1、 ？ 高中数学必修第一册高中数学必修第一册 优化优化设计设计 精品课件精品课件 ？ 集合的概念集合的概念 第第2课时课时集合的表示集合的表示 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.针对具体问题针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基能在自然语言和图形语言的基 础上础上,用符号语言刻画集合用符号语言刻画集合. 2.掌握集合的表示方法掌握集合的表示方法列举法和描述法列举法和描述法. 3.积累数学抽象的经验积累数学抽象的经验,提升逻辑推理与数学运提升逻辑推理与数学运 算素养算素养. 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 思思 想想 方方 法法 随随 堂堂 练练 习
2、习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 一、列举法一、列举法 【问题思考】【问题思考】 1.设集合设集合M是小于是小于6的的正整数正整数组成组成的的集合集合,集合集合M中的元素能中的元素能 一一列举出来吗一一列举出来吗? 提示提示:能能.1,2,3,4,5. 2.上述集合上述集合M除了用自然语言描述外除了用自然语言描述外,还可以用什么方式表示还可以用什么方式表示 呢呢?如何表示如何表示? 提示提示:列举法列举法.1,2,3,4,5. ？ 3.把把集合的所有元素集合的所有元素一一列举一一列举出来出来,并用并用花括号花括号“”括起来表括起来表 示集合的方法叫做列举法示集合的方法叫做列举法.
3、4.做一做做一做:方程方程x2-4x+3=0的所有实数根组成的集合为的所有实数根组成的集合为() A.1,3B.1 C.x2-4x+3=0D.x=1,x=3 解析解析:因为方程因为方程x2-4x+3=0的的实数实数根根为为1,3,所以用列举法表示所以用列举法表示 为为1,3,故选故选A. 答案答案:A ？ 二、描述法二、描述法 【问题思考】【问题思考】 1.“大于大于-2且小于且小于2的整数的整数”组组成成的集合的集合,能用列举法表示吗能用列举法表示吗?如如 果能果能,如何表示如何表示? 提示提示:能能.-1,0,1. 2.“大于大于-2且小于且小于2的实数的实数”组组成成的集合的集合,能用列
4、举法表示吗能用列举法表示吗?为为 什么什么? 提示提示:不能不能.因为大于因为大于-2且小于且小于2的实数有无数多个的实数有无数多个,用列举法用列举法 是列举不完的是列举不完的,所以不能用列举法表示所以不能用列举法表示. ？ 3.设设x为为“大于大于-2且小于且小于2的实数的实数”组组成成的集合的元素的集合的元素,x有何特有何特 征征? 提示提示:xR,且且-2x2. 4.一般一般地地,设设A是一个集合是一个集合,我们把集合我们把集合A中所有具有共同特征中所有具有共同特征 P(x)的元素的元素x所组成的集合表示为所组成的集合表示为xA|P(x),这种表示集合这种表示集合 的方法称为描述法的方法
5、称为描述法. 有时也用冒号或分号代替竖线有时也用冒号或分号代替竖线,写成写成xA:P(x)或或 xA;P(x). ？ 5.做一做做一做:下列用描述法表示的集合下列用描述法表示的集合,错误的是错误的是() A.奇数集可以表示为奇数集可以表示为xZ|x=2k+1,kZ B.“小于小于10的整数的整数”组组成成的集合可以表示为的集合可以表示为x|x10 C.“被被3除余除余2的整数的整数”组组成成的集合可以表示为的集合可以表示为x|x=3k+2,kZ 解析解析:项项B,x|x10表示表示“小于小于10的实数的实数”组成的集合组成的集合.“小于小于10 的整数的整数”组成的集合应该表示为组成的集合应该
6、表示为xZ|x10或或x|x3与与y|y3是同一个集合是同一个集合.( ) (4)集合集合xN|x5与集合与集合0,1,2,3,4表示同一个集合表示同一个集合.( ) ？ 合作合作探究探究释疑解惑释疑解惑 ？ 探究探究一一 用用列举法表示集合列举法表示集合 【例【例1】 用列举法表示下列集合用列举法表示下列集合: (1)方程方程x2-4x+4=0的所有实数根组成的集合的所有实数根组成的集合; (2)由单词由单词“look”的字母组成的集合的字母组成的集合; (3)由不大于由不大于8的所有非负偶数组成的集合的所有非负偶数组成的集合; (4)直线直线y=2x-1与与y轴的交点组成的集合轴的交点组成
