1、 ？ 高中数学必修第一册高中数学必修第一册 优化优化设计设计 精品课件精品课件 ？ 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 第第1课时课时周期性与奇偶性周期性与奇偶性 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.会求函数会求函数y=Asin(x+)及及y=Acos(x+)的周的周 期期. 3.借助图象理解正弦函数、余弦函数的奇偶性借助图象理解正弦函数、余弦函数的奇偶性, 并会判断并会判断. 4.体会数学抽象的过程体会数学抽象的过程,提高逻辑推理和数学运提高逻辑推理和数学运 算素养算素养. 自主自主预习预习新知新知导学导
2、学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 易易 错错 辨辨 析析 随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 一、函数的周期性一、函数的周期性 【问题思考】【问题思考】 1.由正弦函数的图象可知由正弦函数的图象可知,横坐标每隔横坐标每隔2个单位长度个单位长度,就会出就会出 现纵坐标相同的点现纵坐标相同的点,这种这种“周而复始周而复始”的变化规律的变化规律,体现了正弦体现了正弦 函数具有什么样的性质函数具有什么样的性质? 提示提示:周期性周期性. 2.设设f(x)=sin x,根据诱导公式根据诱导公式sin(x+2k)=sin x(kZ),你会得你会得 出怎样的关系式出怎样的关
3、系式? 提示提示:f(x+2k)=f(x). ？ 3.(1)一般地一般地,设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D,如果存在一个如果存在一个非零常数非零常数T , 使得对每一个使得对每一个xD,都有都有x+TD,且且 f(x+T)=f(x) ,那么函数那么函数f(x) 就叫做周期函数就叫做周期函数,非零常数非零常数T 叫做叫做这个函数的周期这个函数的周期. (2)如果在周期函数如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的所有周期中存在一个最小的正数最小的正数,那那 么这个最小正数叫做么这个最小正数叫做f(x)的的最小正周期最小正周期. ？ ？ 二、正弦函数、余弦函数的周期性二、正弦函数、余弦
4、函数的周期性 【问题思考】【问题思考】 1.函数函数y=sin x和和y=cos x是周期函数吗是周期函数吗?若是若是,请给出证明请给出证明;若不若不 是是,请说明理由请说明理由. 提示提示:是是.sin(x+2)=sin x,cos(x+2)=cos x, y=sin x和和y=cos x都是周期函数都是周期函数,且且2是是它们的一个周期它们的一个周期. ？ 2.函数函数f(x)=Asin(x+)和和f(x)=Acos(x+)(其中其中A,为常数为常数, 且且A0,0)是周期函数吗是周期函数吗?若是若是,请给出证明请给出证明;若不是若不是,请说明请说明 理由理由. ？ 3.正弦正弦函数是函数
5、是周期周期函数函数,2k(kZ,且且k0)都是它的周期都是它的周期,最小最小 正周期是正周期是2. 类似地类似地,余弦函数也是余弦函数也是周期周期函数函数,2k(kZ,且且k0)都是它的周都是它的周 期期,最小正周期是最小正周期是2. 答案答案: ？ 三、函数的奇偶性三、函数的奇偶性 【问题思考】【问题思考】 1.根据诱导公式三可知根据诱导公式三可知,对于对于xR,sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x, 这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质? 提示提示:奇偶性奇偶性,正弦函数正弦函数y=sin x是奇函数是奇函数,余弦函数余弦函数y=
6、cos x是偶是偶 函数函数. 3.正弦正弦函数是函数是奇函数奇函数,余弦函数是余弦函数是偶函数偶函数. ？ 【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打正确的在后面的括号内打“ ”,错误错误 的打的打“”. (1)因为函数因为函数f(x)=x2满足满足f(-3+6)=f(-3),所以所以f(x)=x2是以是以6为周期为周期 的周期函数的周期函数.( ) (2)正弦函数正弦函数y=sin x(xR)的图象关于的图象关于y轴对称轴对称.( ) (3)任何周期函数都有最小正周期任何周期函数都有最小正周期.( ) (4)正弦函数正弦函数y=sin x(x
