1、 ？ 高中数学必修第一册高中数学必修第一册 优化优化设计设计 精品课件精品课件 ？ 1.4.1充分条件与必要条件充分条件与必要条件 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.通过对典型数学命题的梳理通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的理解必要条件的 意义意义. 2.理解性质定理与必要条件的关系理解性质定理与必要条件的关系. 3.通过对典型数学命题的梳理通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的理解充分条件的 意义意义. 4.理解判定定理与充分条件的关系理解判定定理与充分条件的关系. 5.体会充分条件与必要条件在表述数学内容和体会充分条件与必要条件在表述数学内容和 论证数学结论中的作用论证数
2、学结论中的作用,培养培养逻辑推理与逻辑推理与数学运数学运 算素养算素养. 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 易易 错错 辨辨 析析 随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 一、命题的概念一、命题的概念 【问题思考】【问题思考】 1.下列语句的表述形式有什么特点下列语句的表述形式有什么特点? 若直线若直线ab,则直线则直线a和直线和直线b无公共点无公共点; 同位角相等同位角相等; 两个面积相等的三角形全等两个面积相等的三角形全等; 同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行. 提示提示:上述上述语句
3、语句的表达形式的表达形式有有两个特点两个特点:都是陈述句都是陈述句;都能都能 够判断真假够判断真假. ？ 2.你能判断上述你能判断上述4个语句的真假吗个语句的真假吗? 提示提示:为真命题为真命题;为假命题为假命题. 3.命题有哪些表达形式命题有哪些表达形式?疑问句、祈使句、感叹句能否作为疑问句、祈使句、感叹句能否作为 命题命题? 提示提示:命题的表达形式有语言、符号或式子命题的表达形式有语言、符号或式子;疑问句、祈使句、疑问句、祈使句、 感叹句不能作为命题感叹句不能作为命题,它们不符合命题必须是陈述句的特点它们不符合命题必须是陈述句的特点. 4.你能把你能把“同位角相等同位角相等”写成写成“若
4、若p,则则q”的形式吗的形式吗? 提示提示:若两个角为同位角若两个角为同位角,则这两个角相等则这两个角相等. ？ 5.(1)一般地一般地,我们把用语言、符号或式子表达的我们把用语言、符号或式子表达的,可以可以判断判断 真假真假的的陈述句陈述句叫做命题叫做命题. (2)判断为判断为真真的语句是真命题的语句是真命题;判断为判断为假假的语句是假命题的语句是假命题. (3)“若若p,则则q”形式的命题中形式的命题中, p 称为称为命题的条件命题的条件, q 称为称为命题的命题的 结论结论. ？ 6.做一做做一做:下列命题中是假命题的是下列命题中是假命题的是() 是是15的约数的约数B.对任意实数对任意
5、实数x,有有x20,b0,q:ab0,则则p是是q的的条件条件; 解析解析:(1)当当a0,b0时时,显然显然ab0成立成立,即即pq, 故故p是是q的充分条件的充分条件. (2)因为因为pq,所以所以q是是p的必要条件的必要条件. 答案答案:(1)充分充分(2)必要必要 ？ 【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打正确的在后面的括号内打“ ”,错误错误 的打的打“”. (1)将命题改写成将命题改写成“若若p,则则q”的形式的形式,改法唯一改法唯一.( ) (2)举反例是判断一个命题是假命题的重要方法举反例是判断一个命题是假命题的重要方法.(