7、的集合. ？ 解解:(1)方程方程x2-4x+4=0的实数根为的实数根为x=2,所求集合为所求集合为2. (2)单词单词“look”有三个互不相同的字母有三个互不相同的字母,分别为分别为“l”“o”“k”,所求所求 集合为集合为l,o,k. (3)不大于不大于8的非负偶数有的非负偶数有0,2,4,6,8,所求集合为所求集合为0,2,4,6,8. (4)直线直线y=2x-1与与y轴的交点坐标为轴的交点坐标为(0,-1),所求集合为所求集合为(0,-1). ？ 反思感悟反思感悟 1.用列举法表示集合用列举法表示集合,要分清是数集还是点集要分清是数集还是点集,如本例如本例(1)是数是数 集集,本例本
8、例(4)是点集是点集. 2.使用列举法表示集合时应注意以下几点使用列举法表示集合时应注意以下几点: (1)在元素个数较少或较多在元素个数较少或较多(无限无限)但有规律时用列举法表示集但有规律时用列举法表示集 合合,如集合如集合:1,2,3,1,2,3,100,1,2,3,等等. (2)“”表示表示“所有所有”的含义的含义,不能省略不能省略;元素之间用元素之间用“,”隔开隔开,而不而不 能用能用“、”;元素无顺序元素无顺序,满足无序性满足无序性. ？ 【变式训练【变式训练1】 用列举法表示下列集合用列举法表示下列集合: (1)由所有小于由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合的既是奇数
9、又是素数的自然数组成的集合; (2)绝对值小于绝对值小于3的的所有所有整数整数组成的集合组成的集合; ？ 解解:(1)满足条件的数有满足条件的数有3,5,7,所求集合为所求集合为3,5,7. (2)绝对值小于绝对值小于3的整数有的整数有-2,-1,0,1,2,所求集合为所求集合为-2,-1,0,1,2. ？ 探究探究二二 用用描述法表示集合描述法表示集合 【例【例2】 用描述法表示下列集合用描述法表示下列集合: (1)不等式不等式3x-60的解集的解集; (2)所有偶数组成的集合所有偶数组成的集合; (3)函数函数y=2x-1的图象上的点组成的集合的图象上的点组成的集合. ？ 解解:(1)不等
10、式不等式3x-60的解是的解是x2,所求集合用描述法表示为所求集合用描述法表示为 x|x2(x:x2或或x;x2). (2)因为因为x=2k(kZ)是所有偶数的一个共同特征是所有偶数的一个共同特征,所以所有偶所以所有偶 数组成的集合可以表示为数组成的集合可以表示为x|x=2k,kZ. (3)函数函数y=2x-1的图象上的点的坐标为的图象上的点的坐标为(x,y),所求集合为所求集合为 (x,y)|y=2x-1. ？ 1.把本例把本例(2)换成小于换成小于10的的所有所有正正偶数组成的集合偶数组成的集合,用描述法用描述法 怎样表示怎样表示? 解解:小于小于10的正偶数有的正偶数有2,4,6,8,用
11、式子表示为用式子表示为x=2k,1k5,且且 kZ,所求集合用描述法表示为所求集合用描述法表示为x|x=2k,1k0,所求集合可以表示所求集合可以表示 为为(x,y)|xy0. ？ 反思感悟反思感悟 用描述法表示集合的具体步骤用描述法表示集合的具体步骤如下如下 (1)写代表元素写代表元素,分清楚集合中的元素是数还是点或是其他的分清楚集合中的元素是数还是点或是其他的 元素元素. (2)明确元素的共同特征明确元素的共同特征P(x),将将P(x)写在竖线写在竖线(冒号或分号冒号或分号)的的 后面后面. ？ 【变式训练【变式训练2】 用描述法表示下列集合用描述法表示下列集合: (1)直线直线y=x上去
12、掉原点的所有点组成的集合上去掉原点的所有点组成的集合; (2)被被5除余除余2的所有正整数组成的集合的所有正整数组成的集合; (3)所有的正方形组成的集合所有的正方形组成的集合. 解解:(1)(x,y)|y=x,x0. (2)被被5除余除余2的正整数可以表示为的正整数可以表示为x=5k+2,kN,所求集合用描所求集合用描 述法表示为述法表示为x|x=5k+2,kN. (3)用描述法表示为用描述法表示为x|x是正方形是正方形. ？ 探究探究三三 集合集合的表示的表示 【例【例3】 用适当的方法表示下列集合用适当的方法表示下列集合: ？ 故该集合用列举法表示为故该集合用列举法表示为(4,-2).