7、R)的图象关于原点成中心对称的图象关于原点成中心对称.( ) ？ 合作合作探究探究释疑解惑释疑解惑 ？ 探究探究一一 求求三角函数的周期三角函数的周期 ？ ？ (3)画出函数画出函数y=|cos x|的图象如图所示的图象如图所示, 观察图象可知此函数的最小正周期是观察图象可知此函数的最小正周期是. ？ 1.在本例在本例(3)中中,把函数把函数y=|cos x|(xR)改为改为y=|sin x|(xR),则则 最小正周期为多少最小正周期为多少? 解解:画画出函数出函数y=|sin x|的图象如图所示的图象如图所示,观察图象可知该函数的观察图象可知该函数的 最小正周期是最小正周期是. ？ 2.在本
8、例在本例(3)中中,将函数将函数y=|cos x|(xR)改为改为y=|sin x-2|(xR),则则 最小正周期是多少最小正周期是多少? 解解:因为因为-1sin x1,所以所以y=|sin x-2|=2-sin x.画出画出y=2-sin x的的 图象图象(图略图略)可知最小正可知最小正周期周期是是2. ？ 反思感悟反思感悟 求求三角函数周期的方法三角函数周期的方法:(1)定义法定义法,即利用周期函数的定义求即利用周期函数的定义求 解解. (2)公式法公式法,形如形如y=Asin(x+)或或y=Acos(x+)(A,是常数是常数, A0,0)的函数的周期为的函数的周期为 (3)观察法观察法
9、,即通过观察函数的图象求其周期即通过观察函数的图象求其周期. ？ 【变式训练【变式训练1】 (多选题多选题)下列函数是以下列函数是以为周期的函数是为周期的函数是( ) 答案答案:ABC ？ 探究探究二二 判断判断三角函数的奇偶性三角函数的奇偶性 分析分析:(1)先化简先化简,再判断再判断;(2)先求定义域先求定义域,再判断再判断. ？ ？ 反思感悟反思感悟 判断函数的奇偶性的关键点判断函数的奇偶性的关键点:(1)看函数的定义域是否关于原看函数的定义域是否关于原 点对称点对称;(2)看看f(x)与与f(-x)的关系的关系.判断三角函数的奇偶性时判断三角函数的奇偶性时,可可 根据诱导公式先将函数式
10、化简再判断根据诱导公式先将函数式化简再判断. ？ 【变式训练【变式训练2】 (1)函数函数 () A.是奇函数是奇函数B.是偶函数是偶函数 C.是非奇非偶函数是非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数 (2)已知已知aR,函数函数f(x)=sin x-|a|(xR)为奇函数为奇函数,则则a=. ？ 所以所以f(x)是偶函数是偶函数,故选故选B. (2)函数定义域为函数定义域为R. f(x)为奇函数为奇函数, f(-x)=sin(-x)-|a|=-sin x-|a|=-f(x)=-sin x+|a|. |a|=0.a=0. 答案答案:(1)B(2)0 ？ 探究三探究三 三角函数三
11、角函数周期性与奇偶性的综合周期性与奇偶性的综合 ？ 反思感悟反思感悟 解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法:利用函数利用函数 的周期性的周期性,可以把可以把x+nT(nZ)的函数值转化为的函数值转化为x的函数值的函数值.利利 用奇偶性用奇偶性,可以找到可以找到-x与与x的函数值的关系的函数值的关系,从而解决求值问题从而解决求值问题. ？ ？ 易易 错错 辨辨 析析 ？ 三角函数变形不等价导致判断奇偶性错误三角函数变形不等价导致判断奇偶性错误 f(-x)=f(x).f(x)是偶函数是偶函数. 以上以上解答解答过程过程中都有哪些错误中都有哪些错误?出
12、错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改你如何改 正正?你如何防范你如何防范? 提示提示:忽视函数的定义域导致错解忽视函数的定义域导致错解. ？ 定义域不关于原点对称定义域不关于原点对称. 该函数是非奇非偶函数该函数是非奇非偶函数. 防范措施防范措施 判断判断函数的奇偶性函数的奇偶性,要按函数奇偶性的定义加以判断要按函数奇偶性的定义加以判断,一般不一般不 要把函数式化简要把函数式化简,若要化简若要化简,则应注意化简前后的等价性则应注意化简前后的等价性.如本如本 例例,若直接将函数式化为若直接将函数式化为y=cos x,则易出现判断该函数为偶函则易出现判断该函数为偶函 数的错误数的错误. ？ ？ 随随 堂堂 练练 习习 ？ 1.(多选题多选题)下列是定义在下列是定义在R上的四个函数图象的一部分上的四个函数图象的一部分,其中其中 是周期函数的是是周期函数的是() 答案答案:ABC ？ 答案答案:B ？ 答案答案:D ？ 答案答案: ？ ？
