1、 ？ 高中数学必修第一册高中数学必修第一册 优化优化设计设计 精品课件精品课件 ？ 函数的应用函数的应用(一一) ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.体会函数与现实世界的密切联系体会函数与现实世界的密切联系,初步理解函初步理解函 数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重 要数学语言和工具要数学语言和工具. 2.能够根据题意建立函数模型并解决实际问题能够根据题意建立函数模型并解决实际问题. 3.感受数学抽象以及逻辑推理的过程感受数学抽象以及逻辑推理的过程,提高数学提高数学 建模素养建模素养. 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释
2、疑解惑解惑 易易 错错 辨辨 析析 随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 一、常见的函数模型一、常见的函数模型 【问题思考】【问题思考】 1.在现实生活、生产中在现实生活、生产中,有许多问题蕴含着量与量之间的关有许多问题蕴含着量与量之间的关 系系,可通过建立变量之间的函数关系并对所得函数进行研究可通过建立变量之间的函数关系并对所得函数进行研究 的方式的方式,使问题得到解决使问题得到解决.我们已经学过的函数模型有哪些我们已经学过的函数模型有哪些? 提示提示:一次函数一次函数、二次函数、分段函数、幂函数、反比例函、二次函数、分段函数、幂函数、反比例函 数数. ？ 2.常
3、见常见的几种函数模型的几种函数模型 ？ 二、解决函数实际应用问题的基本步骤二、解决函数实际应用问题的基本步骤 【问题思考】【问题思考】 解决函数实际应用问题的关键是将实际问题转化为数学问题解决函数实际应用问题的关键是将实际问题转化为数学问题, 即建立函数模型即建立函数模型,通过对函数性质的研究解决数学问题通过对函数性质的研究解决数学问题,从而从而 达到解决实际问题的目的达到解决实际问题的目的. 解决函数实际应用问题的一般步骤是怎样的解决函数实际应用问题的一般步骤是怎样的? ？ 提示提示:(1)设恰当的变量设恰当的变量:研究实际问题中的量与量之间的关系研究实际问题中的量与量之间的关系, 确定变量
4、之间的主动、被动关系确定变量之间的主动、被动关系,并用并用x,y表示问题中的变量表示问题中的变量. (2)建立函数模型建立函数模型:将将y表示为表示为x的函数的函数,写出写出y关于关于x的解析式的解析式,并并 注意标明函数的定义域注意标明函数的定义域. (3)求解函数模型求解函数模型:根据函数模型及其定义域根据函数模型及其定义域,利用相应的函数利用相应的函数 知识求解函数模型知识求解函数模型. (4)给出实际问题的解给出实际问题的解:将数学模型的解还原为实际问题的解将数学模型的解还原为实际问题的解, 得出实际问题的解得出实际问题的解. ？ 【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列
5、说法是否正确,正确的在后面的括号内打正确的在后面的括号内打“ ”,错误错误 的打的打“”. (1)利润利润=销售单价销售单价销售量销售量.( ) (2)实际应用问题中自变量的取值范围由所得的函数解析式实际应用问题中自变量的取值范围由所得的函数解析式 唯一确定唯一确定.( ) (3)解函数应用题的基本步骤可概括为解函数应用题的基本步骤可概括为“四步八字四步八字”,即即“审题、审题、 建模、解模、还原建模、解模、还原”.( ) ？ 合作合作探究探究释疑解惑释疑解惑 ？ 探究探究一一 一次函数一次函数模型的应用模型的应用 【例【例1】 某时装表演会预算票价为某时装表演会预算票价为 每张每张100元元
6、,容纳观众人数不容纳观众人数不超过超过 2 000人人,毛利润毛利润y(单位单位:百元百元)关于观关于观 众人数众人数x(单位单位:百人百人)之间的函数图之间的函数图 象如下图所示象如下图所示,当观众人数当观众人数超过超过 1 000人时人时,表演会组织者需向保险表演会组织者需向保险 公司缴纳公司缴纳定额保险费定额保险费5 000元元(不列不列 入成本费用入成本费用).请解答下列问题请解答下列问题: ？ (1)求当观众人数不超过求当观众人数不超过1 000人时人时,毛利润毛利润y关于观众人数关于观众人数x的的 函数解析式和成本费用函数解析式和成本费用S(单位单位:百元百元)关于观众人数关于观众
7、人数x的函数的函数 解析式解析式; (2)若要使这次表演会获得若要使这次表演会获得36 000元的毛利润元的毛利润,则需售出多少则需售出多少 张门票张门票?需付成本费多少元需付成本费多少元? (注注:当观众人数不超过当观众人数不超过1 000人时人时,表演会的毛利润表演会的毛利润=门票收入门票收入 -成本费用成本费用;当观众人数超过当观众人数超过1 000人时人时,表演会的毛利润表演会的毛利润=门票门票 收入收入-成本费用成本费用-保险费保险费) ？ 解解:(1)当当0 x10时时, 设设y关于关于x的函数解析式为的函数解析式为y=kx-100. 由由400=10k-100,得得k=50,即即