13、(2)集合的代表元素是数集合的代表元素是数x,共同特征是共同特征是xR,|x|3,故该集合故该集合 用描述法表示为用描述法表示为xR|x|3. (3)反比例函数反比例函数 的自变量的自变量xR,且且x0,故该集合用描述法故该集合用描述法 表示为表示为xR|x0. (4)抛物线抛物线y=x2-2x与与x轴相交于点轴相交于点(0,0)和和(2,0),故该集合用列举故该集合用列举 法表示为法表示为(0,0),(2,0). ？ 反思感悟反思感悟 当当集合的元素个数很少集合的元素个数很少(很容易写出全部元素很容易写出全部元素)时时,常用列举法常用列举法 表示集合表示集合;当集合的元素个数较多当集合的元素
14、个数较多(不易写出全部元素不易写出全部元素)时时,常常 用描述法表示用描述法表示.对一些元素有规律的无限集对一些元素有规律的无限集,也可以用列举法也可以用列举法 表示表示,如正偶数集也可写成如正偶数集也可写成2,4,6,8,10,. ？ 【变式训练【变式训练3】 用适当的方法表示下列集合用适当的方法表示下列集合: (1)24的所有正因数组成的集合的所有正因数组成的集合; (2)在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,两坐标轴上的点组成的集合两坐标轴上的点组成的集合; (3)三角形的全体组成的集合三角形的全体组成的集合. 解解:(1)24的正因数有的正因数有1,2,3,4,6,8,12,24,故该
15、集合用列举法表示故该集合用列举法表示 为为1,2,3,4,6,8,12,24. (2)集合的代表元素是集合的代表元素是(x,y),共同特征是共同特征是x=0或或y=0,即即xy=0,故该故该 集合用描述法表示为集合用描述法表示为(x,y)|xy=0. (3)集合的代表元素是集合的代表元素是x,共同特征是共同特征是x是三角形是三角形,故该集合用描故该集合用描 述法表示为述法表示为x|x是三角形是三角形. ？ 思思 想想 方方 法法 ？ 分类讨论思想在集合表示中的应用分类讨论思想在集合表示中的应用 【典例】【典例】 若集合若集合A=x|kx2-8x+16=0中只有一个元素中只有一个元素,试求实试求
16、实 数数k的值的值,并用列举法表示集合并用列举法表示集合A. 审题审题视角视角:集合集合A中只有一个元素中只有一个元素,说明关于说明关于x的方程的方程kx2- 8x+16=0只有一个或两个相等的实数根只有一个或两个相等的实数根,此方程不确定为一元此方程不确定为一元 二次方程二次方程,需要对系数需要对系数k分为分为k=0和和k0讨论讨论. ？ 解解:当当k=0时时,原方程变为原方程变为-8x+16=0,x=2. 此时集合此时集合A=2. 当当k0时时,要使一元二次方程要使一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等的实根有两个相等的实根, 只需只需=64-64k=0,即即k=1. 此时方程的解为
17、此时方程的解为x1=x2=4,集合集合A=4,满足题意满足题意. 综上所述综上所述,实数实数k的值为的值为0或或1. 当当k=0时时,A=2; 当当k=1时时,A=4. ？ 将本例改为将本例改为“若集合若集合A中至少有一个元素中至少有一个元素,求求k的取值范围的取值范围”,如如 何求解何求解? 解解:由集合由集合A至少有一个元素可知至少有一个元素可知,关于关于x的方程的方程kx2-8x+16=0至至 少有一个根少有一个根,分两种情况讨论分两种情况讨论: 方程方程kx2-8x+16=0只有一个根只有一个根,由例题的解答过程可知由例题的解答过程可知k=0 或或k=1; 方程方程kx2-8x+16=
18、0有两个不相等的根有两个不相等的根,需满足需满足k0,且且=64- 64k0,解得解得k2成立的实数成立的实数x的集合可表示为的集合可表示为() A.x2B.x2|xR C.3,4,5,D.xR|x2 答案答案:D 2.集合集合A=(0,1),(2,3)中元素的个数是中元素的个数是() A.1 解析解析:集合集合A中的元素是点中的元素是点,而不是数而不是数,故集合故集合A中中有有2个个元素元素. 答案答案:B ？ 3.已知集合已知集合A=1,2,3,4,集合集合B=y|y=x-1,xA,则则集合集合B用列用列 举法表示为举法表示为. 解析解析:当当x=1时时,y=0;当当x=2时时,y=1;当当x=3时时,y=2;当当x=4时时,y=3. 故故B=0,1,2,3. 答案答案:B=0,1,2,3 4.集合集合A=(x,y)|x+y=6,x,yN用列举法表示用列举法表示为为 . 答案答案:A=(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0) ？ 5.选择适当的方法表示下列集合选择适当的方法表示下列集合: (1)被被3整除整除的的所有所有正整数正整数组成的集合组成的集合; (2)方程方程(3x-1)(x+2)=0的的所有所有实数实数根组成的集合根组成的集合. 解解:(1)x|x=3k,kN*.
