 1 n a 是等差数列； （2）由（1）的结果，先写出数列 1 n a 的通项公式，然后得出 n a的
21、通项公式. 【详解】解： （1）数列 1 n a 是等差数列，理由如下： 由 1 2 2 n n n a a a 可得： 1 2111 22 n nnn a aaa ，即 1 111 2 nn aa ， 根据等差数列的定义可知数列 1 n a 是以 1 2 为首项，公差为 1 2 的等差数列. （2）由（1）可知 111 1 222 n n n a ，则 2 n a n . 【点睛】本题考查等差数列的判断及证明，考查数列通项公式的求解问题，较简单. 19. 已知ABC的内角, ,A B C的对边分别为 , ,a b c，且sinsin 3 aBbA （1）求A； （2）若 3 , 2 ba c
22、成等差数列，ABC 的面积为2 3，求a 【答案】 （1） 3 ； （2）2 3. 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理化简已知可得 sinA=sin（A+ 3 ） ，结合范围 A（0，） ，即可计算求解 A 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 的值； （2）利用等差数列的性质可得 b+c= 3a，利用三角形面积公式可求 bc 的值，进而根据余弦 定理即可解得 a 的值 【详解】 （1）asinB=bsin（A+ 3 ） 由正弦定理可得：sinAsinB=sinBsin（A+ 3 ） sinB0， sinA=sin（A+ 3 ） A（0，） ，可得：A+A+ 3
23、=， A= 3 （2）b， 3 2 a，c 成等差数列， b+c= 3a， ABC 的面积为 2 3，可得：SABC= 1 2 bcsinA=2 3， 1 23 bcsin =2 3，解得 bc=8， 由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA=（b+c）22bc2bccos 3 =（b+c）23bc=（ 3a）224， 解得：a=2 3 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查 了计算能力和转化思想，属于中档题 20. 已知等差数列 n a前三项的和为3，前三项的积为15， （1）求等差数列 n a的通项公式； （2）若公差0d ，求数列 n a的
24、前n项和 n T. 【答案】 （1）49 n an或74 n an（2） 2 5,1 2712,2 n n T nnn 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 【解析】 【分析】 （1）设等差数列的 n a的公差为d，由 123 3aaa ， 123 15a a a ，建立方程组求解； （2）由（1）可知49 n an，根据项的正负关系求数列 n a的前n项和 n T. 【详解】 （1）设等差数列的 n a的公差为d 由 123 3aaa ，得 2 33a 所以 2 1a 又 123 15a a a 得 13 15a a ，即 1 11 1 (2 )15 ad a a
25、d 所以 1 5 4 a d ，或 1 3 4 a d 即49 n an或74 n an （2）当公差0d 时，49 n an 1）当2n时，490 n an， 11212 5,6TaTaa 设数列 n a的前项和为 n S，则 2 ( 549) 27 2 n n Snnn 2）当3n 时，490 n an 123123nnn Taaaaaaaa 12312 2 n aaaaaa 2 2 22712 n SSnn 当1n 时， 1 5T 也满足 2 1 2 17 1 127T ， 当2n 时， 2 6T 也满足 2 2 2 27 2 126T ， 所以数列 n a的前n项和 2 51 2712
26、2 n n T nnn 【点睛】本题考查等差数列的通项，等差数列求和，以及含绝对值数列的前n项的和，属于中 档题. 21. 如图，某报告厅的座位是这样排列的：第一排有 9 个座位，从第二排起每一排都比前一排 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 多 2 个座位，共有 10 排座位 （1）求第六排的座位数； （2）某会议根据疫情防控的需要，要求：同排的两个人至少要间隔一个座位就坐，且前后排 要错位就坐那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议？ （提示：每一排从左到右都按第一、三、五、的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可 保证安排的参会人数最多） 【答案】 （1）19
27、； （2）95 【解析】 【分析】 （1）构造等差数列，写出首项及公差，利用等差数列通项公式求得结果； （2）构造等差数列，利用等差数列求和求得结果. 【详解】 解：（1） 依题意， 得每排的座位数会构成等差数列 n a， 其中首项 1 9a ， 公差2d ， 所以第六排的座位数 61 6 119aad （2）因为每排的座位数是奇数，为保证同时参会的人数最多，第一排应坐 5 人， 第二排应坐 6 人，第三排应坐 7 人，这样，每排就坐的人数就构成等差数列 n b， 首项 1 5b ，公差1d ，所以数列前 10 项和 101 10 9 1095 2 Sbd 故该报告厅里最多可安排 95 人同时
28、参加会议 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及等差数列求和，属中档题. 22. 已知, ,a b c分别是ABC角 , ,A B C的对边，满足sin4sin4 sinacACcA （1）求a的值； （2）ABC的外接圆为圆O(O在ABC内部)， 3 ,4 3 OBC Sbc ，判断ABC的形 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 状，并说明理由. 【答案】 （1）2a ； （2）等边三角形. 【解析】 试 题 分 析 ： （ I ） 根 据 正 弦 定 理 把sin4sin4 sinacACcA化 成 边 的 关 系 可 得 ， 约去c， 即可求得a；（II）
29、 设BC中点为 13 , 23 OBC D SBC ODOD ， 故120BOC ,圆O的半径为 2 3 3 r ,由正弦定理可知 3 sin 22 a A r ,所以60A ,再 根据余弦定理求得bc，据此判断出三角形性质. 试题解析： （I）由正弦定理可知,sin,sin 22 ac AC RR , 则 2 sin4sin4 sin44acACcAa ccac , 2 22 0,444420ca ccacaaa, 可得2a . （II）记BC中点为 13 , 23 OBC D SBC ODOD ， 故120BOC ,圆O的半径为 2 3 3 r , 由正弦公式可知 3 sin 22 a A r ,故60A , 由余弦定理可知, 222 2cosabcbcA , 由上可得 22 4bcbc ,又4bc,则 2bc,故 ABC为等边三角形. 考点：正弦定理、余弦定理解三角形.