8、y=50 x-100. S=100 x-(50 x-100),即即S=50 x+100. (2)当当0 x10时时,由题意得由题意得50 x-100=360, 解得解得x=9.2(百张百张)=920(张张). 即即S=50 x+100=509.2+100=560(百元百元)=56 000(元元). ？ 当当10y2,知应选择方案一处理污水知应选择方案一处理污水. ？ 探究探究二二 二次函数二次函数模型的应用模型的应用 【例【例2】 如图所示如图所示,已知边长为已知边长为8米的正方形钢板有一个角被米的正方形钢板有一个角被 锈蚀锈蚀,其中其中AE=4米米,CD=6米米.为了合理利用这块钢板为了合理
9、利用这块钢板,在五边形在五边形 ABCDE内截取一个矩形内截取一个矩形BNPM,使点使点P在边在边DE上上. (1)设设MP=x米米,PN=y米米,将将y表示成表示成x的函数的函数, 求求该函数的解析式及定义域该函数的解析式及定义域; (2)求矩形求矩形BNPM面积的最大值面积的最大值. ？ 解解:(1)如图如图,作作PQAF于点于点Q,则则PQ=(8-y)米米,EQ=(x-4)米米. 因为因为EPQEDF, S(x)是关于是关于x的二次函数的二次函数,其图象开口向下其图象开口向下,对称轴为直线对称轴为直线x=10, 即当即当x4,8时时,S(x)单调递增单调递增,故当故当x=8米时米时,矩形
10、矩形BNPM的面的面 积取得最大值积取得最大值,最大面积为最大面积为48平方米平方米. ？ 本例中本例中,将将(2)改为改为:若所截取的矩形若所截取的矩形BNPM的面积不小于的面积不小于42平平 方米方米,试求试求x的取值范围的取值范围. ？ 反思感悟反思感悟 解解二次函数模型的策略二次函数模型的策略 (1)根据实际问题建立函数解析式根据实际问题建立函数解析式(即二次函数解析式即二次函数解析式). (2)利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法 求函数的最值求函数的最值,从而解决实际问题中的最值问题从而解决实际问题中的最值问题. (3)解
11、答二次函数最值问题最好结合二次函数的图象解答二次函数最值问题最好结合二次函数的图象. ？ 探究探究三三 分段分段函数模型的应用函数模型的应用 【例【例3】 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交 通状况通状况.在一般情况下在一般情况下,大桥上的车流速度大桥上的车流速度v(单位单位:千米千米/时时)是是 车流密度车流密度x(单位单位:辆辆/千米千米)的函数的函数.当桥上的车流密度达到当桥上的车流密度达到200 辆辆/千米时千米时,造成堵塞造成堵塞,此时车流速度为此时车流速度为0;当车流密度不超过当车流密度不超过20 辆辆/千米时千米时,车流速度为
12、车流速度为60千米千米/时时.研究表明研究表明,当当20 x200时时, 车流速度车流速度v是车流密度是车流密度x的一次函数的一次函数. (1)当当0 x200时时,求函数求函数v(x)的解析式的解析式; (2)当车流密度当车流密度x为多大时为多大时,车流量车流量(单位时间内通过桥上某观单位时间内通过桥上某观 测点的车辆数测点的车辆数,单位单位:辆辆/时时)f(x)=xv(x)可以达到最大可以达到最大?并求出并求出 最大值最大值.(精确到精确到1辆辆/时时). ？ ？ 即当车流密度为即当车流密度为100辆辆/千米时千米时,车流量可以达到最大车流量可以达到最大,最大值最大值 约为约为3 333辆
13、辆/时时. ？ 反思感悟反思感悟 构建构建分段函数模型的关键点分段函数模型的关键点 建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点,即明确自即明确自 变量的取值区间变量的取值区间,对每一区间进行分类讨论对每一区间进行分类讨论,从而写出函数的从而写出函数的 解析式解析式. ？ 【变式训练【变式训练2】 某医疗研究所开发一种新药某医疗研究所开发一种新药,如果成人按规如果成人按规 定的剂量服用定的剂量服用,据监测据监测,服药后每毫升血液中的含药量服药后每毫升血液中的含药量y(单位单位: g)与时间与时间t(单位单位:h)之间近似满足如图所示的之间近似满足如图所示