6、) (3)在在“若若p,则则q”的命题中的命题中,p是是q的充分条件的充分条件.( ) (4)若若p是是q的充分条件的充分条件,则则p是唯一的是唯一的.( ) (5)x=2是是x2-4x+4=0的必要条件的必要条件.( ) ？ 合作合作探究探究释疑解惑释疑解惑 ？ 探究探究一一 命题真假命题真假的判断的判断 【例【例1】 把下列命题改写成把下列命题改写成“若若p,则则q”的形式的形式,指出条件和指出条件和 结论结论,并判断命题的真假并判断命题的真假. (1)两个周长相等的三角形面积相等两个周长相等的三角形面积相等; (2)已知已知x,y为正整数为正整数,当当y=x+1时时,y=3,x=2; (
7、3)当当m1时时,x2-2x+m=0无实根无实根. ？ 解解:(1)若两个三角形的周长相等若两个三角形的周长相等,则这两个三角形的面积相则这两个三角形的面积相 等等,条件是条件是“两个三角形的周长相等两个三角形的周长相等”,结论是结论是“这两个三角形的这两个三角形的 面积相等面积相等”,是假命题是假命题. (2)已知已知x,y为正整数为正整数,若若y=x+1,则则y=3,x=2,条件是条件是“已知已知x,y为为 正整数正整数,且且y=x+1”,结论是结论是“y=3,x=2”,是假命题是假命题. (3)若若m1,则则x2-2x+m=0无实根无实根,条件是条件是“m1”,结论是结论是“x2- 2x
8、+m=0无实根无实根”,是真命题是真命题. ？ 反思感悟反思感悟 1.将将命题改写为命题改写为“若若p,则则q”形式的方法及原则形式的方法及原则 ？ 2.判断命题真假的策略判断命题真假的策略 (1)要判断一个命题是真命题要判断一个命题是真命题,一般要有严格的证明或有事实一般要有严格的证明或有事实 依据依据,比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知 的正确结论推证的正确结论推证. (2)要判断一个命题是假命题要判断一个命题是假命题,只要举一个反例即可只要举一个反例即可. ？ 【变式训练【变式训练1】 指出下列命题的条件与结论指出下列命题的条件与
9、结论,写成写成“若若p,则则q” 的形式的形式,并判断真假并判断真假. (1)平行四边形的两条对角线互相垂直平行四边形的两条对角线互相垂直. (2)直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余. (3)当当abc=0时时,a=0,且且b=0,且且c=0. ？ 解解:(1)条件是条件是“四边形是平行四边形四边形是平行四边形”,结论是结论是“四边形的两条四边形的两条 对角线互相垂直对角线互相垂直”.写成写成“若若p,则则q”的形式为的形式为:若四边形是平行若四边形是平行 四边形四边形,则它的两条对角线互相垂直则它的两条对角线互相垂直,是假命题是假命题. (2)条件是条件是“一个三角形是直角三角
10、形一个三角形是直角三角形”,结论是结论是“两个锐角互两个锐角互 余余”.写成写成“若若p,则则q”的形式为的形式为:若一个三角形是直角三角形若一个三角形是直角三角形,则则 它的两个锐角互余它的两个锐角互余,是真命题是真命题. (3)条件是条件是“abc=0”,结论是结论是“a=0,且且b=0,且且c=0”,写成写成“若若p,则则q” 的形式为的形式为:若若abc=0,则则a=0,且且b=0,且且c=0,是假命题是假命题. ？ 探究探究二二 充分条件充分条件与必要条件的判断与必要条件的判断 【例【例2】 下列下列“若若p,则则q”形式的命题中形式的命题中,哪些命题中的哪些命题中的q是是p 的必要
11、条件的必要条件? (1)若四边形为矩形若四边形为矩形,则这个四边形的两条对角线相等则这个四边形的两条对角线相等; (2)若四边形的对角互补若四边形的对角互补,则这个四边形是圆内接四边形则这个四边形是圆内接四边形; (3)若若a2+b2=0,则则a+b=0; (4)若若x2-4x+3=0,则则x=1. ？ 解解:(1)这是矩形的一条性质定理这是矩形的一条性质定理,pq,即即q是是p的必要条件的必要条件. (2)这是圆内接四边形的一条判定定理这是圆内接四边形的一条判定定理,pq, 即即q是是p的必要条件的必要条件. (3)由由a2+b2=0,得得a=b=0,从而从而a+b=0,即即pq, 即即q是
