1、课题：课题：2.2.3.52.2.3.5 三垂线定理（尖刀班） （三垂线定理（尖刀班） （1 1） 课课 型：型：新授课 一、课题：三垂线定理 二、教学目标：1掌握科学的概念，了解射影、斜线的定义； 2掌握三垂线定理及其逆定理，利用三垂线定理及其逆定理解决有关线线 垂直问题。 三、 教学重、 难点： 三垂线定理及其逆定理； 三垂线定理及其逆定理中各条直线之间的关系 四、教学过程： （一）复习：平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质： （二）新课讲解： 1 1射影的有关概念：射影的有关概念： （1）点的射影：自一点P向平面引垂线，垂足 P 叫做P在平面内的正射影（简称 射影） 。 （2）
2、图形的射影： 如果图形F上所有点在一个平面内的射影构成图形 F ， 则 F 叫做F 在 这个平面内的射影 2 2斜线的有关概念：斜线的有关概念： （1）斜线：如果一条直线和一个平面相交但不垂直，那么这条直线叫做平面的斜线； （2）斜足：斜线和平面的交点； （3）斜线段：斜线上一点和斜足间的线段叫做斜线段 由此，斜线段AB在平面内的射影仍为线段， 即为线段 0 A B 3 3三垂线定理：三垂线定理： 定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直， 那么它也和这条斜线垂直。 已知：,PO PA分别是平面的垂线和斜线，OA是PA在平面内的射影，a， 且aOA 求证：aPA； 证明：PO
3、POa，又,aOA POOAO a 平面POA， aPA A0A0 A0(B0) A0 A0 (A0) A0 B0B0B0B0 B B B B B A A A A A A A B A0 A a O A P P O E F C B A 说明：说明： （1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系； （2）推理模式： , , POO PAAaPA aaOA 4 4三垂线定理的逆定理：三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。 （证 明 略） 推理模式： , , POO PAAaAO aaAP 练习：Rt ABC在平面内，90
4、 ,CPCCDAB于点D，请指出图形中的 直角三角形。 , , , Rt ABC Rt ADC Rt BDC Rt PDA Rt PDB Rt PCA Rt PCB Rt PCD 三例题分析：三例题分析： 例 1已知：点O是ABC的垂心，POABC平面，垂足为O， 求证：PABC 证明：点O是ABC的垂心， ADBC 又POABC平面，垂足为O，PAABCA平面 所以，由三垂线定理知，PABC 例 2 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这 个角的角平分线上 已 知 ：BAC在 平 面内 ， 点,PP EA B P FA C P O， 垂 足 分 别 为 ,E
5、 F O PEPF， 求证：BAOCAO 证明：,PEAB PFAC PO， ,ABOE ACOF（三垂线定理逆定理） ,PEPF PAPA，Rt PAERt AOF， D C BA P O D A C B P AEAF，又AOAO， Rt AOERt AOF BAOCAO 例 3如图，道路两旁有一条河，河对岸有电塔AB，高15m，只有量角器和 尺作测量工具，能否测出电塔顶与道路的距离？ 解：在道路边取点C，使BC与道路边所成的水平角等于90， 再在道路边取一点D，使水平角45CDB， 测得,C D的距离等于20m， BC是AC在平面上的射影，且CDBC CDAC（三垂线定理） 因此斜线段AC的长度就是塔顶与道路的距离， 45 ,20CDBCDBC CDm，20BCm， 在Rt ABC中得 2222 |152025( )ACABBCm， 答：电塔顶与道路距离是25m 四、课堂小结： 1射影和斜线的有关概念； 2三垂线定理及其逆定理 五、作业： 1在正方体 1 AC中，求证：正方体的对角线 1 AC垂直于平面 11 AB D 2如图，ABCD是矩形，PA平面ABCD，点 ,M N分别是,AB PC的中点， 求证：ABMN 3已知：如图若直角ABC的一边/BC平面，另一边AB和平面斜交于点A，求 证：ABC在平面上的射影仍为直角。 课后记： A B C D M N P
