1、金融数量方法金融数量方法 ver5.0ver5.0 一、名词解释一、名词解释 1.极限极限：设函数 f(x)在点 x0 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数 a，对于任意给定的正数，总存在 正数，使得当 x 满足不等式 0|x-x0|时，对应的函数值 f(x)都满足不等式|f(x)- a|，那么常数 a 就叫做函数当 xx0 时的极限，记为 limf(x)=a。此外，极限具有唯一性、局部有界性、局部保号性、保 不等式等性质以及四则运算法则。 2.货币时间价值货币时间价值：一定量的货币在不同时点上价值量的差额，货币随着时间的推移而发生的增值。从量的 规定性来看，货币的时间价值是没有风险和没有通货
2、膨胀下的社会平均资金利润率。在计量货币时间价 值时，风险报酬和通货膨胀因素不应该包括在内。实际上，在通货膨胀率很低的情况下，可以用政府债 券利率来表示货币时间价值。 3.现值现值：将来得到或支付的某笔资金在今天的价值；如果按现时可得利率进行投资，到承诺支付日会得到 和承诺价值相同的终值。指资金折算至基准年的数值，也称折现值、也称在用价值，是指对未来现金流 量以恰当的折现率进行折现后的价值。通常记作 PV，计算现值的过程称作贴现。 4.终值终值：今天得到或支付的某笔资金在将来某时刻的价值。又称将来值或本利和，是指现在一定量的资金 在未来某一时点上的价值。通常记作 FV，计算终值的过程称作复利。
3、5.单利单利：指每期都按照初始本金计算利息，当期利息即使不取出也不计入下一期本金，即计息本金额始终 为初始本金，保持不变。单利是计算利息的一种方法，它只有本金计息，利息不计息。单利的计算取决 于所借款项或贷款的金额（本金），资金借用时间的长短及市场一般利率水平等因素。 6.复利复利：定期地把得到的利息加到本金中，这部分利息作为扩大的本金按相同的利率获取利息收入。复利 不仅本金计息，利息也计息，俗称利滚利。复利计息的收益变化规律是：在最初较短的时间内，收益增 速比较缓慢，但随着时间的推移，收益就呈现几何级数的增长态势，并且时间越长，收益的增长速度变 得越高。 7.目标函数目标函数：决策变量的线性
4、函数，按照优化目标分别在这个函数前加上 MAX 或 MIN 8.约束条件约束条件：决策者取值时受到的各种资源条件的限制，通常表达为含有决策变量的线性等式或不等式。 9.变量变量：问题中的未知量，表明规划中用数量所表示的方案、措施、可由决策者限定和控制。线性规划中 通常包含两类变量，其中一类是实际求解的决策变量，另一类是为了模型的求解而引进的变量（如松弛 变量、剩余变量和人工变量） 10. 线性规划：线性规划：在一组线性约束条件下，确定一组变量的取值，使线性目标函数达到最大或最小的问题。 “线性”二字指不仅约束条件是线性等式或不等式，而且目标函数也为线性函数。 11. 协方差协方差：表示两个随机
5、变量之间如何相互影响。 期望值分别为 EX与 EY的两个实随机变量 X 与 Y 之间的协方差 Cov(X,Y)定义为： 样本协方差的计算公式为： ()() 1 XYXY XXYY C ov n 从直观上来看，协方差表示的是两个变量总体误差的期望。 可见，（样本）协方差依赖于 X 与 Y 的观测值，因此较大的协方差有可能是由于较高的观测值引起的， 而不一定真正说明变量间的关系更密切，即协方差并不是反映变量间相关关系的最好指标。 换言之，由于协方差是个绝对指标，其数值有量纲，因而存在局限性，不便于两个不同的协方差间的 比较。 如果协方差为正，说明 X 与 Y 正相关，当 X 取较大的数值时，Y 也
6、取较大的数值。反之，则反是。若协 方差为 0，表示 X 与 Y 不相关。 12. 协方差矩阵协方差矩阵 协方差矩阵的每个元素是各个向量元素之间的协方差。是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推 广。由于该矩阵是由随机变量的方差为主对角线元素，以随机变量之间的协方差为非对角元素构成的对称 方阵，因此协方差矩阵也经常被称作方差-协方差矩阵。 假设有 X、Y、Z 三种资产进行投资组合，三个资产间的可能配对组合是 XX,XY,XZ,YX,YY,YZ,ZX,ZY 和 ZZ，则 方差-协方差矩阵中将包含以上九种组合的协方差，其中如 X 和 Y 之间的协方差 xy,yx 是相同的，主对角线上 的 xx,yy