12、是p的必要条件的必要条件. (4)由于由于32-43+3=0,但但31,p q,即即q不是不是p的必要条件的必要条件. ？ 反思感悟反思感悟 充分条件与必要条件的判断充分条件与必要条件的判断方法方法 一般一般地地,要判断要判断“若若p,则则q”形式的命题中形式的命题中p是否为是否为q的充分条件的充分条件 (或或q是否为是否为p的必要条件的必要条件),只需判断是否有只需判断是否有“pq”,即即“若若p,则则q” 是否为真命题是否为真命题. (1)如果如果“若若p,则则q”为真命题为真命题,那么那么p是是q的充分条件的充分条件,同时同时q是是p的的 必要条件必要条件. (2)如果如果“若若p,则则
13、q”为假命题为假命题,那么那么p不是不是q的充分条件的充分条件,同时同时q也也 不是不是p的必要条件的必要条件. ？ (2)命题判断法命题判断法: 如果命题如果命题“若若p,则则q”为真命题为真命题,那么那么p是是q的充分条件的充分条件,同时同时q 是是p的必要条件的必要条件. 如果命题如果命题“若若p,则则q”为假命题为假命题,那么那么p不是不是q的充分条件的充分条件,同时同时 q也不是也不是p的必要条件的必要条件. ？ 【变式训练【变式训练2】 下列下列“若若p,则则q”形式的命题中形式的命题中,哪些命题中的哪些命题中的p 是是q的充分条件的充分条件? (1)若若a,b都是偶数都是偶数,则
14、则a+b是偶数是偶数; (2)若若xAB,则则xAB; (3)若若x2y2,则则xy. 解解:(1)由偶数的性质由偶数的性质,知知pq,即即p是是q的充分条件的充分条件. (2)由集合的运算性质由集合的运算性质,知知pq,即即p是是q的充分条件的充分条件. (3)因为因为(-1)202,但但-10,p q,即即p不是不是q的充分条件的充分条件. ？ 探究探究三三 充分条件充分条件与必要条件的应用与必要条件的应用 【例【例3】 是否存在实数是否存在实数p,使使“4x+p2或或x-1”的充分的充分 条件条件?若存在若存在,求出求出p的取值范围的取值范围;若不存在若不存在,请说明理由请说明理由. 解
15、解:由由4x+p2或或x-1,由数轴可得由数轴可得, 故当故当p4时时,4x+p2或或x-1的充分条件的充分条件. ？ 1.将本例条件将本例条件“4x+p0”,其他条件不变其他条件不变,结果如结果如 何何? 解解:由由4x+p0得得 ,如图如图,在数轴上表示出不等式在数轴上表示出不等式x2或或x0是是x2或或x-1的充分条件的充分条件. ？ 2.本例若换为本例若换为:是否存在实数是否存在实数p,使使“4x+p2或或x-1”的的 必要条件必要条件?若存在若存在,求出求出p的取值范围的取值范围;若不存在若不存在,请说明理由请说明理由. 如何求解如何求解? 解解:由由4x+p2或或x-1, 由数轴可
16、得由数轴可得 所以不存在实数所以不存在实数p使使4x+p2或或x-1的必要条件的必要条件. ？ 反思感悟反思感悟 应用充分条件应用充分条件(或必要条件或必要条件)求参数取值范围的求参数取值范围的步骤步骤 首先首先根据条件的充分性或必要性将问题转化为集合之间的关根据条件的充分性或必要性将问题转化为集合之间的关 系系,然后构建关于参数的不等式然后构建关于参数的不等式(组组),并求解并求解.注意数形结合思注意数形结合思 想的应用想的应用. ？ 易易 错错 辨辨 析析 ？ 因混淆因混淆“充分条件充分条件”与与“必要条件必要条件”致错致错 【典例】【典例】 使不等式使不等式-5x+30成立的一个充分条件
17、是成立的一个充分条件是() A.x1 答案答案:C 以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何你如何 改正改正?你如何防范你如何防范? 提示提示:上述解法把充分条件与必要条件混淆了上述解法把充分条件与必要条件混淆了,注意本题的注意本题的 结论是结论是“-5x+30”. ？ 答案答案:A 防范措施防范措施 1.把握充分条件的概念把握充分条件的概念,若若pq,则则p是是q的充分条件的充分条件. 2.分清题目中的条件分清题目中的条件p和结论和结论q,本题的条件是选项本题的条件是选项,结论是结论是- 5x+30.充分条件是条件充分条件是条件结论结论.