14、的折线折线关系关系. (1)写出服药后写出服药后y与与t之间的函数解析式之间的函数解析式; (2)据测定据测定,每毫升血液中含药量不少于每毫升血液中含药量不少于4 g时治疗疾病有效时治疗疾病有效, 假若某病人一天中第一次服药为上午假若某病人一天中第一次服药为上午7:00,问一天中怎样安问一天中怎样安 排服药时间排服药时间(共共4次次)效果最佳效果最佳? ？ ？ ？ 易易 错错 辨辨 析析 ？ 解决实际问题时忽视定义域致错解决实际问题时忽视定义域致错 【典例】【典例】 如图如图,有一块矩形空地有一块矩形空地ABCD,要在这块空地上开辟要在这块空地上开辟 一个内接四边形一个内接四边形EFGH为绿地
15、为绿地,使其四个顶点分别落在矩形使其四个顶点分别落在矩形 的四条边上的四条边上(包括端点包括端点).已知已知AB=a(a2),BC=2,且且AE=AH=CF =CG,设设AE=x,绿地绿地EFGH的面积为的面积为y. (1)写出写出y关于关于x的函数解析式的函数解析式,并求出它的定义域并求出它的定义域; (2)当当x为何值时为何值时,绿地面积绿地面积y最大最大?并求出最大值并求出最大值. ？ ？ 以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改你如何改 正正?你如何防范你如何防范? ？ ？ ？ ？ 防范措施防范措施 解决解决实际问题时实际问题时,
16、一方面要结合问题的实际意义确定好变量一方面要结合问题的实际意义确定好变量 的取值范围的取值范围,另一方面另一方面,在求函数模型的最值时在求函数模型的最值时,一定要根据该一定要根据该 函数模型中自变量的取值范围求解函数模型中自变量的取值范围求解,特别是含有参数时特别是含有参数时,应注应注 意分类讨论意分类讨论. ？ 【变式训练】【变式训练】 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入 营运营运.据市场分析据市场分析,每辆客车营运的总利润每辆客车营运的总利润y(单位单位:万万元元)与营运与营运 年数年数x(xN)为二次函数关系为二次函数关系(如图如图),则要使每辆
17、客车营运的则要使每辆客车营运的 年平均利润最大年平均利润最大,需营运的年数是需营运的年数是() A.3B.4 C.5D.6 ？ 答案答案:C ？ 随随 堂堂 练练 习习 ？ 1.若等腰三角形的周长为若等腰三角形的周长为20,底边长底边长y是关于腰长是关于腰长x的函数的函数,则则 它的解析式为它的解析式为() A.y=20-2x(x10) B.y=20-2x(x10) C.y=20-2x(5x10) D.y=20-2x(5x0,20-2x0, x10. 又三角形两边之和大于第三边又三角形两边之和大于第三边, 5x10. 故选故选D. 答案答案:D ？ 2.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车某公司在
18、甲、乙两地销售一种品牌车,利润利润(单位单位:万元万元)分别分别 为为L1=5.06x-0.15x2(xN)和和L2=2x(xN),其中其中x为销售量为销售量(单位单位: 辆辆),若该公司在这两地共销售若该公司在这两地共销售15辆车辆车,则可能获得的最大利润则可能获得的最大利润 为为() .606万元万元.6万元万元 .56万元万元.51万元万元 解析解析:题意可设在甲地销售题意可设在甲地销售x辆辆,则在乙地销售则在乙地销售(15-x)辆辆,总利润总利润 S=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30(0 x15,xN),故故 当当x=10时时,Smax=45.
19、6. 答案答案:B ？ 3.某单位为鼓励职工节约用水某单位为鼓励职工节约用水,规定规定:每位职工每月用水不超每位职工每月用水不超 过过10 m3时时,按按3元元/m3收费收费;用水超过用水超过10 m3时时,超过的部分按超过的部分按5 元元/m3收费收费.某职工某月缴水费某职工某月缴水费55元元,则该职工该月实际用水则该职工该月实际用水为为 () A.13 m3B.14 m3C.15 m3D.16 m3 ？ 某职工某月缴水费某职工某月缴水费55元元,易知该职工这个月的实际用水量超易知该职工这个月的实际用水量超 过过10 m3,即即5x-20=55,解得解得x=15.故故选选C. 答案答案:C
20、？ 4.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v(单单 位位:km/h)的平方成正比的平方成正比,且比例系数为且比例系数为k,除燃料费外其他费用除燃料费外其他费用 为为96元元/h.当速度为当速度为10 km/h时时,每小时的燃料费是每小时的燃料费是6元元.若匀速若匀速 行驶行驶10 km,则当这艘轮船的速度为则当这艘轮船的速度为 km/h时时,总费总费 用最少用最少. 解析解析:设每小时轮船行驶的总费用为设每小时轮船行驶的总费用为y元元,则则y=kv2+96, 因为因为当当v=10时时,每小时的燃料费是每小时的燃料费是6元元, 所以所以k102=6,解得解得k=0.06, ？ 答案答案:40