7、,zz 为 X、Y、Z 的方差，矩阵中的第(i,j)个元素是 xi 与 xj 的协方差。 13. 投资风险投资风险：投资的未来结果出现的不确定性程度，即未来可能发生的损失或危险就是投资风险。这种 不确定性程度越高，风险就越大。单项资产的风险可以用该资产收益的方差或标准差来度量。投资组合的 风险可以用该投资组合收益的方差或标准差来衡量。 原理：资产收益是一个随机变量，故对其取值波动的衡量（方差）用以表示风险大小。 两个资产两个资产的投资组合的风险（用方差衡量）可以表示为 222 2222 cov( , )cov( , ) 2 PAAaABBABBb AaBbABab WWw ww wa bw w
8、b aw w www w 三个资产三个资产的投资组合的风险 见书 p60 公式公式 2.26 多个资产多个资产的投资组合的风险 见书 p60 公式公式 2.27 14. 投资组合投资组合：由投资人或金融机构所持有的股票、债券、衍生金融产品等金融资产组成的集合，通过对其 进行多样的、综合的、复杂的组合投资来分散非系统性风险。 二、计算题二、计算题 1.计算现值和终值计算现值和终值 1.1 终值终值 （1）单利的终值 ：小数表示的单利利率：存款年限，：最初本金总额，：货币终值，其中，rn )*(1 PFV nrPFV （2）复利：每年计一次复利时某笔资金的终值 n rPFV)1 ( （3）复利：计
9、算计息频率多于每年一次的终值 是每年的计息次数其中m,)1 ( mn m r PFV （4）复利：m 无限大时 rn PeFV ，其中 e 指常数2.71828，n：以年数表示的计息期限 1.2 现值现值 （1）单利的现值 rn CF PV n 1 其中 PV：未来现金流的现值， n CF：未来现金流金额，r：贴现率，n：现金流到期的期限年数 （2）复利的现值:每年计一次复利时某笔资金的现值 n n r CF PV )1 ( （3）复利的现值：计算计息频率多于每年一次的现值 mn n m r CF PV )1 ( m：计息频率 （4）复利的现值：连续贴现 rn ne CFPV 2.以等额还款的
10、方式，偿还以等额还款的方式，偿还 20 年期、年复利利率为年期、年复利利率为 10%的抵押贷款的抵押贷款 100，000 元，分别求每年和每月的还元，分别求每年和每月的还 款额为多少？款额为多少？（详见书（详见书 P29-30 或或 PPT 第一章）第一章） 1)1 ( )1 ( n n r rrP X，其中，其中 P 是借款总额，是借款总额，r 是年利率，是年利率，n 是年数是年数 假设每年末的还款额为 X，则第二年初的债务余额为 1000001.1 -X; 同理，第三年初的债务余额为 （1000001.1 -X）1.1-X=1000001.12 -1.1X-X 重复上述过程 20 次，就得
11、到第 21 年初的债务表达式，此时应该正好还清债务，即 1000001.1020-X(1.1019+1.1018+1.10+1)=0 比例因子大于 1 的 20 项等比数列和的公式是 1（1.1020-1）/(1.10-1)57.275 100000*1.1020-57.275x=0 解得 X=11745.96 3、一种证券价格在一个月内有、一种证券价格在一个月内有 0.6 的概率会上涨的概率会上涨 1%，有，有 0.4 的概率会下跌的概率会下跌 1%。假设证券价格的每月变化。假设证券价格的每月变化 是独立的，计算：是独立的，计算： （a）在 3 个月内证券价格达到初始价格的(1.01)3倍的
12、概率 设“在 3 个月内证券价格达到初始价格的(1.01)3倍”为事件 A，“证券价格在一个月内上涨”为事件 B， “证券价格在一个月内下跌”为事件 C，则 P(A)=P(B)3=0.63=0.216 （b）在 3 个月内证券价格达到初始价格的 0.99(1.01)2倍的概率 设“在 3 个月内证券价格达到初始价格的 0.99(1.01)2倍”为事件 D，则 P(D)=3*P(C)*P(B)2=3*0.62*0.4=0.432 （c）利用概率的加法法则和乘法法则验证（b）的答案 P(D)=P(C)P(B)P(B)+P(B)P(C)P(B)+P(B)P(B)P(C)=(0.4*0.6*0.6)+
13、(0.6*0.4*0.6)+(0.6*0.6*0.4)=0.432 因为独立，所以可以相乘。因为不相关，所以可以相加。 4、一项对两个金融市场上每日价格变化的研究结果如下：、一项对两个金融市场上每日价格变化的研究结果如下： 市场市场 1 价格上涨价格上涨价格下跌价格下跌 市场市场 2价格上涨价格上涨16526 价格下跌价格下跌32137 计算某一年下列事件的概率：计算某一年下列事件的概率： （a）市场 1 的价格上涨 设“市场 1 价格上涨”为事件 A，则 P(A)=(165+32)/(165+32+26+137)0.547 （b）给定市场 2 价格已经上涨的条件下，市场 1 价格上涨 设“在