18、 ？ 【变式训练】【变式训练】 使不等式使不等式-4x+14成立的一个必要条件是成立的一个必要条件是 () x3B.-6x3 C.-5x2D.-6x2 解析解析:因为因为-4x+14,所以所以-5x3, 又又-5x3-6x3, 所以所以-6x3是是-5x3的必要条件的必要条件. 故选故选B. 答案答案:B ？ 随随 堂堂 练练 习习 ？ 1.下列命题中下列命题中,是真命题的是是真命题的是() A.xR|x2+1=0不是空集不是空集 B.若若x2=1,则则x=1 C.空集是任何集合的真子集空集是任何集合的真子集 D.x2-5x=0的根是自然数的根是自然数 解析解析:A中方程在实数范围内无解中方程
19、在实数范围内无解,故故A是假命题是假命题;B中若中若x2=1, 则则x=1,故故B是假命题是假命题;因空集是任何非空集合的真子集因空集是任何非空集合的真子集,故故C 是假命题是假命题;x2-5x=0的根是的根是x=0或或x=5,都是自然数都是自然数,故故D是真命题是真命题. 答案答案:D ？ 2.(多选题多选题)对任意实数对任意实数a,b,c,给出下列命题给出下列命题,其中是真命题的其中是真命题的是是 () A.“a=b”是是“ac=bc”的充分条件的充分条件 B.“a+5是无理数是无理数”是是“a是无理数是无理数”的必要条件的必要条件 C.“ab”是是“a2b2”的充分条件的充分条件 D.“
20、a5”是是“ab”时时,“a2b2”不一定不一定 成立成立,如当如当a=1,b=-2时时,a2b2,故故C是假命题是假命题;当当“a3”时时,“a5”, 故故D是真命题是真命题.答案答案: ABD ？ 3.把把“角平分线上的点到角两边的距离相等角平分线上的点到角两边的距离相等”写成写成“若若p,则则q”的的 形式是形式是,是是命题命题.(填填 “真真”或或“假假”) 答案答案:若一个点是一个角的平分线上的点若一个点是一个角的平分线上的点,则该点到这个角两则该点到这个角两 边的距离相等边的距离相等真真 ？ 4.判断下列各题中判断下列各题中,p是是q的什么条件的什么条件. (1)p:x=3,q:x
21、2=9; (2)设集合设集合M=1,2,N=a2.p:a=1,q:N M. 解解:(1)当当x=3时时,x2=9; 但但x2=9,有有x= 3, 故故p是是q的充分条件的充分条件,但不是必要条件但不是必要条件. (2)当当a=1时时,N=1,N M. 但但N M时时,有有a2=1或或a2=2,不一定有不一定有a=1. 因此因此pq,q p, 故故p是是q的充分条件的充分条件,但不是必要条件但不是必要条件. ？ 5.已知已知P=x|a-4xa+4,Q=x|1x3,“xP”是是“xQ”的必的必 要条件要条件,求实数求实数a的取值范围的取值范围. 解解:因为因为“xP”是是“xQ”的必要条件的必要条件, 所以所以Q P. 即即a的取值范围是的取值范围是-1a5.
