1、课题：课题：2.3.3.52.3.3.5 直线系问题直线系问题 学习目标学习目标 1.1.直线系直线系概念：概念：一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。 它的方程称直线系方程，直线系方程中除含变量 x 、y 以外，还有可以根据具体条件取不 同值的变量，称为参变量，简称参数。 2.2.几种常见的直线系方程：几种常见的直线系方程： （1）过已知点 P（x0，y0）的直线系方程：yy0k（xx0） （k 为参数）或 x=x0(k 不存在时） （2）斜率为 k 的直线系方程 ykxb（b 是参数）() （3）与已知直线 AxByC0平行的直线系方程 AxBy0（ 为参数） （4）与已知
2、直线 AxByC0垂直的直线系方程 BxAy0（ 为参数） （5）过直线 l1：A1xB1yC10与 l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程： A1x B1yC1（A2xB2yC2）0（ 为参数）不含 l2。 确定平面上一条直线，需要两个独立且相容的几何条件，如果只给定一个条件，直 线的位置不能完全确定。另一方面，如果只给定一个几何条件时，二元一次方程的两个独 立的系数中，只有一个被确定，那个未被确定的系数是参数。利用直线系方程求直线，可 以简化计算过程，欲求适合某两个几何条件的直线的方程，可先用其中一个条件写出直线 系方程，再用另一个条件来确定参数值。用直线系方程求适合某一条件的直线时，
3、应注意 不能被该方程表示的直线(例如，过定点(x1，y1)的直线系方程，不能表示直线 x-x1=0)， 若它符合已知条件，应收入；过两直线交点的直线系方程有两种形式。其中 A1xB1yC1 （A2xB2yC2）0 较简单些，但它不能包含直线 l2：A2xB2yC20本身。而方 程 m(A1xB1yC1)n(A2xB2yC2)0，(m，n 不同时为零的实数)，可以避免这个缺陷。 例例1 1：求与直线3x4y7=0垂直，且在 x 轴上的截距为-2 的直线。 解法一：利用“垂直”写出直线系方程，再用“在 x 轴上截距为-2”这个条件确定参数。 和直线3x+4y7=0垂直的直线系方程是4x3ym=0(
4、其中 m 是参数)。直线方程是4x 3y+8=0 解法二：利用“在 x 轴上截距为-2”这个条件写出直线系，再用“垂直”这个条件确定参 数。 此直线过点(-2，0)用点斜式写出直线系 y0=k(x2)，即 y=k(x2)，(斜率 k 是参数)。 k1k=-1 所以直线方程为 例例2 2：求和直线3x4y+2=0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线 l 的方程。 解法一：先用“平行”这个条件写出直线系方程，再用“面积”这个条件确定参数。与直 线3x+4y2=0平行的直线系方程是3x4y+m=0,令 x=0,得 y 轴的载距 , 令 y=0,得 x 轴的 载距,因为直线与坐标轴围面的面积为
5、24，所以|，所以 m=所求直线 l 的方程为3x 4y24=0 解法二： 先用“面积”这个条件写出直线系方程， 再用“平行”这个条件确定参数。 设 所求直线在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截距为 b，则由画草图可知 a、b 同号，因为 S= 所以 ab=48, 又因为直线=1与直线3x4y+2=0平行，所以所求直线为3x4y24=0 例例3 3：已知两直线 l1x20， l24x3y50及定点 A(-1，2)求：直线 l，它 过 l1、l2的交点且与点 A 的距离等于1。 解法一：解法一：先利用“过 l1、l2的交点”写出直线系方程，再根据“l 与 A 点距离等于1”来确 定参数。
6、过 l1、l2交点的直线系方程是(x2)(4x3y5)0， 是参数。 化为(1+4)x+3y(25)0得 =0。 代入方程，得 x2=0。因为直线系方程中不包含 l2，所以应检查 l2是否也符合所求 l 的条件。l2也符合要求。 答：所求直线 l 的方程是 x+2=0和4x+3y+5=0 解法二：解法二：l1、l2的交点为(2，1)，过这点的直线系方程为 y1=k(x2)，斜率 k 是参 数。 即 kxy(2k1)0，再根据方程的直线与点 A(-1，-2)的距离为1，来确 定参数 k。 得所求直线 l 的方程为4x3y5=0。 因为直线系方程不包括与 y 轴平行的 直线，所以应检查过点(2，1
7、)且与 y 轴平行的直线 x=2是否符合所求直线 l 的条 件。点 A(-1，-2)到直线 x=-2的距离为1，所以直线 x=-2即 x+2=0也符合 l 的要求，应 该补上，答：所求直线 l 的方程是 x2=0和4x3y5=0 例例4 4： 在ABC 中， AB 边所在直线方程为4xy12=0， 高 BH 所在直线方程为5x-4y15=0， 高 AH 所在直线方程为2x+2y-9=0。求：第三条高 CH 所在直线方程与 AC 边所在直线方程。 解：(1)H 为垂心，CH 过 BH 与 AH 的交点，且与 AB 垂直，过 BH 与 AH 交点的直线系方程 为(5x-4y-15)+(2x+2y-
8、9)=0，即(52)x(-42)y(-159)0 与 AB 垂直，(即 CHAB)，代入，得 CH 所在直线方程是3x-12y-10 (2)直线 AC 是过 AB 与 AH 的交点且与 BH 垂直的直线，可设 AC 方程是过 AB 与 AH 交点的直 线系方程(4x+y-12)+(2x2y9)=0，即(42)x+(1+2)y(-12-9)=0， ACBH， 5(42)(-4)(12)0， 得 =-8。 代入得直线 AC 的方程是4x+5y-20 0。 例例5 5：已知2a-3b1(a，bR)，求证：直线 axby-5=0必过一个定点，并求出此定点。 代入 axby-50，得(x-10)b(3x
9、2y)=0b 是实数，方程可看作过两相交直线 交点的直线系方程，这两条直线分别是 l1x100， l23x+2y0，这两条直线的交 点 坐 标 为 P(10 ， -15) 。 P 点 坐 标 代入 直 线 ax by-5 0 的 左边 得 a10 b(-15)-5=5(2a-3b)-5=51-50 (注意2a-3b1是已知条件)， 直线 axby5=0过定 点 P(10，15)。 例例6 6：已知直线 l12x-3y-10，l2：3xy-2=0，l3：7x-7y-2009=0；求过 l1、l2交点且 与 l3垂直的直线方程。分析：过两直线 l1，l2的交点的直线系方程为 l1l20(R)， 根
10、据已知条件，用待定系数法求出 即可。 解：设 为待定系数，则所求直线系方程是(2x-3y-1)+(3xy-2)=0， 整理为(23)x(-3-)y(-1-2)=0 方程与直线 l3垂直，其系数关系为7(23)-7(-3-)=0=-5/4 式代入，所求直线为7x7y6=0。 例例7 7：长度为1的线段 AB(B 在 A 的右边)在 x 轴上移动，点 P(0，1)与 A 点连成直线，点 Q(1，2)与 B 点连成直线，求直线 PA 和直线 QB 交点的轨迹方程；并作出草图。 解：设交点为 M(x，y)A(a，0)，则 B(a1，0)，直线 PA 方程为即 xay=a直线 BQ 方程2xay-2-2a=0 动点 M 的参数方程为0（参数） ，消去参数 a 得轨迹方程为