14、市场 2 价格上涨的条件下市场 1 价格上涨”为事件 B，则 P(B)=165/(165+26)0.864 （c）给定市场 1 价格已经上涨的条件下，市场 2 价格上涨 设“在市场 1 价格上涨的条件下市场 2 价格上涨”为事件 C，P(C)=165/(165+32)0.838 5、市场分析系统用于确定合适买入证券。历史研究表明某一特定市场中有、市场分析系统用于确定合适买入证券。历史研究表明某一特定市场中有 5%的投资是很糟糕的投资。被的投资是很糟糕的投资。被 建议使用的分析系统，能够利用过去的数据正确的识别出建议使用的分析系统，能够利用过去的数据正确的识别出 98%的糟糕投资是潜在的糟糕投资
15、，但同时误的糟糕投资是潜在的糟糕投资，但同时误将将 15%的好的投资识别为潜在的糟糕投资。给定一个证券被评价为潜在糟糕投资的情况下，该证券被证明是的好的投资识别为潜在的糟糕投资。给定一个证券被评价为潜在糟糕投资的情况下，该证券被证明是 一项糟糕的投资的概率是多少？一项糟糕的投资的概率是多少？ 请对为制定投资决策所进行的测试的适当性作出评价。请对为制定投资决策所进行的测试的适当性作出评价。 详见书 p132 6、A、B 两项资产各自的平均两项资产各自的平均报酬率报酬率和标准差已知，投资报酬率是波动和标准差已知，投资报酬率是波动的，的，rA、rB 的的相关系数相关系数已知已知，将两，将两 个个资产
16、资产组合组合 （1）投资）投资组合组合平均平均报酬率是多少，报酬率是多少，标准标准差是多少，然后解释金融学意义差是多少，然后解释金融学意义 投资组合的收益率是单个资产收益率的加权平均 1 n Pii i Rw r 投资组合的标准差并不是那些单个资产标准差的加权平均值。而是要考虑相互间的相关性（用协方差表示） 222 111, nnn Piiijij iijij ww w （2）如果我投资这两个资产的如果我投资这两个资产的投资投资比例都告诉你，同样的写出投资组合的比例都告诉你，同样的写出投资组合的平均平均回报率和标准差是多少回报率和标准差是多少。 投资组合收益率 1 n Pii i Rw r 意
17、义：投资组合的期望报酬率就是组成投资组合的各种投资项目的期望报酬率的加权平均数。 投资组合方差 222 111, nnn Piiijij iijij ww w 见书见书 p112 公式公式 4.19 意义：标准差是指基金可能的变动程度。标准差越大，基金未来净值可能变动的程度就越大，稳定度就越 小，风险就越高。 （3）第三问如果两项资产各自的风险系数）第三问如果两项资产各自的风险系数A，B 已知，根据已知，根据 CAPM 理论来构建一个由两项资产构成的理论来构建一个由两项资产构成的 组合，这个组合要求风险系数不超过，报酬率要求至少高于某个数，组合，这个组合要求风险系数不超过，报酬率要求至少高于某
18、个数，第一问第一问用用符号符号表示表示，第二问第二问给出数据给出数据 求具体值，第三问给出一些约束条件，求具体值，第三问给出一些约束条件，写出写出类似于类似于 267 页页这样的模型这样的模型 在 CAPM 模型中，因为有 ( ) () ( ) () afamf bfbmf E rrE rr E rrE rr 则投资组合的收益率为 ( ) ( ) () ( ) ( ) afamfbfbmf faab bmf fmf w rErrw rErr rwwErr rErr 其中，=aWa+bWb 三、证明题三、证明题 1、连续复利：离散到连续、连续复利：离散到连续 计息频率多于每年一次的复利时某笔资金
19、的终值计算公式表示为： mn m r PFV)1 ( ，其中 m 是每年的计息次数 我们已知重要极限之一为： 因此，当 m 不断增加趋近于正无穷时， mn m r ) 1 ( 接近 rn e。 当 m 无限增大时（计息频率无限大），复利终值是不会无限增加的，会收敛到某个有限的常数值。 极端情况下可以认为计息频率无穷大以至于支付的利息被不间断地增加到本金中，因此导致本金呈指数增 长，这就是连续复利。 连续情况下某笔资金的终值可表示为： rn PeFV 1 (1) lim x x e x 其中 e 指常数2.71828，n：以年数表示的计息期限 【把分期复利率转化为相应的连续复利率】 某笔投资于连
