1、双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 （4545 分钟分钟100100 分）分） 一、选择题一、选择题( (每小题每小题 6 6 分分, ,共共 3030 分分) ) 1.设双曲线 + =1 的渐近线方程为 3x2y=0,则 a 的值为() A.-4B.-3C.2D.1 2.(2013 昆明高二检测)设 P 是双曲线 - =1 上一点,双曲线的一条渐近线方程 为 3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=5,则|PF2|=() A.1 或 5B.1 或 9C.1D.9 3.(2012福建高考)已知双曲线 - =1(a0)的右焦点为(3,0),则该双曲线的离 心率等于
2、() A.B.C.D. 4. (2013新课标全国卷)已知双曲线 C:- =1(a0,b0)的离心率为 5 2 ,则 C 的渐近线方程为() A.y= xB.y= x C.y= xD.y=x 5.双曲线 x 2-y2=1 的右支上一点 P(m,n)到直线 y=x 的距离为 ,则 m+n 的值是 () A.-B.C.D.2 二、填空题二、填空题( (每小题每小题 8 8 分分, ,共共 2424 分分) ) 6.(2012江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 -=1 的离心率为 ,则 m 的值为. 7.(2013洛阳高二检测)设双曲线 -=1(a0,b0)的虚轴长为 2,焦距为 2,
3、 则双曲线的渐近线方程为. 8.已知 F1,F2是双曲线-=1(a0,b0)的两焦点,以线段 F1F2为边作正三角形 MF1F2,若边 MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是. 三、解答题三、解答题(9(9 题题,10,10 题题 1414 分分,11,11 题题 1818 分分) ) 9.已知圆M:x 2+(y-5)2=9,双曲线G与椭圆C: + =1有相同的焦点,它的两条渐近 线恰好与圆 M 相切,求双曲线 G 的方程. 10.已知双曲线的渐近线方程为 y= x,焦距为 10,求双曲线的标准方程,并求双 曲线的离心率. 11.(能力挑战题)设 F1,F2分别为双曲线 - =1 的左、
4、右焦点,A1,A2分别为这个双 曲线的左、右顶点,P 为双曲线右支上的任意一点,求证:以 A1A2为直径的圆既与 以 PF2为直径的圆外切,又与以 PF1为直径的圆内切. 答案解析答案解析 1.【解析】选 A.方程表示双曲线,a0)的离心率为 2, a=() A.2 B. C. D.1 【解析】选 B.由条件知=2,解得 a=. 4.【解析】选 C.因为 e= c a = 5 2 ,所以 2 2 c5 a4 ，又因为 c 2=a2+b2,所以 22 2 ab5 a4 ，得 2 2 b1 a4 ，所以渐近线方程为 y= 1 2 x. 5.【解题指南】分别利用点到直线的距离公式和点在双曲线上建立方
5、程,通过解 两方程求 m+n 的值. 【解析】选 B.由条件可知=即|m-n|=2. (m,n)在右支上,mn, m-n0,故 m-n=2. 又点 P 在双曲线上, m 2-n2=1 即(m+n)(m-n)=1, m+n= . 【举一反三】本题中,若点 P(m,n)在左支上,结果会怎样? 【解析】选 A.点 P 在左支上,mn 即 m-n0,b0),则 G 的渐近线方程为 y= x, 即 bxay=0,且 a 2+b2=25. 圆 M 的圆心为(0,5),半径为 r=3. =3a=3,b=4. 双曲线 G 的方程为 - =1. 10. 【解题指南】 由渐近线方程可得 a 与 b 的关系,再利用
6、 c 2=a2+b2 可求 a,b 的值, 但由于焦点的位置不明确,因此应分情况讨论. 【解析】方法一:当焦点在 x 轴上时,设所求双曲线的方程为 - =1(a0,b0). 由渐近线方程为 y= x 得 = . 又 2c=10,c 2=a2+b2,得 a2=20,b2=5, 双曲线的标准方程为-=1,这时离心率 e=;同理,当焦点在 y 轴上时,可得 双曲线的标准方程为- =1,这时离心率 e=. 所求双曲线的标准方程为 - =1 或- =1,相应的离心率为,. 方法二:由渐近线方程为 y= x,可设双曲线方程为 -y 2=(0), 即- =1.由 a 2+b2=c2 得|4|+|=25, |
7、=5,=5. 所求双曲线的标准方程为 - =1 或- =1,相应的离心率为,. 【拓展提升】求双曲线标准方程的几种设法 与双曲线 - =1(a0,b0)有共同渐近线- =(0) 双曲线的渐近线方程是 y= x- =(0) 与双曲线 - =1(a0,b0)共焦点-=1(-b 2ka2) 过两个已知点mx 2+ny2=1(mnb0)有相同焦点+=1(b 2ka2) 11.【解题指南】设 N,M 分别是 PF1,PF2的中点,只要证明|OM|=a+ |PF2|,并且 |ON|= |PF1|-a 即可.注意点 P 在双曲线的右支上,F1,F2是双曲线的两个焦点,满 足了运用定义的条件特征,故应从双曲线
8、的定义入手去探索证明的途径. 【证明】如图,以 A1A2为直径的圆的圆心为 O,半径为 a, 令 M,N 分别是 PF2,PF1的中点,由三角形中位线的性质, 得|OM|= |PF1|.又根据双曲线的定义,得|PF1|=2a+|PF2|, 从而有|OM|= (2a+|PF2|)=a+ |PF2|.这表明,两圆的圆 心距等于两圆半径之和,故以 A1A2为直径的圆与以 PF2为直径的圆外切. 同理,得|ON|= |PF2|= (|PF1|-2a)= |PF1|-a.这表明两圆的圆心距等于两圆半径 之差,故以 A1A2为直径的圆与以 PF1为直径的圆内切. 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块