20、续复利率的资金必须和同等资金投资于相应的分期复利率得到相同的终值， 因此 mndcnr m r PPe cc )1 ( 其中 cc r：连续复利率， dc r：相应的分期复利率，n：到期年数；m：每年计息次数 得到)1ln( m r me dcrcc 解得)1ln( m r mr dc cc 因此要把分期复利率转化成连续复利率，我们只需用每年分期复利的计息次数去除每年的分期复利率，加 上 1 然后取自然对数，再乘以每年分期复利的计息次数即可。 可以看出连续复利率小于相应的分期复利率。这是因为在连续复利情况下，利息更频繁地被加到本金中， 利息本身可获得更多的利息。 可见书 P6-7 四、论述题四
21、、论述题 1、投资人的亏损与理论是否相悖：投资人的亏损与理论是否相悖： （1）投资风险越大，收益越多？这句话是否正确）投资风险越大，收益越多？这句话是否正确 这句话只具有理论指导性的作用，不适合所有投资情况。要根据实际情况，具体问题具体分析。 现实一般遵循一般性准则，大多数情况符合理论依据。 “投资风险越大，收益越多”基于投资者是理性的前提下。投资者希望能够在风险一定时得到相对高的收 益，在收益一定时，承担低风险。 由于风险的存在，金融资产的收益率就是不确定的，可视为一个随机变量。 而随机变量有两个重要的数字特征，即均值与方差。 所谓均值(mean) ，就是指随机变量各种可能的取值按照其概率大
22、小为权重计算出的平均值。这是一个更抽 象的数值，随机变量往往并无可能性取到这个均值。 而方差(variance) ，则是对随机变量与它的均值的平均偏离程度的度量。或者说，是刻画随机变量取值分散 的平均程度的。 （2）一位投资者运用资本市场线的原理一位投资者运用资本市场线的原理，从中选择了向上的资本市场线进行投资从中选择了向上的资本市场线进行投资，但最后血本无归但最后血本无归，请问请问 在这种情况下，投资人的亏损与理论是否相悖？在这种情况下，投资人的亏损与理论是否相悖？ 资本市场线(Capital Market Line，简称 CML)是指表明有效组合的期望收益率和标准差之间的一种简单的线性 关
23、系的一条射线。它是沿着投资组合的有效边界，由风险资产和无风险资产构成的投资组合。 当资产收益之间的相关程度适中时，分散化投资带来益处，能有效降低组合的风险。从而产生了有效边界 (effective frontier)的概念。最优的投资组合不是唯一的，有效边界表示了“众多的有效组合”，这里的“有 效”是指在增加收益的同时风险也随之变大，或者在减少风险的同时收益也随之降低。 准确的含义是风险很高的情况下，如果产生收益，风险则会很高，但是也会有亏损的可能。 投资出现损失是一种极为正常的现象。期望是综合了各种收益情况后，计算出的平均收益的理论值，因此 即便在现实情况下，最终的亏损和收益具有不确定性，即
24、便期望较高，并不代表一定会得到期望收益，也 有遭受损失的可能性。 （3）一位投资者运用最优投资组合的理论进行投资一位投资者运用最优投资组合的理论进行投资，但最后同样血本无归但最后同样血本无归，请问在这种情况下请问在这种情况下，投资人的投资人的 亏损与理论是否相悖？亏损与理论是否相悖？ 【PPT】投资组合最优化问题，是指如何确定每种投资的分配比例，使得投资组合的期望收益和风险水平能 够最佳的满足投资者的目标。 具体有以下两个方面应用： 一、线性规划的应用：在投资选择中的一个应用是处理在 CAPM 框架内的投资组合的构造问题。 二、二次规划的应用：最小方差投资组合的构造及其求解问题。 【MBA】最
25、优投资组合是指某投资者在可以得到的各种可能的投资组合中，唯一可获得最大效用期望值的 投资组合.有效集的上凸性和无差异曲线的下凸性决定了最优投资组合的唯一性。 【拓展】 科学理论是人脑对客观事物及其规律的正确反映并按其内在逻辑组成的一定体系。科学理论对于人们的实 践活动有着巨大的指导作用。 科学理论能够揭示社会发展的规律,预见未来,帮助人们把握社会发展的方向和历史进程;能够提供正确认识 事物和解决事物的方法。 缺乏理论的指导，必然会导致思路不清、行动盲目。通过实践总结形成的系统的、且具有普遍指导作用的 知识体系就是理论。研究、学习理论，并不是要求囫囵吞枣、照搬照套，而是为探索、掌握事物运行的客 观规律，培养系统、辩证的思维能力，形成独到的管理思想，以针对客观环境优化资源配置，采取有效的 方法和手段，创造最大的经济和社会效益。也可以说：遵循客观规律，针对客观环境，运用有效资源创造 实效的管理就是科学的管理。忽视理论的指导作用，过度强调案例，必然会使我国企业和专家学者失去管 理方向、混淆管理概念，将科学管理锁定为方法论的狭隘思维定势，从而制约科学化管理的推行。
